四年级数学奥数培训资料 姓名：__________________
第11讲 错中求解
一、知识要点
在加、减、乘、除式的计算中，如果粗心大意将算式中的一些运算数或符号抄错，就
会导致计算 结果发生错误。这一周，我们就来讨论怎样利用错误的答案求出正确的结论。
二、精讲精练
【例题1】小玲在计算除法时，把除数65写成56，结果得到的商是13.还余52。正
确的商是多少 ？
【思路导航】要求出正确的商，必须先求出被除数是多少。我们可以先抓住错误的得
数，求 出被除数：13〓56＋52=780。所以，正确的商是：780〔65=12。
练习1：
1.小星在计算除法时，把除数87错写成78，结果得到的商是5，余数是45。正确的
商应该是多 少？
2.甜甜和蜜蜜在用同一个数做被除数。甜甜用12去除，蜜蜜用15去除，甜甜得到的
商是32还余6，蜜蜜计算的结果应该是多少？
3.小虎在计算除法时，把被除数1250写成120 5，结果得到的商是48，余数是5。正
确的商应该是多少？
【例题2】小芳在计算除法时， 把除数32错写成320，结果得到商是48。正确的商应
该是多少？
【思路导航】根据题意 ，把除数32改成320扩大到原来的10倍，又因为被除数不变，
根据商的变化规律，正确的商应该是 错误商的10倍。所以正确的商应该是48〓10=480。
练习2：
1.小丽在计算除法 时，把除数530末尾的0漏写了，得到的商是40。正确的商应该是
多少？
2.小马在计算 除法时，把被除数1280误写成12800，得到的商是32。正确的商应该
是多少？
3. 小欣在计算除法时，把被除数420错写成240，结果得到商是48。正确的商应该是
多少？
【例题3】小冬在计算有余数的除法时，把被除数137错写成173.这样商比原来多了
3.而余数 正好相同。正确的商和余数是多少？
【思路导航】因为被除数137被错写成了173.被除数比原来 多了173－137=36，又因
为商比原来多了3.而且余数相同，所以除数是36〔3=12。又由 137〔12=11……5，所以余
数是5。
练习3：
- 23 -

四年级数学奥数培训资料 姓名：__________________
第12讲 简单列举
一、知识要点
有些题目，因其所求问题的答案有多种，直接列式解答比较困难，在这种情况下，我
们不妨采用 一一列举的方法解决。这种根据题目的要求，通过一一列举各种情况最终达到
解答整个问题的方法叫做列 举法。
二、精讲精练
【例题1】从南通到上海有两条路可走，从上海到南京有
3条 路可走。王叔叔从南通经过上海到南京去，有几种走法？
【思路导航】为了帮助理解，先画一个线路示意 图，并用①、
②、③、④、⑤表示其中的5条路。
我们把王叔叔的各种走法一一列举如下：
根据以上列举可以发现，从南通经过①到
上海再到南京有3种方法，从南通经过②到上
海再到南京也有3种方法，共有两个3种方法，
即3〓2=6（种）。
练习1：
1 .小明从家到学校有3条路可走，从学校到少年宫有两条路，小明从家经过学校到少
年宫有几种走法？
2.从甲地到乙地，有两条走达铁路和4条直达公路，那么从甲地到乙地有多少种不同
走法？
3.从甲地到乙地，有两条直达铁路，从乙地到丙地，有4条直达公路。那么，从甲地
到丙地有 多少种不同的走法？
【例题2】用红、黄、蓝三种信号灯组成一种信号，可以组成多少种不同的信号？
【思路导航】要使信号不同，就要求每一种信号颜色
的顺序不同，我们把这些不同的信号一一列 举如下：
从上面的排列中可以发现，红色信号灯排在第一位臵
时，有两种不同的信号，黄色信 号灯排在第一位臵时，也有两种不同的信号，蓝色信号灯
排在第一位臵时，也有两种不同的信号。因此， 共有2〓3=6种不同的排法。
练习2：1．甲、乙、丙三个同学排成一排，有几种不同的排法？
2．小红有3种不同颜色的上衣，4种不同颜色的裙子，问她共有多少种不同的穿法？
3．用3、4、5、6四个数字可以组成多少个不同的四位数？
【例题3】有三张数字卡片， 分别为3、6、0。从中挑出两张排成一个两位数，一共
可以排成多少个两位数？【思路导航】排成时要 注意“0”不能排在最高位，下面我们进
行分类考虑。（1）十位上排6，个位上有两个数字可选，这样 的数共有两个：60，63；（2）
- 25 -

十位上排3.个位上也有两 个数字可选，这样的数也有两个：30，60。从以上列举容易发现，
一共可以排成2〓2=4（个）两 位数。
【例题3】有三张数字卡片，分别为3、6、0。从中挑出两张排成一个两位数，一共
可以排成多少个两位数？【思路导航】排成时要注意“0”不能排在最高位，下面我们进
行分类考虑。（ 1）十位上排6，个位上有两个数字可选，这样的数共有两个：60，63；（2）
十位上排3.个位上 也有两个数字可选，这样的数也有两个：30，60。从以上列举容易发现，
一共可以排成2〓2=4（ 个）两位数。
练习3：1.用0、2、9这三个数字，可以组成多少个不同的两位数？
2.用8、6、3、0这四个数字，可以组成多少个不同的三位数？最大的一个是多少？
3. 用0、1、5、6这四个数字，可以组成多少个不同的四位数？从小到大排列，1650
是第几个？ < br>【例题4】从1～～8这八个数字中，每次取出两个数字，要使它们的和大于8，有多
少种取法？ 【思路导航】为了既不重复，又不遗漏地统计出结果，应该按一定的顺序来分
类列举，可以按“几＋8、 几＋7、几＋5、几＋6、几＋5”的顺序来思考。
1＋8、2＋8、3＋8、……7＋8，共7个； 2＋7、3＋7、4＋7、……6＋7，共5个；3
＋6、4＋6、5＋6，共3个；4＋5共1个。这 样，两个数的和大于8的算式共有7＋5＋3
＋1=16（个），所以，共有16种不同的取法。
练习4：1.从1～6这六个数中，每次取两个数，要使它们的和大于6，有多少种取法？
2.从1～9这九个数中，每次取两个数，要使它们的和大于10，有多少种取法？
3.营业员有一个伍分币，4个贰分币，8个壹分币，他要找给顾客9分钱，有几种找
法？
【例题5】在一次足球比赛中，4个队进行循环赛，需要比赛多少场？（两个队之间
比赛一次称 为1场）
【思路导航】4个队进行循环赛，也就是说4个队每两个队都要赛一场，设4个队分
别为A、B、C、D，我们可以用图表示4个队进行循环赛的情况。
A队和其他3个队各比赛1次，要 赛3场；B队和其他两个队还要各比赛1次，要赛2
场；C队还要和D队比赛1次，要赛1场。这样，一 共需要比赛3＋2＋1=6（场）。
练习5：
1.在一次羽毛球赛中，8个队进行循环赛，需要比赛多少场？
2.在一次乒乓球赛中，参加比赛的队进行循环赛，一共赛了15场。问有几个队参加
比赛？
3.某学区举行“苗苗杯”小学生足球赛，共有6所学校的足球队比赛，比赛采取循环
制，每个 队都要和其他各队赛一场，根据积分排名次。这些比赛分别安排在3个学校的球
场上进行，平均每个学校 要安排几场比赛？
- 26 - 银海是我的光荣，我是银海的骄傲

四年级数学奥数培训资料 姓名：__________________
第13讲 和倍问题
一、知识要点
已知两个数的和与它们之间的倍数关系，求这两个数是多少的应用题，叫做和倍问题。
解答和倍 应用题的基本数量关系是：
和〔（倍数＋1）=小数
小数〓倍数=大数
（和－小数=大数）
二、精讲精练
【例题1】 学校有科技书和故事书共480本，科技书的本数是故事书的3倍。两种
书各有多少本？
【思路导航】为了便于理解题意，我们画图来分析：
由图可知，如果把故事书的本数看作一份 ，那么科
技书的本数就是这样的3份，两种书的总本数就是这样
的1＋3=4份。把480本书 平均分成4份，1份是故事书的本数，3份是科技书的本数。
480〔（1＋3）=120（本） 120〓3=360（本）.
练习1：
1.用锡和铝制成的合金是720千克，其中铝的重量是锡的5倍。铝和锡各用了多少千
克？
2.甲、乙两数的和是112.甲数除以乙数的商是6，甲、乙两数各是多少？
3.一块长方 形黑板的周长是96分米，长是宽的3倍。这块长方形黑板的长和宽各是
多少分米？
【例题2 】果园里有梨树、桃树和苹果树共1200棵，其中梨树的棵数是苹果树的3倍，
桃树的棵数是苹果树的 4倍。求梨树、桃树和苹果树各有多少棵？
【思路导航】如果把苹果树的棵数看作1份，三种树的总棵 数是这样的1+3+4=8份。
所以，苹果树有1200〔8=150（棵），梨树有150〓3=45 0（棵），桃树有150〓4=600（棵）.
练习2：
1.李大伯养鸡、鸭、鹅共960 只，养鸡的只数是鹅的3倍，养鸭的只数是鹅的4倍。
鸡、鸭、鹅各养了多少只？
2.甲、乙 、丙三数之和是360，已知甲是乙的3倍，丙是乙的2倍。求甲、乙、丙各
是多少。
3.商 店有铅笔、钢笔、圆珠笔共560支，圆珠笔的支数是钢笔的3倍，铅笔的支数与
圆珠笔的支数同样多。 铅笔、钢笔和圆珠笔各有多少支？
【例题3】有三个书橱共放了330本书，第二个书橱里的书是第一 个的2倍，第三个
书橱里的书是第二个的4倍。每个书橱里各放了多少本书？
- 27 -

【思路导航】把第一个书橱里的本数看作1份，那么第二个书橱里的本数是这样的2份，第三个就是这样的2〓4=8份，三个书橱里的总本数就是这样的1+2+8=11份。所以，
第一个书橱里放了
330〔11=30（本），第二个书橱里放了30〓2=60（本），第三个书橱 里放了60〓4=240
（本）。
练习3：
1．甲、乙、丙三个数之和是400， 已知甲是乙的3倍，丙是甲的4倍。求甲、乙、丙
各是多少。
2．三块钢板共重621千克， 第一块的重量是第二块的3倍，第二块的重量是第三块
的2倍。三块钢板各重多少千克？
3． 甲、乙、丙三个修路队共修路1200米，甲队修的米数是乙队的2倍，乙队修的数
数是丙队的3倍。三 个队各修了多少米？
【例题4】少先队员种柳树和杨树共216棵，杨树的棵数比柳树的3倍多20棵 ，两种
树各种了多少棵？
【思路导航】如果杨树少种20棵，那么柳树和杨树的总棵数是21 6－20=196（棵），
这里杨树的棵数恰好是柳树的3倍。所以，柳树的棵数是196〔（1＋3） =49（棵），杨树
的棵数是216－49=167（棵）。
练习4：1.粮站有大米和面粉 共6300千克，大米的重量比面粉的4倍还多300千克，
大米和面粉各有多少千克？
2. 小华和小明两人参加数学竞赛，两人共得168分，小华的得分比小明的2倍少42
分。两人各得多少分 ？
3.学校购买了720本图书分给高、中、低三个年级，高年级分得的比低年级的3倍多
8 本，中年级分得的比低年级的2倍多4本。高、中、低年级各分得图书多少本？
【例题5】三个筑路队 共筑路1360米，甲队筑的米数是乙队的2倍，乙队比丙队多
240米。三个队各筑多少米？
【思路导航】把乙队的米数看作1份，甲队筑的米数是这样的2份。假设丙队多筑240
米，那么三个 队共筑了1360＋240=1600米，正好是乙队的2＋1＋1=4倍。所以，乙队筑
了1600〔 4=400米，甲队筑了400〓2=800米，丙队筑了400－240=160米。
练习5：1. 三个植树队共植树1900棵，甲队植树的棵数是乙队的2倍，乙队比丙队少
植300棵。三个队各植树 多少棵？
2.三个数的和是1540，甲数是丙数的7倍，乙数比甲数多40。三个数各是多少？ < br>3.城东小学共有篮球、足球和排球共95个，其中足球比排球少5个，排球的个数是
篮球个数的 2倍。篮球、足球、排球各有多少个？
- 28 - 银海是我的光荣，我是银海的骄傲

四年级数学奥数培训资料 姓名：__________________
第14讲 植树问题
一、知识要点
1．线段上的植树问题可以分为以下三种情形：
（1）如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1.即：
棵数=段数＋1；
（2）如果一端植树，另一端不植树，那么棵数与段数相等，即：棵数=段数；
（3）如果两端都不植树，那么棵数应比段数少1.即：
棵数=段数－1。
2．在封闭的路线上植数，棵数与段数相等，即：
棵数=段数。
二、精讲精练
【例题1】 城中小学在一条大路边从头至尾栽树28棵，每隔6米栽一棵。这条路长
多少米？
【思路导航 】题中已知栽树28棵，28棵树之间有28－1=27段，每隔6米为一段，所
以这条大路长6〓27 =162米。
练习1：
1.在一条马路一边从头至尾植树36棵，每相邻两棵树之间隔8米，这长马路有多长？
2. 同学们做早操，21个同学排成一排，每相邻两个同学之间的距离相等，第一个人到
最后一个人的距离是 40米，相邻两个人隔多少米？
3.一条路长200米，在路的一旁从头至尾每隔5米植一棵树，一共要植多少棵？

【例题2】在一个周长是240米的游泳池周围栽树，每隔5米栽一棵，一共要栽多少
棵树？
【思路导航】这道题是封闭线路上的植树问题，植树的棵数和段数相等。240〔5=48
（棵 ）
练习2：
1.一个鱼塘的周长是1500米，沿鱼塘周围每隔6米栽一棵杨树，需要种多少棵杨树？
2.在圆形的水池边，每隔3米种一棵树，共种树60棵，这个水池的周长是多少米？
3.在一块长80米，宽60米的长方形地的周围种树，每隔4米种一棵，一共要种多少
棵？

【例题3】在一座长800米的大桥两边挂彩灯，起点和终点都挂，一共挂了202盏，相邻两盏之间的距离都相等。求相邻两盏彩灯之间的距离。
- 29 -

【思路导航】大桥两边一共挂了202盏彩灯，每边各挂202〔2=101盏，101盏彩灯把
80 0米长的大桥分成101－1=100段，所以，相邻两盏彩灯之间的距离是800〔100=8米。
练习3：
1.在一条长100米的大路两旁各栽一行树，起点和终点都栽，一共栽52棵，相 邻的
两棵树之间的距离相等。求相邻两棵树之间的距离。
2.一座长400米的大桥两旁挂彩灯，每两个相隔4米，从桥头到桥尾一共装了多少盏
灯？
3.六年级学生参加广播操比赛，排了5路纵队，队伍长20米，前后两排相距1米。
六年级有 学生多少人？

【例题4】一个木工锯一根19米的木料，他先把一头损坏部分锯下来1米， 然后锯了
5次，锯成同样长的短木条。每根短木条长多少米？
【思路导航】根据题意，把长1 9－1=18米的木条锯了5次，可以锯成5＋1=6段，所
以每根短木条长18〔6=3米。
练习4：
1.一个木工锯一根长17米的木料，他先把一头损坏的部分锯下来2米，然后锯了 4
次，锯成同样长的短木条，每根短木条长几米？
2.有一根圆钢长22米，先锯下2米，剩下的锯成每根都是4米的小段，又锯了几次？
3.有一个工人把长12米的圆钢锯成了3米长的小段，锯断一次要5分钟。共需要多
少分钟？

【例题5】有一幢10层的大楼，由于停电电梯停开。某人从1层走到3层需要30秒，照这样计算，他从3层走到10需要多少秒？
【思路导航】把每一层楼所需要的时间看作一个间隔 ，1层至3层有两个时间间隔，
所以每个间隔用去的时间是30〔（3－1）=15秒，3层到10层经 过了10－3=7个时间间隔，
所以，他从3层到10层需要15〓7=105秒。
练习5：
1.把6米长的木料平均锯成3段要6分钟，照这样计算，如果锯成6段，需要多少分
钟？
2.时钟4点敲4下，6秒钟敲完。那么12点钟敲12下，多少秒钟敲完？
3.一游人以等 速在一条小路上散步，路边相邻两棵树的距离都相等，他从第一棵树走
到第10棵树用了11分钟，如果 这个游人走22分钟，应走到第几棵树？
- 30 - 银海是我的光荣，我是银海的骄傲

四年级数学奥数培训资料 姓名：__________________
第15讲 图形问题
一、知识要点
解答有关“图形面积”问题时，应注意以下几点：
1.细心观察，把握图形特点，合理地进行切拼，从而使问题得以顺利地解决；
2.从整体上 观察图形特征，掌握图形本质，结合必要的分析推理和计算，使隐蔽的数
量关系明朗化。
二、精讲精练
【例题1】 人民路小学操场长90米，宽45米。改造后，长增加10米， 宽增加5米。
现在操场面积比原来增加了多少平方米？【思路导航】用操场现在的面积减去操场原来的< br>面积，就得到增加的面积。操场现在的面积是（90+10）〓（45+5）=5000平方米，操场原< br>来的面积是90〓45=4050平方米。所以，现在的面积比原来增加5000－4050=950平方 米。
练习1：1.有一块长方形的木板，长22分米，宽8分米。如果长和宽分别减少10分
米、3分米，面积比原来减少多少平方分米？
2.一块长方形铁板，长18分米，宽13分米。如果长 和宽各减少2分米，面积比原来
减少多少平方分米？
3.一块长方形地，长是80米，宽是4 5米。如果把宽增加5米，要使面积不变，长应
减少多少米？
【例题2】一个长方形，如果宽 不变，长增加6米，那么它的面积增加54平方米；如
果长不变，宽减少3米，那么它的面积减少36平 方米。这个长方形原来的面积是多少平
方米？【思路导航】由“宽不变，长增加6米，面积增加54平方 米”可知，它的宽为54
〔6=9米；由“长不变，宽减少3米，面积减少36平方米”可知，它的长为 36〔3=12米。
所以，这个长方形原来的面积是12〓9=108平方米。
练习2：1. 一个长方形，如果宽不变，长减少3米，那么它的面积减少24平方米；如
果长不变，宽增加4米，那么 它的面积增加60平方米。这个长方形原来的面积是多少平
方米？
2.一个长方形，如果宽不 变，长增加5米，那么它的面积增加30平方米；如果长不
变，宽增加3米，那么它的面积增加48平方 米。这个长方形原来的面积是多少平方米？
3.一个长方形，如果它的长减少3米，或它的宽减少2米 ，那么它的面积都减少36平
方米。求这个长方形原来的面积。
【例题3】下图是一个养禽专 业户用一段16米的篱笆围成的
一个长方形养鸡场，求它的占地面积。
【思路导航】根据题意 ，因为一面利用着墙，所以两条长加
一条宽等于16米。而宽是4米，那么长是（16－4）〔2=6米 ，
占地面积是6〓4=24平方米。
- 31 -

