计算机考试答案-航行通告

《直线与平面垂直的判定》
选自人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学》必修2第二章第三节
一、教学目标
1.知识与技能目标
(1).掌握直线与平面垂直的定义
(2).理解并掌握直线与平面垂直的判定定理
(3).会判断一条直线与一个平面是否垂直
(4).培养学生的空间想象能力和对新知识的探索能力
2.过程与方法目标
(1).加强学生空间与平面之间的转化意识，训练学生的思维灵活性
(2).要善于应用平移手法将分散的条件集中到某一个图形中进行研究，特别是辅助
线的添加
3.情感态度价值观目标
(1).培养学生的探索精神
(2).加强学生对数学的学习兴趣
二、重点难点
1.教学重点：
直线与平面垂直的定义及其判定定理
2.教学难点：
直线与平面垂直判定定理的理解
三、课时安排
本课共安排一课时
四、教学用具
多媒体、三角形纸片、三角板或直尺
五、教学过程设计
1.创设情境

问题1：空间一条直线和一个平面有哪几种位置关系？
设计意图：此问基于学生已有的数学现 实，通过对已学相关知识的追忆，寻找新知识学
习的“固着点”。
问题2：列举在日常生活中你见到的可以抽象成直线与平面相交的事例？ 寻找特殊的
事例并引入课题。

设计意图：此问基于学生的客观现实，通过对生 活事例的观察，让学生直观感知直线与
平面相交中一种特例：直线与平面垂直的初步形象，激起进一步探 究直线与平面垂直的意义。
2.提炼定义

问题3：结合对下列问题的思考，试着给出直线和平面垂直的定义．
(1)阳光下，旗杆AB与它在地面上的影子BC所成的角度是多少？
(2)随着太阳的移动 ,影子BC的位置也会移动,而旗杆AB与影子BC所成的角度是否会发
生改变?
(3)旗杆 AB与地面上任意一条不过点B的直线B
1
C
1
的位置关系如何?依据是什么 ？
设计意图：第（1）与（2）两问旨在让学生发现旗杆AB所在直线始终与地面上任意一
条 过点B的直线垂直，第（3）问进一步让学生发现旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条
不过点B的直 线也垂直，在这里，主要引导学生通过观察直立于地面的旗杆与它在地面的影
子的位置关系来分析、归纳 直线与平面垂直这一概念。
（学生叙写定义，并建立文字、图形、符号这三种语言的相互转化） 思考：（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个
平面垂直？
（2）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？
（对 问（1），在学生回答的基础上用直角三角板在黑板上直观演示；对问（2）可引导
学生给出符号语言表 述：若 ，则 )
设计意图：通过对问题（1）的辨析讨论，深化 直线与平面垂直的概念。通过对问题（2）
的辨析讨论旨在让学生掌握线线垂直的一种判定方法。 通常定义可以作为判定依据，但由于利用直线与平面垂直的定义直接判定直线与平面垂
直需要考察平 面内的每一条直线与已知直线是否垂直，这给我们的判定带来困难，因为我们
无法去一一检验。这就有必 要去寻找比定义法更简捷、可行的直线与平面垂直的判定方法。
3.探究新知

创设情境 猜想定理：某公司要安装一根8米高的旗杆，两位工人先从旗杆的顶点挂
两条长1 0米的绳子，然后拉紧绳子并把绳子的下端放在地面上两点（和旗杆脚不在同一直
线上）。如果这两点都 和旗杆脚距离6米，那么表明旗杆就和地面垂直了，你知道这是为什
么吗？
设计意图：引导学生根据直观感知以及已有经验，进行合情推理，猜想判定定理。

师生活动：（折纸试验）请同学们拿出一块三角形纸片，我们一起做一个试验：过三角
形的顶点A翻 折纸片，得到折痕AD（如图1），将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC
与桌面接触）

问题4：（1）折痕AD与桌面垂直吗？
（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？
（组织学生动手操作、探究、确认） < br>设计意图：通过折纸让学生发现当且仅当折痕AD是BC边上的高时，且B、D、C不在同
一直线 上的翻折之后竖起的折痕AD才不偏不倚地站立着，即AD与桌面垂直（如图2），其
它位置都不能使A D与桌面垂直。
问题5：在你翻折纸片的过程中，纸片的形状发生了变化，这是变的一面，那么不 变的
一面是什么呢？（可从线与线的关系考虑）如果我们把折痕抽象为直线 ，把BD、CD抽象
为直线
m，n
，把桌面抽象为平面
件是什么？
(如图3)，那么你认为保证直线与平面垂直的条

对于两条相交直线必须在平面内 这一点，教师可引导学生操作：将纸片绕直线AD（点D
始终在桌面内）转动，使得直线CD、BD不在 桌面所在平面内。问：直线AD现在还垂直于桌
面所在平面吗？（此处引导学生认识到直线CD、BD都 必须是平面内的直线）

