刘传健-志愿者招募

一、直线、平面平行的判定及其性质

知识点一、直线与平面平行的判定

ⅰ.直线和平面的位置关系（一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种）
位置关系
公共点
符号表示


图形表示

注：直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外
直线在平面内
有无数个公共点
a⊂α
直线与平面相交
有且只有一个公共点
a∩α=A
直线与平面平行
没有公共点
a
||
α



ⅱ.思考：
如图，设直线b在平面α内，直线a在平面α外， 猜想在什么条件下直线a与平面α平
行.（a||b）

直线与平面平行的判断

判 定
文字描述 直线和平面在空间平面永无交点，则平面外的一条直线一次平面内的一条直线
直线和平面平行（定义） 平行，则该直线与此平面平行


图形



条件


a与α无交点

结论


a∥α b∥α
线线平行，则线面平行（线与面的平行问题一定要排除现在直线内的情况）

※判定定理的证明

知识点二、直线与平面平行的性质
性质
一条直线与一个平面平行，
一条直线和一个平面平行，则
文字描述 则这条直线与该平面无交点
过这条直线的任一平面与此平
面相交，这条直线和交线平行．

图形

条件
结论
线面平行，则线线平行

特别提示


a∥α
a∩α＝∅
a∥αa⊂βα∩β＝b
a∥b
证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：① 利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”
平行，证得“线面”平行；②利用两平面平行的性质定理 ，通过“面面”平行，证得“线面”平行.


知识点三、平面与平面平行的判定
判定
文字描述 如果两个平面无公共一个平面内有两条相如果两个平面同时垂直于
点，责成这两个平面平交直线与另一个平面一条直线，那么这两个平
行 平行，那么这两个平面面垂直。
平行．

图形



条件 a
，
b⊂β
a∩b＝P
a∥α
b∥α
l
⊥α
l
⊥β

α∩β＝
∅
结论





α∥β α∥β α∥β

知识点四、平面与平面平行的性质
性质
文字描述 如果两个平行 平面同时和第如果两个平面平行，那么其
三平面相交，那么他们的交中一个平面内的直线平行于
线平行 另一个平面
图形

条件 α∥β
β∩γ＝b
α∩γ＝a
a∥b
α∥β
a⊂β

a∥α

结论

二、直线、平面垂直的判定及其性质
知识点一、直线和平面垂直的定义与判定

定义 判定
语言描述
如果直线l和平面α内的任意一条直线都一条直线与一个平面内的两条相交直线都
垂直，我们就说直线 l与平面互相垂直，
垂直，则这条直线与该平面垂直.

记作l⊥α

图形

b为平面α内的任一直线，而l对这
l
⊥
m，
l
⊥
n
，
m
∩
n
＝B，
m


，
n



一直线总有l
⊥
α
l
⊥


l
⊥


结论
要点诠释：定义中“平面内的任意一条直线 ”就是指“平面内的所有直线”，这与“无
数条直线”不同（线线垂直线面垂直）
条件

知识点二、直线和平面垂直的性质

语言描述
图形
性质
一条直线垂直于一个平面，那么这条直线
垂直于这个平面内的所有直线

垂直于同一个平面的两条直线平行.


条件

结论

知识点三、二面角




Ⅰ.二面角：：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle）. 这条直线叫做二
面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角

－AB－

. （简记
P－AB－Q
）
二面角的平面角的三个特征:ⅰ.点在棱上
ⅱ.线在面内
ⅲ.与棱垂直

Ⅱ.二面角的平面角：在二面角

－l－

的棱
l
上任取一点
O
，以点
O
为垂足，在半平面

,< br>
内分别
作垂直于棱
l
的射线
OA
和
OB< br>，则射线
OA
和
OB
构成的
AOB
叫做二面角的平 面角.
作用：衡量二面角的大小；范围：
0

180
.
00

知识点四、平面和平面垂直的定义和判定
定义 判定
文字描述
两个平 面相交，如果它们所成的二面角是一个平面过另一个平面的垂线，则这两个
直二面角，就说这两个平面垂 直.

