清明节图片-服务员的岗位职责

目 录

第—讲 简单数阵图（一）…………………………………………………………………………1
课后练习一 ………………………………………………………………………………………4
第二讲 简单数阵图（二）…………………………………………………………………………5
课后练习二 ………………………………………………………………………………………8
第三讲 幻方（一）…………………………………………………………………………………9
课后练习三………………………………………………………………………………………11
附录：连续摆数法（楼梯法）………………………………………………………………12
第四讲 幻方（二） ………………………………………………………………………………14
课后练习四………………………………………………………………………………………16
第五讲 巧求周长 …………………………………………………………………………………17
课后练习五 ……………………………………………………………………………………20
第六讲 等量代换 ………………………………………………………………………………21
课后练习六 ……………………………………………………………………………………24
第七讲 植树问题（一）…………………………………………………………………………25
课后练习七 ……………………………………………………………………………………28
第八讲 上楼梯问题 ……………………………………………………………………………29
课后练习八 ……………………………………………………………………………………31
第九讲 植树问题（二）…………………………………………………………………………32
课后练习九 ……………………………………………………………………………………34
第十讲 周期问题…………………………………………………………………………………35
课后练习十 ……………………………………………………………………………………37
第十一讲 图形找规律……………………………………………………………………………38
谋后练习十一 …………………………………………………………………………………40
第十二讲 数列找规律 …………………………………………………………………………4l
课后练习十二 …………………………………………………………………………………44


1

第一讲简单数阵图（一）
【知识梳理】
1、数阵图；把一些数 字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这种图形叫数阵图。数阵图
的种类繁多，
一般按数字的组合形式，将其分为三类，即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵。
2、解数阵问题的一般思路是：
①求出条件中若干已知数字的和。
②根据“和相等”，列出关系式，找出关键数——重复使用的数。
⑤确定重复用数后，对照“和相等” 的条件，用尝试的方法，求出其他各数。有时，因数字存在
不同的组合方法，答案往往不是唯一的。即：












【例题精讲】
【例l】把1~5这五个数填入下图中的O里（已填入5），使两条直线上的三个数之和相等。








、

〖巩固〗把5，6，7，8，9五个数分别填入下图的五个方格内，使横行三个数的和、竖行
三个数的和都是21。








2

〖拓展一〗将1～7这七个数填入下图中，使每条线段上三个圆圈内的数的和相等。











〖拓展〗将1—7这七个数分别填入下图中的圆圈内，使每条直线上的三个数之和都等于12。










〖拓展〗将1—9这九个数分别填入下图中的圆圈内，使每条线段上五个数的和等于23。











〖拓展〗将l～8这八个数分别填入下图中的空格内，使横行、竖列上的三个数之和都相等。









3

【例2】将l～6分别填在图中，使每条边上三个圆圈内的数的和等于9。








〖巩固〗1—6分别填在图中，使每条边上三个圆圈内的数的和等于12。







〖拓展一〗将1-6分别填在上图中，使每条边上三个圆圈内的数的和最大，该怎么填？为什么？







〖拓展二〗如图所示，把 l至8八个数分别填入小圆圈内，使
每一个圆周上的五个数的和都等于21。







〖拓展三〗如图，六条直线分别连接着九个圆圈 ，其中一个圆圈里的数是6。请你选9个连续自
然数（包括6在内），填入圆圈内，使每条线上各数和都 等于23。





4

课后练习一
l、把2、4、6、8、10这五个数填入下面的格子中，使横行、竖列的和都等于16、18或20。







2、将2~9八个数分别填入图中代表两个五边形顶点的8个圆圈内，使两个五边形上五个数
的和都是25。








3、将l至9分别填入图中的九个圆圈内，使得三角形每边上的四个数之和都等于20。










4、将1~11填入下图中圆圈内，使每条直线上三个数的和相等（写出两种填法）。





第二讲 简单数阵图（二）

5

【知识梳理】
1、解致阵问题的一般思路是：仔细观察图形，找出关键数（即重叠数），这里关键数往往有几
个。
2、辐射型数阵图计算方法；
已知各数之和+重叠数×重叠次数=直线上各数之和×直线条数
3、封闭型数阵图计算方法：
已知各数之和+重叠数之和=每边各数之和×边数
4、复合型数阵图计算方法：把复合型数阵图分解成几个辐射型数阵图或封闭型数阵图，
先考虑其中一个数阵图，再结合其它数阵图进行调整试填。
【例题精讲】
【例1】把1、2、3、4、5、6这六个数分别填入左下图中的小圆圈内，使每个大圆上三个
数的和都相等。