练习3：1.右 图是某个养禽专业户用一段长13米的篱笆围成的
一个长方形养鸡场，求养鸡场的占地面积。
2.用56米长的木栏围成长或宽是20米的长方形，其中一边利
用围墙，怎样才能使围成的面积最大？
3.用15米长的栅栏沿着围墙围一个种植花草的长方形苗圃，其
中一面利用着墙。如果每边的 长度都是整数，怎样才能使围成的面积最大？
【例题4】街心花园中一个正方形的花坛四周有1米宽的 水泥路，
如果水泥路的总面积是12平方米，中间花坛的面积是多少平方米？【思
路导航】把水 泥路分成四个同样大小的长方形（如下图）。因此，一个
长方形的面积是12〔4=3平方米。因为水泥 路宽1米，所以小长方形的
长是3〔1=3米。从图中可以看出正方形花坛的边长是小长方形长与宽的差，所以小正方形的边长是3－1=2米。中间花坛的面积是2〓2=4平方米。
练习4：1. 有一个正方形的水池，如下图的阴影部分，在它的周围修一个
宽8米的花池，花池的面积是480平方米 ，求水池的边长。
2.四个完全相同的长方形和一个小正方形拼成了一个大正方形（如
图） ，大正方形的面积是64平方米，小正方形的面积是4平方米，长方形
的短边是多少米？
3. 已知大正方形比小正方形的边长多4厘米，大正方形的面积比小正方
形面积大96平方厘米（如下图）。 问大小正方形的面积各是多少？
【例题5】一块正方形的钢板，先截去宽5分米的长方形，又截去宽8
分米的长方形（如图），面积比原来的正方形减少181平方分米。原正方
形的边长是多少？
【思路导航】把阴影部分剪下来，并把剪下的两个小长方形拼起来（如图），再被上
长、宽分别 是8分米、5分米的小长方形，这个拼
合成的长方形的面积是181+8〓5=221平方分米，
长是原来正方形的边长，宽是8+5=13分米。所以，
原来正方形的边长是221〔13=17分米 。
练习5：
1.一个正方形一条边减少6分米，另一条边减少10分米后变为一个长方形， 这个长
方形的面积比正方形的面积少260平方米，求原来正方形的边长。
2.一个长方形的 木板，如果长减少5分米，宽减少2分米，那么它的面积就减少66
平方分米，这时剩下的部分恰好是一 个正方形。求原来长方形的面积。
3.一块正方形的的玻璃，长、宽都截去8厘米后，剩下的正方形比 原来少448平方厘
米，这块正方形玻璃原来的面积是多大？
- 32 - 银海是我的光荣，我是银海的骄傲

四年级数学奥数培训资料 姓名：__________________
第16讲 巧妙求和
一、知识要点
某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某
个等差数列 的和。如果是等差数列求和，才可用等差数列求和公式。
在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具 体特点，有时可考虑将题中的数适当分
组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。
二、精讲精练
【例题1】 刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天 读的页数
都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。这本书共有多少页？
【思路导航 】根据条件“他每天读的页数都比前一天多3页”可以知道他每天读的页
数是按一定规律排列的数，即3 0、33、36、……57、60。要求这本书共多少页也就是求出
这列数的和。这列数是一个等差数列 ，首项=30，末项=60，项数=11.因此可以很快得解：
（30＋60）〓11〔2=495（页）
想一想：如果把“第11天”改为“最后一天”该怎样解答？
练习1：
1.刘师傅 做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多做2个，第15天做
了48个，正好做完。这批 零件共有多少个？
2.胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一 天
多5页。最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？
3.丽丽学英语单词，第一天 学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学
会了16个。丽丽在这些天中学会了多少个英语 单词？
【例题2】30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？
【思路导航】开第一把锁时，如果不凑巧，试了29把钥匙还不行，那所剩的一把就
一定能把它打开， 即开第一把锁至多需要试29次；同理，开第二把锁至多需试28次，开
第三把锁至多需试27次……等 打开第29把锁，剩下的最后一把不用试，一定能打开。所
以，至多需试29＋28＋27＋…＋2＋1 =（29＋1）〓29〔2=435（次）。
练习2：
1.有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？
2.有一 些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。
一共有几把锁的钥匙搞乱了 ？
3.有10只盒子，44只羽毛球。能不能把44只羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里的
羽毛球只数不相等？
【例题3】某班有51个同学，毕业时每人都和其他的每个人握一次手。那么共握了多
少次手？
- 33 -

【思路导航】假设51个同学排成一排，第一个人依次和其他人 握手，一共握了50次，
第二个依次和剩下的人握手，共握了49次，第三个人握了48次。依次类推， 第50个人
和剩下的一人握了1次手，这样，他们握手的次数和为：
50＋49＋48＋…＋2＋1=（50＋1）〓50〔2=1275（次）.
练习3： < br>1.学校进行乒乓球赛，每个选手都要和其他所有选手各赛一场。如果有21人参加比
赛，一共要 进行多少场比赛？
2.在一次同学聚会中，一共到43位同学和4位老师，每一位同学或老师都要和其 他
同学握一次手。那么一共握了多少次手？
3.假期里有一些同学相约每人互通两次电话，他 们一共打了78次电话，问有多少位
同学相约互通电话？
【例题4】求1 ～ 99 这99个连续自然数的所有数字之和。
【思路导航】首先应该弄清楚这题是求99个连续自然数的数字 之和，而不是求这99
个数之和。为了能方便地解决问题，我们不妨把0算进来（它不影响我们计算数字 之和）
计算0～99这100个数的数字之和。这100个数头尾两配对后每两个数的数字之和都相等，
是9+9=18，一共有100〔2=50对，所以，1～99这99个连续自然数的所有数字之和是1 8
〓50=900。
练习4：
1.求1～199这199个连续自然数的所有数字之和。
2.求1～999这999个连续自然数的所有数字之和。
3.求1～3000这3000个连续自然数的所有数字之和。
.
【例题5】求1～209这209个连续自然数的全部数字之和。
【思路导航】不妨先求0～ 199的所有数字之和，再求200～209的所有数字之和，然
后把它们合起来。0～199的所有数 字之和为（1+9〓2）〓（200〔2）=1900，200～209的
所有数字之和为2〓10+1 +2+…+9=65。所以，1～209这209个连续自然数的全部数字之和
为1900+65=19 65。
练习5：
1.求1～308连续自然数的全部数字之和。
2.求1～2009连续自然数的全部数字之和。
3.求连续自然数2000～5000的全部数字之和。
- 34 - 银海是我的光荣，我是银海的骄傲

四年级数学奥数培训资料 姓名：__________________
第17讲 数数图形
一、知识要点
我们已经认识了线段、角、三角形、长方形等基本图形，当这些图形重重叠叠地交错
在一起时就 构成了复杂的几何图形。要想准确地计数这类图形中所包含的某一种基本图形
的个数，就需要仔细地观察 ，灵活地运用有关的知识和思考方法，掌握数图形的规律，才
能获得正确的结果。
要准确、迅速地计数图形必须注意以下几点：
1.弄清被数图形的特征和变化规律。
2.要按一定的顺序数，做到不重复，不遗漏。
二、精讲精练
【例题1】 数出下面图中有多少条线段。


【思路导航】要正确解答这类问题，需要我们按照一定的顺序来数，做到不重复，不
遗漏。 < br>从图中可以看出，从A点出发的不同线段有3条：AB、AC、AD；从B点出发的不同线
段有2 条：BC、BD；从C点出发的不同线段有1条：CD。因此，图中共有3+2+1=6条线段。
练习1：：数出下列图中有多少条线段。



（2）


（3）

【例题2】数一数下图中有多少个锐角。




【思路 导航】数角的方法和数线段的方法类似，图中的五条射线相当于线段上的五个
点，因此，要求图中有多少 个锐角，可根据公式1+2+3……（总射线数－1）求得：1+2+3+4=10
（个）.
- 35 -

练习2：：下列各图中各有多少个锐角？






【例题3】数一数下图中共有多少个三角形。




【 思路导航】图中AD边上的每一条线段与顶点O构成一个三角形，也就是说，AD边
上有几条线段，就构 成了几个三角形，因为AD上有4个点，共有1+2+3=6条线段，所以
图中有6个三角形。
练习3：：数一数下面图中各有多少个三角形。




【例题4】数一数下图中共有多少个三角形。




【 思路导航】与前一个例子相比，图中多了一条线段EF，因此三角形的个数应是AD
和EF上面的线段与 点O所围成的三角形个数的和。显然，以AD上的线段为底边的三角形
也是1+2+3=6个，所以图中 共有6〓2=12个三角形。
练习4：：数一数下面各图中各有多少个三角形。





- 36 - 银海是我的光荣，我是银海的骄傲

四年级数学奥数培训资料 姓名：__________________
【例题5】数一数下图中有多少个长方形。



【思路导航】数长方形与数线段的方法类似。可以这样思考，图中的长方形的个数 取
决于AB或CD边上的线段，AB边上的线段条数是1+2+3=6条，所以图中有6个长方形。
练习5：：数一数下面各图中分别有多少个长方形。


- 37 -

第18讲 数数图形
一、知识要点
在解决数图 形问题时，首先要认真分析图形的组成规律，根据图形特点选择适当的方
法，既可以逐个计数，也可以把 图形分成若干个部分，先对每部分按照各自构成的规律数
出图形的个数，再把他们的个数合起来。
二、精讲精练
【例题1】 数一数下图中有多少个长方形？



【思路导航】图中的AB边上有线段1+2+3=6条，把AB边上的每一条线段作为长，A D
边上的每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形，所以，图中共有6〓
3= 18个长方形。
数长方形可以用下面的公式：
长边上的线段〓短边上的线段=长方形的个数
练习1：：数一数，下面各图中分别有几个长方形？



【例题2】数一数，下图中有多少个正方形？（每个小方格是边长为1的正方形）




【思路导航】图中边长为1个长度单位的正方形有3〓3=9个，边长为2个长度 单位
的正方形有2〓2=4个，边长为3个长度单位的正方形有1〓1=1个。所以图中的正方形总数为：1+4+9=14个。
经进一步分析可以发现，由相同的n〓n个小方格组成的几行几列的 正方形其中所含
的正方形总数为：1〓1＋2〓2＋…＋n〓n。
练习2：：数一数下列各图中分别有多少个正方形？（每个小方格为边长是1的小正
方形）



- 38 - 银海是我的光荣，我是银海的骄傲

四年级数学奥数培训资料 姓名：__________________
【例题3】数一数下图中有多少个正方形？（其中每个 小方格都是边长为1个长度单
位的正方形）


【思路导航】边长是1个长 度单位的正方形有3〓2=6个，边长是2个长度单位的正
方形有2〓1=2个。所以，图中正方形的总 数为：6+2=8个。
经进一步分析可以发现，一般情况下，如果一个长方形的长被分成m等份，宽被 分成
n等份（长和宽的每一份都是相等的）那么正方形的总数为：mn+(m－1)(n－1)＋(m－ 2)(n
－2)＋…＋(m－n＋1)n.
练习3：
1．数一数下列各图中分别有多少个正方形。



2．下图中有多少个长方形，其中有多少个是正方形？



< br>【例题4】从广州到北京的某次快车中途要停靠8个大站，铁路局要为这次快车准备
多少种不同车 的车票？这些车票中有多少种不同的票价？
【思路导航】这道题是数线段的方法在实际生活中的应用， 连同广州、北京在内，这
条铁路上共有10个站，共有1+2+3+…+9=45条线段，因此要准备4 5种不同的车票。由于
这些车站之间的距离各不相等，因此，有多少种不同的车票，就有多少种不同的票 价，所
以共有45种不同的票价。
练习4：
1.从上海到武汉的航运线上，有9个 停靠码头，航运公司要为这段航运线准备多少种
不同的船票？
2.从上海至青岛的某次直快列车，中途要停靠6个大站，这次列车有几种不同票价？
3.从成都到南京的快车，中途要停靠9个站，有几种不同的票价？
【例题5】求下列图中线段长度的总和。（单位：厘米）



- 39 -

【思路导航】要求图中的线段长度总和，可以这样计算：
AB+AC+AD+AE+BC+BD+BE+CD+CE+DE
=1+（1+4）+（1+ 4+2）+（1+4+2+3）+4+（4+2）+（4+2+3）+2+（2+3）=352厘米
从 上面的计算中可以发现这样一个规律，算式中长1厘米的基本线段（我们把不能再
划分的线段称为基本线 段）出现了4次，长4厘米的线段出现了（3〓2）次，长2厘米的
线段出现了（2〓3）次，长3厘米 的线段出现了（1〓4）次，所以，各线段长度的总和还
可以这样算：1〓4+4〓（3〓2）+2〓（ 2〓3）+3〓（1〓4）
=1〓（5－1）+4〓（5－2）〓2+2〓（5－3）〓3+3〓（5－4）〓4=52厘米 上式中的5是线段上的5个点，如果设线段上的点数为n，基本线段分别为a1、a2、…
a(n－ 1)。以上各线段长度的总和为L，那么L= a1〓(n－1)〓1+ a2〓(n－2)〓2+ a3〓(n
－3)〓3+…+ a(n－1)〓1〓(n－1)。
练习5：
1.一 条线段上有21个点（包括两个端点），相邻两点的距离都是4厘米，所有线段长
度的总和是多少？
2.求下图中所有线段的总和。（单位：米）


3.求下图中所有线段的总和。（单位：厘米）

- 40 - 银海是我的光荣，我是银海的骄傲

四年级数学奥数培训资料 姓名：__________________
第19讲 应用题
一、知识要点
解答复合应用题时一般有如下四个步骤：
1.弄清题意，找出已知条件和所求问题；
2.分析已知条件和所求问题之间的关系，找出解题的途径；
3.拟定解答计划，列出算式，算出得数；
4，检验解答方法是否合理，结果是否正确，最后写出答案。
二、精讲精练
【例题1】 某发电厂有10200吨煤，前10天每天烧煤300吨，后来改进炉灶，每天
烧煤240吨。这堆煤还能烧多少天？
【思路导航】条件摘录



综合法思路：
前10天每天烧煤300吨，可以求出10天烧的吨数；
已知煤的总吨数和前10天烧的吨数，可以求出还有多少吨没有烧；
根据还剩的吨数和后来每天烧煤240吨，可以求出这堆煤还能烧多少天。
分析法思路：
要求还能烧多少天，要知道还有的吨数和后来每天烧的吨数（240吨）；
要求还有多少吨煤，要知道这堆煤有多少吨（10200吨）和已经烧了多少吨。
要求已经烧了多少吨，要知道已经烧了多少天（10天）和每天烧多少吨（300吨）。
（10200－300〓10）〔240=30（天）.
练习1：
1.某电冰箱厂 要生产1560台冰箱，已经生产了8天，每天生产120台。剩下的每天
生产150台，还要多少天才 能完成任务？
2.某工厂计划生产36500套轴承，前5天平均每天生产2100套，后来改进操作 方法，
平均每天可以生产2600套。这样完成这批轴承生产任务共需多少天？
3.某机床厂 计划每天生产机床40台，30天完成任务。现在要提前10天完成任务，每
天要生产多少台？
【例题2】师傅和徒弟同时开始加工200个零件，师傅每小时加工25个，完成任务时，
徒弟还要做 2小时才能完成任务。徒弟每小时加工多少个？
【思路导航】由条件可知，师傅完成任务用了200〔 25=8小时，徒弟完成任务用了
8+2=10小时。所以，徒弟每小时加工200〔10=20个。
- 41 -

练习2：
1.张师傅和李师傅同时开始各做90个玩 具，张师傅每天做10个，完成任务时，李师
傅还要做1天才能完成任务。李师傅每天做多少个？ 2.小华和小明同时开始写192个大字，小华每天写24个，完成任务时，小明还要写4
天才能完 成。小明每天写多少个字？
3.丰华农具厂计划20天制造农具2400件，实际每天多制造30件， 这样可提前几天
完成任务？
【例题3】甲、乙两地相距200千米，汽车行完全程要5小时， 步行要40小时。张强
从甲地出发，先步行8小时后改乘汽车，还需要几小时到达乙地？
【思 路导航】根据题意，汽车5小时行200千米，每小时行200〔5=40千米；步行200
千米要40 小时，平均每小时行200〔40=5千米，8小时行了5〓8=40千米；全程有200千
米，乘汽车 行了200－40=160千米，所以，还需160〔40=4小时到达乙地。
练习3：
1 .玩具厂一车间要生产900个玩具，如果用手工做要20小时才能完成，用机器只需
要4小时。一车间 工人先用手工做了5小时，后改用机器生产，还需要几小时才能完成任
务？
2.甲、乙两地相 距200千米，汽车行完全程要5小时，步行要40小时。张强从甲地
出发，先乘汽车4小时，后改步行 ，他从甲地到乙地共用了多少小时？
3.A、B两城相距300千米，摩托车行完全程要5小时，自行 车要25小时。王亮从A
城出发，先骑自行车5小时，后改骑摩托车。他从A城到B城共用了多少小时？
【例题4】某筑路队修一条长4200米的公路，原计划每人每天修4米，派21人来完
成；实 际修筑时增加了4人，可以提前几天完成任务？
【思路导航】要求可以提前几天完成任务，要知道原计 划多少天完成和实际多少天完
成。原计划21人每天修4〓21=84米，修4200米需要4200〔 84=50天。实际增加了4人，
每天修4〓（21+4）=100米，修同样长的公路需要4200〔 100=42天。所以可提前50－42=8
天完成任务。
练习4：
1.羊毛衫厂 要生产378件羊毛衫，原计划每人每天生产3件，派18人来完成。实际
增加了3人，可以提前几天完 成任务？
2.某筑路队修一条长8400米的公路，原计划每人每天修4米，派42人来完成。如果< br>每人的工作效率不变，要提前8天完成任务，需要多少人参加？
3.友谊服装厂要加工192套 服装，原计划每人每天加工2套，8人可以按时完成。如
果每人工作效率不变，要提前4天完成任务，需 要增加多少人加工？
- 42 - 银海是我的光荣，我是银海的骄傲

四年级数学奥数培训资料 姓名：__________________
【例题5】自行车厂计划每天生产自行车100辆，可 按期完成任务，实际每天生产120
辆，结果提前8天完成任务。这批自行车有多少辆？
【思 路导航】假如以计划生产的时间为准，那么实际完成任务后，再生产8天可多生
产120〓8=960辆 。实际每天多生产120－100=20辆，可以求出多生产960辆所用的时间，
这个时间就是原计划 所需要的时间，960〔20=48天。所以，这批自行车有100〓48=4800
辆。
练习5：
1.农机厂生产柴油机，原计划每天生产40台，可以在预定的时间内完成任务。实 际
每天生产50台，结果提前6天完成，这批柴油机有多少台？
2.一辆汽车运一堆黄沙，计 划每天运15吨，可以在预定时间内完成任务。实际每天
运20吨，结果提前3天运完。这批黄沙有多少 吨？
3.新兴机械厂原计划30天生产一批机器，实际每天比原计划多生产80台，结果提前
25天就完成了任务。这批机器有多少台？
- 43 -