平面垂直

图形

结果 α∩β=l α-l-β=90
o
α⊥β



（垂直问题中要注意题目中的文字表述，特别是
“任何”“ 随意”“无数”等字眼
）


知识点五、平面和平面垂直的性质
面面垂直 线面垂直（如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与
一个面平垂直）

例题
1.如图，若

是长方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
被平面EFGH截去几何体EFGHB
1
C
1
后得到的几何
体，其中E为线段A
1
B
1
上 异于B
1
的点，F为线段BB
1
上异于B
1
的点，且EH∥ A
1
D
1
，
则下列结论中不正确的是
A. EH∥FG B.四边形EFGH是矩形 C.

是棱柱 D.

是棱台

2能保证直线a与平面α平行的条件是（ A ）
A.a

α,b

α,a∥b B .b

α,a∥b
C. b

α,c∥α,a∥b,a∥c
D. b

α,A∈a,B∈a,C∈b ,D∈b且AC＝BD

3下列命题正确的是（ D F ）
A. 平行于同一平面的两条直线平行
B. 若直线a∥α,则平面α内有且仅有一条直线与a平行
C. 若直线a∥α,则平面α内任一条直线都与a平行
D. 若直线a∥α,则平面α内有无数条直线与a平行
E. 如果a、b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面
F. 如果直线a、b和平面α满足a∥b，a∥α,b

α，那么b∥α

4在空间，下列命题正确的是
（A）平行直线的平行投影重合
（B）平行于同一直线的两个平面平行
（C）垂直于同一平面的两个平面平行

（D）垂直于同一平面的两条直线平行
5已知m、n为两条不同的直线，a、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是
A．m

,n

,
m∥β，n∥β

a∥β
B．a∥β，
m

,n


m∥n
C．m⊥a,m⊥n

n∥a
D．n∥m,n⊥a

m⊥a
6.下列命题中错误的是
（A）如 果平面

⊥平面

，那么平面

内一定直线平行于平面

（B）如果平面

垂直于平面

，那么平面

内一定不存在直线垂直于平面


（C）如果平面

⊥ 平面

，平面

⊥平面

，



l
，那么
l
⊥平面


（D）如果平面

⊥平面

，那么平面

内所有直线都垂直于平面



8.求证：空间四边形相邻两边中点的连线，平行于经过另外两边的平面．
已知：空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点
求证：EF
‖
平面BCD

8题图 9题图


9.如图，在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形，
且∠DAB=60 ， ,PB=2,
E,F分别是BC,PC的中点.
(1) 证明：AD ⊥ 平面DEF;
(2) 求二面角P-AD-B的余弦值.

课堂练习
A组



3. m、n是空间两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下面四个命题中，真命题的序号是________．
①m⊥α，n∥β，α∥β⇒m⊥n；
②m⊥n，α∥β，m⊥α⇒n∥β；
③m⊥n，α∥β，m∥α⇒n⊥β；
④m⊥α，m∥n，α∥β⇒n⊥β.
< br>4.如图，在直四棱柱ABCD-A
1
B
1
C
1
D< br>1
中，底面ABCD为等腰梯形，ABCD，AB=4, BC=CD=2, AA
1
=2,
E、E
1
、F分别是棱AD、AA
1
、AB的中点。
（1） 证明：直线EE
1
平面FCC
1
；
D
1
C
1
B
1
D
E
F
C
B

A
1
E
1
A

5. 在长方体ABCD—A1B1C1D1中.
（1）作出过直线AC且与直线BD1平行的截面，并说明理由.
（2）设E、F分别是A1B和B1C的中点，求证直线EF平面ABCD.

