预防职务犯罪讲稿-调查报告封面

2.3.2平面与平面垂直的判定
教学设计







安阳市第三十六中学 王 璐





1

2.3.2平面与平面垂直的判定的教学设计
普通高中课程标准实验教科书 数学2 必修
人民教育出版社 A版
一、教材地位和作用
新课程中立体几何的内容更加注重定义、定理的产生和联系，从而形成完 整
的知识结构体系。而平面与平面的垂直是两个平面的一种重要的位置关系，是继
教材直线与直 线的垂直、直线与平面的垂直之后的迁移与拓展。因此这一节的学
习对理顺学生的知识架构体系、提高学 生的綜合能力起着十分重要的作用。
二、教学目标

1、知识目标
（1） 使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、
“两个平面互相垂直”的概念 。
（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明一些空间位
置关系的简 单命题。
2、能力目标
（1）借助对图片、实例的观察、类比、抽象、概括二面角的概念， 面面垂直的
定义，渗透类比迁移的思想。
（2）通过直观感知、操作确认，归纳出二面角平面 角的定义，平面与平面垂直
的判定定理，提高学生的抽象概括能力。
（3）通过运用定理的过程，培养学生降低空间维数的化归与转化的数学思想。
3、情感目标
（1）让学生亲身经历数学研究的全过程，体验探索的乐趣。
（2）通过有趣的、贴近学生生 活的数学活动，使学生体会数学存在于现实生活
周围，从中激发学生积极思维，增强学习数学的兴趣。
三、教学重点、难点
重点
：（1）二面角及其平面角概念的形成过程；
（2）面面垂直的判定定理的运用。
难点
： 二面角的平面角的形成过程及寻找方法。
四、学法与教学用具
学法
：实物观察，直观感知，操作确认，类比归纳，语言表达。
教学用具
：二面角模型，折叠纸，多媒体软硬件设备等。

2

五、教学基本流程(总体设计)
从人类生产实践的需要引入二面角的有关概念
↓
构建二面角的的平面角概念
↓
探究平面与平面垂直的判定方法
↓
平面与平面垂直的判定定理的应用
↓
课堂检测
↓
课堂小结
↓
布置作业
六、教学情境设计

（一）创设情景
问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？
问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、 “直线和平面所成的角”
又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？
以上问题让学生自由发言 ，教师再作小结，并顺势抛出问题：直线与直线相
交成一定的角，直线与平面也相交成一定的角，那么平 面与平面相交是否也成一
定角？下面我们共同来观察,研探。
（二）建构理论
1、二面角的引入和构建
通过多媒体请同学们观察图片，发射人造卫星时要根据需要，使卫星 轨道平
面与地球赤道平面成一定的角度；修筑水坝时为了使水坝坚固耐用，必须使水坝
面与水平 面成适当的角度；建造房屋时墙面，地面，屋顶也会成一定的角度。
问题3：这样的角有何特点呢？
设计意图：从实际背景出发，增加学生对二面角的感性认识.让学生感受生活中
处处有数学,数 学用途广泛,增强学数学的兴趣.
问题4:类比初中所学角的概念，能否归纳出二面角的概念？
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角，
这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.
教师通过折叠一张纸给学生演示二面角
设计意图：概念的形成主要依靠对感性材料的抽象概括 ，对已有
知识的类比模仿,设置学生的最近思维发展区，不将书中的定义生

3

硬地教给学生，而是通过自制模具的演示，采用类比的思想将二面角的概念移植
过来。
问题5：能否举出实际生活中一些二面角的例子？
问题6：如何表示二面角？
设计 意图：让学生在此基础上再举一些二面角角的例子.如教室的门在打开的过
程中与墙面成一定的角度；书 本翻开的过程中，两张纸面呈一定的角度等.
以知识填空的形式呈现，使学生了解二面角的数学符号表述。
2、二面角的度量
问 题1：我们常说“把门开得大些”，是指哪个角大些，我们应该怎样刻画
二面角的大小？（回想:异面直 线所成的角、直线和平面所成的角有什么共同的
特征？）
引导学生动手操作------翻开 教科书成二面角形状,观察书页底部边沿所成的平
面角随着翻动幅度的改变(二面角)而改变的情况。
引导学生进分析书页底部边沿所成的平面角的特点：
①平面角的顶点在棱上；
②平面角的两边分别在二面角的两个平面内；
③两边分别垂直于棱。
问题2：如果平面角的两边不垂直于棱行吗？
设计意图：引导学生用“平面化”的思想来思考问题. 捕捉创造适宜于学生领悟
的问题情境， 让学生动手操作，直观感受数学活动形象而生动的特点，生成知识。
问题3:根据平面角的特点与作法,你能归纳出二面角的平面角的概念吗?
在二面角

