2010入党申请书-张爱玲散文集

1.2.3 空间中的垂直关系(一)
【学习要求】
1．理解直线与平面垂直的定义．
2．掌握直线与平面垂直的判定定理及其性质定理．
3．会应用两定理解决问题．
【学法指导】
借助对实例、图片的观察，提炼直线与 平面垂直的定义；通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定
理及性质定理；通过运用两定 理感悟和体验线面垂直转化为线线垂直的思想方法.
填一填：知识要点、记下疑难点
1．如果两条直线相交于一点或经过 平移后 相交于一点，并且交角为 直角 ，则称这两条直线互相垂直．
2．如果一条直线AB和一个平面α相交于点O，并且 和这个平面内过交点O的任何直线都垂直，我们就说这条直
线和这个平面互相垂直．这条直线叫做 平面的垂线 ，这个平面叫做 直线得垂面 ，交点叫做 垂足 ，
垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个 点到平面的距
离 ．
3．线面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内的 两条相交 直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．
4．线面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线 平行 .
研一研：问题探究、课堂更高效
[问题情境]
生活中处处都有直线和平面垂直 的例子，如旗杆和地面、路灯与地面等等．在判断线面平行时我们有判定定理，那
么判断线面垂直又有什 么好办法呢？本节我们就来研究这一问题．
探究点一 直线与平面垂直的定义
问题1 你能举出在日常生活中给人以直线与平面垂直的例子吗？
答：旗杆与地面的关系，给人以直线与平面 垂直的形象；大桥的桥柱与水面的位置关系，给人以直线与平面垂直的
形象．
问题2 在平面 内，如果两条直线互相垂直，则它们一定相交．在空间中，两条互相垂直的直线也一定相交吗？你
能举例 说明吗？
答：不一定．在空间中，两条互相垂直相交的直线中，如果固定其中一条，让另一条平移到空 间的某一个位置，就
可能与固定的直线没有公共点，这时两条直线为异面直线，它们同样是互相垂直．
小结：空间两直线垂直的定义：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则 称这两条
直线互相垂直．
问题3 在平面中，到线段AB两端距离相等点的集合是线段的垂直 平分线，在空间中，线段AB的垂直平分线有
多少条？AB的这些垂直平分线构成的集合是怎样的图形？
答：容易发现，空间中线段AB的垂直平分线有无数多条，它们构成的集合是一个平面．
问题4 结合对下列问题的思考，试着说明直线和平面垂直的意义．
(1)如图，阳光下直立 于地面的旗杆AB与它在地面上的影子BC的位置关系是什么？随
着太阳的移动，旗杆AB与影子BC所 成的角度会发生改变吗？
答：垂直关系，所成的角度不变，都为90°.
(2)旗杆AB与 地面上任意一条不过旗杆底部B的直线B′C′的位置关系又是什么？依据是
什么？由此得到什么结论？
答：垂直关系，依据是空间两直线垂直的定义．
得到的结论是：如果一条直线与平面垂直，则这条直线垂直于该平面内的任意一条直线．
问题5 通过上述分析，你认为应该如何定义一条直线与一个平面垂直？
答：直线与平面垂直 的定义：如果一条直线AB和一个平面α相交于一点O，并且和这个平面内过交点O的任何直
线都垂直， 我们就说这条直线和这个平面垂直．这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫做垂
足 ，垂线上一点到垂足间的线段叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．
问题6 如何画直线与平面垂直？如何用符号表示直线与平面垂直？
答：画直线与平面垂直时 ，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．直线l和平面α互相垂直，记作
l⊥α.
问题7 若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线垂直于平面吗？如不是，直线与平面的位置关系如何？
答： 不一定垂直，有可能平行或者相交．
探究点二 直线与平面垂直的判定定理
问题1 通常定义可以作为判定的依据，那么用上述定义判定直线与平面垂
直是否方便？为什么？
答：不方便，因为要验证直线垂直平面内所有的直线，这实际上是很困难的．
问题2 请同学 们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图所示的试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折
痕AD ，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD、DC与桌面接触)，问：折痕AD与桌面垂直吗？如何翻折才能保< br>证折痕AD与桌面所在平面垂直？
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答： 从实验可知：当AD与BC不垂直时，翻折后的纸片竖起放置在桌面上折痕AD与桌面不垂直；
当AD与BC垂直时，翻折后的纸片竖起放置在桌面上折痕AD与桌面垂直．
问题3 由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直关系不变，即AD⊥CD，AD⊥BD.由此你能得到什么结论？
答：若平面外一条直线与平面内两条相交直线垂直且相交，则该直线垂直这个平面．
问题4 如图，把AD、BD、CD抽象为直线l、m、n ，把桌面抽象为平面α，l与α垂直的条件是什么？
答：条件是l与平面α内的两条相交直线m，n垂直且相交．