6. 在图中所示的一块木料中，棱BC平行于平面A’C’ ．
（1）要经过平面
A



C


内的一点P 和棱BC将木料据开，应怎样画线？

（2）所画的线和平面AC 是什么位置关系？

一、直线、平面平行的判定及其性质

知识点一、直线与平面平行的判定

ⅰ.直线和平面的位置关系（一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种）
位置关系
公共点
符号表示


图形表示

注：直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外
直线在平面内
有无数个公共点
a⊂α
直线与平面相交
有且只有一个公共点
a∩α=A
直线与平面平行
没有公共点
a
||
α



ⅱ.思考：
如图，设直线b在平面α内，直线a在平面α外， 猜想在什么条件下直线a与平面α平
行.（a||b）

直线与平面平行的判断

判 定
文字描述 直线和平面在空间平面永无交点，则平面外的一条直线一次平面内的一条直线
直线和平面平行（定义） 平行，则该直线与此平面平行


图形



条件


a与α无交点

结论


a∥α b∥α
线线平行，则线面平行（线与面的平行问题一定要排除现在直线内的情况）

※判定定理的证明

知识点二、直线与平面平行的性质
性质
一条直线与一个平面平行，
一条直线和一个平面平行，则
文字描述 则这条直线与该平面无交点
过这条直线的任一平面与此平
面相交，这条直线和交线平行．

图形

条件
结论
线面平行，则线线平行

特别提示


a∥α
a∩α＝∅
a∥αa⊂βα∩β＝b
a∥b
证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：① 利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”
平行，证得“线面”平行；②利用两平面平行的性质定理 ，通过“面面”平行，证得“线面”平行.


知识点三、平面与平面平行的判定
判定
文字描述 如果两个平面无公共一个平面内有两条相如果两个平面同时垂直于
点，责成这两个平面平交直线与另一个平面一条直线，那么这两个平
行 平行，那么这两个平面面垂直。
平行．

图形



条件 a
，
b⊂β
a∩b＝P
a∥α
b∥α
l
⊥α
l
⊥β

α∩β＝
∅
结论





α∥β α∥β α∥β

知识点四、平面与平面平行的性质
性质
文字描述 如果两个平行 平面同时和第如果两个平面平行，那么其
三平面相交，那么他们的交中一个平面内的直线平行于
线平行 另一个平面
图形

条件 α∥β
β∩γ＝b
α∩γ＝a
a∥b
α∥β
a⊂β

a∥α

结论

二、直线、平面垂直的判定及其性质
知识点一、直线和平面垂直的定义与判定

定义 判定
语言描述
如果直线l和平面α内的任意一条直线都一条直线与一个平面内的两条相交直线都
垂直，我们就说直线 l与平面互相垂直，
垂直，则这条直线与该平面垂直.

记作l⊥α

图形

b为平面α内的任一直线，而l对这
l
⊥
m，
l
⊥
n
，
m
∩
n
＝B，
m


，
n



一直线总有l
⊥
α
l
⊥


l
⊥


结论
要点诠释：定义中“平面内的任意一条直线 ”就是指“平面内的所有直线”，这与“无
数条直线”不同（线线垂直线面垂直）
条件

知识点二、直线和平面垂直的性质

语言描述
图形
性质
一条直线垂直于一个平面，那么这条直线
垂直于这个平面内的所有直线

垂直于同一个平面的两条直线平行.


条件

结论

知识点三、二面角




Ⅰ.二面角：：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle）. 这条直线叫做二
面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角

－AB－

. （简记
P－AB－Q
）
二面角的平面角的三个特征:ⅰ.点在棱上
ⅱ.线在面内
ⅲ.与棱垂直

Ⅱ.二面角的平面角：在二面角

－l－

的棱
l
上任取一点
O
，以点
O
为垂足，在半平面

,< br>
内分别
作垂直于棱
l
的射线
OA
和
OB< br>，则射线
OA
和
OB
构成的
AOB
叫做二面角的平 面角.
作用：衡量二面角的大小；范围：
0

180
.
00

知识点四、平面和平面垂直的定义和判定
定义 判定
文字描述
两个平 面相交，如果它们所成的二面角是一个平面过另一个平面的垂线，则这两个
直二面角，就说这两个平面垂 直.