l

的棱
l
上任取一点O，以点O为垂足，在半平面

和

内分别
作垂直于棱
l
的射线OA和OB，则射线OA 和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角。



β

A

α

O B

问题4:对于确定的二面 角而言,满足上述特点的平面角有多少个?请在二面
角模型上任意作两个平面角, 平面角的大小与顶点在棱上的位置有无关系?
归纳:①二面角的平面角与点的位置无关，只与二面角的张角大小有关。
②二面角是用它的平 面角来度量的，一个二面角的平面角多大，就说这个二面角
是多少度的二面角。
③二面角的取值范围为[0°,180°]
④平面角是直角的二面角叫做直二面角。
设计意图：提高学生数学表达、归纳能力。让学生经历从直观到抽象、从特殊到
一般、从感性到理性的 认知过程，使得学生对概念的认识不断深化。




4

例1：在正方体
ABCDA
1
B1
C
1
D
1
中
(1)求二面角
D
1
ABD
的大小
(2)求二面角
A
1
ABD
的大小
D
1
A
1
B
1
C
1

思维方法：
（1）找出或作出二面角的平面角
（2）证明其符合定义（垂直于棱）
（3）计算
设计意图: 通过例1加强学生对二面角的平面角的理解并归纳出求二面角的方
法。
D
C
A B
3、探究平面与平面垂直的判定定理
问题1：教 室的相邻两面墙与地面可以构成几个二面角？分别指出构成这些
二面角的面、棱、平面角及度数？ 问题2：类比线线垂直的定义，如何用二面角的平面角的大小给面面垂直下
一个定义？引导学生归纳 面面垂直的定义。
两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面相互垂直. < br>设计意图：采用类比迁移的思想归纳面面垂直的定义，提高学生的抽象概括能力
和知识迁移能力。
问题3：在工程建设中，建筑工人用一端系有铅锤的线来检查墙面与地面是
否垂直，即若紧贴墙 面的铅锤的线，如垂直地面，则确定墙面与地面垂直，否则
不垂直。紧贴墙面的线？这句话的实质意义是 什么？（学生讨论，期望回答：即
此线在墙所在平面）
由此实际问题如何抽象为数学问题呢？ （学生交流讨论，期望回答：若平面过另
一平面的垂线，则平面垂直）
引导学生，画出图形。并转化成数学符号语言
AB

且AB

则






归纳生成两个平面垂直的判定定理：
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．
设计意图：教师站在稍稍超前于学生智力发展的边 界上通过问题引领，来促成学
生形成面面垂直的判定定理。通过学生交流讨论，把实际问题抽象成数学问 题，
并赋予抽象的数学符号和表达方式。
问题4：演示开门、关门的过程：门与地面始终垂直 吗？为什么？将课本打
开，直立放在桌面上，每页纸张与桌面是否垂直？为什么？（用判定定理解释）
问题5：判定面面垂直的本质和关键是什么？
设计意图：用判定定理解释生活中的常见现象， 让学生意识到数学来源于生活，
服务于生活，也体现了从特殊到一般再到特殊的知识认知过程。

5

促进学生数学思想方法的形成，引导学生确实掌握降维的转化与化归的数学思
想方法。
4、平面与平面垂直的判定定理的应用
例2:如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在 的平面，C是圆周上不同于A,B
的任意一点，求证：
平面PAC平面PBC