〖巩
固〗如右
上图所
示，五角
星上有I1个小圆圈，请把I- II这十一个数，分别填入小圆
圈中，使每一条虚线的三个数的和都相等。



【例2】将1-11这11个自然数填入下图中的圆圈中，使每个菱形上四个数之和都等于24，
那么A是多少？

6

〖巩固〗将1~10十个数字填入下 图中的10个圆圈内，使每个四边形四个顶点上各数之和
等于24．







〖拓展〗如图，大大小小的三角形共七个，把l至9这九个 数分别填入图中的圆圈中，使每个三
角形三个顶点的数之和相等．










【例3】将1-8这八个数字分别标在立方体的八个顶点上，使得每个面的四个数字之和都
相等。









〖巩固〗把1～12这十二个数填入下图的圆圈内，使每个小正方形顶点的四个数的和都等于26。

7

〖拓展一〗下图三个圆被分割成A、B、C、D、E、F、G七 个部分，将1-7分别填入图中各
部分，使得每圆内四个数的和都等于18，且G内填的是奇数。








〖拓展二〗下图中四个圆被相互分割成八个部分，在这八个部分中分别填入1或者2，使得
中个圆内的三个数字之和互不相等。








【例4】请你将数字1、2、3、4、5、6、7填入图中所示的圆圈内，使得每个圆上三个数之
和相等，并且每条直线上三个数的和也相等。












〖拓展〗将自然数1~11填入下图的11个○中，使得每条直线（共10条）上的三个数字
之和都相等。

8

课后练习二
l、把1~10这十个数字，分别填入下图中的圆圈内，使每个正方形四个顶点上的数字的和
都等于K，那么K不能是( )
A、22 B、21 C、20 D、19




2、1~7这七个自然数分别填入左下图中O内，使得每个大圆上四个数的和都等于13。并指
出这个和的范围。








3、将1-5分别填入右上图中，使每直线上的各数之和与大圆圈上各数之和都相等。

4、试用0、l、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字，分别填入下图中的十个小三 角形里，使四
个在三角形
内的四个数字的和都等于15。





5、将1-12填入左下图中空格中（其中四个已填好），使每个圆内4个数之和等于25。











6、将1—10分别填入右上图中各个O内，使得每一个大圆上三个数和与每一条直线上四个
数和分别相等。

9

第三讲 幻方（一）

【知识梳理】
l、幻方：在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行 、一纵行及对角线的
几个数之和都相等（称为幻和），具有这种性质的图表，称为“幻方”。我国古代称 为“河图”、“洛
书”、又叫“纵横图”。
2、幻方的种类：
①奇数阶幻方：横竖方格数为奇数的幻方。如三阶幻方、五阶幻方、七阶幻方……
②偶数阶幻方：横竖方格数为偶数的幻方。如四阶幻方、六阶幻方、八阶幻方……
3、构造幻方的方法：
①构造奇数阶幻方的方法： 平移补空法；
b
）连续摆数法；
@构造双偶数阶幻方的方法：对角线法（也叫对称交换法，不作要求）；
③构造单偶数阶幻方的方法：迭加对称法（不作要求）。
4、幻方的性质：
①n阶幻方中可以填充任一由
n
2
个数组成的等差数列；
②n阶幻方的幻和等于“π
2
”项的等差数列和：阶数n;




【例题精讲】
【例l】用两种方法将1~9这九个数填入下图的方格中，使每行、每列、每条对角线上的
三个数字之和都相等。









〖巩固〗请你用两种方法将2 ~10这9个数填入下图的空格内，每行、每列、每条对角线

10

上的3数之和相等。









〖拓展〗用两种方法把11~35这25个自然数组成一个五阶幻方。并求出它的幻和。









【例2】下图是一个未完成的幻方。它的每行、每列和两条对角线上的4个数之和都相等，
那么空格中A和B各是多少？









〖巩固〗如下图，将1至25填入5×5方格中，使每行、每列和两条对角线上5数之和相等，
则a 等于多少？


11

课后练习三
1、用两种方法将从1开始的九个连续奇数填入3行3列的九个空格中，使每一横行、每一竖
列及两条对角线上的三个数之和都相等。









2、在下面的三阶幻方的空格内填入适当的数-
使幻和等于27。








3、己知下图是一个四阶幻方，那么标有}的方格中所填的数是多少？









4、在下图所示的方格表的每个方格内填入一个恰当的字母，可以使得每行每列及两条对角
线上4个方格中的字母都是A、B、C、D，那么，表中标有*的方格内应填的字母是什么？


12

附录：连续摆数法（楼梯法）
宗旨：斜着向右上方向填空，就像爬楼梯一样 ；
l)把第一个数放在第一行正中；
2)原则上每一个数都要放在前一个数的右上一格；
①如果这个数所要放的格已经超出顶行，那么就把它放在底行，仍要放在右一列；
②如果这个数所要放的格已经超出最右列，那么就把它放在最左列，仍要放在上一行；
③如果 这个数所要放的格已经超出了顶行且超出最右列（走到幻方的顶点，碰到“钉子”）
那么就把它放在前一 个数的正下面；
④如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的正下面。
例题：将1-9填入三阶幻方，使之成立。
① 将第一个数字“1”，填入第一行最中间：






