河大教务-创先争优活动总结

四年级奥数详解答案
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第九讲 乘法原理
一、知识概要
如果要完成一件任务需要分成几个步骤进行做，第一步有m
1
种方法， 做第二步有m
2
种方法……，做第n步有m
n
种方法，即么，按这样的步骤完 成这件任务共有N=
m
1
×m
2
×…×m
n
种不 同的方法。这就是乘法原理。
乘法原理和加法原理的区别是：加法原理是指完成一件工 作的方法有几类，之间不
相关系，每类都能独立完成一件工作任务；而乘法原理是指完成一件工作的方法 是一类
中的几个不同步骤，互相关联，缺一不可，共同才能完成一件工作任务。
二、典型例题精讲
1. 从甲地到乙地有两条路可走，从乙地到丙地有三条路可走，试问： 从甲地经乙地到丙
地共有多少种不同的走法？
分析：如图，很明显，这是个乘法原理 的题目。要完成“从甲到丙的行走任务”必须分
两步完成。第一步：甲分别通过乙的三条路线到达丙，故 有3种走法。第二步：
甲从第二条路线出发又分别通过乙的三条路线到达丙，故又有3种走法。这两种< br>走法相类似，共同完成“从甲到丙”的任务。

解：3×2=6(种) 答：共有6种不同的走法。
2. 右图中 共有16个方格，要把A、B、C、D四个不同的棋子放在方格里，并使每行、
每列只能出现一个棋子， 共有多少种不同的放法？


分析：(如图二)摆放四个棋子分四步来完成 。第一步放棋子A，A可任意摆放，有16
种摆放；第二步摆B，由于A所在的位置那一行，那一列都不 能放，故只有9
种放法；第三步摆C子，也由A、B所在的那一行，那一到都不能，只有四格
可 任意放，故有4种放法；第四步，只剩一格放D子，当然只有一种放法。

解：16×9×4×1=576(种) 答：共有576种不同的放法。
3. 有 五张卡片，分别写有数字1，2，4，5，8。现从中取出3张片排在一起，组成一个
1
□5
□
2
，可以组成 个不同的偶数。 三位数，如□
分析：分三步取出卡片：1.个位，个位只能放2、4、8；故有3种放法；2.百位，因个
位用去1张 ，所以百位上还有四张可选，故有4种放法；3.十位，因个位和百位
共放了两张，所以还有3张可选放 ，有3种放法。
解：3×4×3=36(个)
4. 兴趣小组有7名男生，5名女生，现要从这些同学选出4名参加数学竞赛，其中至少
要有2名女生，共有 种不同的选法。
分析：分三类选出(加法原理)：第一类：2名学生，先从5名女生中选2名 ，有5×4
÷2=10(种)选法，再从7名男生中选2名有7×6÷2=21(种)，共有10×21=210(种)；第二类：3名女生，先从5名女生中选3名，(其实等于选出2名
不比赛)有 10种选法；再从男生中选1人，有7种选法。共有10×7=70(种)选
法。第三类：4名学生，即 从5名选1人不比赛，有5种方法。
解：10×21+10×7+5=285(种)
5. 有4名男生，2名女生，排成一行录像，要求2名不站在两边，且2名女生站在相邻
位置，共有多少种不同的排法？
分析：分两步考虑，第一步，先确定女生排法，2名女生不站两 边，有6种站法。第二
步，确定男生的站法，4名男生4个位置可选择，故有4×3×2×1=24(种 )站法。
解：6×24=144(种) 答：共有144种不同的排法。
6. 地图上a、b、c、d四个国家(如下图)，现有红、黄、绿、蓝四种颜色给地图染色，使
相邻国家的颜 色不同。有 种不同的染色方法。
分析：着色分四步，在图A中，第一步给a着色 ，有四种方法；第二步给b着色，因a：
b相邻，故有3种色选着，方法有3种；第三步给c着色，有2 种着法；第四步，
给d着色，有2种着法。在图B中，a着色后可将b、d的着色分为相同与不同
两类去考虑，染色的顺序为a、b、d、c.