证明：设⊙O所在平面为α，由已知条件，
PA⊥α，BC在α内，
所以，PA⊥BC，
因为，点C是不同于A，B的任意一点，AB为⊙O的直径，
所以，∠BCA＝90°，即BC⊥CA
又因为PA与AC是△PAC所在面内的两条相交直线，
所以，BC⊥平面PAC，
又因为BC在平面PBC内，
所以，平面PAC⊥平面PBC。
设计意图：通过例 2加强学生对面面垂直的判定定理的理解，从而进一步体会垂
直关系的相互转化。虽然多媒体的使用方便 快捷，但不能完全代替板书，因此教
师一定要对证明过程进行规范、完整的板书，引导学生注意证明过程 的规范性和
严谨性，帮助学生养成良好的学习习惯。
（三）检测反馈
检测一： < br>1、正方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D1
中，平面
ABC
1
D
1
与正方体的各个面所成二面角 的大
小分别是多少？（学生自己根据题意画图）
2、正方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中，在图中作出二面角
C< br>1
BDC,C
1
BDA
的平
面角。
检测二:
1、如图所示，已知
AB平面BCD,BCCD

(1)四个面的形状怎样？(2) 有哪些直线与平面垂直？(3)有哪些平面互相垂
直？

A







B


D
C

6

2、如图，正方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
，求证
平面ACC
1
A
1
平面A
1
BD


设计意图：检验学生的学习目标达成情况。
（四）回顾反思
学生通过总结自己的收获和存在的问题，教师提炼深化内容，让学生从中体会 到
数学学习中的合作探究精神和实践能力。
七、作业分层设计
基础题：课本 P73 习题2.3 A组3,4.
拓展题:课本 P69 例3 在四面体PABC中任意两个平面所成的二面角的平面角
如何确定？
八、板书设计






平面与平面垂直的判定
一、二面角 四、定理内容 六、例题
二、二面角的平面角 例1：
三、面面垂直的定义 五、定理证明 例2：


九、教学反思
本节课的学习采用问题驱动的课堂结构模式，从概念产生的背景到概 念的建
立，辨析，再到概念的应用，层层深入，最后完成评价检测。这样教学符合感知，
辨认， 概括，定义，应用的学习模式。


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2.3.2平面与平面垂直的判定
教学设计







安阳市第三十六中学 王 璐





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2.3.2平面与平面垂直的判定的教学设计
普通高中课程标准实验教科书 数学2 必修
人民教育出版社 A版
一、教材地位和作用
新课程中立体几何的内容更加注重定义、定理的产生和联系，从而形成完 整
的知识结构体系。而平面与平面的垂直是两个平面的一种重要的位置关系，是继
教材直线与直 线的垂直、直线与平面的垂直之后的迁移与拓展。因此这一节的学
习对理顺学生的知识架构体系、提高学 生的綜合能力起着十分重要的作用。
二、教学目标

1、知识目标
（1） 使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、
“两个平面互相垂直”的概念 。
（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明一些空间位
置关系的简 单命题。
2、能力目标
（1）借助对图片、实例的观察、类比、抽象、概括二面角的概念， 面面垂直的
定义，渗透类比迁移的思想。
（2）通过直观感知、操作确认，归纳出二面角平面 角的定义，平面与平面垂直
的判定定理，提高学生的抽象概括能力。
（3）通过运用定理的过程，培养学生降低空间维数的化归与转化的数学思想。
3、情感目标
（1）让学生亲身经历数学研究的全过程，体验探索的乐趣。
（2）通过有趣的、贴近学生生 活的数学活动，使学生体会数学存在于现实生活
周围，从中激发学生积极思维，增强学习数学的兴趣。
三、教学重点、难点
重点
：（1）二面角及其平面角概念的形成过程；
（2）面面垂直的判定定理的运用。
难点
： 二面角的平面角的形成过程及寻找方法。
四、学法与教学用具
学法
：实物观察，直观感知，操作确认，类比归纳，语言表达。
教学用具
：二面角模型，折叠纸，多媒体软硬件设备等。

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五、教学基本流程(总体设计)
从人类生产实践的需要引入二面角的有关概念
↓
构建二面角的的平面角概念
↓
探究平面与平面垂直的判定方法
↓
平面与平面垂直的判定定理的应用
↓
课堂检测
↓
课堂小结
↓
布置作业
六、教学情境设计