②发现将要填入的2已经超出了顶行 ，那么就把它放在底行，仍然要放在1的右一列，相当
于将1拉到其所在列的最下面，再按斜着填的方法 ，把2填入底行右一列：







③发现将要填入的3已经超出了最右列，那么就把它放在最左列，仍然要放在2的上一行，
相当于将2 拉到其所在行的最左边，再按斜着填的方法，把3填入最左列上一行：






④发现将要填入4的格子已经有数，那么就把4它放在前一个数3的正下面：






13

⑤然后按照楼梯法宗旨，依次填入5和6：






⑥发现将要填入数字7的格子已经超出了顶行且超出了最右列（走到幻方的顶点， 碰到“钉
子”）那么就把它放在前一个数6的正下面：







⑦发现将要填入的8已经超出了最右列，那么就把它放在最左 列，仍然要放在7的上一行；相当
于所以将7拉到其所在行的最左边，再按斜着填的方法，把8填入：







⑧发现将要填入的9已经 超出了顶行，那么就把它放在底行，仍然要放在8的右一列，相当
于所以将8位拉到其所在列的最下面， 再按斜着填的方法，把9填入底行右一列：








⑨下图即为所求三阶 幻方。






总结：无论是对5阶、7阶还是9阶、11阶，只要是奇数阶幻方，均可使用此方法。

14

第四讲 幻方 (二)

【知识梳理】
三阶幻方的主要性质有：
①具有一个共同数的一行和一列中其他两个数的和相等。
②中心数性质：
幻方中所有相等的和称为幻和；
三阶幻方的幻和等于中心数的3倍；
对角线上两个端数之和等于中心数的2倍。
③三角平均性质：
幻方中四角的数等于与它不相邻的两个行列中间数的平均数。亦称 幻方中某角上的
数等于它对角相邻的两数的和的一半。




【例题精讲】
【例1】在下图中的A、B、C、D处填上适当的数，使其成为一个三 阶幻方。








〖 拓展〗如图，九个小正方形内各有一个两位数，而且每行、每列及两条对角线上三个
整数的和都相等，求 x所代表的数。

15

【例2】如图，在一个三阶幻方内已填好了两个数19和95，求x的值。








〖拓展〗如图，在一个三 阶幻方内已填好了三个数19、95和100，请把这个幻方补充完
整。







【例3】如图，第一行第三列位置上填5，第二 行第一列位置上填6。请你在其他方格中
填上适当的数，使方阵横、纵、斜三个方向的三个数之和为27 。









〖拓展〗如图所示是一个三阶幻方，那么标有*的方格中所填的数是多少？

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课后练习四

l、如图，要求每个方格中填入不相同的数， 使得每行、每列、每条对角线上的三个数之
和都相等。问：图中左上角的数是多少？









2、在下面的三阶幻方的空格内填入适当的数，使幻和等于27。









3、下图中的9个小方格内各有一个 数字，而且每行每列及每条对角线上的3个数之和都
相等。求x。


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第五讲 巧求周长
【知识梳理】
l、两种常用基本图形周长公式：①长方形：C=a+b）×2；②正方形：C=a×4
Z、不规则图形的周长计算技巧：
①通过观察、比较、剪拼、转移等手段，灵活求出不规则图形的周长；
②运用“转化”的思想，设法把不规则的比较复杂的图形转化为标准的长方形、正
方 形，转化中注意“变”与“不变”的两方面。


【例题精讲】
【例l】如图所示，求这个多边形的周长是多少厘米？









〖巩固〗下图是一个“干”字形图形。已知两横 均长6厘米，宽1厘米的长方形构成，
中间一竖是由长6厘米，宽2厘米的长方形构成，求出“千”字图 形的周长是多少厘米？








〖拓展一〗下图是一个零件的平面图，图中每一条最短线段均长5厘米，零件长35厘米，< br>高30厘米。这个零件周长是多少厘米？

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〖拓展二〗 下图共有8条边，分别用a、b、c、d、e、f.g、h表示，要测量它的周长，至
少要测量哪几条线 段的长度？








【例2】把长2厘米、宽1厘米的长方形摆成如图所示的









〖巩固〗把长2厘米宽l厘米的长方形一层一层 地摆下去（如图），摆完6层后，这个图
形的周长是多少厘米？摆完15层呢？









〖拓展〗下图是由10个 边长为3厘米的小正方形组成。每个小正方形的顶点恰在另一个
正方形的中心，且边相互平行，求这个图 形的周长。

19

【例3】如下图所示，长方形长4厘米，宽2厘 米。现沿其对角线BD对折得到一几何图
形，试求图形阴影部分周长。









〖拓展一〗有一张长为12厘米，宽 为10厘米的长方形纸片，如图所示，竖直方向的虚
线位于2条直线上，按照虚线将这个纸片剪为两部分 ，则这两部分的周长之和是多少厘
米？