第20讲 速算与巧算
一、知识要点
速算与巧算是计算中的一个重要组成部分，掌握一些速算与巧算 的方法，有助于提高
我们的计算能力和思维能力。这一周我们学习加、减法的巧算方法，这些方法主要根 据加、
减法的运算定律和运算性质，通过对算式适当变形从而使计算简便。
在巧算方法里，蕴 含着一种重要的解决问题的策略。转化问题法即把所给的算式，根
据运算定律和运算性质，或改变它的运 算顺序，或减整从而变成一个易于算出结果的算式。
二、精讲精练
【例题1】 计算9+99+999+9999
【思路导航】这四个加数分别接近10、100、1000、100 00。在计算这类题目时，常使
用减整法，例如将99转化为100－1。这是小学数学计算中常用的一 种技巧。
9+99+999+9999
=（10－1）+（100－1）+（1000－1）+（10000－1）
=10+100+1000+10000－4
=11106
练习1：
1.计算99999+9999+999+99+9 2.计算9+98+996+9997
3.计算1999+2998+396+497 4.计算198+297+396+495
5.计算1998+2997+4995+5994 6.计算19998+39996+49995+69996.
【例题2】计算489+487+483+485+484+486+488
【思路导航】认真观察每个加数，发现它们都和整数490接近，所以选490为基准数。
489+487+483+485+484+486+488
=490〓7－1－3－7－5－6－4－2
=3430－28
=3402
想一想：如果选480为基准数，可以怎样计算？.
练习2：
1.50+52+53+54+51 2.262+266+270+268+264
3.89+94+92+95+93+94+88+96+87 4.381+378+382+383+379
5.1032+1028+1033+1029+1031+1030 6.2451+2452+2446+2453.
【例题3】计算下面各题。
（1）632－156－232 （2）128+186+72－86
【思路导航】在 一个没有括号的算式中，如果只有第一级运算，计算时可以根据运算
定律和性质调换加数或减数的位臵。
- 44 - 银海是我的光荣，我是银海的骄傲

四年级数学奥数培训资料 姓名：__________________

（1）632－156－232

=632－232－156

=400－156

=244

练习3：
（2）128+186+72－86
=128+72+186－86
=（128+72）+（186－86）
=200+100=300
计算下面各题 1.1208－569－2082.283+69－1833.132－85+684，2318+625－13 18+375
【例题4】计算下面各题。
1. 248+（152－127） 2. 324－（124－97） 3. 283+（358－183）
【思路导航】在 计算有括号的加减混合运算时，有时为了使计算简便可以去括号，如
果括号前面是“+”号，去括号时， 括号内的符号不变；如果括号前面是“－”号，去括
号时，括号内的加号就要变成减号，减号就要变成加 号。
我们可以把上面的计算方法概括为：括号前面是加号，去掉括号不变号；括号前面是
减号 ，去掉括号要变号。
1.248+（152－127）
=248+152－127
=400－127
=273
练习4：
计算下面各题
1.348+（252－166） 2.629+（320－129）
3. 462－(262－129) 4. 662－(315－238)
5.5623－(623－289)+452－(352－211) 6.736+678+2386－(336+278)－186
【例题5】计算下面各题。
（1）286+879－679 （2）812－593+193 < br>【思路导航】在计算没有括号的加减法混合运算式题时，有时可以根据题目的特点，
采用添括号的 方法使计算简便，与前面去括号的方法类似，我们可以把这种方法概括为：
括号前面是加号，添上括号不 变号；括号前面是减号，添上括号要变号。





练习5：
- 45 -
2.324－（124－97）
=324－124+97
=200+97
=297
3.283+（358－183）
=283+358－183
=283－183+358
=100+358=458
（1）286+879－679
=286+（879－679）
=286+200
=868
（2）812－593+193
=812－（593－193）
=812－400
=412

计算下面各题。
1.368+1859－859 2.582+393－293
3.632－385+285 4.2756－2748+1748+244
5.612－375+275+（388+286） 6.756+1478+346－（256+278）－246
第二十一周 速算与巧算（二）

专题简析：
乘、除法的巧算方法主要是利用乘、除法的运算定律和运算性 质以及积、商的变
化规律，通过对算式适当变形，将其中的数转化成整十、整百、整千…的数，或者使这 道
题计算中的一些数变得易于口算，从而使计算简便。
例1：计算325〔25
分 析与解答：在除法里，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变。利用这
一性质，可以使这道计 算题简便。
325〔25
=（325〓4）〔（25〓4）
=1300〔100
=13
练 习 一
计算下面各题。
1，450〔25 2，525〔25
3，3500〔125 4，10000〔625
5，49500〔900 6，9000〔225
例2：计算25〓125〓4〓8
分析与解答：经过仔细观察可以发现：在这道连乘算式中， 如果先把25与4相乘，
可以得到100；同时把125与8相乘，可以得到1000；再把100与1 000相乘就简便了。
这就启发我们运用乘法交换律和结合律使计算简便。
25〓125〓4〓8
=（25〓4）〓（125〓8）
=100〓1000
=100000
练 习 二
计算下面各题。
125〓15〓8〓4 25〓24 25〓5〓64〓125
125〓25〓32 75〓16 125〓16
例3：计算（1）（360+108）〔36 （2）（450－75）〔15
分析与解答 ：两个数的和（或差）除以一个数，可以用这个数分别去除这两个数，再
求出两个商的和（或差）。利用 这一性质，可以使这道题计算简便。
（1）（360+108）〔36 （2）（450－75）〔15
- 46 - 银海是我的光荣，我是银海的骄傲

四年级数学奥数培训资料 姓名：__________________
=360〔36+108〔36 =450〔15－75〔15
=10+3 =30－5
=13 =25
练 习 三
计算下面各题。
1．（720+96）〔24
2．（4500－90）〔45
3．6342〔21
4．8811〔89
5．73〔36+105〔36+146〔36
6．（10000－1000－100－10）〔10
例4：计算158〓61〔79〓3
分析与解答：在乘除法混合运算中，如果算式中没有括号，计算时可以根据运算定律
和性质调换 因数或除数的位臵。
158〓61〔79〓3
=158〔79〓61〓3
=2〓61〓3
=366
练 习 四
计算下面各题。
1，238〓36〔119〓5
2，624〓48〔312〔8
3，138〓27〔69〓50
4，406〓312〔104〔203
例5：计算下面各题。
（1）123〓96〔16 （2）200〔（25〔4）
分析与解答：这两道题都是乘除混合运算式题，我们可以根据这两道题的 特点，采用
加括号或去括号的方法，使计算简便。其方法与加减混合运算添、去括号的方法类似，可以概括为：括号前是乘号，添、去括号不变号；括号前是除号，添、去括号要变号。
（1）123〓96〔16 （2）200〔（25〔4）
=123〓（96〔16） =200〔25〓4
=123〓6 =8〓4
=738 =32
练 习 五
计算下面各题。
1，612〓366〔183
2，1000〔（125〔4）
3，（13〓8〓5〓6）〔（4〓5〓6）
4，241〓345〔678〔345〓（678〔241）

- 47 -

第二十二周 平均数问题

专题简析：
我们经常用各科成 绩的平均分数来比较班级之间，同学之间成绩的高低，求出各科成
绩的平均数就是求平均数。
平均数在日常生活中和工作中应用很广泛，例如，求平均身高问题，求某天的平均气
温等。
求平均数问题的基本数量关系是：
总数量〔总份数=平均数
解答平均数问 题的关键是要确定“总数量”以及与“总数量”相对应的“总份数”，
然后用总数量除以总份数求出平均 数。
例1：二（1）班学生分三组植树，第一组有8人，共植树80棵；第二组有6人，共
植 树66棵；第三组有6人，共植树54棵。平均每人植树多少棵？
分析与解答：因为二（1）班学生分 三组植树，由问题可知“平均范围”是三个组，
是按人数平均，因此所需条件是三个组植树的总棵数和三 个组的总人数。三个组植树的总
棵数为：80+66+54=200棵，总人数为：8+6+6=20人 ，所以平均每人植树200〔20=10棵。
练 习 一
1，电视机厂四月份前10天 共生产电视机3300台，后20天共生产电视机6300台。
这个月平均每天生产电视机多少台？ < br>2，小明参加数学考试，前两次的平均分是85分，后三次的总分是270分。求小明这
五次考试 的平均分数是多少。
3，二（1）班学生分三组植树，第一组有8人，平均每人植树10棵；第二组有 6人，
平均每人植树11棵；第三组有6人，平均每人植树9棵。二（1）班平均每人植树多少棵？ < br>例2：王老师为四年级羽毛球队的同学测量身高。其中两个同学身高153厘米，一个
同学身高1 52厘米，有两个同学身高149厘米，还有两个同学身高147厘米。求四年级羽
毛球队同学的平均身 高。
分析与解答：这道题可以按照一般思路解，即用身高总和除以总人数。这道题还可以
采用 假设平均数的方法求解，容易发现，同学们的身高都在150厘米左右，可以假设平均
身高为150厘米 ，把它当作基准数，用“基数+各数与基数的差之和〔份数=平均数”。
（153〓2＋152＋149〓2＋147〓2）〔（2＋1＋2＋2）=150厘米
或：150＋（3〓2＋2－1〓2－3〓2）〔（2＋1＋2＋2）=150厘米
练 习 二
1，五（1）班有7个同学参加数学竞赛，其中有两个同学得了99分，还有三个同学
得了 96分，另外两个同学分别得了97、89分。这7个同学的平均成绩是多少？
2，气象小组每天早上 8点测得的一周气温如下：13℃、13℃、13℃、14℃、15℃、
14℃、16℃。求一周的平均 气温。
3，敬老院有8个老人，他们的年龄分别是78岁、76岁、77岁、81岁、78岁、78岁 、
76岁、80岁。求这8个老人的平均年龄。
例3：从山顶到山脚的路长36千米，一辆汽 车上山，需要4小时到达山顶，下山沿原
路返回，只用2小时到达山脚。求这辆汽车往返的平均速度。
- 48 - 银海是我的光荣，我是银海的骄傲

四年级数学奥数培训资料 姓名：__________________
分析与解答：求往返的平均速度，要用往返的路程除以 往返的时间，往返的路程是36
〓2=72千米，往返的时间是4+2=6小时。所以，这辆汽车往返的 平均速度是每小时行72
〔6=12千米。
练 习 三
1，小强家离学校有1 200米，早上上学，他家到学校用了15分钟，从学校到家用了
10分钟。求小强往返的平均速度。
2，李大伯上山采药，上山时他每分钟走50米，18分钟到达山顶；下山时，他沿原路
返回， 每分钟走75米。求李大伯上下山的平均速度。
3，小亮上山时的速度是每小时走2千米，下山时的速 度是每小时走6千米。那么，
他在上、下山全过程中的平均速度是多少千米？
例4：李华参加 体育达标测试，五项平均成绩是85分，如果投掷成绩不算在内，平均
成绩是83分。李华投掷得了多少 他？
分析与解答：先求出五项的总得分：85〓5=425分，再算出四项的总分：83〓4=332
分，最后用五项总分减去四项总分，就等于李华投掷的成绩：425－332=93分。
练 习 四
1，小军参加了3次数学竞赛，平均分是84分。已知前两次平均分是82分，他第三
次得了多少分？
2，小丽在期末考试时，数学成绩公布前她四门功课的平均分数是92分；数学成绩 公
布后，她的平均成绩下降了1分。小丽的数学考了多少分？
3，某班一次外语考试，李星因 病没有参加。其他同学的平均分是95分，第二天他的
补考成绩是65分，如果加上李星的成绩后，全班 的平均分是94分。这个班有多少人？
例5：如果四个人的平均年龄是23岁，四个人中没有小于18 岁的。那么年龄最大的
人可能是多少岁？
分析与解答：因为四个人的平均年龄是23岁，那么 四个人的年龄和是23〓4=92岁；
又知道四个人中没有小于18岁的，如果四个人中三个人的年龄都 是18岁，就可去求另一
个人的年龄最大可能是92－18〓3=38岁。
练 习 五
1，如果三个人的平均年龄是22岁，且没有小于18岁的，那么三个人中年龄最大的
可能是多 少岁？
2，如果四个人的平均年龄是28岁，且没有大于30岁的。那么最小的人的年龄可能
是多少岁？
3，如果四个人的平均年龄是25岁，四个人中没有小于16岁的，且这四个人的年龄互不相等。那么年龄最大的可能是多少岁？



第二十三周 定义新运算

专题简析：
- 49 -

我们学过常用的 运算加、减、乘、除等，如6＋2=8，6〓2=12等。都是2和6，为什
么运算结果不同呢？主要是 运算方式不同，实质上是对应法则不同。由此可见，一种运算
实际就是两个数与一个数的一种对应方法。 对应法则不同就是不同的运算。当然，这个对
应法则应该是对应任意两个数。通过这个法则都有一个唯一 确定的数与它们对应。
这一周，我们将定义一些新的运算形式，它们与我们常用的加、减、乘、除运算是不
相同的。
例1：设a、b都表示数，规定：a△b表示a的3倍减去b的2倍，即：a△b = a〓3
－b〓2。试计算：（1）5△6；（2）6△5。
分析与解答：解这类题的关键是抓 住定义的本质。这道题规定的运算本质是：运算符
号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍。
5△6=5〓3－6〓2=3
6△5=6〓3－5〓2=8
显然，本例定义的运算不满足交换律，计算中不能将△前后的数交换。
练 习 一
1，设a、b都表示数，规定：a○b=6〓a－2〓b。试计算3○4。
2，设a、b都表示数，规定：a*b=3〓a＋2〓b。试计算：
（1）（5*6）*7 （2）5*（6*7）
3，有两个整数是A、B，A▽B表示A与B的平均数。已知A▽6=17，求A。
例2：对于两个数a与b，规定a⊕b=a〓b＋a＋b，试计算6⊕2。
分析与解答：这道题规定的运算本质是：用运算符号前后两个数的积加上这两个数。
6⊕2=6〓2＋6＋2=20
练 习 二
1，对于两个数a与b，规定：a⊕b=a〓b－（a＋b）。计算3⊕5。
2，对于两个数A与B，规定：A☆B=A〓B〔2。试算6☆4。
3，对于两个数a与b，规定：a⊕b= a〓b＋a＋b。如果5⊕x=29，求x。
例3：如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，按此规律计算3△5。
分析与解 答：这道题规定的运算本质是：从运算符号前的数加起，每次加的数都比前
面的一个数多1，加数的个数 为运算符号后面的数。所以，3△5=3＋4＋5＋6＋7=25
练 习 三
1，如果5▽2=2〓6，2▽3=2〓3〓4，计算：3。
2，如果2▽4=24〔（2＋4），3▽6=36〔（3＋6），计算8▽4。
3，如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，且1△x=15，求x。
例4：对 于两个数a与b，规定a□b=a(a+1)+(a+2)+…(a+b－1)。已知x□6=27，求x。 < br>分析与解答：经仔细分析，可以发现这道题规定运算的本质仍然是：从运算符号前面
的数加起，每 次加的数都比它相邻的前一个数多1，加数的个数为运算符号后面的数，原
式即x+(x+1)+(x+ 2)+…+(x+5)=27，解这个方程，即可求出x=2。
练 习 四
1，如果2 □3=2＋3＋4=9，6□5=6＋7＋8＋9＋10=40。已知x□3=5973，求x。
2， 对于两个数a与b，规定a□b=a+(a+1)+(a+2)+…+(a+b－1)，已知95□x=585， 求
x。
- 50 - 银海是我的光荣，我是银海的骄傲

四年级数学奥数培训资料 姓名：__________________
3，如果1！=1，2！=1〓2=2，3！=1〓2〓3=6，按此规律计算5！。
例5： 2▽4=8，5▽3=13，3▽5=11，9▽7=25。按此规律计算：。
分析与解答：仔细观察 和分析这几个算式，可以发现下面的规律：a▽b=2a+b，依此
规律：
7▽3=7〓2＋3=17。
练 习 五
1，有一个数学运算符号“▽”，使 下列算式成立：6▽2=12，4▽3=13，3▽4=15，5
1164711
23
5
▽1=8。按此规律计算：8▽4。


267425945
。
36
32
2，有一个数学运算符号“□”使下列算式成立：□，□，□
按此 规律计算：
8
□
11
。
3，对于两个数a、b，规定a▽b=b〓 x－a〓2，并且已知82▽65=31，计算：29▽57。


第二十四周 差倍问题

专题简析：
解答差倍问题时，先要求出与两个数的差对应的倍数差。在 一般财政部下，它们往往
不会直接告诉我们，这就需要我们根据题目的具体特点将它们求出。当题中出现 三个或三
个以上的数量时，一般把题中有关数量转化为与标准量之间倍数关系对应的数量。
解答差倍应用题的基本数量关系是：
差〔（倍数－1）=小数
小数〓倍数=大数 或：小数+差=大数
例1：光明小学开展冬季体育比赛，参加跳绳比赛的人数是 踺子人数的3倍，比踢踺
子的多36人。参加跳绳和踢踺子比赛的各有多少人？
分析与解答： 如果把踢踺子的人数看作1份，那么跳绳的人数是这样的3份。36人是
这样的3－1=2份。这样，把 36人平均分成2份，1份就是踢踺子的人数：36〔2=18人，
跳绳的有18〓3=54人。
练 习 一
1，城南小学三年级的人数是一年级人数的2倍，三年级的人数比一年级多1 30人。
三年级和一年级各有多少人？
2，一种钢笔的价钱是一种圆珠笔的4倍，这种钢笔比 圆珠笔贵12元。这种钢笔和圆
珠笔的单价各是多少元？
3，农业科技小组有两块小麦试验田 ，第二块比第一块少6公顷，第一块的面积是第
二块的3倍。两块试验田各是多少公顷？
例2 ：仓库里存放大米和面粉两种粮食，面粉比大米多3900千克，面粉的千克数比大
米的2倍还多100 千克。仓库有大米和面粉各多少千克？
分析与解答：如果面粉减少100千克，那么面粉的千克数就是 大米的2倍，3900－
100=3800千克，就是大米的2－1=1倍。所以，大米有3800〔1 =3800千克，面粉有3800
＋3900=7700千克。
练 习 二
- 51 -

