清明节是几月几日农历-我懂得了

2.2、2.3线面、面面的平行、垂直及其性质（6—8课时）
☆教学目标☆
1、能够熟练掌握线面、面面这间的平行、垂直及其性质在解题中的应用；
2、理解并掌握好“二面角 ”与“二面角的平面角”之间的关系；3、掌握“直二面
角”及“两个平面互相垂直”的概念。
☆学习重点☆
1、 线面之间的平行、垂直；面面之间的平行、垂直；以及相互之间的
转换；2、如何作“二面角的平面角”，怎么求“二面角”的值。

☆学习难点☆
1 、线面与面面这间的联系；平行垂直之间的联系；2、如何利用线面垂直
求“二面角”的值。

☆基础点☆
第一部分知识点
1、线面平行的判定定理：符号语言：。
2、线面平行的性质定理：符号语言：。
3、面面平行的判定定理：符号语言：。
4、面面平行的性质定理：符号语言：。
第二部分知识点
5、线面垂直的定义：如 果一条直线
l
和平面

内的，我们就说直线
l
和平面

互相垂直，
记作：其中直线
l
叫做平面的垂线，平面

叫做直线
l
的，
直线与平面的交点叫做。
6、直线与平面垂直的判定定理：符号语言：
7、平面的斜线：。
8、直线与和平面所成的角：；取值范围：。
9、二面角：；符号语言：。
10、二面角的平面角： 。
11、面面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的角是， 就是说这两个平面互相垂直，
记作：。
12、面面垂直的判定定理：符号语言：

13、面面垂直的性质定理：符号语言：
14、相关判定与性质：
定理名
线面平行
的判定
面面平行
的判定
线面平行
的性质
面面平行
的性质
线面垂直
的判定
面面垂直
的判定
线面垂直
的性质
面面垂直
的性质
语言描述

图形文字

符号描述

备注








☆相关题型☆
第一部分：由线线平行证线面平行与通过线面平行证面面平行（利用判定定理）
强调：三种平行关系之间的相互转化（手补上序号与符号）

线线平行 线面平行 面面平行

例1：（课本
P
55
例1）
练习1：如图所示：两个全等的下方形ABCD和ABEF所在的平面相交于AB，
MAC,NFB
且
AMFN
，过M作
MHAB
于H.
求证：（1）< br>MN
平面BCE。（2）平面MNH∥平面BCE（放到面面平行后再做）



练习2如图所示：四边形ABCD为平行四边形，
ACB90
0
，EF

AB，FG

BC，EG

AC，
AB＝2E F，若M是线段AD的中点，求证（1）：GM

平面 ABFE。 （2）
若AC=BC=2AE=2，求
二面角A-BF- C的余弦值（学习二面角后再做）


作业1：如图：P是平行四边行ABCD所在平 面外一点，E，F分别是AB，PD的中点，求证：
AF
平面PEC。

归纳：证明直线与平面平行的两类常用方法：
（1） 判定定理：通过线线平行线面平行，关 键是找到与平面内平行的直线，通常利用四
边形（三角形的中位线）平行定理，等比例线段来找。

（2） 若两个平面平行则平面内的任意一条直线与另一平面平行。（



,a

a

）
例2：如图长方体ABC D—
A
1
B
1
C
1
D
1
中（1） 与AB平行的平面是：（2）与
AA
1
平行的平面是：
（3）与AB、
AA
1
同时平行的平面是：

例3：（课本
P
57
例2）

例4：如图在正方体ABC D—
A
1
B
1
C
1
D
1
中，S是
B
1
D
1
的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的
中 点，求证：（1）：直线EG

平面
BDD
1
B
1
； （2）：平面EFG

平面
BDD
1
B
1
。

练习3:如图：在正方体ABCD—
A
1
B
1
C
1
D
1
中，E、F、G分别是AB、AD、
C
1
D
1
的中点，求证：
平面
D
1
EF
平面BDG


作业2：如图在正方体ABCD—
A
1
B
1< br>C
1
D
1
中，O为底面ABCD的中心，P是
DD
1
的中点，设Q
是
CC
1
上的点，问：当Q在什么位置时，平面
D
1
BQ
平面PAO？

归纳：两个线面平行得一个面面平行（
a

,b

,a

,b

,abO



）
例5： 如图所示：E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且EH

FG，
求证：EH

BD。


练习4：如图，正方体AB CD—
A
1
B
1
C
1
D
1
中，A B＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若
EF

平面
AB
1
C
，则线段EF的长度为多少？




作业3：如图：四边形ABCD是平行四边形，点P是平面 ABCD外一点，M是PC的中点，在
DM上取一点G，过G和AP作一平面交平面BDM于GH，求证 ：AP

GH。

例6：如图，平面四边形ABC D的四个顶点A、B、C、D均在平行四边形
A
'
B
'
C
'
D
'
所确定一
个平面

之外，且
AA
'< br>,BB
'
,CC
'
,DD
'
互相平行，求证：四边形 ABCD是平行四边形。


练习5：如图：已知ABCD—
A
1
B
1
C
1
D
1
是棱长为3的正方体，点E在
AA
1
上，点F在
CC
1
上，
G在
BB
1
上，且
AEFC
1
B
1
G1
，H是
B
1
C
1
的中点。
求证：（1）E、B、F、D四点共面 （2）平面
A
1
GH

平面
BED
1
F

作业4：如图：已知



，点P是
,

外的一点（不在

、

之间），直线PB、PD分 别
与

、

相交于A、B和C、D。
求证：（1）ACBD （2）：已知PA＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的长。