〖拓展二〗如图，在长方形ABCD中，EFGH是正方形 。如果AF=10厘米，HC=7厘米，
那么长方形ABCD的周长是多少厘米？









〖拓展三〗下图是由同样 大小的长方形纸片排成的，已知小长方形纸片的宽是12厘米，
求其中一个阴影部分的周长。

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课后练习五
1、求下图的周长。



2、求下图的周长。（单位：厘米）







3、用10个边长是2厘米的小正方形搭成下面形状，它的周长是多少厘米？






4、下图是一座楼房的平面图，图中 用不同字母表示长度不同的各条边。已知b=50米，
c=30米，g=10米，求这座楼房平面的周长 。






5、下图是由6个边长2厘米的正方形拼成的，这个图形的周长和面积是多少？







6、把一些长20厘米，宽12厘米的长方形纸 按下图所示方法一层、二层、三层的摆下去，
共要摆十层，摆好 后图形周长多少厘米？

21

第六讲 等量代换
【知识梳理】
l、“等量 代换”是解数学题时常用的一种思考，即两个相等的量，可以互相代换。当
年曹冲称象时，就是运用了这 种方法。
2、在有些问题中，存在着两个相等的量，我们可以根据已知条件与未知数量之间盼关< br>系，用一个未知数量代替另一个未知数量，从而找出解题的方法。这就是等量代换的基
本方法。
3、在小学数学中，有些数学题数量关系隐蔽，不易发现解法，此时，往往可以根据题
中所 给的条件，利用“等量代换一的数学思想，即用已知量代替未知量，从中找出数量
之间的本质联系，使问 题得到解决。
【思考】古时候人们买东西时不用钱，而是用东西去换。设换的标准是20只兔子可以换
2只羊，9只羊可以换3头猪，8头猪可以换2头牛，如果一个人用1头牛去换兔子，可
以换多 少只？


【例题精讲】
【例1】-支钢笔可以换2支圆珠笔，一支圆珠笔可以换4枝铅笔，1枝钢笔可以换几枝
铅笔？




〖巩固〗1只猪的重量等于2只羊的重量，1只羊的重量等 于5只兔的重量，问：1只猪
的重量等于几只兔的重量？



〖 拓展〗1头牛换4头猪，l头猪换3只羊，1只羊换10只兔，想一想，l头牛能换多少
只兔子？






22

【例 2】商店运来了400双布鞋，分别装在2个木箱和4个纸箱中，如果2个纸箱装的
布鞋和1个木箱装的 同样多，那么，每个木箱和每个纸箱各装多少双布鞋？






〖巩固〗买3瓶可乐的钱可以买5瓶汽水。小明带的钱正好可买8瓶可乐。由于人数较
多，全部买成可乐不够喝，小明就只买了2瓶可乐，剩下的钱全部买成汽水，这样正好
1人1瓶。喝可 乐和汽水的一共有多少人?





〖拓展〗粮店运回 6袋大米和8袋面粉，一共重820千克。已知每袋大米比面粉重20千
克，大米和面粉每袋各重多少千 克？






【例3]园园、方方和平平三 个人在水果店各买了一袋水果，三袋水果的重量相等。又知
道园园买了1个西瓜、1个菠萝和5个苹果； 方方买了3个菠萝和11个苹果；平平买了
1个西瓜和8个苹果。如果每个苹果重200克，那么每个菠 萝重多少克？每个西瓜重多
少克？
每袋水果重多少克？






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〖拓展一〗已知13△=2口+O，○ =4△+口，问1个○的重量等于多少个△的重量？






〖拓展二〗如果鱼尾重4千克，鱼头重量等于鱼尾加上鱼身一半的重量，而鱼身重量等
于鱼头加鱼尾的重量。问这条鱼有多少千克？







【例4】已知2筐梨和4筐桔子共重260千克，4筐苹果和4筐桔子共重320 千克，6筐
梨和4筐苹果共重620千克，求l筐梨重多少千克？l筐苹果重多少千克？1筐桔子重多< br>少千克？





〖巩固〗A、B、C分别表示 不同的数值，已知A+3B+C=21，2A+3C=20，3B+2C=16，
求A+B+3C的数值 是多少？

24

课后练习六
1、1个苹果换2个橘予。1个橘子换6块糖。想一想，1个苹果可以换多少块糖？



2、已知△+△+△=◎，◎–△=12，求1个◎和1个△分别是多少?
3、有一杯饮料，阿健喝了半杯后，将杯中加满水，然后又喝了半杯，再加满水，最后
全部 喝完。请问阿健喝的饮料多，还是喝的水多？



4、20只桃子可换2只香瓜，9只香瓜可换3只西瓜，8只西瓜可换多少只桃子？



5、西航小学买了2张桌子和3把椅子共用270元，l张桌子的单价与3把椅子 的价钱相
等。求桌子和椅子的单价各是多少元？



6、1筐菠 萝+1筐香蕉=120千克；1筐菠萝+1筐橙子=100千克；1筐香蕉+1筐橙子=80
千克；求1 筐菠萝重多少千克?1筐香蕉重多少千克?1筐橙子重多少千克？