1，三年级学生参加课外活动，做游戏的人数比打球人数的3倍多2人，已知 做游戏
的比打球的多38人，打球和做游戏的各有多少人？
2，学校今年参加科技兴趣小组的 人数比去年多41人，今年的人数比去年的3倍少35
人。今年有多少人参加？
3，果园里种 了一批苹果树和桃树，已知苹果树比桃树多1600棵，苹果树的棵数比桃
树的3倍多100棵。苹果树 和桃树各种了多少棵？
例3：育红小学买了一些足球、排球和篮球，已知足球比排球多7只，排球比篮 球多
11只，足球的只数是篮球的3倍。足球、排球和篮球各买了多少只？
分析与解答：由题 意可知，足球比篮球多买了7+11=18只，它是篮球的3－1=2倍。
所以，买篮球18〔2=9只 ，买排球9+11=20只，买足球20+7=27只。
练 习 三
1，玩具厂二月份 比一月份多生产玩具2000个，三月份比二月份多生产3000个，三
月份生产的玩具个数是一月份的 2倍。每个月各生产多少个？
2，某农具厂第三季度比第二季度多生产2800套轴承，第一季度比第 二季度少生产1200
套。第三季度生产的是第一季度的3倍。求每季度各生产多少？
3，三 个小朋友们折纸飞机，小晶比小亮多折12架，小强比小亮少折8架，小晶折的
是小强的3倍。三个人各 折纸飞机多少架？
例4：商店运来一批白糖和红糖，红糖的重量是白糖的3倍，卖出红糖380千克， 白
糖110千克后，红糖和白糖重量相等。商店原有红糖和白商各多少千克？
分析与解答：由 “红糖卖出380千克，白糖卖出110千克后，红糖和白糖重量相等”
可知原来红糖比白糖多380－ 110=270千克，它是白糖的3－1=2倍。所以，白糖原有270
〔2=135千克，红糖原有1 35〓3=405千克。
练 习 四
1．甲、乙两个仓库各存一批面粉，甲仓库所存的 面粉的袋是乙仓库的3倍，从甲仓
库运走720千克，从乙仓库运走120千克后，两个仓库所剩的面粉 相等。两个仓库原来各
有面粉多少千克？
2．有两筐橘子，第二筐中橘子的个数是第一筐中的 2倍。如果第一筐中再放入48个，
第二筐中再放入18个，那么两筐的橘子个数相等。原来两筐各有橘 子多少个？
3．甲桶的酒是乙桶的4倍，如果从甲桶中取出15千克倒入乙桶，那么两桶酒的重量相等。原来两桶酒各有多少千克？
例5：甲、乙两个书架原有图书本数相等，如果从甲书架取出2 本，从乙书架取出60
本后，乙书架的本数是甲书架的3倍。原来两个书架各有图书多少本？
分析与解答：由“甲、乙两个书架原有图书相等，从甲书架取240本，从乙书架取出
60本”可知乙书 架余下的书比甲书架多240－60=180本，它是甲书架余下的2倍，所以甲
书架余下180〔2= 90本。甲书架原有90＋240=330本。
练 习 五
1，两筐同样的苹果，甲筐 卖出8千克，乙筐卖出20千克以后，甲筐剩下的是乙筐的
3倍。两筐苹果原来各有多少千克？
2，甲、乙两个人的存款数相等，甲取出60元，乙存入20元，乙的存款是甲的3倍。
两人原来各有 存款多少元？
- 52 - 银海是我的光荣，我是银海的骄傲

四年级数学奥数培训资料 姓名：__________________
3，甲、乙两个书架原有图书本数相等，如果从甲书架 取出120本放到乙书架，乙书
架的本数是甲书架的4倍。原来两个书架各有图书多少本？





第二十五周 和差问题

专题简析：
已知两个数的和与差，求出这两个数各是多少的应用题，叫和差应用题。解答和差应
用题的基本 数量关系是：
（和－差）〔2=小数
小数＋差=大数（和－小数=大数）
或：（和＋差）〔2=大数
大数－差=小数（和－大数=小数）
解答和差 应用题的关键是选择适当的数作为标准，设法把若干个不相等的数变为相等
的数，某些复杂的应用题没有 直接告诉我们两个数的和与差，可以通过转化求它们的和与
差，再按照和差问题的解法来解答。
例1：三、四年级同学共植树128棵，四年级比三年级多植树20棵，求三、四年级各
植树多少棵？
分析与解答：假如把三、四年级植的128棵加上20棵，得到的和就是四年级植树的2
倍，所 以，四年级植树的棵数是（128+20）〔2=74棵，三年级植树的棵数是74－20=54棵。
这道题还可以这样解答：假如从128棵中减去20棵，那么得到的差就是三年级植树
棵数的2倍，由出 ，先求出三年级植树的棵数（128－20）〔2=54棵，再求出四年级植树
的棵数：54＋20=7 4棵。
练 习 一
1，两堆石子共有800吨，第一堆比第二堆多200吨。两堆各有多少吨？
2，用锡和铝混合制成600千克的合金，铝的重量比锡多400千克。锡和铝各是多少
千克？
3，甲、乙两人年龄的和是35岁，甲比乙小5岁。甲、乙两人各多少岁？
例2：两筐梨子共 有120个，如果从第一筐中拿10个放到第二筐中，那么两筐的梨子
个数相等。两筐原来各有多少个梨 ？
分析与解答：根据题意，第一筐减少10个，第二筐增加10个后，则两筐梨子个数相
等， 可知原来第一筐比第二筐多10〓2=20个。假如从120个中减去20个，那么得到的差
就是第二筐 梨子个数的2倍，所以，第二筐原来有（120－20）〔2=50个，第一筐原来有
50＋20=70 个。
练 习 二
1，红星小学三（1）班和三（2）班共有学生108人，从三（1） 班转3人到三（2）
班，则两班人数同样多。两个班原来各有学生多少人？
- 53 - < /p>

2，某汽车公司两个车队共有汽车80辆，如果从第一车队调10辆到第二车队，两个车队的汽车辆数就相等。两个车队原来各有汽车多少辆？
3，甲、乙两笨共有水果60千克，如果 从甲箱中取出5千克放到乙箱中，则两箱水果
一样重。两箱原来各有水果多少千克？
例3：今 年小勇和妈妈两人的年龄和是38岁，3年前，小勇比妈妈小26岁。今年妈
妈和小勇各多少岁？ 分析与解答：3年前，小勇比妈妈小26岁，这个年龄差是不变的，即今年小勇也比妈
妈小26岁。 显然，这属于和差问题。所以妈妈今年（38+26）〔2=32岁，小勇（38－26）
〔2=6岁。
练 习 三
1，今年小刚和小强俩人的年龄和是21岁，1年前，小刚比小强小3岁。今 年小刚和
小强各多少岁？
2，黄茜和胡敏两人今年的年龄和是23岁，4年后，黄茜将比胡敏 大3岁。黄茜和胡
敏今年各多少岁？
3，两年前，胡炜比陆飞大10岁；3年后，两人的年龄 和将是42岁。求胡炜和陆飞今
年各多少岁。
例4：甲乙两个仓库共有大米800袋，如果从 甲仓库中取出25袋放到乙仓库中，则甲
仓库比乙仓库还多8袋。两个仓库原来各有多少袋大米？ 分析与解答：先求甲、乙两仓库大米的袋数差，由“从甲仓库中取出25袋放到乙仓
库中，则甲仓库 比乙仓库还多8袋”可知甲仓库原来比乙仓库多25〓2＋8=58袋。由此可
求出甲仓库原来有（80 0＋58）〔2=429袋，乙仓库原来有800－429=371袋。
练 习 四
1 ．甲、乙两箱洗衣粉共有90袋，如果从甲箱中取出4袋放到乙箱中，则甲箱比乙箱
还多6袋。两箱原来 各有多少袋？
2．甲、乙两筐香蕉共重60千克，从甲筐中取5千克放到乙筐，结果甲筐比乙筐还多< br>2千克。两筐原来各有多少千克香蕉？
3．两笼鸡蛋共19只，若甲笼再放入4只，乙笼中取出 2只，这时乙笼比甲笼还多1
只。甲、乙两笼原来各有鸡蛋多少只？
例5：把长108厘米的铁丝围成一个长方形，使长比宽多12厘米，长和宽各是多少厘
米？
分析与解答：根据题意可知围成的长方形的周长是108厘米，因此，这个长方形长与
宽的和是 108〔2=54厘米，由此可以求出长方形的长为（54+12）〔2=33厘米，宽为54－
33= 21厘米。
练 习 五
1，把长84厘米的铁丝围成一个长方形，使宽比长少6厘米。长和宽各是多少厘米？
2，赵 叔叔沿长和宽相差30米的游泳池跑6圈，做下水前的准备活动，共跑1080米。
游泳池的长和宽各是 多少米？
3，刘晓每天早晨沿长和宽相差40米的操场跑步，每天跑6圈，共跑2400米。这个操场的面积是多少平方米？

- 54 - 银海是我的光荣，我是银海的骄傲

四年级数学奥数培训资料 姓名：__________________
第二十六周 巧算年龄

专题简析：
年龄问题是一类与计算有关的问题，它通常以和倍、差倍或和差等问题的形式出现 。
有些年龄问题往往是和、差、倍数等问题的综合，需要灵活地加以解决。
解答年龄问题，要灵活运用以下三条规律：
1，无论是哪一年，两人的年龄差总是不变的；
2，随着时间的向前或向后推移，几个人的年龄总是在减少或增加相等的数量；
3，随着时间的变化，两人的年龄之间的倍数关系也会发生变化。
例1：爸爸今年43岁，儿子今年11岁。几年后爸爸的年龄是儿子的3倍？
分析与解答：儿 子出生后，无论在哪一年，爸爸和儿子的年龄差总是不变的，这个年
龄差是43－11=32岁。所以， 当爸爸的年龄是儿子3倍时，儿子是32〔（3－1）=16岁，
因此16－11=5年后，爸爸的年龄 是儿子的3倍。
练 习 一
1，妈妈今年36岁，儿子今年12岁。几年后妈妈年龄是儿子的2倍？
2，小强今年15岁，小亮今年9岁。几年前小强的年龄是小亮的3倍？
3，爷爷今年60岁，孙子今年6岁。再过多少年爷爷的年龄比孙子大2倍？
例2：妈妈今年 的年龄是女儿的4倍，3年前，妈妈和女儿的年龄和是39岁。妈妈和
女儿今年各多少岁？
分 析与解答：从3年前到今年，妈妈和女儿都长了3岁，她们今年的年龄和是：39+3
〓2=45岁。于 是，这个问题可转化为和倍问题来解决。所以，今年女儿的年龄是45〔（1+4）
=9岁，妈妈今年是 9〓4=36岁。
练 习 二
1，今年爸爸的年龄是儿子的4倍，3年前，爸爸和儿子 的年龄和是44岁。爸爸和儿
子今年各是多少岁？
2，今年小丽和她爸爸的年龄和是41岁， 4年前爸爸的年龄恰好是小丽的10倍。小丽
和爸爸今年各是多少岁？
3，今年小芳和她妈妈 的年龄和是38岁，3年前妈妈的年龄比小芳的9倍多2岁。小
芳和妈妈今年各多少岁？
例3 ：今年小红的年龄是小梅的5倍，3年后小红的年龄是小梅的2倍。小红和小梅
今年各多少岁？
分析与解答：小红和小梅的年龄差是不变的，因此两人的年龄差是小梅今年的5－1=4
倍，也是3年 后小梅年龄的2－1=1倍，即：小梅今年的年龄＋3=小梅今年的年龄〓4。所
以，小梅今年的年龄为 ：3〔（4－1）=1岁，小红今年的年龄为：1〓5=5岁。
练 习 三
1，今年小 明的年龄是小娟的3倍，3年后小明的年龄是小娟的2倍。小明和小娟今年
各多少岁？
2，今 年小亮的年龄是小英的2倍，6年前小亮的年龄是小英的5倍。小英和小亮今年
各多少岁？
- 55 -

3，10年前父亲的年龄是儿子的7倍，15年后父亲的年龄是儿子的2倍。 父亲和儿子
今年各多少岁？
例4：甜甜的爸爸今年28岁，妈妈今年26岁。再过多少年，她 的爸爸和妈妈的年龄
和为80岁？
分析与解答：两人的年龄和每年增加2岁，先求今年爸爸和 妈妈的年龄和：28＋26=54
岁，再求80比54多80－54=26岁。26里面包含多少个2， 就是经过的年数。所以，再过
26〔2=13年爸爸和妈妈的年龄和为80岁。
练 习 四
1，蜜蜜的爸爸今年27岁，她的妈妈今年26岁。再过多少年，她爸爸和妈妈的年龄
和为 73岁？
2，林星今年8岁，爸爸今年34岁。当他们的年龄和为72岁时，爸爸和林星各多少
岁？
3，今年爸爸56岁，儿子30岁。当父子的年龄和为46岁时，爸爸和儿子各是多少岁？
例 5：小英一家由小英和她的父母组成。小英的父亲比母亲大3岁，今年全家年龄总
和是71岁，8年前这 个家的年龄总和是49岁。今年三人各多少岁？
分析与解答：已知8年前这个家的年龄总和是49岁， 这个条件中8年与49岁看上去
有一个是多余的，有的同学可能认为8年前这个家的年龄总和应该是71 －（1+1+1）〓8=47
岁，但这与题中所给的条件49不一致。为什么呢？这说明8年前小英还没 有出生。这相
差的2岁就是8年前与小英年龄的差。由此可以求出小英今年是8－2=6岁。今年父母的
年龄和为71－6=65岁。已知小英的父亲比母亲大3岁，所以今年父亲（65+3）〔2=34岁，
母亲34－3=31岁。
练 习 五
1，父、母、子三人今年的年龄和为70 岁，而10年前三人的年龄和为46岁，父亲比
母亲大4岁。求三人今年各多少岁。
2，全家 四口人，父亲比母亲大3岁，姐姐比弟弟大2岁。4年前他们的年龄和为58
岁，现在全家的年龄和是7 3岁。现在每个人各多少岁？
3，吴琪一家由吴琪和他的孪生姐姐吴林还有他们的父母组成，其中父亲 比母亲大2
岁。今年全家的年龄和是64岁，5年前全家的年龄和是52岁。求今年每人的年龄。

第二十七周 较复杂的和差倍问题

专题简析：
前面我们学习 了和倍、差倍、和差三种应用题，有的题目需要通过转化而成为和倍、
差倍、和差问题，这类问题叫做复 杂的和差倍问题。
解答较复杂的和差倍问题，需要我们从整体上把握住问题的本质，将题目进行合理的
转化，从而将较复杂的问题转化为一般和倍、差倍、和差应用题来解决。
例1：两箱茶叶共重 96千克，如果从甲箱取出12千克放入乙箱，那么乙箱的千克数
是甲箱的3倍。两箱原来各有茶叶多少 千克？
- 56 - 银海是我的光荣，我是银海的骄傲

四年级数学奥数培训资料 姓名：__________________
分析与解答：由“两箱茶叶共重96千克，如果从甲箱 取出12千克放入乙箱，那么乙
箱的千克数是甲箱的3倍”可求出现在甲箱中有茶叶96〔（1＋3）= 24千克。由此可求出
甲箱原来有茶叶24＋12=36千克，乙箱原来有茶叶96－36=60千克。
练 习 一
1，书架的上、下两层共有书180本，如果从上层取下15本放入下层，那 么下层的本
数正好是上层的2倍。两层原来各有书多少本？
2，甲、乙两人共储蓄2000元 ，甲取出160元，乙又存入240元，这时甲储蓄的钱数
比乙的2倍少20元。甲、乙两人原来各储蓄 多少元？
3，某畜牧场共有绵羊和山羊3561只，后来卖了60只绵羊，又买来山羊100只，现< br>在绵羊的只数比山羊的2倍多1只。原来绵羊和山羊各有多少只？
例2：甲、乙、丙三个同学做 数学题，已知甲比乙多做5道，丙做的是甲的2倍，比
乙多做20道。他们一共做了多少道数学题？

分析与解答：甲比乙多5道，丙比乙多20道，丙做的是甲的2倍，因此，20－5=15< br>道是丙的一半，也就是甲做的道数。丙做了15〓2=30道，乙做了15－5=10道。他们共做
了：（20－5）〓（1＋2）＋[（20－5）－5]=55道。
练 习 二
1， 某厂一季度创产值比三季度多2万元，二季度的产值是一季度产值的2倍，比三
季度产值多42万元。三 个季度共创产值多少万元？
2，甲、乙、丙三个人合做一批零件，甲比乙多做12个，丙做的比甲的2 倍少20个，
比乙做的多38个。这批零件共有多少个？
3，果园里的苹果树是桃树的3倍， 管理员每天能给25棵苹果树和15棵桃树洒农药。
几天后，当桃树喷完农药时，苹果树还有140棵没 有喷药。果园里共有多少棵树？
例3：某工厂一、二、三车间共有工人280人，第一车间比第二车间 多10人，第二车
间比第三车间多15人。三个车间各有工人多少人？
分析与解答：这是多量 的和差问题，解题的时候确定的标准不同，解法也就不同。如
果以第二车间的人数为标准，第一车间减少 10人，第三车间增加15人，那么280－10＋
15=285人是第二车间人数的3倍，由此可以求 出第二车间有285〔3=95人，第一车间有
95＋10=105人，第三车间有95－15=80人 。
练 习 三
1，一个三层书架共放书168本，上层比中层多12本，下层比中层少 6本。三层各放
书多少本？
2，一个三层柜台共放皮鞋120双，第一层比第二层多放4双， 第二层比第三层多7
双，三层各多皮鞋多少双？
3，四个数的和是152，第一个数比第二个 数多16，比第三个数多20，比第四个数少
12。第一个数和第四个数是多少？
例4：两个数相除，商是4，被除数、除数、商的和是124。被除数和除数各是多少？
分析 与解答：从124里去掉商，是124－4=120，它是除数的1＋4=5倍，除数是120
〔5=2 4，被除数是24〓4=94。
练 习 四
- 57 -

1 ，在一个除法算式中，被除数、除数、商的和是123。已知商是3，被除数和除数各
是多少？
2，两个数相除，商是5，余数是7，被除数、除数、商、余数的和是187，求被除数。
3 ，两个数相除，商是17，余数是8，被除数、除数、商和余数的和是501，求被除数
和除数是多少。
例5：甲的存款是乙的4倍，如果甲取出110元，乙存入110元，那么乙的存款是甲
的3倍 。甲、乙原来各有存款多少元？
分析与解答：由“乙存入110元，甲取出110元”，可知乙存入1 10元后相当于甲存
款数的3倍，取出110〓3=330元；而由甲的存款是乙的4倍，可知甲原有存 款的3倍相
当于乙原有存款的4〓3=12倍，乙现在存入110元后相当于甲原有的12倍，取110 〓3=330
元，所以，330＋110=440元，相当于乙原有的12－1=11倍。所以，乙原有 存款440〔11=40
元，甲原有存款40〓4=160元。
练 习 五
1 ，甲的存款是乙的5倍，如果甲取出60元，乙存入60元，那么乙的存款是甲的2
倍。甲、乙原来各有 存款多少元？
2，刘叔叔的存款是李叔叔的6倍，如果刘叔叔取出1100元，李叔叔存入1100元 ，
那么刘叔叔的存款是李叔叔的2倍。刘叔叔和李叔叔原来各有存款多少元？
3，有大、中、 小三筐菠萝，小筐装的是中筐的一半，中筐比大筐少装16千克，大筐
装的是小筐的4倍。大、中、小三 筐各装菠萝多少千克？