（一）创设情景
问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？
问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、 “直线和平面所成的角”
又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？
以上问题让学生自由发言 ，教师再作小结，并顺势抛出问题：直线与直线相
交成一定的角，直线与平面也相交成一定的角，那么平 面与平面相交是否也成一
定角？下面我们共同来观察,研探。
（二）建构理论
1、二面角的引入和构建
通过多媒体请同学们观察图片，发射人造卫星时要根据需要，使卫星 轨道平
面与地球赤道平面成一定的角度；修筑水坝时为了使水坝坚固耐用，必须使水坝
面与水平 面成适当的角度；建造房屋时墙面，地面，屋顶也会成一定的角度。
问题3：这样的角有何特点呢？
设计意图：从实际背景出发，增加学生对二面角的感性认识.让学生感受生活中
处处有数学,数 学用途广泛,增强学数学的兴趣.
问题4:类比初中所学角的概念，能否归纳出二面角的概念？
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角，
这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.
教师通过折叠一张纸给学生演示二面角
设计意图：概念的形成主要依靠对感性材料的抽象概括 ，对已有
知识的类比模仿,设置学生的最近思维发展区，不将书中的定义生

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硬地教给学生，而是通过自制模具的演示，采用类比的思想将二面角的概念移植
过来。
问题5：能否举出实际生活中一些二面角的例子？
问题6：如何表示二面角？
设计 意图：让学生在此基础上再举一些二面角角的例子.如教室的门在打开的过
程中与墙面成一定的角度；书 本翻开的过程中，两张纸面呈一定的角度等.
以知识填空的形式呈现，使学生了解二面角的数学符号表述。
2、二面角的度量
问 题1：我们常说“把门开得大些”，是指哪个角大些，我们应该怎样刻画
二面角的大小？（回想:异面直 线所成的角、直线和平面所成的角有什么共同的
特征？）
引导学生动手操作------翻开 教科书成二面角形状,观察书页底部边沿所成的平
面角随着翻动幅度的改变(二面角)而改变的情况。
引导学生进分析书页底部边沿所成的平面角的特点：
①平面角的顶点在棱上；
②平面角的两边分别在二面角的两个平面内；
③两边分别垂直于棱。
问题2：如果平面角的两边不垂直于棱行吗？
设计意图：引导学生用“平面化”的思想来思考问题. 捕捉创造适宜于学生领悟
的问题情境， 让学生动手操作，直观感受数学活动形象而生动的特点，生成知识。
问题3:根据平面角的特点与作法,你能归纳出二面角的平面角的概念吗?
在二面角

l

的棱
l
上任取一点O，以点O为垂足，在半平面

和

内分别
作垂直于棱
l
的射线OA和OB，则射线OA 和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角。



β

A

α

O B

问题4:对于确定的二面 角而言,满足上述特点的平面角有多少个?请在二面
角模型上任意作两个平面角, 平面角的大小与顶点在棱上的位置有无关系?
归纳:①二面角的平面角与点的位置无关，只与二面角的张角大小有关。
②二面角是用它的平 面角来度量的，一个二面角的平面角多大，就说这个二面角
是多少度的二面角。
③二面角的取值范围为[0°,180°]
④平面角是直角的二面角叫做直二面角。
设计意图：提高学生数学表达、归纳能力。让学生经历从直观到抽象、从特殊到
一般、从感性到理性的 认知过程，使得学生对概念的认识不断深化。




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例1：在正方体
ABCDA
1
B1
C
1
D
1
中
(1)求二面角
D
1
ABD
的大小
(2)求二面角
A
1
ABD
的大小
D
1
A
1
B
1
C
1