7 、小明带了20元去文具店买作业本，他买了5本小练习本和2本大练习本后，剩下的
钱若买3本小练习 本还多8角钱，若买3本大练习本还差1元。每本大练习本多少元？

25

第七讲 植树问题（一）

【知识梳理】
l、植 树问题是研究在植树过程中有关棵数与段数之间的关系，它们之间的关系中段数
相对固定，棵数则因线路 类型和具体种植要求会作一定变化。
2、植树问题的线路有封闭和不封闭两种。






3、基本数量关系：
①总距离：间隔距离=段数；
②不封闭线路：
1)两端都植树：棵数就比段数多一棵，如图：
棵数=段数+1=路长：间距+l;



3)两端都不植树：那么棵数比一端植树还少一棵，如图：
棵数=段数-1=路长：间距-1：


③封闭线路：棵树等于段数，如图：
棵数=段数=路长：间距



3、要解决植树问题，首先要牢记 三要素：①总线段长；@间距；③棵树。只要知道这三
个要素中任意两个要素，就可以求出第三个。

【例题精讲】
【例1】学校门前有一条笔直的小路长32米，在小路的一旁每隔4 米种一棵杨树，头尾
一共种多少棵树？




〖巩固〗一段公路长3600米，在公路两旁都每隔9米栽一棵梧桐，两端都栽。那么共要

26

准各好树苗多少棵？






〖拓展〗在一条长40米的大路两侧栽树，从起点到终点一共栽了22棵，已知相 邻两棵
树之间的距离都相等，问相邻两棵树之间的距离是多少米？





【例2】两座楼房之间相距30米，在两楼之间垂直于两栋楼栽一行树，如果每两 棵树之
间相距3米，一共需要多少棵树苗？





〖巩固〗在相距I00米的两楼之间种树，每隔10米种一棵。那么共种树多少棵？






〖拓展〗两棵树相隔115米，在它们之间以相 等距离增加2Z棵树后，第16棵与第1棵
之间相隔多少米？

27

【例3】有一条长2500米的公路的一侧架设电线杆，每隔50米架设一根，若一端不架，
共需架多少根？





〖拓展〗小明站在一棵梧桐树 下，公路旁每隔8米栽一棵梧桐树，小明骑自行车出发5
分钟又连续经过125棵梧桐树，小明每分钟骑 多少米？





【例4】有一个水池周长是50米，在水池周围每隔5米种一棵柳树，一共要种多少棵？





〖巩固〗在一个圆形水池周围，每隔6米有一棵柳树，一共 有60棵，这个水池的周围长
多少米？





〖拓展〗有一圆形花坛，绕它一圈120米，如果沿着一圈每隔6米栽一棵丁香，再在每
相邻的两棵丁 香之间等距离种2棵月季。那么共可栽丁香和月季各多少棵？

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课后练习七
1、在一条长300米的大路两旁种树，每隔5米栽一棵，如果起 点和终点都种一棵，一共
种多少棵树？




2、在一个周长是240米的游泳池周围栽树，每隔5米栽一棵，一共要栽多少裸树？




3、城中小学在一条大路边从头至尾栽树28棵，每隔6米栽一棵，这条路有多长？





4、在一座长800米的大桥两边挂彩灯，起点和终点都挂 ，一共挂了202盏，相邻两盏之
间的距离都相等，求相邻两盏彩灯之间的距离。




5、两棵大树相距90米，计划在两棵大树中间补栽14棵小树，每两棵树的间隔 距离相等，
树的间隔是多少米？




6、在一个周长 为800米的住宅小区周围绿化，每隔8米栽1棵柳树，在相邻两棵柳树中
间每隔2米栽1棵桃树，问栽 柳树、桃树各多少棵？

29

第八讲 上楼梯问题
【知识梳理】
1、楼梯每个人都走过，但是楼梯中也有数学问题，这你想过吗？例如家住 在六楼，每
层楼梯有16级，每次回家共要走多少级楼梯？
2、“上楼梯问题”、“锯木 头”、“敲钟”等本质上都隐藏着植树问题的数量关系。可以
作如下类比：将住几楼看作是棵树，间隔数 看作段数，每层的台阶数看作棵距，将问题
转化为植树问题。




【例题精讲】
【例1】小张从1楼到5楼要36秒，照他这样计算，他从5楼到10楼要用多少秒？




〖巩固〗某人要到一座高层楼的第8层办事，不巧停电，电梯停开，如 从l层走到4层
需要48秒，请问以同样的速度走到八层，还需要多少秒?