第二十八周 周期问题

专题简析：
在日常生活中，有一些现象按照一定的规律不断重复出现，例如，人的生肖、每周 的
七天等等。我们把这种特殊的规律性问题称为周期问题。
解答周期问题的关键是找规律，找 出周期。确定周期后，用总量除以周期，如果正好
有整数个周期，结果为周期里的最后一个；如果比整数 个周期多n个，那么为下个周期里
的第n个；如果不是从第一个开始循环，可以从总量里减掉不是特球的 个数后，再继续算。
例1：你能找出下面每组图形的排列规律吗？根据发现的规律，算出每组第20个 图形
分别是什么。
（1）□△□△□△□△……
（2）□△△□△△□△△……
分析与解答：第（1）题排列规律是“□△”两个图形重复出现，20〔2=10，即“□
△” 重复出现10次，所以第20个图形是△。第（2）题的排列规律是“□△△”三个图
形重复出现，20 〔3=6…2，即“□△△”重复出现6次后又出现了两个图形“□△”，所
以第20个图形是△。
练 习 一
（1）□□△△□□△△□□△△……第28个图形是什么？
- 58 - 银海是我的光荣，我是银海的骄傲

四年级数学奥数培训资料 姓名：__________________
（2）盼望祖国早日统一盼望祖国早日统一盼望祖国早日统一…第2001个字是什么
字？ < br>（3）公园门口挂了一排彩灯泡按“二红三黄四蓝”重复排列，第63只灯泡是什么颜
色？第11 2只呢？
例2：有一列数，按5、6、2、4、5、6、2、4…排列。
（1）第129个数是多少？（2）这129个数相加的和是多少？
分析与解答：（1）从排 列可以看出，这组数是按“5、6、4、2”一个循环依次重复
出现进行排列，那么一个循环就是4个数 ，则129〔4=32…1，可知有32个“5、6、4、2”
还剩一个。所以第129个数是5。（2 ）每组四个数之和是5+6+4+2=17，所以，这129个
数相加的和是17〓32＋5=549。
练 习 二
1，有一列数：1，4，2，8，5，7，1，4，2，8，5，7…
（1）第58个数是多少？（2）这58个数的和是多少？
2，小青把积存下来的硬币按先四 个1分，再三个2分，最后两个5分这样的顺序一
直往下排。（1）他排到第111个是几分硬币？（2 ）这111个硬币加起来是多少元钱？
3，河岸上种了100棵桃树，第一棵是蟠桃，后面两棵是水蜜 桃，再后面三棵是大青
桃。接下去一直这样排列。问：第100棵是什么桃树？三种树各有多少棵？ < br>例3：假设所有的自然数排列起来，如下所示39应该排在哪个字母下面？88应该排
在哪个字母 下面？
A B C D
1 2 3 4
5 6 7 8
9…
分析与解答：从排列情况可以知道，这 些自然数是按从小到大4个数一个循环，我们
a
可以根据这些数除以4所得的余数来分析。
39〔4=9…3 88〔4=22
7
所以，39应排在第10
4< br>个循环的第三个字母C下面，88应排在第22个循环的第四个
字母D下面。
1
练 习 三
3
6
2
a线开始，从1起依次在三条直 线上写数（如下图），1，有a、b、c三条直线，从
9
5
22、59、2001各在 哪一条线上？
8
c
b

2，假设所有自然数如下图排列起来，36、43、78、2000应分别排在哪个字母下面？
A B C D
1 2 3 4
8 7 6 5
9 10 11 12
…
3，2001个学生按下列方法编号排成五列：
一 二 三 四 五
- 59 -

1 2 3 4 5
9 8 7 6
10 11 12 13
17 16 15 14
…
问：最后一个学生应该排在第几列？
例4：1991年1月1日是星期二，（1）该月的22 日是星期几？该月28日是星期几？
（2）1994年1月1日是星期几？
分析与解答：（1 ）一个星期是7天，因此，7天为一个循环，这类题在计算天数时，
可以采用“算尾不算头”的方法。（ 22－1）〔7=3，没有余数，该月22日仍是星期二；
（28－1）〔7=3…6，从星期三开始（ 包括星期三）往后数6天，28日是星期一。
（2）1991年、1993年是平年，1992年是闰 年，从1991年1月2日到1994年1月1
日共1096天，1096〔7=156…4，从星期三 开始往后数4天，1994年1月1日是星期六。
练 习 四
1，1990年9月22日是星期六，1991年元旦是星期几？
2，1989年12月5日是星期二，那么再过10年的12月5日是星期几？
3，1996年8月1日是星期四，1996年的元旦是星期几？
例5：我国农历用鼠、牛、 虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪12种动物按顺
序轮流代表年号，例如，第一年如果属鼠年， 第二年就属牛年，第三年就是虎年…。如果
公元1年属鸡年，那么公元2001年属什么年？
分析与解答：一共有12种动物，因此12为一个循环，为了便于思考，我们把“狗、
猪、鼠、牛、虎、 兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡”看作一个循环，从公元2年到公元2001
年共经历了2000年（算头 不算尾），2000〔12=166…8，从狗年开始往后数8年，公元2001
年是蛇年。
练 习 五
我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪12种动物按 顺序轮
流代表年号。
1，如果公元3年属猪年，那么公元2000年属什么年？
2，如果公元6年属虎年，那么公元21世纪的第一个虎年是哪一年？
3，公元2001年属蛇年，公元2年属什么年？



第二十九周 行程问题（一）

专题简析：
我们把研究路程、速度、时间 这三者之间关系的问题称为行程问题。行程问题主要包
括相遇问题、相背问题和追及问题。这一周我们来 学习一些常用的、基本的行程问题。
解答行程问题时，要理清路程、速度和时间之间的关系，紧扣基本 数关系“路程=速
度〓时间”来思考，对具体问题要作仔细分析，弄清出发地点、时间和运动结果。
- 60 - 银海是我的光荣，我是银海的骄傲

四年级数学奥数培训资料 姓名：__________________
例1：甲乙两人分别从相距20千米的两地同时出发相 向而行，甲每小时走6千米，乙
每小时走4千米。两人几小时后相遇？
分析与解答：这是一道 相遇问题。所谓相遇问题就是指两个运动物体以不同的地点作
为出发地作相向运动的问题。根据题意，出 发时甲乙两人相距20千米，以后两人的距离
每小时缩短6＋4=10千米，这也是两人的速度和。所以 ，求两人几小时相遇，就是求20
千米里面有几个10千米。因此，两人20〔（6＋4）=2小时后相 遇。
练 习 一
1，甲乙两艘轮船分别从A、B两港同时出发相向而行，甲船每小时行 驶18千米，乙
船每小时行驶15千米，经过6小时两船在途中相遇。两地间的水路长多少千米？ 2，一辆汽车和一辆摩托车同时分别从相距900千米的甲、乙两地出发，汽车每小时
行40千米， 摩托车每小时行50千米。8小时后两车相距多少千米？
3，甲乙两车分别从相距480千米的A、B 两城同时出发，相向而行，已知甲车从A城
到B城需6小时，乙车从B城到A城需12小时。两车出发后 多少小时相遇？
例2：王欣和陆亮两人同时从相距2000米的两地相向而行，王欣每分钟行110米 ，陆
亮每分钟行90米。如果一只狗与王欣同时同向而行，每分钟行500米，遇到陆亮后，立
即回头向王欣跑去；遇到王欣后再回头向陆亮跑去。这样不断来回，直到王欣和陆亮相遇
为止，狗共行了 多少米？
分析与解答：要求狗共行了多少米，一般要知道狗的速度和狗所行的时间。根据题意
可知，狗的速度是每分钟行500米，关键是要求出狗所行的时间，根据题意可知：狗与主
人是同时行走 的，狗不断来回所行的时间就是王欣和陆亮同时出发到两人相遇的时间，即
2000〔（110＋90） =10分钟。所以狗共行了500〓10=5000米。
练 习 二
1，甲乙两队学生 从相隔18千米的两地同时出发相向而行。一个同学骑自行车以每小
时15千米的速度在两队之间不停地 往返联络。甲队每小时行5千米，乙队每小时行4千
米。两队相遇时，骑自行车的同学共行多少千米？
2，A、B两地相距400千米，甲、乙两车同时从两地相对开出，甲车每小时行38千米，
乙 车每小时行42千米。一只燕子以每小时50千米的速度和甲车同时出发向乙车飞去，遇
到乙车又折回向 甲车飞去。这样一直飞下去，燕子飞了多少千米，两车才能相遇？
3，甲、乙两个车队同时从相隔33 0千米的两地相向而行，甲队每小时行60千米，乙
队每小时行50千米。一个人骑摩托车以每小时行8 0千米的速度在两车队中间往返联络，
问两车队相遇时，摩托车行驶了多少千米？
例3：甲每 小时行7千米，乙每小时行5千米，两人于相隔18千米的两地同时相背而
行，几小时后两人相隔54千 米？
分析与解答：这是一道相背问题。所谓相背问题是指两个运动的物体作背向运动的问
题。 在相背问题中，相遇问题的基本数量关系仍然成立，根据题意，甲乙两人共行的路程
应该是54－18= 36千米，而两人每小时共行7＋5=12千米。要求几小时能行完36千米，
就是求36千米里面有几 个12千米。所以，36〔12=3小时。
练 习 三
1，甲车每小时行6千米，乙车 每小时行5千米，两车于相隔10千米的两地同时相背
而行，几小时后两人相隔65千米？
- 61 -

2，甲每小时行9千米，乙每小时行7千米，甲从南庄向南行，同时乙从北庄 向北行。
经过3小时后，两人相隔60千米。南北两庄相距多少千米？
3，东西两镇相距20 千米，甲、乙两人分别从两镇同时出发相背而行，甲每小时的路
程是乙的2倍，3小时后两人相距56千 米。两人的速度各是多少？
例4：甲乙两人分别从相距24千米的两地同时向东而行，甲骑自行车每小 时行13千
米，乙步行每小时走5千米。几小时后甲可以追上乙？
分析与解答：这是一道追及 问题。根据题意，甲追上乙时，比乙多行了24千米（路
程差）。甲骑自行车每小时行13千米，乙步行 每小时走5千米，甲每小时比乙多行13－
5=8千米（速度差），即甲每小时可以追上乙8千米，所以 要求追上乙所用的时间，就是
求24千米里面有几个8千米。因此，24〔8=3小时甲可以追上乙。
练 习 四
1，甲乙两人同时从相距36千米的A、B两城同向而行，乙在前甲在后，甲 每小时行
15千米，乙每小时行6千米。几小时后甲可追上乙？
2，解放军某部从营地出发， 以每小时6千米的速度向目的地前进，8小时后部队有急
事，派通讯员骑摩托车以每小时54千米的速度 前去联络。多长时间后，通讯员能赶上队
伍？
3，小华和小亮的家相距380米，两人同时从 家中出发，在同一条笔直的路上行走，
小华每分钟走65米，小亮每分钟走55米。3分钟后两人相距多 少米？
例5：甲、乙两沿运动场的跑道跑步，甲每分钟跑290米，乙每分钟跑270米，跑道
一圈长400米。如果两人同时从起跑线上同方向跑，那么甲经过多长时间才能第一次追上
乙？ 分析与解答：这是一道封闭线路上的追及问题。甲和乙同时同地起跑，方向一致。因
此，当甲第一次 追上乙时，比乙多跑了一圈，也就是甲与乙的路程差是400米。根据“路
程差〔速度差=追及时间”即 可求出甲追上乙所需的时间：400〔（290－270）=20分钟。
练 习 五
1 ，一条环形跑道长400米，小强每分钟跑300米，小星每分钟跑250米，两人同时
同地同向出发， 经过多长时间小强第一次追上小星？
2，光明小学有一条长200米的环形跑道，亮亮和晶晶同时从起 跑线起跑。亮亮每秒
跑6米，晶晶每秒跑4米，问：亮亮第一次追上晶晶时两人各跑了多少米？
3，甲、乙两人绕周长1000米的环形广场竞走，已知甲每分钟走125米，乙的速度是
甲的2倍。 现在甲在乙后面250米，乙追上甲需要多少分钟？



第三十周 用假设法解题

专题简析：
假设法是一种常用的解题方法。“假设法”就是根据题 目中的已知条件或结论作出某
种假设，然后按已知条件进行推算，根据数量上出现的矛盾作适当调整，从 而找到正确答
案。
- 62 - 银海是我的光荣，我是银海的骄傲

四年级数学奥数培训资料 姓名：__________________
运用假设法的思路解应用题，先要根据题意假设未知的 两个量是同一种量，或者假设
要求的两个未知量相等；其次，要根据所作的假设，注意到数量关系发生了 什么变化并作
出适当的调整。
例1：今有鸡、兔共居一笼，已知鸡头和兔头共35个，鸡脚与 兔脚共94只。问鸡、
兔各有多少只？
分析与解答：鸡兔同笼问题往往用假设法来解答，即假 设全是鸡或全是兔，脚的总数
必然与条件矛盾，根据数量上出现的矛盾适当调整，从而找到正确答案。
假设全是鸡，那么相应的脚的总数应是2〓35=70只，与实际相比，减少了94－70=24
只。减少的原因是把一只兔当作一只鸡时，要减少4－2=2只脚。所以兔有24〔2=12只，
鸡有 35－12=23只。
练 习 一
1，鸡与兔共有30只，共有脚70只。鸡与兔各有多少只？
2，鸡与兔共有20只，共有脚50只。鸡与兔各有多少只？
3，鸡与兔共有100只，鸡脚比兔脚多80只。鸡与兔各有多少只？
例2：面值是2元、5 元的人民币共27张，全计99元。面值是2元、5元的人民币各
有多少张？
分析与解答：这 道题类似于“鸡兔同笼”问题。假设全是面值2元的人民币，那么27
张人民币是2〓27=54元，与 实际相比减少了99－54=45元，减少的原因是每把一张面值2
元的人民币当作一张面5元的人民币 ，要减少5－2=3元，所以，面值是5元的人民币有
45〔3=15张，面值2元的人民币有27－1 5=12张。
练 习 二
1，孙佳有2分、5分硬币共40枚，一共是1元7角。两种硬币各有多少枚？
2，50名同 学去划船，一共乘坐11只船，其中每条大船坐6人，每条小船坐4人。问
大船和小船各几只？
3，小明参加猜谜比赛，共20道题，规定猜对一道得5分，猜错一道倒扣3分（不猜
按错算）。小明 共得60分，他猜对了几道？
例3：一批水泥，用小车装载，要用45辆；用大车装载，只要36辆。 每辆大车比小
车多装4吨，这批水泥有多少吨？
分析与解答：求出大车每辆各装多少吨，是解 题关键。如果用36辆小车来运，则剩4
〓36=144吨，需45－36=9辆小车来运，这样可以求 出每辆小车的装载量是144〔9=16吨，
所以，这批水泥共有16〓45=720吨。
练 习 三
1，一批货物用大卡车装要16辆，如果用小卡车装要48辆。已知大卡车比小卡车每
辆多装4吨，问这批货物有多少吨？
2，有一堆黄沙，用大汽车运需运50次，如果用小汽车运，要 运80次。每辆大汽车
比小汽车多运3吨，这堆黄沙有多少吨？
3，一批钢材，用小车装，要 用35辆，用大车装只用30辆，每辆小车比大车少装3
吨，这批钢材有多少吨？
- 63 -

例4：某玻璃杯厂要为商场运送1000个玻璃杯，双方商定每个运费为1元，如果 打碎
一个，这个不但不给运费，而且要赔偿3元。结果运到目的地后结算时，玻璃杯厂共得运
费 920元。求打碎了几个玻璃杯？
分析与解答：假设1000个玻璃杯全部运到并完好无损，应得运费 1〓1000=1000元，
实际上少得1000－920=80元，这说明运输过程中打碎了玻璃杯。 每打碎一个，不但不给
运费还要赔偿3元，这样玻璃杯厂就少收入1＋3=4元。又已求出共少收入80 元，所以打
碎的玻璃杯数为80〔4=20个。
练 习 四
1，搬运1000 玻璃瓶，规定安全运到一只可得搬运费3角。但打碎一只，不仅不给搬
运费还要赔5角。如果运完后共得 运费260元，那么，搬运中打碎了多少只？
2，某次数学竞赛共20道题，评分标准是每做对一题得 5分，每做错一题倒扣1分。
刘亮参加了这次竞赛，得了64分。刘亮做对了多少道题？
3， 某校举行化学竞赛共有15道题，规定每做对一题得10分，每做错一道或不做倒
扣4分。小华在这次竞 赛中共得66分，他做对了几道题？
例5：某场乒乓球比赛售出30元、40元、50元的门票共20 0张，收入7800元。其中
40元和50元的张数相等，每种票各售出多少张？
分析与解答 ：因为“40元和50元的张数相等”，所以可以把40元和50元的门票都
看作45元的门票，假设这 200张门票都是45元的，应收入45〓200=9000元，比实际多
收入9000－7800=1 200元，这是因为把30元的门票都当作45元来计算了。因此30元的
门票有1200〔（45－3 0）=80张，40元和50元的门票各有（200－80）〔2=60张。
练 习 五
1，某场球赛售出40元、30元、50元的门票共400张，收入15600元。其中40元和
50 元的张数相等，每种门票各售出多少张？
2，数学测试卷有20道题，做对一题得7分，做错一题倒扣 4分，不做得0分。红红
得了100分，她几道题没做？
3，有甲、乙、丙三种练习簿，价钱 分别为7角、3角和2角，三种练习簿一共买了
47本，付了21元2角。买乙种练习簿的本数是丙种练 习簿的2倍，三种练习簿各买了多
少本？

第三十一周 还原问题

专题简析：
已知某个数经过加、减、乘、除运算后所得的结果，要求原数，这类问题叫做还原 问
题，还原问题又叫逆运算问题。解决这类问题通常运用倒推法。
遇到比较复杂的还原问题，可以借助画图和列表来解决这些问题。
例1：小刚的奶奶今年年龄 减去7后，缩小9倍，再加上2之后，扩大10倍，恰好是
100岁。小刚的奶奶今年多少岁？
分析与解答：从最后一个条件恰好是100岁向前推算，扩大10倍后是100岁，没有
扩大10倍之 前应是100〔10=10岁；加上2之后是10岁，没有加2之前应是10－2=8岁；
- 64 - 银海是我的光荣，我是银海的骄傲

四年级数学奥数培训资料 姓名：__________________
没有缩小9倍之前应是8〓9=72岁；减去7之后是 72岁，没有减去7前应是72＋7=79岁。
所以，小刚的奶奶今年是79岁。
练 习 一
1，在□里填上适当的数。
20〓□〔8＋16=26
2，一个数的3倍加上6，再减去9，最后乘上2，结果得60。这个数是多少？
3，小红问 王老师今年多大年纪，王老师说：“把我的年纪加上9，除以4，减去2，
再乘上3，恰好是30岁。” 王老师今年多少岁？
例2：某商场出售洗衣机，上午售出总数的一半多10台，下午售出剩下的一半多 20
台，还剩95台。这个商场原来有洗衣机多少台？