设计意图：通过操作让学生认识到两条相交直线必须在平面内， 从而更凸现出直线与平
面垂直判定定理的核心词：平面内两条相交直线。
问题6：如果将图3中的两条相交直线、的位置改变一下，仍保证
吗？ ，（如图4）你认为直线还垂 直于平面
设计意图：让学生明白要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内
能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这
是无关紧要的 。
根据试验，请你给出直线与平面垂直的判定方法。
（学生叙写判定定理，给出文字、图形、符号这三种语言的相互转化）
问题7：（1）与直线与平面垂直的定义相比,你觉得这个判定定理的优越性体现在哪里?
（2）你觉得定义与判定定理的共同点是什么?
设计意图：通过和直线与平面垂直定 义的比较，让学生体会“无限转化为有限”的数学
思想，通过寻找定义与判定定理的共同点，感悟和体会 “空间问题转化为平面问题”、“线
面垂直转化为线线垂直”的数学思想.
思考：现在， 你知道两位工人是根据什么原理安装旗杆的吗？为什么要求绳子在地面上
两点和旗杆脚不在同一直线上？
如果安装完了，请你去检验旗杆与地面是否垂直，你有什么好方法？
设计意图：用学到手的知识解释实际生活中的问题，增强学生用数学的意识，同时
通过提出 “为什么要 求绳子在地面上两点和旗杆脚不在同一直线上？”（对该问题可引导
学生用三角形纸片来验证），从而来 深化对直线与平面垂直判定定理的理解。
4.练习提高

如图5，在长方体AB CD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，请列举与平 面ABCD垂直的直线。并说明这些直线
有怎样的位置关系？

思考：如图6，已知，则吗？请说明理由。
（分别用直线与平面垂直的判定定 理、直线与平面垂直的定义证明；并让学生用语言叙
述：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面 ，那么另一条直线也垂直于这个平面）
设计意图：这个例题给出了判断直线和平面垂直的一个常用的命 题，这个命题体现了平
行关系与垂直关系之间的联系。
5.小结回授

（1）本节课你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？试用自己理解的语言叙述。
（2）直线与平面垂直的判定定理中体现了哪些数学思想方法？
设计意图：以问题讨论的方式 进行小结，培养学生反思的习惯，鼓励学生运用自己理解
的语言对问题进行质疑和概括。

《直线与平面垂直的判定》
选自人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学》必修2第二章第三节
一、教学目标
1.知识与技能目标
(1).掌握直线与平面垂直的定义
(2).理解并掌握直线与平面垂直的判定定理
(3).会判断一条直线与一个平面是否垂直
(4).培养学生的空间想象能力和对新知识的探索能力
2.过程与方法目标
(1).加强学生空间与平面之间的转化意识，训练学生的思维灵活性
(2).要善于应用平移手法将分散的条件集中到某一个图形中进行研究，特别是辅助
线的添加
3.情感态度价值观目标
(1).培养学生的探索精神
(2).加强学生对数学的学习兴趣
二、重点难点
1.教学重点：
直线与平面垂直的定义及其判定定理
2.教学难点：
直线与平面垂直判定定理的理解
三、课时安排
本课共安排一课时
四、教学用具
多媒体、三角形纸片、三角板或直尺
五、教学过程设计
1.创设情境

问题1：空间一条直线和一个平面有哪几种位置关系？
设计意图：此问基于学生已有的数学现 实，通过对已学相关知识的追忆，寻找新知识学
习的“固着点”。
问题2：列举在日常生活中你见到的可以抽象成直线与平面相交的事例？ 寻找特殊的
事例并引入课题。

设计意图：此问基于学生的客观现实，通过对生 活事例的观察，让学生直观感知直线与
平面相交中一种特例：直线与平面垂直的初步形象，激起进一步探 究直线与平面垂直的意义。
2.提炼定义

问题3：结合对下列问题的思考，试着给出直线和平面垂直的定义．
(1)阳光下，旗杆AB与它在地面上的影子BC所成的角度是多少？
(2)随着太阳的移动 ,影子BC的位置也会移动,而旗杆AB与影子BC所成的角度是否会发
生改变?
(3)旗杆 AB与地面上任意一条不过点B的直线B
1
C
1
的位置关系如何?依据是什么 ？
设计意图：第（1）与（2）两问旨在让学生发现旗杆AB所在直线始终与地面上任意一
条 过点B的直线垂直，第（3）问进一步让学生发现旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条
不过点B的直 线也垂直，在这里，主要引导学生通过观察直立于地面的旗杆与它在地面的影
子的位置关系来分析、归纳 直线与平面垂直这一概念。
（学生叙写定义，并建立文字、图形、符号这三种语言的相互转化） 思考：（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个
平面垂直？
（2）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？
（对 问（1），在学生回答的基础上用直角三角板在黑板上直观演示；对问（2）可引导
学生给出符号语言表 述：若 ，则 )
设计意图：通过对问题（1）的辨析讨论，深化 直线与平面垂直的概念。通过对问题（2）
的辨析讨论旨在让学生掌握线线垂直的一种判定方法。 通常定义可以作为判定依据，但由于利用直线与平面垂直的定义直接判定直线与平面垂
直需要考察平 面内的每一条直线与已知直线是否垂直，这给我们的判定带来困难，因为我们
无法去一一检验。这就有必 要去寻找比定义法更简捷、可行的直线与平面垂直的判定方法。
3.探究新知