〖拓展一〗小明家住在六楼，小华家住在四楼，每层之间楼梯的级数都相同。小华 回家
要走48级楼梯，问小明回家要走多少级楼梯？



〖拓展二〗月甲z,-两A比赛爬楼梯，甲跑到4层时，乙恰好跑到6层，如果甲、乙两人
跑楼梯的 速度保持不变。那么甲跑到10层时，乙跑了几层？

30

【例2】一根木料在24秒内被切成了4段，用同样的速度切成5段，需要多少秒？



〖巩固〗把一根钢管锯成5段需要8分钟，如果把同样的钢管锯成20段需要多少分钟？



〖拓展〗把一根钢管锯成小段，一共花了28分钟。已知每锯开一段需要4分钟， 这根钢
管被锯成了多少段？




【例3】时钟4点钟敲4下，12秒钟敲完，那么6点钟敲6下，几秒钟敲完？




【例4】佳佳从一幢高楼的底层开始登楼，她从第一层到第九层用了4分钟，她又 往上
登了几层后，感到很累就往下走，当她走到第三层时共用了10分钟。如果佳佳上下楼梯
的 速度相同，问：佳佳又向上走了几层楼梯？





〖 拓展〗阿多用同样的速度在林荫道上散步，他从第一棵数走到第八棵树用了7分钟，
当他走了12分钟应 该到达第几棵树？如果路的两边从头到尾共栽了100棵树，来回一趟
共需要多少分钟？

31

课后练习八

l、某人到高层建筑的10层去，他 从l层走到5层用了100秒，如果用同样的速度走到
10层，还需要多少秒？




2、一根木料截成3段要6分钟，如果每截一次的时间相等，那么截7段要几分钟？




3、时钟3点钟敲3下，6秒钟敲完，12点钟敲12下，几秒钟敲完？



4、晶晶上楼，从1楼走到3楼需要走36级台阶，如果各层楼之间的台阶数相同，那么晶晶从第1层走到第6层需要走多少级台阶？




5、A、B二人比赛爬楼梯，A跑到4层楼时，B恰好跑到3层楼，照这样计算，A跑到
16层楼时 ，B跑到几层楼？




6、一个老人在公路上散步，从第一根 电线杆处走到第12根电线杆处共用了22分钟，这
个老人走了40分钟，走到第几根电线杆处？

32

第九讲 植树问题（二）

【知识梳理】
植树问题的数量关系通过类比被广泛应用于各类关于个数和间隔之间的问题的处
理，而 且还常被推广应用于方阵、点阵的研究中。
【例题精讲】
【例l】体育课上老师在操场上面 了4个大圆圈，每个圆圈周长18米，每隔2米站一个
同学做“打水鸭子游戏”，游戏规定：每隔圆圈内 有1个同学拿竹竿打“水鸭子”。一共
可以有多少个同学参加游戏？




〖巩固〗 40个小朋友玩丢手绢游戏，分两组玩，其中每组有一个小朋友丢手绢，其他小朋友围成圈，每相邻两个人之间间隔了l米；那么，每个圈的周长是多少？




【例2】一座桥全长168米，计划在桥的两侧的栏杆上各安装16块花纹图案， 每块图案
的横长为3米，靠近桥头的图案距离桥端都为15米，求相邻两块图案之间相隔几米？




〖巩固〗人民公园内有一个湖泊，周长是168米，现在沿边长等距离做8个9米的花坛，
花坛间隔是多少米？




〖拓展〗某校参加运动会的 学生有1000人，排成10路纵队并排入场进行开幕式，前后
每两人间隔1米。那么整个队伍有多长？

33

【例3】某实验员做实验，上午8时进行第一次观察，以后每 隔3小时观察一次。那么
他第10次观察是在什么时候？




〖巩固〗数列4，7，10，13，……298，301共有多少项？如果继续按照这样的规律写下去，第1000个数是多少？





〖拓展〗一个长84米，宽54米的长方形苹果园中，苹果树的株距是2米，行距是3
米，这个苹果园共种苹果树多少棵？




【例4】甲 地到乙地的公交线路全长18千米，每2千米设一个站点。公交车从上一个站
点到下一个站点的平均行驶 时间为10分钟，且每个站点的停车时间为3分钟。那么，从
甲地到乙地要用多少时间？





〖拓展〗甲、乙两站分别是某路电车的起点和终点，每隔5 分有一辆电车从甲发往乙，
全程要15分．小明从乙站出发沿电车线路骑车前往甲站，他出发时恰有—辆 电车进站，
在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车才到甲站，到达时又恰好有一辆从甲站正准备出发。求小明从乙到甲用了多久？

34

课后练习九
1、在等差数列3，12，21，30，39，48，……中，912是第几个数？





2、三年级同学120人排成4路纵队，也就是4个人一排 ，排成了许多排，现在知道每相
邻两排之间相隔1米，这支队伍长多少米？





3、一个新村里的人们造了一个周长是888米的圆形花园，准备在花 园的四周等距离造一
些小花坛，每个小花坛长2米，两个小花坛的间隔为6米，那么需要造多少个小花坛 ？