平面垂直

图形

结果 α∩β=l α-l-β=90
o
α⊥β



（垂直问题中要注意题目中的文字表述，特别是
“任何”“ 随意”“无数”等字眼
）


知识点五、平面和平面垂直的性质
面面垂直 线面垂直（如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与
一个面平垂直）

例题
1.如图，若

是长方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
被平面EFGH截去几何体EFGHB
1
C
1
后得到的几何
体，其中E为线段A
1
B
1
上 异于B
1
的点，F为线段BB
1
上异于B
1
的点，且EH∥ A
1
D
1
，
则下列结论中不正确的是
A. EH∥FG B.四边形EFGH是矩形 C.

是棱柱 D.

是棱台

2能保证直线a与平面α平行的条件是（ A ）
A.a

α,b

α,a∥b B .b

α,a∥b
C. b

α,c∥α,a∥b,a∥c
D. b

α,A∈a,B∈a,C∈b ,D∈b且AC＝BD

3下列命题正确的是（ D F ）
A. 平行于同一平面的两条直线平行
B. 若直线a∥α,则平面α内有且仅有一条直线与a平行
C. 若直线a∥α,则平面α内任一条直线都与a平行
D. 若直线a∥α,则平面α内有无数条直线与a平行
E. 如果a、b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面
F. 如果直线a、b和平面α满足a∥b，a∥α,b

α，那么b∥α

4在空间，下列命题正确的是
（A）平行直线的平行投影重合
（B）平行于同一直线的两个平面平行
（C）垂直于同一平面的两个平面平行

（D）垂直于同一平面的两条直线平行
5已知m、n为两条不同的直线，a、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是
A．m

,n

,
m∥β，n∥β

a∥β
B．a∥β，
m

,n


m∥n
C．m⊥a,m⊥n

n∥a
D．n∥m,n⊥a

m⊥a
6.下列命题中错误的是
（A）如 果平面

⊥平面

，那么平面

内一定直线平行于平面

（B）如果平面

垂直于平面

，那么平面

内一定不存在直线垂直于平面


（C）如果平面

⊥ 平面

，平面

⊥平面

，



l
，那么
l
⊥平面


（D）如果平面

⊥平面

，那么平面

内所有直线都垂直于平面



8.求证：空间四边形相邻两边中点的连线，平行于经过另外两边的平面．
已知：空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点
求证：EF
‖
平面BCD

8题图 9题图


9.如图，在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形，
且∠DAB=60 ， ,PB=2,
E,F分别是BC,PC的中点.
(1) 证明：AD ⊥ 平面DEF;
(2) 求二面角P-AD-B的余弦值.

课堂练习
A组



3. m、n是空间两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下面四个命题中，真命题的序号是________．
①m⊥α，n∥β，α∥β⇒m⊥n；
②m⊥n，α∥β，m⊥α⇒n∥β；
③m⊥n，α∥β，m∥α⇒n⊥β；
④m⊥α，m∥n，α∥β⇒n⊥β.
< br>4.如图，在直四棱柱ABCD-A
1
B
1
C
1
D< br>1
中，底面ABCD为等腰梯形，ABCD，AB=4, BC=CD=2, AA
1
=2,
E、E
1
、F分别是棱AD、AA
1
、AB的中点。
（1） 证明：直线EE
1
平面FCC
1
；
D
1
C
1
B
1
D
E
F
C
B

A
1
E
1
A

5. 在长方体ABCD—A1B1C1D1中.
（1）作出过直线AC且与直线BD1平行的截面，并说明理由.
（2）设E、F分别是A1B和B1C的中点，求证直线EF平面ABCD.

6. 在图中所示的一块木料中，棱BC平行于平面A’C’ ．
（1）要经过平面
A



C


内的一点P 和棱BC将木料据开，应怎样画线？

（2）所画的线和平面AC 是什么位置关系？