分析与解答：从“下午售出 剩下的一半还多20台”和“还剩95台”向前倒推，从图
中可以看出，剩下的95台和下午多卖的20 台合起来，即95＋20=115台正好是上午售后
剩下的一半，那么115〓2=230台就是上午售 出后剩下的台数。而230台和10台合起来，
即230＋10=240台又正好是总数的一半。那么， 240〓2=480台就是原有洗衣机的台数。
练 习 二
1，粮库内有一批大米，第 一次运出总数的一半多3吨，第二次运出剩下的一半多5
吨，还剩下4吨。粮库原有大米多少吨？ 2，爸爸买了一些橘子，全家人第一天吃了这些橘子的一半多1个，第二天吃了剩下
的一半多1个， 第三天又吃掉了剩下的一半多1个，还剩下1个。爸爸买了多少个橘子？
3，某水果店卖菠萝，第一次 卖掉总数的一半多2个，第二次卖掉了剩下的一半多1
个，第三次卖掉第二次卖后剩下的一半多1个，这 时只剩下一外菠萝。三次共卖得48元，
求每个菠萝多少元？
例3：小明、小强和小勇三个人 共有故事书60本。如果小强向小明借3本后，又借给
小勇5本，结果三个人有的故事书的本数正好相等 。这三个人原来各有故事书多少本？
分析与解答：不管这三个人如何借来借去，故事书的总本数是60 本，根据结果三个
人故事书本数相同，可以求最后三个人每人都有故事书60〔3=20本。如果小强不 借给小
勇5本，那么小强有20＋5=25本，小勇有20－5=15本；如果小强不向小明借3本，那 么
小强有25－3=22本，小明有20＋3=23本。
练 习 三
1，甲、 乙、丙三个小朋友共有贺年卡90张。如果甲给乙3张后，乙又送给丙5张，
那么三个人的贺年卡张数刚 好相同。问三人原来各有贺年卡多少张？
2，小红、小丽、小敏三个人各有年历片若干张。如果小红给 小丽13张，小丽给小敏
23张，小敏给小红3张，那么他们每人各有40张。原来三个人各有年历片多 少张？
3，甲、乙、丙、丁四个小朋友有彩色玻璃弹子10颗，甲给乙13颗，乙给丙18颗，
丙给丁16颗，四人的个数相等。他们原来各有弹子多少颗？
例4：甲乙两桶油各有若干千克，如果 要从甲桶中倒出和乙桶同样多的油放入乙桶，
再从乙桶倒出和甲桶同样多的油放入甲桶，这时两桶油恰好 都是36千克。问两桶油原来
各有多少千克？
- 65 -

分析与 解答：如果后来乙桶不倒出和甲桶同样多的油放入甲桶，甲桶内应有油36〔
2=18千克，乙桶应有油 36＋18=54千克；如果开始不从甲桶倒出和乙桶同样多的油倒入乙
桶，乙桶原有油应为54〔2= 27千克，甲桶原有油18＋27=45千克。
练 习 四
1，王亮和李强各有画片若 干张，如果王亮拿出和李强同样多的画片送给李强，李强
再拿出和王亮同样多的画片给王亮，这时两个人 都有24张。问王亮和李强原来各有画片
多少张？
2，甲、乙、丙三个小朋友各有玻璃球若干 个，如果甲按乙现有的玻璃球个数给乙，
再按丙现有的个数给丙之后，乙也按甲、丙现有的个数分别给甲 、丙。最后，丙也按同样
的方法给甲、乙，这时，他们三个人都有32个玻璃球。原来每人各有多少个？
3，书架上分上、中、下三层，共放192本书。现从上层出与中层同样多的书放到中
层，再从 中层取出与下层同样多的书放到下层，最后从下层取出与上层剩下的同样多的书
放到上层，这时三书架所 放的书本数相等。这个书架上中下各层原来各放多少本书？
例5：两只猴子拿26个桃，甲猴眼急手快 ，抢先得到，乙看甲猴拿得太多，就抢去一
半；甲猴不服，又从乙猴那儿抢走一半；乙猴不服，甲猴就还 给乙猴5个，这时乙猴比甲
猴多5个。问甲猴最初准备拿几个？
分析与解答：先求出两个猴现 在各拿多少，根据“有26个桃”和“这时乙猴比甲猴
多2个”，可知乙猴现在拿（26＋2）〔2=1 4个，甲猴现在拿26－14=12个。甲猴从乙猴
那儿抢走一半，又还给乙猴5个后有12个，如果甲 猴不还给乙猴，那么甲猴有12＋5=17
个；如果甲猴不抢乙猴一半，那么乙猴现在有（26－17） 〓2=18个。乙猴看甲猴拿得太多，
抢去甲猴的一半后有18个，如果不抢，那么甲猴最初准备拿（2 6－18）〓2=16个。
练 习 五
1，学校运来36棵树苗，小强和小萍两人争着 去栽。小强先拿了树苗若干棵，小萍看
到小强拿太多了就抢了10棵，小强不肯，又从小萍那里抢了6棵 ，这时小强拿的棵数是
小萍的2倍。问最初小强准备拿多少棵？
2，李辉和张新各搬60本图 书，李辉抢先拿了若干本，张新看李辉拿了太多，就抢了
一半；李辉不肯，张新就给了他10本。这时李 辉比张新多4本。问最初李辉拿了多少本？
3，有甲、乙、丙三个数，从甲数中拿出15加到乙数，再 从乙数中拿出18加到丙数，
最后从丙数拿出12加到甲数，这时三个数都是180。问甲、乙、丙三个 数原来各是多少？
第三十二周 逻辑推理

专题简析：
解答推理问题常用的方法有：排除法、假设法、反证法。一般可以从以下几方面考虑：
1，选准突破口，分析时综合几个条件进行判断；
2，根据题中条件，在推理过程中，不断排除不可能的情况，从而得出要求的结论；
3，对可 能出现的情况作出假设，然后再根据条件推理，如果得到的结论和条件不矛
盾，说明假设是正确的；
4，遇到比较复杂的推理问题，可以借助图表进行分析。
- 66 - 银海是我的光荣，我是银海的骄傲

四年级数学奥数培训资料 姓名：__________________
例1：有三个小朋友们在谈论谁做的好事多。冬冬说： “兰兰做的比静静多。”兰兰说：
“冬冬做的比静静多。”静静说：“兰兰做的比冬冬少。”这三位小朋 友中，谁做的好事最
多？谁做的好事最少？
分析与解答：我们用“＞”来表示每个小朋友之间做好事多少的关系。
兰兰＞静静 冬冬＞静静 冬冬＞兰兰
所以，冬冬＞兰兰＞静静，冬冬做的好事最多，静静做的最少。
练 习 一
1，卢刚、丁飞和陈瑜一位是工程师，一位是医生，一位是飞行员。现在只知道：
卢刚和医生 不同岁；医生比丁飞年龄小，陈瑜比飞行员年龄大。问：谁是工程
师、谁是医生、谁是飞行员？
2，小李、小徐和小张是同学，大学毕业后分别当了教师、数学家和工程师。
小张年龄比工程师大；小李和数学家不同岁；数学家比小徐年龄小。谁是教师、
谁是数学家、谁是工程师 ？
3，江波、刘晓、吴萌三个老师，其中一位教语文，一位教数学，一位教英语。已知：
江 波和语文老师是邻居；吴萌和语文老师不是邻居；吴萌和数学老师是同学。请问：
三个老师分别教什么科 目？
例2：有一个正方体，每个面分别写上汉字：数学奥林匹克。三个人从不同角度观察的结
果如下图所示。这个正方体的每个汉字的对面各是什么字？
林
匹
奥
学
奥
（2）
数
克
数
（3）
林

分析与解答：如果直接思考某个汉字的对面是什么字比较困难，可以换一种思维方式，
想想某个 汉字的对面不是什么字。
从图（1）可知，“奥”的对面不是“林”、“匹”，从图（2）可知，“奥 ”的对面不是
“数”、“学”。所以，“奥”的对面一定是“克”。
从图（2）可知，“数” 的对面不是“奥”、“学”；从图（3）可知，“数”的对面不是
“克”、“林”，所以“数”的对面一 定是“匹”，剩下“学”的对面一定是“林”。
练 习 二
1，下面三块正方体的六个 面都是按相同的规律涂有红、黄、蓝、白、绿、黑六种颜
色。请判断黄色的对面是什么颜色？白色的对面 是什么颜色？红色的对面是什么颜色？
白
黑
黄
（1）
绿
白
红
黄
蓝
红
（C）
（B）
（A）

2，一个正方体，六个面分别写上A、B、C、D、E、F，你能根据这个正方体不同的摆
法， 求出相对的两个面的字母是什么吗？
F
A

B
D

E
C
A

D
C

- 67 -

3，五个相同的正方体木块，按相同的顺序在上面写上数字1~6，把木块叠成下图，那
么，2的对面是几？4的对面是几？5的对面是几？
4
2
6
53
6
6
4
3
5

例3：甲、乙、丙 三个孩子踢球打碎了玻璃，甲说：“是丙打碎的。”乙说：“我没有打碎破
璃。”丙说：“是乙打碎的。 ”他们当中
甲 √ 丙（1） 〓 甲（3）
有一个人说了谎话，到底是谁打碎
乙 〓 乙（1） √ 丁（4）
了玻璃？
丙 〓 丁（2） √ 丙（3）
分析与解答：由题意推出结论，
必须符合他们中只有一个人说了谎，推理时可先假设，看结论和条件是否 矛盾。
如果是甲打碎的，那么甲说谎话，乙说的是真话，丙说的是谎话。这样两人说的是谎
话 ，与他们中只有一人说谎相矛盾，所以不是甲打碎的。
如果是乙打碎的，那么甲说的是谎话，乙说的是 谎话，丙说的是真话，与他们中只有
一人说谎相矛盾，所以不是乙打碎的。
如果是丙打碎的， 那么甲说的是真话，乙说的是真话，而丙说的是谎话。这样有两个
说的是真话，符合条件中只有一个人说 的是谎话，所以玻璃是丙打碎的。
练 习 三
1，已知甲、乙、丙三人中，只有一人会 开汽车。甲说：“我会开汽车。”乙说：“我不
会开。”丙说：“甲不会开汽车。”如果三人中只有一人 讲的是真话，那么谁会开汽车？
2，某学校为表扬好人好事核实一件事，老师找了A、B、C三个学生 。A说：“是B做
的。”B说：“不是我做的。”C说：“不是我做的。”这三个学生中只有一人说了实 话，这件
好事是谁做的？
3，A、B、C、D四个孩子踢球打碎了玻璃。A说：“是C或D打 碎的。”B说：“是D打
碎的。”C说：“我没有打碎玻璃。”D说：“不是我打碎的。”他们中只有一 个人说了谎，到
底是谁打碎了玻璃？
例4：甲、乙、丙、丁四个人同时参加数学竞赛。最后：
甲说：“丙是第一名，我是第三名。”乙说：“我是第一名，丁是第四名。”丙说：“丁是第
一 名，我是第三名。”丁没有说话。成绩揭晓时，大家发现甲、乙、丙三个人各说对了一
半。你能说出他们 的名次吗？
分析与解答：推理时，必须以“他们都只说对了一半”为前提。为了帮助分析，我们可以< br>借助图表进行分析。




（1）乙说“我是第一名”也是错的，而乙说“丁是第四名”是对的。
- 68 - 银海是我的光荣，我是银海的骄傲
5

四年级数学奥数培训资料 姓名：__________________
（2）由丁是第四名推出丙说“丁是第二名”是错的，根据条件，丙说“我是第三名”
是对的。
（3）这样，丙既是第一名，又是第三名，自然是错的。
重新推理：






甲 〓 丙（1） √ 甲（3）
乙 √ 乙（1） 〓 丁（4）
丙 √ 丁（2） 〓 丙（3）
（1）由甲说的“我是第一名 ”推出丙说的“我是第三名”是错的，而丙说的“我是
第一名”是对的。
（2）由“丁第二名”推出乙说的“丁是第四名”是错的，而乙说的“我是第一名”
是对的。
（3）从表中我们可看出：乙是第一名，丁是第二名，甲是第三名，丙是第四名。
练 习 四
1．甲、乙、丙、丁四个人进行游泳比赛，赛前名次众说不一。有的说：“甲是第二名，
丁 是第三名。”有的说：“甲是第一名，丁是第二名。”有的说：“丙是第二名，丁是第四名。”
实际上， 上面三种说法各说对了一半。甲、乙、丙、丁各是第几名？
2，红、黄、蓝、白、紫五种颜色的珠子各 一颗，用纸包着放在桌子上一排。甲、乙、
丙、丁、戌五个人猜各包里的珠子的颜色。甲猜：“第二包紫 色，第三包黄色。”乙猜：“第
二名蓝色，第四包红色。”丙猜：“第三包蓝色，第五包白色。”丁猜： “第三包蓝色，第五
包白色。”戌猜：“第二包黄色，第五包紫色。”结果每个人都猜对了一半，他们各 猜对了
哪种颜色的珠子？
3，张老师要五个同学给鄱阳湖、洞庭湖、太湖、巢湖和洪泽湖每个 湖泊写上号码，
这五个同学只认对了一半。他们是这样回答的：
甲：2是巢湖，3是洞庭湖； 乙：4是鄱阳湖，2是洪泽湖；丙：1是鄱阳湖，5是
太湖；丁：4是太湖，3是洪泽湖；戌：2是洞庭 湖，5是巢湖。请写出各个号码所
代表的湖泊。
例5：A、B、C、D与小强五个同学一起参 加象棋比赛，每两人都赛一盘，比赛一段时间后
统计：A赛了4盘，B赛了3盘，C赛了2盘，D赛了一 盘。问小强已经赛了几盘？
分析与解答：用五个点表示这5个人，如果某两个之间已经进行了比赛，就 在表示这两个
人的点之间画一条线。现在A赛4盘，所以A应该与其余4个点都连线。B赛了3盘，由< br>于D只赛了1盘，是和A赛的，所以B应该与C连。（B、A已连线）C已连了2条线，小
强也连 了2条线，所以小强已赛了2盘。
小强 A
D
C B
练 习 五
1，上海、辽宁、北京、山东四个足球队进行循环赛， 到现在为止，上海队赛了3场，
辽宁队赛了2场，山东队赛了1场。问北京队赛了几场？
2， 明明、冬冬、兰兰、静静、思思和毛毛六人参加一次会议，见面时每两个人都要
握一次手。明明已握了5 次手，冬冬握了4次手，兰兰握了5次手，静静握了2次，思思
- 69 -

握了1次手。问毛毛握了几次手？
3，甲、乙、丙、丁比赛乒乓球，每两人都 要赛一场。结果甲胜了丁，并且甲、乙、
丙三人胜的场数相同。问丁胜了几场？
第三十三周 速算与巧算（三）

专题简析：
这一周，我们来学习一些比较复杂的用凑整法和分 解法等方法进行的乘除的巧算。这
些计算从表面上看似乎不能巧算，而如果把已知数适当分解或转化就可 以使计算简便。
对于一些较复杂的计算题我们要善于从整体上把握特征，通过对已知数适当的分解和< br>变形，找出数据及算式间的联系，灵活地运用相关的运算定律和性质，从而使复杂的计算
过程简化 。
例1：计算236〓37〓27
分析与解答：在乘除法的计算过程中，除了常常要将因数 和除数“凑整”，有时为了便于
口算，还要将一些算式凑成特殊的数。例如，可以将27变为“3〓9” ，将37乘3得111，
这是一个特殊的数，这样就便于计算了。
236〓37〓27
=236〓（37〓3〓9）
=236〓（111〓9）
=236〓999
=236〓（1000－1）
=236000－236
=235764
练 习 一
计算下面各题：
132〓37〓27 315〓77〓13 6666〓6666
例2：计算333〓334＋999〓222
分析与解答：表面上，这 道题不能用乘除法的运算定律、性质进行简便计算，但只要对数
据作适当变形即可简算。
333〓334＋999〓222
=333〓334＋333〓（3〓222）
=333〓（334＋666）
=333〓1000
=333000
练 习 二
计算下面各题：
9999〓2222＋3333〓3334 37〓18＋27〓42 46〓28＋24〓63
例3：计算20012001〓2002－20022002〓2001
分析与解答：这道题 如果直接计算，显得比较麻烦。根据题中的数的特点，如果把20012001
变形为2001〓100 01，把20022002变形为2002〓10001，那么计算起来就非常方便。
20012001〓2002－20022002〓2001
=2001〓10001〓2002－2002〓10001〓2001
=0
练 习 三
计算下面各题：
1，192192〓368－368368〓192
2，19931993〓1994－19941994〓1993
- 70 - 银海是我的光荣，我是银海的骄傲

四年级数学奥数培训资料 姓名：__________________
3，9990999〓3998－59975997〓666
例4：不用笔算，请你指出下面哪个得数大。
163〓167 164〓166 分析与解答：仔细观察可以发现，第二个算式中的两个因数分别与第一个算式中的两
个因数相差1， 根据这个特点，可以把题中的数据作适当变形，再利用乘法分配律，然后
进行比较就方便了。
163〓167 164〓166
=163〓（166＋1） =（163＋1）〓166
=163〓166＋163 =163〓166＋166
所以，163〓167＜164〓166
练 习 四
1，不用笔算，比较下面每道题中两个积的大小。
（1） 242〓248与243〓247
（2） A=987654321〓123456789
B=987654322〓123456788
2，计算：8353〓363－8354〓362
例5：888…88[1993个8]〓999…99[1993个9]的积是多少？
分析 将999…99[1993个9]变形为“100…0[1993个0]－1”，然后利用乘法分配律
来 进行简便计算。
888…88[1993个8]〓999…99[1993个9]
=888…88[1993个8]〓（100…0[1993个0]－1）
=888…88[1993个8]000…0[1993个0]－888…88[1993个8]
=888…88[1993个8]111…1[1992个1]2
练习五
1，666…6[2001个6]999…9[2001个9]的积是多少？
2，999…9 [1988个9]〓999…9[1988个9]＋1999…9[1988个9]的末尾有多少个0？
3，999…9[1992个9]〓999…9[1992个9]＋1999…9[1992个9]的末尾有多 少个0？
第三十四周 行程问题（二）