4、用10张同样长的纸条，粘接成一条长61厘米的纸条，如果每个接头处都重叠l厘米，
那么每条纸条长多少厘米？





5、科学 家进行一项实验，每隔5小时做一次记录，做第12次记录时，挂钟时针指向9。
问第一次记录时，时针 指向几？

35

第十讲 周期问题
【知识梳理】
l、本节介绍周期问题，周期是指循环规律中每循环一次的“长度”。
2、推理周期问题时，一要注意找准周期，二要注意计算好目标数的准确位置，另外还
要确定好前后对应的推算方式，注意运用除法计算的结果所代表的含义进行推算-
3、周期问题数量关系：总数：．周期=周期的个数……余数
余数所代表的意义：商所代表周期数的下一周期的第多少个。
【思考】伸出你的左手，从大拇指开始如图所示的那样数数字，1，2……”
问：数到20时，你数在那个手指上？数到2009时，你数在那个手指上？



【例题精讲】
【例l】把株洲青少年培训学校按“株洲青少年培训学校株洲青少年 培训学校……”的规
律依次排列下去，第135个字是什么？第301个字是什么？



〖拓展〗下表中上一行的一个字与下一行对应的一个字作为一组。如第一组是（提，造），
第二组是 (高，就)，那么第200组是什么？

提
造

高
就
思
智
维
慧
口
头
质
脑
提
造
高
就
思
智
维
慧
品
头
质
脑
…
… 【例2】一些图形按如下的规律排列：☆◎◎△☆◎◎△☆◎◎△☆◎◎△们-----，根据
规律 算出第160个图形是什么？




〖巩固〗下面一组图形是按一定规律排列的：OOOAAA□□○○○△△△口口O
○……根据规律回答下列问题：(1)第204个图形是什么?(2)在前204个图形中O、
△、□分别有多少个？


36

〖拓展〗有同样 大小的红、白、黑珠共180个，按5个红，再4个白的，再3个黑的排
列着。问第158个珠是什么颜 色的？




【例3】有一列数5，6，2，4，5，6，2，4-，这列数的第90个数是几？前90个数的和
是多少？



〖巩固〗有一列数按“432794327918 6……”排列，那么前54个数字之和是
多少？




〖拓展〗有一列数；1，2，3，5，8，2，3，5，8，2，3，5，8，…，请你算一算这个数
列 中前50个数的和是多少？




【例4】下面是一个11位数 ，每3个相邻数字之和都是l7，你知道“？”表示的数字是
几吗？

8




〖拓展〗有13名小朋友编成1到13号，依次围成一个圆圈。现在从1号开始，每数到
第3个人发一粒糖。那么，最后一个拿到糖的人是几号？
？ 6

37

课后练习十
l、小朋友把。奥林匹克数学竞赛奥林匹克数学竞赛……”依次写下去，那么第91个字
是 。



2、国庆节挂彩灯，按“红、黄、蓝、白、绿、紫”的顺序挂 ，一共挂了1240只彩灯，
则第321只彩灯是 色的彩灯。




3、一列数按如下规律捧列：2，2，5，2，2，6，8，2，2，5，2，2 ，6，8，2，2，5，…，
这个数列中的第153个数字是几？




4、有249朵花，按5朵红花，9朵黄花，13朵绿花的顺序轮流排列，最后一朵是什么
颜色的花？这249朵花中，红花、黄花、绿花各有多少朵？




5、我国农历用鼠牛虎兔龙蛇马羊猴鸡狗猪这12种动物按顺序轮流代表各年的年号。例如2000年是龙年，2001年是蛇年，2002年是马年，2003年是羊年，……，那么，2010< br>年是什么年，2050年呢？




6、三个数字1、2 、3与两个字母A、B依次不断重复出现，一个数字与一个字母为一个
对应组，如第1组为(1，A)， 第2组为(2，B)，……，求第25组、第42组分别是什么
数字和字母？
1
A