思维方法：
（1）找出或作出二面角的平面角
（2）证明其符合定义（垂直于棱）
（3）计算
设计意图: 通过例1加强学生对二面角的平面角的理解并归纳出求二面角的方
法。
D
C
A B
3、探究平面与平面垂直的判定定理
问题1：教 室的相邻两面墙与地面可以构成几个二面角？分别指出构成这些
二面角的面、棱、平面角及度数？ 问题2：类比线线垂直的定义，如何用二面角的平面角的大小给面面垂直下
一个定义？引导学生归纳 面面垂直的定义。
两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面相互垂直. < br>设计意图：采用类比迁移的思想归纳面面垂直的定义，提高学生的抽象概括能力
和知识迁移能力。
问题3：在工程建设中，建筑工人用一端系有铅锤的线来检查墙面与地面是
否垂直，即若紧贴墙 面的铅锤的线，如垂直地面，则确定墙面与地面垂直，否则
不垂直。紧贴墙面的线？这句话的实质意义是 什么？（学生讨论，期望回答：即
此线在墙所在平面）
由此实际问题如何抽象为数学问题呢？ （学生交流讨论，期望回答：若平面过另
一平面的垂线，则平面垂直）
引导学生，画出图形。并转化成数学符号语言
AB

且AB

则






归纳生成两个平面垂直的判定定理：
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．
设计意图：教师站在稍稍超前于学生智力发展的边 界上通过问题引领，来促成学
生形成面面垂直的判定定理。通过学生交流讨论，把实际问题抽象成数学问 题，
并赋予抽象的数学符号和表达方式。
问题4：演示开门、关门的过程：门与地面始终垂直 吗？为什么？将课本打
开，直立放在桌面上，每页纸张与桌面是否垂直？为什么？（用判定定理解释）
问题5：判定面面垂直的本质和关键是什么？
设计意图：用判定定理解释生活中的常见现象， 让学生意识到数学来源于生活，
服务于生活，也体现了从特殊到一般再到特殊的知识认知过程。

5

促进学生数学思想方法的形成，引导学生确实掌握降维的转化与化归的数学思
想方法。
4、平面与平面垂直的判定定理的应用
例2:如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在 的平面，C是圆周上不同于A,B
的任意一点，求证：
平面PAC平面PBC

证明：设⊙O所在平面为α，由已知条件，
PA⊥α，BC在α内，
所以，PA⊥BC，
因为，点C是不同于A，B的任意一点，AB为⊙O的直径，
所以，∠BCA＝90°，即BC⊥CA
又因为PA与AC是△PAC所在面内的两条相交直线，
所以，BC⊥平面PAC，
又因为BC在平面PBC内，
所以，平面PAC⊥平面PBC。
设计意图：通过例 2加强学生对面面垂直的判定定理的理解，从而进一步体会垂
直关系的相互转化。虽然多媒体的使用方便 快捷，但不能完全代替板书，因此教
师一定要对证明过程进行规范、完整的板书，引导学生注意证明过程 的规范性和
严谨性，帮助学生养成良好的学习习惯。
（三）检测反馈
检测一： < br>1、正方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D1
中，平面
ABC
1
D
1
与正方体的各个面所成二面角 的大
小分别是多少？（学生自己根据题意画图）
2、正方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中，在图中作出二面角
C< br>1
BDC,C
1
BDA
的平
面角。
检测二:
1、如图所示，已知
AB平面BCD,BCCD

(1)四个面的形状怎样？(2) 有哪些直线与平面垂直？(3)有哪些平面互相垂
直？

A







B


D
C

6

2、如图，正方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
，求证
平面ACC
1
A
1
平面A
1
BD


设计意图：检验学生的学习目标达成情况。
（四）回顾反思
学生通过总结自己的收获和存在的问题，教师提炼深化内容，让学生从中体会 到
数学学习中的合作探究精神和实践能力。
七、作业分层设计
基础题：课本 P73 习题2.3 A组3,4.
拓展题:课本 P69 例3 在四面体PABC中任意两个平面所成的二面角的平面角
如何确定？
八、板书设计






平面与平面垂直的判定
一、二面角 四、定理内容 六、例题
二、二面角的平面角 例1：
三、面面垂直的定义 五、定理证明 例2：


九、教学反思
本节课的学习采用问题驱动的课堂结构模式，从概念产生的背景到概 念的建
立，辨析，再到概念的应用，层层深入，最后完成评价检测。这样教学符合感知，
辨认， 概括，定义，应用的学习模式。


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