问题5 如图，若α内两条相交直线m、n与l无公共点且l⊥m、l⊥n，我们 可以把直线l平移到交点处，由此你
能给出判定直线与平面垂直的方法吗？
答：线面垂直的 判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与
这个平面垂直．
问题6 如何用符号语言表示直线与平面垂直的判定定理？
答：

m⊂α
n⊂α

m∩n＝P
⇒l⊥α即：线线垂直⇒线面垂直．

l⊥m


l⊥n
例1 已知：a∥b，a⊥α.求证：b⊥α.
证明 在平面α内作两条相交直线m，n.因为直线a⊥α，根据直线与平面垂直的定义知a⊥m，a⊥n.
又因为b∥a，所以b⊥m，b⊥n.
又因为m⊂α，n⊂α，m，n是两条相交直线，所以b⊥α.
小结：推论1：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
跟踪训练1 已知：直线l⊥平面α，直线m⊥平面α，垂足分别为A、B，如图，求证：l∥m.
证明：假设直线m不与直线l平行，过直线m与平面α的交点B，作直线m′∥l，
由直线与平面垂直的判定定理的推论可知m′⊥α，设m和m′确定的平面为β，α与β的交线为a，
因为直线m和m′都垂直于平面α. 所以直线m和m′都垂直于交线a.
因为在同一平面内，通过直线上一点与已知直线垂直的直线不可能有两条，
所以直线m和m′必重合，即l∥m.
小结：推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．
例2 过一点和已知平面垂直的直线只有一条．已知：平面α和一点P(如下图)．
求证：过点P与平面α垂直的直线只有一条．
证明：不论点P在α外或内，设PA⊥α，垂足为A(或P)．
如果过点P，除直线PA⊥α外，还有一条直线PB⊥α，
设PA，PB确定的平面为β，且 α∩β＝a，于是在平面β内过点P有
两条直线PA，PB垂直于交线a，这是不可能的．
所以过点P与α垂直的直线只有一条．
小结：如果直接证明比较难或感觉无从下手，可以假设 结论不成立，
然后设出成立的结论，由此推理得出矛盾，从而说明原结论成立．
跟踪训练2 已知：直线l⊥平面α，垂足为A，直线AP⊥l. 求证：AP在平面α内．
证明：设AP与l确定 的平面为β，假设AP不在平面α内，则设平面β与平面α交
于直线AM，如下图所示：因为l⊥α，A M⊂α，所以l⊥AM，又因为AP⊥l，
所以在平面β内过一点A存在两条直线垂直于l，
这是不可能的，所以AP在平面α内．
例3 有一根旗杆高8 m(如图)，在它的顶点处系两条长10 m的绳子，拉紧绳子并把它
们的下端固定在地面上的两点(与 旗杆脚不在同一条直线上)．如果这两点与旗杆脚距6
m，那么旗杆就与地面垂直，为什么？
解：如题图，旗杆PO＝8，两绳子长PA＝PB＝10，OA＝OB＝6，A，O，B三点不共线，因此A， O，B三点确定
平面α，因为PO
2
＋AO
2
＝PA
2，PO
2
＋BO
2
＝PB
2
，所以PO⊥OA，PO⊥ OB，又OA∩OB＝O.
所以OP⊥α，因此旗杆与地面垂直．
小结：证明线面垂直的一 般思路是依据线面垂直的判定定理，寻找满足定理的条件，当条件满足了，也就证明了线
面垂直；线面垂 直的定义说明了直线垂直平面，则直线垂直这个平面内的任意直线，常用此性质证，线面垂直
线线垂直．
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跟踪训练3 如图，直四棱柱A′B′C′D′—ABCD中，底面四边形满足什么条件时，A′C⊥B′D′？为什么？
解：四边形ABCD的两条对角线互相垂直时，A′C⊥B′D′.
因A′A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
所以A′A⊥BD，又因AC⊥BD，
A′A∩AC＝A，所以BD⊥A′C.
由B′D′∥BD，得A′C⊥B′D′.
练一练：当堂检测、目标达成落实处
1．直线a⊥直线b，b⊥平面β，则a与β的关系是 ( D )
A．a⊥β B．a∥β
C．a⊂β D．a⊂β或a∥β
2．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能( A )
A．平行 B．相交
C．异面 D．垂直
3．如图 所示，AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝________.
解析： ∵AF、DE垂直于同一平面ABCD，∴AF∥DE，
又∵AF＝DE，∴四边形ADEF为矩形，
∴EF＝AD＝6.
课堂小结：
1．直线和平面垂直的判定方法
(1)利用线面垂直的定义．
(2)利用线面垂直的判定定理．
(3)利用下面两个结论：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.
2．直线和平面垂直的性质定理可以作为两条直线平行的判定定理，可以并入平行推导链中，实现平行与垂直的 相
互转化，即线线垂直⇒线面垂直⇒线线平行⇒线面平行．
3．“垂直于同一平面的两条直线 互相平行”、“垂直于同一直线的两个平面互相平行”都是真命题．但“垂直于同一直
线的两条直线互相 平行”、“垂直于同一平面的两个平面互相平行”都是假命题．


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