线面垂直的判定定理
挥金如土-爱国主义教育资料
教案
课题：直线与平面垂直的判定（一）
【
教学目标】
知识与技能目标：通过本节课的学习，使学生理解直线与平面垂直的定义和判定定
理，并能对它们进行简
单的应用；
过程与方法目标：通过对定义的总结和对判定定理的探究，不断提高学生的抽象概
括和逻辑思维能力；
【
教学重点】直线与平面垂直的定义、判定定理以及它们的初步应用．
【
教学难点】对直线与平面垂直的定义的理解和对判定定理的探究．
【教学过程】
一、直线与平面垂直定义的构建
1、联系生活、创设情境 复习了直线与平面的三种位置关
系后，思考其中旗杆与地面、
竖直的墙角线与地面、大桥的桥柱与水面之间的位置关系、大漠孤烟直属于
这三种情况
中的那一种，它们还给我们留下了什么印象？从而提出问题：什么是直线与平面垂直？ <
br>引导学生观察旗杆和它在地面上影子的位置关系，使其发现：旗杆所在直线
l
与地面所在平面
内
经过点B的直线都是垂直的．进而提出问题：那么直线
l<
br>与平面
内
不经过
点B的直线垂直吗？
3、总结定义——形成概念 由学生总结出直线与平面垂直的定义，即如果直线
l
与
平面
内的任意一条直线都垂直，我们就说直线
l
与平面
互相垂直．引导学生用符号语言将
它表示出来．然后提出问题：如果将定义中的“任意一条直线”改成“
无数条直线”，结
论还成立吗？
设计意图：在具体的情境中，通过思考和操作，体会和感知直
线与平面垂直的定义，
进而提炼出线面垂直的定义。
二、直线与平面垂直判定定理的构建
1、类比猜想——提出问题 根据线面平行的判定定理进行类比，通过不断的猜想和分
析，最
终提出问题：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与
此平面垂直吗？
设计意图：不少老师都在本环节中进行了一些有益的尝试，但考虑到学生的认知水
平，我仍然决定采用
类比猜想的方法，从学生已有的知识出发，进行分析．
2、动手试验——验证猜想
问题一、给你一本书，通过适当的摆放，你能得到与桌面垂直的直线吗
1
教案
设计意图：归纳线面垂直的必要条件
问题二：过△ABC的顶
点A翻折纸片，得到折痕AD，再将翻折后的纸片竖起放置在桌
面上（BD、DC与桌面接触）．
同学们看，此时的折痕AD与桌面垂直吗？
又问：为什么说此时的折痕AD与桌面不垂直？
A
B
D
C
D
C
A
B
设计意图：归纳只要直线与平
面内有一条直线不垂直，那么直线
l
就与平面
不垂直．
问题三：
通过试验，你能得到什么结论？在回答此问题时大部分学生都会直接给出
结论：如果一条直线与一个平面
内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．此
时注意引导学生观察，直线AD还经过BD、CD
的交点．请他们思考在增加了这个条件
后，试验的结论更准确的说应该是什么？
A
l
B
D
C
m
A
n
又问：如果直线
l
与平面
内的两条相交直线<
br>m
、
n
都垂直，但不经过它们的交点，
那么直线
l
还与平面
垂直吗？
设计意图：提高学生抽象概括的能力，同时也培养他们严谨细致的作风．
3、提炼定理——形成概念 给出线面垂直的判定定理，请学生用符号语言把这个定理
表示出
来，并由此向学生指明，判定定理的实质就是通过
线线垂直来证明线面垂直，它体现了降维这种重要的数
学
思想．
判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都
垂直，则该直线与此平面垂直．
2
l
m
A
n
教案
符号语言：
lm
，
ln
，
m
<
br>，
n
，
mnA
l
．
a
b
三、初步应用——深化认识
1、例题剖析：
例1
已知：
ab
，
a
．求证：
b
．
设计意图：不仅让学生学会使用判定定理，而且要让
他们掌握分析此类问题的方法和步骤． <
br>
m
n
本题也可以使用直线与平面垂直的定义来证明，这可以让学生在课下完成
．
另外，例1向我们透露了一个非常重要的信息，这里可以请学生用文字语言将例1
表示出来
——如果两条平行线中的一条直线与一个平面垂直，那么另外一条直线也与此
平面垂直．
例2、在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中
（1）
求证：BC
1
面A
1
B
1
CD
（2）
求证：A C
1
面A
1
BD
练习1
求证在正三棱锥中，对棱互相垂直。
设计意图：利用等腰，寻找掩藏的线线垂直
练习2
如图，PA垂直圆O所在平面，AC是圆O的直径，B是圆周上一点，问三
棱锥P-
ABC中有几个直角三角形?
设计意图：通过练习1和练习2培养学生熟练地进行线线垂直和线
面垂直之间的转
化，从而使他们能够对定义和判定定理进行灵活应用．
四、总结回顾——提升认识
线面垂直的定义
线
线
垂
直
线面垂直的判定定理
线
面
垂
直
如果两条平行线中的一条直线与一个平面垂
直，那么另外一条直线也与此平面垂直．
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