解：图A 4×3×2×2=48(种)
图B 当b、d同色的有4×3×1×3=36(种)；当b、d不同 色时，有4×3×2×
2=48(种)；共有36+48=84(种)

三、练习巩固与拓展
1. 某人到食堂买饭，主食有3种，副食有5种，他买主食和副食各1种，共有多少种不同
的买法？
2. 书架上有6本不同的外语书，4本不同的数学书，从中任取外语、数学书各1本，有多
少种不同取法？
3. 小明、小军各小勇三人报名参加学校运动会，每人必报跳高、跳远、100m跑、200m跑< br>这四项中的一项，报名会出现多少各不同的情形？
4. 图中有七个点和十条线段，一只甲虫 要从A点沿着线段爬到B点去。若要求甲虫不重
复经过点、线段，则甲虫最多有多少种不同走法？
5. 由数字0，1，2，3组成三位数，向：
(1)可组成多少个不相等的三位数？ (2)可组成多少个没有重复数字的三位数？
6. 现有1元的人民币3张，2角的人民币2张，1 角的人民币4张，如果从中至少取一张，
至多取九张，那么，可组成多少种不同的布值？
7. 某电影院有六个行，其中A、B、C、D门只供退场时作出口，甲、乙门作为入口也作为
出口。共 有多少种进出路线？
8. “WFO”是世界贸易组织的缩写，把这三 个字母写成三种不同颜色，现有5种不同色彩
的笔，按上述要求能写多少种不同颜色搭配的“WTO”？
9. 下图是一个棋盘，将一个白子和一个黑子放在棋盘线的交点上，但不能在同一条棋盘线
上，共有多少各不同的放法？
10. 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字，能够组成多少个没有重复数字的三位数？
11. 有6人参加军训，在操场上站成一排，其中2名队长不在起，一共有多少种排法？
12 一 排房有四个房间，四个房间中住着甲、乙、丙三人，现定每个房间只许住1人，且只
允许两个人住的房间 挨在一起，第三个人的房间必须和前两个人隔开，有多少种住法？
13. 用9颗钉子组成3×3方阵，用橡皮筋勾在3颗钉子上，组成一个三角形，共可组成多
少个三角形？
14. 要在3×n方格中(n是自然数，将每列中的3个方格分别用红、白、蓝三种颜色任意染色
(每列中三格的颜色各不相同)
。最少需要多少列才能保证至少使两列染色的方式相同？

15. 七个相同球，放入四个不同的盒子里，每个盒子至少放一个，不同的方法有多少种？
16. 如图，从A点出发，经过C点到B点的最短路线，共有多少条？

第九讲 <练习巩固与拓展>答案
1. 3×5=15(种)
2. 6×4=24(种)
3. 4×4×4=64(种)
4. 3×3=9(种)
5. (1) 3×4×4=48(个)
(2) 3×3×2=18(个)
6. 9×4-1=35(种)
7. 2×6=12(种)
8. 提示：分涉①先 确定W的颜色，有5种；②确定T的颜色有4种；③确定O的颜色，有
3种。5×4×3=60(种)
9. 提示：设先排白子，有12种方法；再排黑子，有6种方法。 12×6=72(种)
10.提示：分三步1.排百位数，有9种；2.排十位，有9种；3.排个位，有8种。
9×9×8=648(个)
11. 提示：①除2名队长的4人排到有4×3×2×1=24(种)排法；
②将2名队长插入到这四人之间 或两头。共5×4=20(种)插法。故有24×20=480(种)排法。
12. 提示：分四步： 1.甲有4种住法；2.乙，有3种住法；3.丙，有2种住法；4.三人挨着的
有(3×2×1)×2 =12(种)，故24-12=12(种)。
13. 提示：1.取第一颗有9种方法；2.取第二颗 有8种方法；3.取第三颗有7种方法，共9×
8×7=504(种)。但每个三角形顶点有6种排列次 序，故实际上只有9×8×7÷
6=84(种)方法。又有三个点在一直线不能组成三角形，这种情况有 8种。所以，
一共可得到三角形84-8=72(个)
14. 每一列的排法有3×2×1=69(种)故最少需要6+1=7列才能得证至少有两列染色方式相同
15. 由于盒子不同，放第一个球，有4种方法；放第二个球，也有四种方法，…放第七个球，
还有4种方法，所以，一共有4×4×4×4×4×4×4=4
7
=16384(种)放法。
16. 如图，从A到A，A
2
走最短路线只有1条，从A到A
3
有 2条路线，运用加法原理，A
到C有6种走法。同理，由C到D，有10种走法。再由D到B又月6种走 法。故共
有6×10×6=360(种)最短路线。