例7：如图，平面


平面

，A B、CD是两异面直线，且A、C


；B、D


，M、 N分
别在线段AB、CD上，且
AMCN
。求证：
MN



MBND

.
练习6：如图：
AB

,ACBD,c

,D

求证：AC＝BD

练习7 ：如图：
a,b
是异面直线，
a

,a

,b

,b

，求证：




作业5：如图所示：P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点，
平 面PAD

平面PBC＝
l
。求证：（1）BC
l
（2）MN

平面PAD

综合性题目：
一、在直 三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中E、F分别是A
1
C
1
和BC的中点。（1）求证：EF

平面
AA
1
B
1
B

（2）若
AA
1
3,AB23
求直线EF与平面ABC所成的角。（上完2线面角再做）


二、如图：三棱锥A－BCD中，M、N、G分别是

ABC、

BCD、

ABD的重心。
（1）求证：平面MNG

平面ACD （2）：求
S
MNG
:S
ACD


三、已知
ABC,ACB90
0
,D,E
分别为AC，AB的中点，沿DE将< br>ADE
掀起，使A到
A
'
的
'
位置，M是
A
'
B
的中点，求证：ME平面
ACD
。

四、如图所示，
ABCA
1
B
1
C
1
中，平面ABC平面
A
1
B
1
C
1
，若D是棱
CC
1
的中点。在棱AB
上是否存在一点E，使DE平面
AB
1
C
1
？证明你的结论。

第二部分：由线线垂直证线面垂直与通过线面垂直证面面垂直（利用判定定理）
强调：三种垂直关系之间的相互转化（手补上序号与符号）
面面平行 线线平行


线线垂直 线面垂直 面面垂直


补充：（1）：射影；
图形语言：

（2）三垂线定理：；逆定理：
图形语言：

符号语言：
（3）射影定理：
图形语言：

符号语言：
例1：（课本
P
65
例1）
练习1：下列命题中，正确的序号是
（1）：若直线L与平面

内的一条直线垂直，则L


。
（2）：若直线L不垂直于平面

；则

内没有与L垂直的直线。
（3）：若直线L不垂直于平面

；则

内可以有无数条直线与L垂 直。
（4）：若平面

内有一条直线与直线L不垂直，则直线L与平面
< br>不垂直。
作业1：如图所示：在三棱柱
ABCA
1
B
1< br>C
1
中，侧棱
AA
1

底面ABC，AB＝AC＝1 ，
AA
1
2,B
1
A
1
C
1
90
0
，D为
BB
1
的中点，求证：
AD
平面
A
1
DC
1
。

归纳：证明线面垂直的方法（练习册
P
45
）


例2：（课本
P
69
例3）
练习2：如图所示：已知
B SC90
0
，
BSACSA60
0
，又SA＝SB＝SC 。
求证：平面ABC

平面SBC

练习3：如图，P是四边形 ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是
DAB60
0
，且边长
为
a
的菱形，
PAD
为正三角形，其所在平面垂直于平面ABCD，若G为A D边的中点，求
证：平面PBG

平面PAD。

作业2：如图：ABCD是菱形，
PA
平面ABCD，PA＝AD＝2，
BAD 60
0
。
求证：（1）平面PBD

平面PAC

例3：（课本
P
65
例1）
练习4：如图，在正方形
AB CDA
1
B
1
C
1
D
1
中，M、N分别 是AB、
A
1
C
的中点。
求证：
MN
平面
A
1
DC


练习5：如图所示：在三棱锥
PABC
中，
PA
平面ABC，平面PAC

平面PBC；求证：
BC

AC。
B

练习6：如图，垂足分别是A、B，
a

,a AB
。求证：
al
。



l
，PA

,PB

，
a

第三部分：线面角及二面角及其大小的计算问题：
例4：如图所示：在四棱锥
PA BCD
中，底面ABCD是矩形，且
PA
平面ABCD，PA＝5，
AB＝ 4，AD＝3，求直线PC与平面ABCD所成的角。

例5：四边形ABCD是正方形，
PA
平面ABCD，且PA＝AB。
（1）：求二面角A－PD－C平面角的度数。 （2）求二面角B－PA－D平面角的度数。

练习7：从空间一点P向二面角

l

的两个面
,

分别作垂线PE、PF，E、F为垂足，
若
EPF6 0
0
，则二面角的平面角大小为：




作业 3：如图所示：P是二面角

AB

的棱AB上一点，分别在

,

上引射线PM，PN，

截PM＝PN，且
BP MBPN45
0
,MPN60
0
，求二面角

 AB

的大小。

作业4：如图
ABC
是等腰直角三 角形，
BAC90
0
，AB＝AC＝1，将
ABC
沿斜边BC 上
的高AD折叠，使平面ABD

平面ACD，则折叠后的BC＝


补充说明:点到面的距离
线到面的距离
例6：如图，已知正方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为
a
。
（1）：求证：
BD
1

平面
B
1
AC
。 （2）求B到平面
B
1
AC
的距离。


练习8 ：在平面四边形ABCD中，已知AB＝BC＝CD＝
a
，
ABC90
0
,BCD135
0
，沿AC
将四边形折成直二面角
BACD
。
（1）：求证：平面ABC

平面BCD。（2）：求：平面ABD与平 面ACD所成的角的度数。

练习9：如图：把等腰直角三角形
< br>ABC沿斜边旋转至

ABD的位置，使得CD＝AC。
求证：（1）平面ABD

平面ABC； （2）求二面角C－BD－A的余弦值。

作业5：如图：边长为2的等边三角形

PCD所在的平面垂直于矩形AB CD所在的平面，
BC22,M
为BC的中点。
（1）求证：
AMPM
（2）求三面角P－AM－D的大小

课 外练习：1：如图：已知点P为平面ABC外一点，
PABC,PCAB,
求证：
PBAC
。