专题简析：
行船问题是指在流 水中的一种特殊的行程问题，它也有路程、速度与时间之间的数量
关系。因此，它比一般行程问题多了一 个水速。在静水中行船，单位时间内所行的路程叫
船速，逆水的速度叫逆水速度，顺水下行的速度叫顺水 速度。船在水中漂流，不借助其他
外力只顺水而行，单位时间内所走的路程叫水流速度，简称水速。 < br>行船问题与一般行程问题相比，除了用速度、时间和路程之间的关系外，还有如下的
特殊数量关系 ：
顺水速度=船速＋水速
逆水速度=船速－水速
（顺水速度＋逆水速度）〔2=船速
（顺水速度－逆水速度）〔2=水速
例1：货 车和客车同时从东西两地相向而行，货车每小时行48千米，客车每小时行42千
米，两车在距中点18 千米处相遇。东西两地相距多少千米？
分析与解答：由条件“货车每小时行48千米，客车每小时行4 2千米”可知货、客车
的速度和是48＋42=90千米。由于货车比客车速度快，当货车过中点18千 米时，客车距
中点还有18千米，因此货车比客车多行18〓2=36千米。因为货车每小时比客车多行 48
－42=6千米，这样货车多行36千米需要36〔6=6小时，即两车相遇的时间。所以，两地< br>- 71 -

相距90〓6=540千米。
练 习 一
1，甲、乙两人同时分别从两地骑车相向而行，甲每小时行20千米，乙每小时行18
千米。两人相遇 时距全程中点3千米，求全程长多少千米。
2，甲、乙两辆汽车同时从东西两城相向开出，甲车每小时 行60千米，乙车每小时行
56千米，两车在距中点16千米处相遇。东西两城相距多少千米？
3，快车和慢车同时从南北两地相对开出，已知快车每小时行40千米，经过3小时后，
快车已驶过中 点25千米，这时慢车还相距7千米。慢车每小时行多少千米？
例2：甲、乙、丙三人步行的速度分别 是每分钟30米、40米、50米，甲、乙在A地，而
丙在B地同时出发相向而行，丙遇乙后10分钟和 甲相遇。A、B两地间的路长多少米？

分析与解答：从图中可以看出，丙和乙相遇后又经过 10分钟和甲相遇，10分钟内甲
丙两人共行（30＋50）〓10=800米。这800米就是乙、丙 相遇比甲多行的路程。乙每分钟
比甲多行40－30=10米，现在乙比甲多行800米，也就是行了8 0〔10=80分钟。因此，AB
两地间的路程为（50＋40）〓80=7200米。
练 习 二
1，甲每分钟走75米，乙每分钟走80米，丙每分钟走100米，甲、乙从东镇，丙人西镇，同时相向出发，丙遇到乙后3分钟再遇到甲。求两镇之间相距多少米？
2，有三辆客车，甲 、乙两车从东站，丙车从西站同时相向而行，甲车每分钟行1000
米，乙车每分钟行800米，丙车每 分钟行700米。丙车遇到甲车后20分钟又遇到乙车。
求东西两站的距离。
3，甲、乙、丙 三人，甲每分钟走60米，乙每分钟走67米，丙每分钟走73米。甲、
乙从南镇，丙从北镇同时相向而 行，丙遇乙后10分钟遇到甲。求两镇相距多少千米。
例3：甲、乙两港间的水路长286千米，一只 船从甲港开往乙港顺水11小时到达；从乙港
返回甲港，逆水13小时到达。求船在静水中的速度（即船 速）和水流速度（即水速）。
分析与解答：要求船速和水速，要先求出顺水速度和逆水速度，而顺水速 度可按行程
问题的一般数量关系求，即：路程〔顺水时间=顺水速度，路程〔逆水时间=逆水速度。因< br>此，顺水速度是286〔11=26千米，逆水速度是286〔13=22千米。所以，船在静水中每小< br>时行（26＋22）〔2=24千米，水流速度是每小时（26－22）〔2=2千米。
练 习 三
1，A、B两港间的水路长208千米。一只船从A港开往B港，顺水8小时到达；从B港返回A港，逆水13小时到达。求船在静水中的速度和水流速度。
2，甲、乙两港间水路长43 2千米，一只船从上游甲港航行到下游乙港需要18小时，
从乙港返回甲港，需要24小时到达。求船在 静水中的速度和水流速度。
3，甲、乙两城相距6000千米，一架飞机从甲城飞往乙城，顺风4小时 到达；从乙城
返回甲城，逆风5小时到达。求这架飞机的速度和风速。
例4：一只轮船从上海 港开往武汉港，顺流而下每小时行25千米，返回时逆流而上用了
75小时。已知这段航道的水流是每小 时5千米，求上海港与武汉港相距多少千米？
分析与解答：先根据顺水速度和水速，可求船速为每小时 25－5=20千米；再根据船
速和水速，可求出逆水速度为每小时行20－5=15千米。又已知“逆 流而上用了75小时”，
所以，上海港与武汉港相距15〓75=1125千米。
练 习 四
1，一只轮船从A港开往Ｂ港，顺流而下每小时行20千米，返回时逆流而上用了60
小时 。已知这段航道的水流是每小时4千米，求A港到B港相距多少千米？
2，一只轮船从甲码头开往乙码 头，逆流每小时行15千米，返回时顺流而下用了18
小时。已知这段航道的水流是每小时3千米，求甲 、乙两个码头间水路长多少千米？
- 72 - 银海是我的光荣，我是银海的骄傲

四年级数学奥数培训资料 姓名：__________________
3，某轮船在相距216千米的两个港口间往返运送货 物，已知轮船在静水中每小时行
21千米，两个港口间的水流速度是每小时3千米，那么，这只轮船往返 一次需要多少时间？
例5：A、B两个码头之间的水路长80千米，甲船顺流而下需要4小时，逆流而 上需要10
小时。如果乙船顺流而行需要5小时，那么乙船在静水中的速度是多少？
分析与解 答：虽然甲、乙两船的船速不同，但都在同一条水路上行驶，所以水速相同。
根据题意，甲船顺水每小时 行80〔4=20千米，逆水每小时行80〔10=8千米，因此，水速
为每小时（20－8）〔2=6 千米。又由“乙船顺流而行80千米需要5小时”，可求乙船在顺
水中每小时行80〔5=16千米。所 以，乙船在静水中每小时行16－6=10千米。
练 习 五
1，甲乙两个码头间的水 路长288千米，货船顺流而下需要8小时，逆流而上需要16
小时。如果客船顺流而下需要12小时， 那么客船在静水中的速度是多少？
2，A、B两个码头间的水路全长80千米，甲船顺流而下需要4小 时，逆流而上需要
10小时。如果乙船逆流而上需要20小时，那么乙船在静水中的速度是多少？ 3，一条长160千米的水路，甲船顺流而下需要8小时，逆流而上需要20小时。如果
乙船顺流而 下要10小时，那么乙船逆流而上需要多少小时？
第三十五周 容斥原理

专题简析：
容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。即当两个计数 部
分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n个事物 ，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如
图），那么具有性质a或性质b的事物的个 数=N
a
＋N
b
－N
ab
。
Na
Nab
Nb

例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁 做完语文作业？请举手！”有37人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。最后问 ：“谁语文、数学作业都没有做
完？”没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。
分析 完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多
于全班人数。这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一
次，在统计做完 数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。所以，这个班语文、
数作业都完成的有：79－48 =31人。
练 习 一
1，五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一 门功课取得优秀成绩。
其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。语文、数学都优秀的有多少 人？
2，四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13
人，订《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多
少人？
3，学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的
有17人，其中 两种乐器都会演奏的有8人。这个文艺组一共有多少人？
- 73 -

例2 ：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两
题都答对的有1 5人。问多少个同学两题都答得不对？
分析与解答：已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15 人，可以求出只答对第
一题的有25－15=10人。又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的 人数，加上答
对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人。所以，两题都答得不 对的
有36－33=3人。
练 习 二
1，五（1）班有40个学生，其中2 5人参加数学小组，23人参加科技小组，有19人
两个小组都参加了。那么，有多少人两个小组都没有 参加？
2，一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有32人，订阅《中国少年报》的
有29人，两种报纸都订阅的有25人。两种报纸都没有订阅的有多少人？
3，某校选出50名学生参 加区作文比赛和数学比赛，结果3人两项比赛都获奖了，有
27人两项比赛都没有获奖。已知作文比赛获 奖的有14人，问数学比赛获奖的有多少人？
例3：某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数 学竞赛的有27人，如果两科都没有
参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？
分析与解答：要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数：56
－25= 31人，再求两科竞赛同时参加的人数：28＋27－31=24人。
练 习 三
1， 一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不会的有
4人。两样都会的有 多少人？
2，一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人。问这两种棋都会下的有多少人？
3，三年级一班参加合唱队的有4 0人，参加舞蹈队的有20人，既参加合唱队又参加
舞蹈队的有14人。这两队都没有参加的有10人。 请算一算，这个班共有多少人？
例4：在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？
分析与解答 ：从1到100的自然数中，减去5或6的倍数的个数。从1到100的自然
数中，5的倍数有100〔 5=20个，6的倍数有16个（100〔6=16……4），其中既是5的倍
数又是6的倍数（即5和 6的公倍数）的数有3个（100〔30=3……10）。因此，是6或5
的倍数的个数是16＋20－ 3=33个，既不是5的倍数又不是6的倍数的数的个数是：100－
33=67个。
练 习 四
1，在1到200的全部自然数中，既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个？
2，在1到130的全部自然数中，既不是6的倍数又不是5的倍数的数有多少个？
3，五（ 1）班做广播操，全班排成4行，每行的人数相等。小华排的位臵是：从前面
数第5个，从后面数第8个 。这个班共有多少个学生？
例5：光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书 法作品，其中
有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅，
其他年级参展的书法作品共有多少幅？
分析与解答：由题意知，24幅作品是一、二、三、四 、六年级参展作品的总数，22
幅是一、二、三、四、五年级参展作品的总数。24＋22=46幅，这 是一个五、六年级和两
个一、二、三、四年级参展的作品数，从其中去掉五、六两个年级共参展的10幅 作品，
即得到两个一、二、三、四年级参展作品的总数，再除以2，即可求出其他年级参展作品
的总数。（24＋22－10）〔2=18幅。
练 习 五
1，科技节那天，学校的科 技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有110件不
是一年级的，有100件不是二年级的，一、 二年级参展的作品共有32件。其他年级参展
- 74 - 银海是我的光荣，我是银海的骄傲

四年级数学奥数培训资料 姓名：__________________
的作品共有多少件？
2，六（1）儿童节那 天，学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品，其中有25
幅画不是三年级的，有19幅画不是四年 级的，三、四两个年级参展的画共有8幅。其他
年级参展的画共有多少幅？
3，实验小学举办 学生书法展，学校的橱窗里展出每个年级学生的书法作品，其中有
28幅不是五年级的，有24幅不是六 年级的，五、六年级参展的书法作品共有20幅。一、
二年级参展的作品总数比三、四年级参展作品的总 数少4幅。一、二年级参展的书法作品
共有多少幅？

第三十六周 二进制

专题简析：
二进制就是只用0和1两数字，在计数与计算时必须“满二进一”，即 每两个相同的
单位组成一个和它相邻的最高的单位。
二进制的最大特点是：每个数的各个数位上只有0或只有1两种状态。
二进制与十进制之间可以互相转化。
1，将一个二进制数写成十进制数的步骤是：（1）将二 进制数的各数位上数字改写成
相应的十进制数；（2）将各数位上对应的十进制数求和，所得结果就是相 应的十进制
数。将十进制数改写成二进制数的过程，正好相反。
2，十进制数改写成二进制数的常用方法是：除以二倒取余数。
3，二进制数的计算法则：
（1）加法法则：0＋0=0 0＋1=1 1＋0=1 1＋1=10
（2）乘法法则：0〓0=0 0〓1=0 1〓0=0 1〓1=1
例1：把二进制数110
（2）
改写成十进制数。
分析与解答：十进制有两 个特点：（1）它有十个不同的数字符号；（2）满十进1。二
进制有两个特点：（1）它的数值部分， 只需用两个数码0和1来表示；（2）它是“满二进
一”。
把二进制数110
（2）
改写成十进制数，只要把它写成2的幂之和的形式，然后按通常的
方法进行计算即可。
110
（2）
=1〓2
2
＋1〓2
1
＋0〓2
0

=1〓4＋1〓2＋0〓1
=4＋2＋0
=6
练 习 一：把下列二进制数分别改写成十进制数。
（1）100
（2）
（2）1001
（2）
（3）1110
（2）

例2：把十进制数38改写成二进制数。
分析与解 答：把十进制数改写成二进制数，可以根据二进制数“满二进一”的原则，
用2连续去除这个十进制数， 直到商为零为止，把每次所得的余数按相反的顺序写出来，
就是所化成的二进制数，这种方法叫做“除以 二倒取余数”。
2 38 ……0
2 19 ……1
2 9 ……1
2 4 ……0
2 2 ……0
1 ……1
即：38
（10）
=100110
（2）

- 75 -

练 习 二
把下列十进制数分别改写成二进制数。
（1）12
（10）
（2）15
（10）
（3）78
（10）

例3：计算1011
（2）
＋11
（2）

分析与解答：任 何进位制数的运算，都可以根据十进制数的运算法则来进行，做一位
数的运算需要有加法表（即加法口诀 ）。二进制的加法口诀只有一句：1
（2）
＋1
（2）
=10
（2）

1011
（2）
＋11
（2）
=1110
（2）

1011
（2）

＋ 11
（2）

1110
（2）

你能用十进制计算来检验上面的计算吗？
练 习 三
1，计算101
（2）
＋10
（2）

2，计算1110
（2）
＋11
（2）

3，计算11010
（2）
－1111
（2）

例4：计算1101
（2）
〓11
（2）

分析与解答：二 进制的乘法口诀只有一句：1
（2）
〓1
（2）
=1
（2

1101
（2）

〓 11
（2）

1101
（2）

1101
（2）

100111
（2）

你能用十进制计算来检验上面的计算吗？
练 习 四
1，计算110
（2）
〓10
（2）

2，计算1011
（2）
〓11
（2）

3，计算101
（2）
〓110
（2）

例5：计算1111
（2）
〔101
（2）

分析与解答：二进制数的除法运算与十进制的除法运算一样，是乘法的逆运算。
11
（2）
101
（2）
1111
（2）

101
101
101
0
练 习 五
1，计算11100
（2）
〔100
（2）

2，计算10010
（2）
〔11
（2）

3，计算10000111
（2）
〔11
（2）

第三十七周 应用题（三）

专题简析：
这一周，我们来学习一 些较复杂的典型问题，如平均数问题、和倍问题、差倍问题等。
这些问题的数量关系比较隐蔽，往往需要 通过适当的转化，使数量关系明朗化，从而找到
解题思路。
- 76 - 银海是我的光荣，我是银海的骄傲

四年级数学奥数培训资料 姓名：__________________
例1：甲、乙、丙三个公司到汽车制造厂订购了18辆 汽车，按合同三个公司平均分配，付
款时丙没有带钱，甲公司付出10的钱，乙公司付出8辆的钱，丙公 司应付款90万元。甲、
乙两公司应收回多少万元？
分析与解答：根据题意，把18辆汽车平 均分给三个公司，每个公司应得18〔3=6辆。
丙公司6辆汽车付款90万元，每辆汽车应是90〔6 =15万元。因为甲公司多付出10－6=4
辆的钱，所以，甲公司应收回15〓4=60万元；乙公司 多付8－6=2辆的钱，应收回15〓2=30
万元。
练 习 一
1，甲、乙 、丙三人一起买了12个面包平分着吃，甲拿出7个面包的钱，乙付了5个
面包的钱，丙没有带钱。等吃 完后一算，丙应该拿出4元钱。甲应收回多少钱？
2，王叔叔和李叔叔去江边钓钱，王叔叔钓了7条鱼 ，李叔叔钓了11条鱼。中午来了
位游客，王叔叔和李叔叔把钓得的鱼烧熟后平均分成3份。餐后，游客 付了6元钱给王叔
叔和李叔叔两人。问：王叔叔和李叔叔各应得多少元？
3，小华、小明和小 强三人合用一些练习本，小华带来8本，小明带来7本，小强没
有练习本，他付出了10元。小华应得几 元钱？
例2：两个数的和是94，有人计算时将其中一个加数个位上的0漏掉了，结果算出的和是31。求这两个数。
分析与解答：根据题意，正确算式中的一个加数是错误算式中的一个加数的1 0倍，
即比它多9倍。而两个结果相差94－31=63，因此，误加上的数是63〔9=7，应该加的 数
是7〓10=70，另一个加数为94－70=24，所以，这两个数分别是24和70。
练 习 二
1，楠楠和锋锋同算两数之和，楠楠得982，计算正确；锋锋得577，计 算错误。锋锋
算错的原因是将其中一个加数个位的0漏掉了。两个加数各是多少？
2，小龙和 小虎同算两数之和。小龙得2467，计算正确；小虎得388，计算错误。小
虎算错的原因是将其中一 个加数十位和个位上的两个0漏掉了。两个加数各是多少？
3，小梅把6〓（□＋8）错看成6〓□＋8，她得到的结果与正确的答案相差多少？
例3： 学校三个兴趣小组共有学生180人，数学兴趣小组的人数比科技兴趣小组和美术兴
趣小组人数的总和还 多12人，科技兴趣小组的人数比美术兴趣小组多4人。三个兴趣小
组各有多少人？
分析与解 答：根据前两个已知条件，可求数学兴趣小组有（180＋12）〔2=96人，科
技兴趣小组和美术兴 趣小组的人数的和是180－96=84人；又由“科技兴趣小组和美术兴
趣小组的人数的和是84人” 和“科技兴趣小组的人数比美术兴趣小组多4人”，可求科技
兴趣小组有（84＋4）〔2=44人，美 术兴趣小组有84－44=40人。
练 习 三
1，三只船运木板9800块，第一只 船比其余两只船共运的少1800块，第二只船比第
三只船多运200块。三只船各运木板多少块？ < br>2，红花、绿花和黄花共有78朵，红花和绿花的总朵数比黄花多6朵，红花比绿花少
6朵。三种 花各有多少朵？
3，甲、乙、丙三个数的和是120，其中甲、乙两个数的和是丙的3倍，甲比乙多1 0。
三个数各是多少？
例4：有甲、乙、丙三袋化肥，甲、乙两袋共重32千克，乙、丙两袋 共重30千克，甲、
丙两袋共重22千克。甲、乙、丙三袋各重多少千克？
分析与解答：根据 “甲、乙两袋共重32千克”与“乙、丙两袋共重30千克”，可知
甲袋比丙袋重32－30=2千克， 又已知“甲、丙两袋共重22千克”，于是，这道题目可以
转化为和差问题来解。所以甲袋化肥重（22 ＋2）〔2=12千克，丙袋化肥重22－12=10千
克，乙袋化肥重32－12=20千克。
- 77 -