创设情境 猜想定理：某公司要安装一根8米高的旗杆，两位工人先从旗杆的顶点挂
两条长1 0米的绳子，然后拉紧绳子并把绳子的下端放在地面上两点（和旗杆脚不在同一直
线上）。如果这两点都 和旗杆脚距离6米，那么表明旗杆就和地面垂直了，你知道这是为什
么吗？
设计意图：引导学生根据直观感知以及已有经验，进行合情推理，猜想判定定理。

师生活动：（折纸试验）请同学们拿出一块三角形纸片，我们一起做一个试验：过三角
形的顶点A翻 折纸片，得到折痕AD（如图1），将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC
与桌面接触）

问题4：（1）折痕AD与桌面垂直吗？
（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？
（组织学生动手操作、探究、确认） < br>设计意图：通过折纸让学生发现当且仅当折痕AD是BC边上的高时，且B、D、C不在同
一直线 上的翻折之后竖起的折痕AD才不偏不倚地站立着，即AD与桌面垂直（如图2），其
它位置都不能使A D与桌面垂直。
问题5：在你翻折纸片的过程中，纸片的形状发生了变化，这是变的一面，那么不 变的
一面是什么呢？（可从线与线的关系考虑）如果我们把折痕抽象为直线 ，把BD、CD抽象
为直线
m，n
，把桌面抽象为平面
件是什么？
(如图3)，那么你认为保证直线与平面垂直的条

对于两条相交直线必须在平面内 这一点，教师可引导学生操作：将纸片绕直线AD（点D
始终在桌面内）转动，使得直线CD、BD不在 桌面所在平面内。问：直线AD现在还垂直于桌
面所在平面吗？（此处引导学生认识到直线CD、BD都 必须是平面内的直线）

设计意图：通过操作让学生认识到两条相交直线必须在平面内， 从而更凸现出直线与平
面垂直判定定理的核心词：平面内两条相交直线。
问题6：如果将图3中的两条相交直线、的位置改变一下，仍保证
吗？ ，（如图4）你认为直线还垂 直于平面
设计意图：让学生明白要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内
能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这
是无关紧要的 。
根据试验，请你给出直线与平面垂直的判定方法。
（学生叙写判定定理，给出文字、图形、符号这三种语言的相互转化）
问题7：（1）与直线与平面垂直的定义相比,你觉得这个判定定理的优越性体现在哪里?
（2）你觉得定义与判定定理的共同点是什么?
设计意图：通过和直线与平面垂直定 义的比较，让学生体会“无限转化为有限”的数学
思想，通过寻找定义与判定定理的共同点，感悟和体会 “空间问题转化为平面问题”、“线
面垂直转化为线线垂直”的数学思想.
思考：现在， 你知道两位工人是根据什么原理安装旗杆的吗？为什么要求绳子在地面上
两点和旗杆脚不在同一直线上？
如果安装完了，请你去检验旗杆与地面是否垂直，你有什么好方法？
设计意图：用学到手的知识解释实际生活中的问题，增强学生用数学的意识，同时
通过提出 “为什么要 求绳子在地面上两点和旗杆脚不在同一直线上？”（对该问题可引导
学生用三角形纸片来验证），从而来 深化对直线与平面垂直判定定理的理解。
4.练习提高

如图5，在长方体AB CD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，请列举与平 面ABCD垂直的直线。并说明这些直线
有怎样的位置关系？

思考：如图6，已知，则吗？请说明理由。
（分别用直线与平面垂直的判定定 理、直线与平面垂直的定义证明；并让学生用语言叙
述：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面 ，那么另一条直线也垂直于这个平面）
设计意图：这个例题给出了判断直线和平面垂直的一个常用的命 题，这个命题体现了平
行关系与垂直关系之间的联系。
5.小结回授

（1）本节课你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？试用自己理解的语言叙述。
（2）直线与平面垂直的判定定理中体现了哪些数学思想方法？
设计意图：以问题讨论的方式 进行小结，培养学生反思的习惯，鼓励学生运用自己理解
的语言对问题进行质疑和概括。