2
B
3
A
1
B
2
A
3
B
1
A
2
B
3
A
…
…
…
…



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第十一讲 图形找规律

【知识梳理】
观察图形的变化，主要从各图形的形状、方向、数量、大小及各组成部分的位置入手，
从中找出变化规律 。


【例题精讲】
【例1】根据前面几幅图的规律，接下去该怎样画？




〖巩固〗观察下图，并按照变化规律在最后一组方格内填上合适的图形。






〖拓展〗按规律填字母。





【例2】下图是按照一定规律排列起来的，，请按这一规律在空格处画出适当的图形。





〖巩固〗观察下图，按规律在第(2)幅图中填上适当的图案。





39

〖拓展一〗请找一找图形的变化规律，在空格处画出恰当的图形。



〖拓展二〗观察下图，在空格中填上合适的图形。
【例3】如图，根据每行每列的捧列规律，在空格内填入一个合适的图形。




〖拓展〗下面一组图形的阴影变化是有规律的，请根据这个规律把第四幅图的阴影部分画出来。



【例4】仔细观察图中不同颜色图形的变化规律，在空白处填上适当的图形-




〖拓展〗右图是由几何图形组成的帆船图形，请按照一定的规律，
在空白处画出符合规律的小帆船。



40

课后练习十一
1、按照图形的变化规律，在空格处画出相符的图形。




2、找规律，在空格里填上合适的图形。





3、观察下图，并按照变化规律在最后一组方格内填上合适的图形。






4、观察下图所给图形的变化规律，然后在空白处填上所缺的图形。







5、下图看似复杂，实际上只要你找到合适的方法，你就可以解答出来，试试看，好吗?





6、下图方格内图形的排放有一定的规律，你知道右下角缺失的是哪个图形吗？










41

第十二讲 数列找规律

【知识梳理】
1、数列：按照一定次序排列起来的一列数，叫做数列。
如：自然数列：1、2、3、4……；双数数列；2、4、6、8……
2、数列找规律：
①按照一定次序排列起来的一列数，只要从连续的几个数中找出规律。那么就可以知
道其余所有的数。
②寻找数列的排列规律，除了从相邻两数的和、差考虑，有时还可以从积、商来考虑-
③比较复杂的数列，有时需要把数列看成几个部分，分别考察它们的排列规律-
④数组找规律时，可以观察数组之间的规律，也要考虑数组内在的规律。
3、数学中常用的几个数列有：自然数数列、奇数数列、偶数数列、等差数列、平方数
数列、斐波那契数列（兔子数列）等。


【例题精讲】
【例1】按规律在( )里填数。


①1，2，3，4，5，( )，( ) ②1，3，5，7，9，( )，( )
③2，4，6，8，10，( )，( ) ④1，4，7，10，l3，( )，( )


〖巩固〗按规律在( )里填数。
①l，3，5，7，( )，11，( ) ②130，125，120，115，( )，105，(

【例2】按规律在( )里填数。
①1，4，9，16，25，( )，( ) ②1，1，2，3，5，8，( )，( )
③1，3，6，10，15，( )，( ) ④2，4，8，16，32，( )，( )
⑤3，6，2，12，3，24，4，( )，( )

42
)

〖巩固〗按规律在( )里填数。
①1， 3，9，27，81，( )，( ) ②1，2，4，7，11，16，( )，( )

〖拓展〗按规律在( )里填数。
①3，5，7，( )，( ) ②2，5，11，23，47， ( )，( )
③1，2，2，4，8，( )，( ) ④1，1，1，3，5，9，( )，( )
⑤1，3，3，12，5，48， ( )，( )
⑥1，3，3，12，5，48， ( )，( )
⑦1，1，2，4，3，9，4，16，( )，( )
⑧4，7，8，14，12，21，16，28，( )，( )


【例3】下面括号里的两个数是按一定规律组合的，根据规律填上适当的数。
① (7，11)，(5，13)，(10，8)，( ，15)
② (1，3)，(4，8)，(7，13)，(9， )


〖拓展一〗下面数列的每一项是由3个数组成的数组表示，它们依次是：(1，3，5)，(2，
6，，(3，9，15)，……则第10个数组是（ ， ， ），第100个数内三个数
的和是多少？



〖拓展二〗一串数按下述规律排列：1，2，3，2，3，4，3，4，5，……从左边第一个数起
第50个数，这50个数的和是多少？

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【例4】观察下列各题中数的变化规律，然后填上各题中所缺的数。

















〖拓展一〗根据图1、图2的规律，在图3、图4的空格里填上适当的数。








〖拓展二〗下图中各个数之间存在着某种关系，请按照这一关系求出数a和b。






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课后练习十二
l、观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律，在括号中填上合适的数。

①19、 17、15、 13、 11、( )、( )
②0、3、8、15、24、35、( )、( )
③1、3、4、7、11. 18、( )、( )
④2、l、4、3、6、9、8、27、 10、( )、( )
2、下面的表格中的数是按一定的规律排列的，按此规律在空格处填上适当的数。
5
3、先找规律，再在空白处填上适当的数。




7 11 19 35
4、有一列数：1、2001、2000、1、1999、199 8、l、1997、1996、……从第3个数起，每一
个数都是它前面Z个数中大数减小数的差，那么，第2001个数是多少？





5、一串按某种规律排列的自然数：1、2、3、2、3、4、3、4、5、4、5、6-，问其中第
101个数至IIO个数之和是多少？




6、把 除l外的所有奇数按照依次一项、二项、三项、四项循环的方式进行分组：(3)、(5，7)、
(9, 11. 13)、(15, 17, 19, 21)、(23)、(25, 27)、(29, 31, 33)、(35, 37, 39, 41)、(43)……那么第1994个
括号内的各数之和是多少？








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