练 习 四
1，某工厂一车间和二车间共有10 0人，二车间和三车间共有97人，一车间和三车间
共有93人。三个车间各有多少人？
2， 某校一年级有四个班，共有138人，其中一（1）班和一（2）班共有70名学生，
一（1）班和一（ 3）班共有65名学生，一（2）班和一（3）班共有59名学生。一（4）
有多少名学生？
3，甲、乙、丙三个数，甲、乙两数的和比丙多59，乙、丙两数的和比甲多49，甲、
丙两数的和比乙 多85。甲、乙、丙三个数各是多少？
例5：小龙有故事书的本数是小虎的6倍，如果两人再各买2本 ，那么小龙有故事书的本
数是小虎的4倍。两人原来各有故事书多少本？
分析与解答：如果小 虎再买2本，小龙再买2〓6=12本，那么现在小龙的本数仍是小
虎的6倍，而现在小龙的本数是小虎 的4倍，因此，2〓6－2=10本就是小虎现有本数的6
－2=4倍。所以，小虎现在有10〔2=5 本，小虎原来有5－3=2本，小龙原来有3〓6=18本。
练 习 五
1，城南小学 有红皮球的只数是黄皮球的5倍，如果这两种皮球再各买4只，那么红
皮球的只数是黄皮球的4倍。原来 红皮球和黄皮球各有多少只？
2，学校有彩色粉笔和白粉笔若干盒，白粉笔的盒数是彩色粉笔的3倍， 后来，白粉
笔和彩色粉笔各用去12盒，现在白粉笔的盒数是彩色粉笔的7倍。学校原来有彩色粉笔和白粉笔各多少盒？
3，某小队队员提一篮苹果和梨子到敬老院去慰问，每次从篮里取出2个梨子 、5个苹
果送给老人，最后剩下11个苹果，梨子正好分完，这时他们才想起来原来苹果是梨子的3倍。敬老院有多少个老人？

第三十八周 应用题（四）

专题简析：
大家都希望自己成为一个“小高斯”。这一周，我们来学习一些需要较高 解题技巧的
应用题，它们的解题思路往往比较独特，并且容易做错。如：书本的页码问题，较复杂的植树问题，以及其他智巧问题。这些智巧问题正是训练你成为“小高斯”的好题目。
例1：第七册数学课本共153页，编印这本书的页码共要用多少个数字？
分析与解答：从1 到153按数的位数分，可以分为：一位数、两位数、三位数，它们分别
由1个、2个、3个数字组成。 从第1页到第9页，要用9个数字；从第10页到第99页，
要用2〓90=180个数字；从第100 页到153页，要用3〓54=162个数字，所以，一共要用
9＋180＋162=351个数字。
练 习 一
1，一本故事书共131页，编印这本故事书的页码共要用多少个数字？
2，一本辞典共1008页，编印这本辞典的页码共要用多少个数字？
3，一本小说共320页，数字0在页码中共出现了多少次？
例2：排一本辞典的页码共用了2886个数字，这本辞典共有多少页？
分析与解答：排这本 辞典的第1页到第9页的页码，要用9个数字；排第10页到99
页的页码，要用2〓90=180个数 字；这样，剩下的页码要用2886－9－180=2697个数字。
2697〔3=899页，即页码 是三位数的排了899页。这样，这本辞典共有9＋90＋899=998页。
练 习 二
1，排一本科幻小说的页码共用了270个数字，这本科幻小说共有多少页？
2，排一本学生词典的页码，共用了3829个数字。这本词典共有多少页？
3，一本故事书的页码，用了39个0，这本书共有多少页？
- 78 - 银海是我的光荣，我是银海的骄傲

四年级数学奥数培训资料 姓名：__________________
例3：两棵杨树相距75米，在中间又等距离地栽了1 4棵白玉兰树。第9棵与第1棵之间
相距多少米？
分析与解答：根据题意，两棵杨树之间又增 加了14棵白玉兰树，可知75米内共栽树
14＋2=16棵，共有16－1=15段，每段长75〔1 5=5米。而第1棵到第9棵之间有9－1=8
段，所以，第9棵到第1棵之间相距5〓8=40棵。
练 习 三
1，两棵树相隔45米，在中间以相等距离增加8棵树后，第8棵与第1棵相隔多少米？
2，两棵树相隔92米，在中间以相等距离增加22棵后，第10棵与第1棵间相隔多少
米？
3，两盆花相隔12米，在中间以相等距离增加11盆花后，第9盆与第3盆花之间相
隔多少米 ？
例4：一个圆形花坛，绕着它走一圈是90米，如果沿着它的周围每隔6米栽一株丁香花，
再在每相邻两株丁香花之间等距离地栽两株月季花。问丁香花和月季花各栽了多少株？
分析与解答：在 圆形花坛的周围栽花，栽丁香花的株数正好等于分成的段数，所以，
丁香花栽了90〔6=15株。由于 每相邻的两株丁香花之间等距离地栽两株月季花，所以月
季花栽了2〓15=30株。
练 习 四
1，一个圆形花坛的周长是60米，沿着它的周围每隔3米插一面红旗，每两面红旗中
间插一面绿旗。红旗和绿旗各插了多少面？
2，有一个圆形花圃，周长是120米，每隔6米栽一棵 黄杨树，每两棵黄杨树之间等
距离地栽3棵月季花。花圃周围栽了多少棵黄杨树？栽了多少棵月季花？
3，有一条公路长450米，在两旁栽树，两端各栽一棵，每隔18米栽一棵柳树，每两
棵柳树 之间以相等的距离栽了3棵槐树。柳树、槐树各栽了多少棵？
例5：有80个零件，分装成8袋，每袋 装10个。在其中的7袋里面装的零件每个都是50
克，有一袋里面的每个零件都是49克。这8袋混在 一起，你能用秤称一次，就把装49克
重的零件的那一袋找出来吗？
分析与解答：将8袋零件 依次编上序号：1、2、3、4、5、6、7、8。从第1袋中取出
1个零件，从第2袋中取出2个零件 ，…，从第8袋中取出8个零件，共取出1＋2＋3＋…
＋8=36个零件，总重量应少于50〓36= 1800克。将这些零件放在秤上称一下，总重量比
1800克少几克，第几号袋中装的零件就是49克 的。
练 习 五
1，60只橘子分装6袋，每袋装10只，其中5袋里装的橘子的重量 都是50克，另一
袋装的每只的重量都是40克。这6袋橘子混在一起，你能用秤称一次，就把装40克 重的
那一袋找出来吗？
2，袋装的洗衣粉共有10堆（每堆不少于10袋），已知9堆是合格 产品，每袋1千克，
1堆是不合格产品，每袋0.9千克，从外形看不出。能否只称一次找出不合格产品 ？
3，有9只外形完全相同的乒乓球，其中8只是正品，另一只是次品，且正品与次品
重量不 相同。如果用天平（无砝码）称，至少几次可把次品找出来？

第三十九周 盈亏问题

专题简析：
在日常生活中常有这样的问题：一定数量的物品分给一定数量的人，每 人多一些，物
品就不够；每人少一些，物品就有余。盈亏问题就是在已知盈亏的情况下来确定物品总数< br>和参加分配的人数。
解答盈亏问题的关键是弄清盈、亏与两次分得差的关系。
- 79 -

盈亏问题的数量关系是：
（1）（盈＋亏）〔两次分配差=份数
（大盈－小盈）〔两次分配差=份数
（大亏－小亏）〔两次分配差=份数
（2）每次分得的数量〓份数＋盈=总数量
每次分得的数量〓份数－亏=总数量
例1：一个植树小组植树。如果每人栽5棵，还剩14棵；如果每人栽7棵，就缺4棵。这
个植 树小组有多少人？一共有多少棵树？
由题意可知，植树的人数和树的棵数是不变的。比较两种分配方案 ，结果相差14＋
4=18棵，即第一种方案的结果比第二种多18棵。这是因为两种分配方案每人植树 的棵数
相差7－5=2棵。所以植树小组有18〔2=9人，一共有5〓9＋14=59棵树。
练 习 一
1，幼儿园把一些积木分给小朋友，如果每人分2个，则剩下20个；如果每 人分3个，
则差40个。幼儿园有多少个小朋友？一共有多少个积木？
2，某校安排宿舍，如 果每间6人，则16人没有床位；如果每间8人，则多出10个
床位。问宿舍多少间？学生多少人？ < br>3，有一个班的同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐6人；
如果减少一条 船，正好每条船坐9人。问：这个班共有多少学生？
例2：学校将一批铅笔奖给三好学生。如果每人奖 9支，则缺45支；如果每人奖7支，则
缺7支。三好学生有多少人？铅笔有多少支？
分析与 解答：这是两亏的问题。由题意可知：三好学生人数和铅笔支数是不变的。比
较两种分配方案，结果相差 45－7=38支。这是因为两种分配方案每人得到的铅笔相差9
－7=2支。所以，三好学生有38〔 2=19人，铅笔有9〓19－45=126支。
练 习 二
1，将月季花插入一些花 瓶中。如果每瓶插8朵，则缺少15朵；如果每瓶改为插6朵，
则缺少1朵。求花瓶的只数和月季花的朵 数。
2，王老师给美术兴趣小组的同学分发图画纸。如果每人发5张，则少32张；如果每
人 发3张，则少2张。美术兴趣小组有多少名同学？王老师一共有多少张图画纸？
3，老师将一些练习本 发给班上的学生。如果每人发10本，则有两个学生没分到；如
果每人发8本，则正好发完。有多少个学 生？多少本练习本？
例3：有一些少先队员到山上去种一批树。如果每人种16棵，还有24棵没种； 如果每人
种19棵，还有6棵没有种。问有多少名少先队员？有多少棵树？
分析与解答：这是 两盈的问题。由题意可知：少先队员的人数和树的棵数是不变的。
比较两种分配方案，结果相差24－6 =18棵，这是因为两种分配方案每人种的树相差19－
16=3棵。所以，少先队员有18〔3=6名 ，树有16〓6＋24=120棵。
练 习 三
1，小虎在敌人窗外听里边在分子弹： 一人说每人背45发还多260发；另一人说每人
背50发还多200发。有多少敌人？多少发子弹？
2，杨老师将一叠练习本分给第一小组的同学。如果每人分7本，还多7本；如果每
人分8本则 正好分完。请算一算，第一小组有几个学生？这叠练习本一共有多少本？
3，崔老师给美术兴趣小组的 同学分若干支彩色笔。如果每人分5支则多12支；如果
每人分8支还多3支。请问每人分多少支刚好把 彩色笔分完？
- 80 - 银海是我的光荣，我是银海的骄傲

四年级数学奥数培训资料 姓名：__________________
例4：学校给一批新入学的学生分配宿舍。如果每个房 间住12人，则34人没有位臵；如
果每个房间住14人，则空出4个房间。求学生宿舍有多少间？住宿 学生有多少人？
分析与解答：把“每间住14人，则空出4个房间”转化为“每间住14人，则少14
〓4=56人”。比较两种分配方案，结果相差34＋56=90人，而每个房间相差14－12=2人 。
所房间数为90〔2=45间，学生人数为12〓45＋34=574人。
练 习 四
1，某校有若干个学生寄宿宿舍，若每一间宿舍住6人，则多出34人；若每间宿舍住
7人，则 多出4间宿舍。问宿舍有多少间？寄宿学生有多少人？
2，育才小学学生乘汽车去春游。如果每车坐6 5人，则有15人不能乘车；如果每车
多坐5人，恰好多余了一辆车。问一共有几辆汽车？有多少学生？
3，学校分配学生宿舍。如果每个房间住6人，则少2间宿舍；如果每个房间住9人，
则空出2 个房间。问学生宿舍有多少间？住宿学生有多少人？
例5：少先队员去植树，如果每人挖5个树坑，还 有3个坑没人挖；如果其中2人各挖4
个，其余的人各挖6个树坑，就恰好挖完所有树坑。少先队员一共 挖多少树坑？
分析与解答：如果每人都挖6个树坑，那么少（6－4）〓2=4个树坑，两次相差4＋
3=7个树坑。这是因为两种分配方案每人挖的相差6－5=1个树坑。所以，少先队员一共有
7〔1=7人，一共挖5〓7＋3=38个树坑。
练 习 五
1，老师给幼儿园的小朋 友分苹果。如果每个小朋友分2个，还多30个；如果其中的
12个小朋友每人分3个，剩下的每人分4 个，则正好分完。一共有多少个苹果？
2，在一次大扫除中，老师分配若干人擦玻璃。如果其中2人各 擦4块，其余每人擦5
块，则余22块；如果每人擦7块，则正好擦完。求擦玻璃的人数和玻璃的块数。
3，小红家买来一篮橘子分给全家人。如果其中二人每人分4只，其余每人分2只，
则多出4只 ；如果其中一人分6只，其余每人分4只，则又缺12只。小红家买来多少只
橘子？小红家一共有多少人 ？



第四十周 数学开放题

专题简析：
数学开放题是相对于传统的封闭题而言的一种题型。由于客观世界复杂多变，数学问
题也必然复杂多变 ，往往不可能得到唯一答案。
一般而言，数学开放题具有以下三个特征：
1，条件不足或多余；
2，没有确定的结论或结论不唯一；
3，解题的策略、思路多种多样。
解答数学开放题，需要我们从不同角度分析和思考问题，紧 密联系实际，具体问题具
体分析。我们一般可以从以下几方面考虑：
1，以问题为指向，对现有条件进行筛选、补充和组合，促进问题的顺利解决；
2，根据知识之间的不同联系途径对给定的条件进行不同的组合，采用不同的方法求
解；
3，避免“答案唯一”的僵化思维模式，联系实际考虑可能出现的多种情况，得出不
同的答案。
- 81 -

例1：A、B都是自然数，且A＋B=10，那么A〓B的积可 能是多少？其中最大的值是多少？
分析与解答：由条件“A、B都是自然数，且A＋B=10”，可知A的取值范围是0 ~ 10，
B的取值范围的10 ~ 0。不妨将符合题意的情形一一列举出来：
0〓10=0 1〓9=9 2〓8=16 3〓7=21 4〓6=24 5〓5=25
A〓B的积可能是0、9、16、21、24、25。当A=B=5时，A〓B的积的最大值是25。
从以上过程发现，当两个数的和一定时，两个数的差越小，积越大。
练 习 一
1．甲、乙两数都是自然数，且甲＋乙=32，那么，甲〓乙的积的最大值是多少？
2．A、B两个自然数的积是24，当A和B各等于多少时，它们的和最小？
3．A、B、C三个数都是自然数，且A＋B＋C=18，那么A〓B〓C的积的最大值是多少？
例2：把1 ~ 5五个数分别填 图中的五个圆圈内，使每条直线上三个圆圈内各数的和是9。

分析与解答：每条直线上三个圆圈内各数的 和是9，两条直线上数的和等于9〓2=18
（其中中间圈内的数重复加了一次）。而1、2、3、4、 5的和为15，18－15=3。所以，中
间圈内应填3。这样，两条直线上的圆圈中可以分别填1、3 、5与2、3、4。
这个解我们也叫做基本解，由这个基本解很容易得出其余的七个解。
练 习 二
1，把1 ~ 5五个数分别填入图中的五个圆圈内，使每条直线上三个圆圈内各数的和
是10。


2，把3 ~ 7五个数分别填入图中的五个圆圈内，使每条直线上三个圆圈内各数的和
相等而且最大。


3，把1 ~ 7七个数分别填入图中的七个圆圈内，使每条直线上三个圆圈内各数之和
相等。
- 82 - 银海是我的光荣，我是银海的骄傲

四年级数学奥数培训资料 姓名：__________________

例3：把1 ~ 6六个数分别填入图中的六个圆圈中，使每条边上三个数的和都等于9。

分析与解答：每边上三个数的和都等于9，三条边上数的和等于9〓3=27，27－（1
＋2 ＋3＋4＋5＋6）=6。所以，三个顶点处被重复加了一次的三个数的和为6。在1 ~ 6，
只有1 ＋2＋3=6，故三个顶点只能填1、2、3。这样就得到一组解：1、5、3；1、6、2；3、
4、 2。
练 习 三
1，把1 ~ 6六个数分别填入图中的六个圆圈中，使每条边上三个数的和都等于12。

2，把1 ~ 8八个数分别填入图中的八个圆圈中，使每个圆圈上五个数的和都等于21。

- 83 -

3，把1 ~ 9这九个数分别填入图中的九个圆圈中，使每条边上四个数的和相等而且
最小。

例4：在一次羽毛球比赛中，8名运动员进行淘汰赛，最后决出冠军。共打了多少场比赛？
（两 名运动员之间比赛一次称为一场）
分析与解答：8名运动员进行淘汰赛，第一轮赛4场后，剩下4名运 动员；第二轮赛
2场后，剩下2名运动员；第三轮只需再赛1场，就能决出冠军。所以，共打了4＋2＋ 1=7
场球。
还可以这样想：8名运动员进行淘汰赛，每淘汰1名运动员，需要进行1场比赛 ，整
个比赛共需要淘汰8－1=7名运动员，所以共打了7场比赛。
练 习 四
1，在一次乒乓球比赛中，32名运动员进行淘汰赛，最后决出冠军，共打了多少场球？
2， 在一次足球比赛中，采取淘汰制，共打了11场球，最后决出冠军。共有多少支足
球队参加了这次比赛？
3，有13个队参加篮球赛，比赛分两个组。第一组7个队，第二组6个队。各组先进
行单循环 赛（即每队都要与其他各队比赛一场），然后由各组的前两名共4个队再分成两
组进行淘汰赛，最后决出 冠、亚军。共需比赛多少场？
例5：一个学生从家到学校，如果以每分钟50米的速度行走，就要迟到 8分钟；如果以每
分钟60米的速度前进，就可以提前5分钟到校。这个学生出发时离上学时间有多少分 ？
分析与解答：解答这道题，可以以不同的时间为标准，选择的标准不同，解答方法也
有所不 同。例如，如果直接以这个学生出发时离上学的时间为标准。可这样分析：由“每
分钟行50米，要迟到 8分钟”，可知学校上课时，这个学生还离学校50〓8=400米；由“每
分钟行60米，可以提前5 分钟到校”，可知距学校上课时，他还可走60〓5=300米。两种
不同的速度，在相同的时间内路程 相差400＋300=700米，而两种速度每分钟相差60－50=10
米。因此，这个学生出发时离 上课时间为：700〔10=70分钟。
解法一：（50〓8＋60〓5）〔（60－50）=70分；
解法二：60〓（5＋8）〔（60－50）－8=70分；
解法三：50〓（8＋5）〔（60－50）＋5=70分。
练 习 五
1， 李老师从家到学校上班，出发时他看看表，发现如果步行，每分钟80米，他将迟
到5分钟；如果骑自行 车，每分钟行200米，他可以提前7分钟到校。李老师出发时离上
班时间有多少分？
2，一 位小学生从家到学校，如果以每分50米的速度行走，就迟到3分钟；如果以每
分70米的速度行走，就 可以提前5分到校。求他家到学校的距离。
3，一个学生从家到学校上课，先用每分钟80米的速度走 了3分钟，发现这样走下去
将迟到3分钟；于是他就改用每分钟110米的速度前进，结果比上课提前了 3分钟。这个
- 84 - 银海是我的光荣，我是银海的骄傲

四年级数学奥数培训资料 姓名：__________________
学生家离学校有多远？
- 85 -