一年级下册语文教学计划-河南省核工业地质局

规律性问题

知识要点




























无论是在奥数的学习中， 还是在日常生活中，我们都会发现很多很多规律，它可以帮助我们更好的认
识问题。特别是在奥数学习中 ，一些数列、数阵的排列，图形周长、面积的变化、庞大数字的计算等
等都有一定的规律。规律的得出常 常要经过观察与归纳这样的思维活动。观察是寻找规律不可少的手
段，是发现本质、归纳规律的先导，有 些问题解答不出来，究其原因，与其说是“想不出”，不如说
是“看不出”。在寻找规律的过程中，必须 要高度重视对数、形、式等现象的观察，善于抓住问题的
本质特征进行归纳，从而得出规律。只有经过观 察、思考和试算，发现数与数、图形与图形相互之间
的关系，才能得到题目的答案。同学们，通过学习， 希望你在平时多积累，多归纳，善于发现、总结
一些规律，因为学会发现往往比学会几道题目重要得多。
数字
数列
数阵的排列
规律性问题
（本讲）
奇偶性
周长
图形
面积
个数


数与数字
1

周期问题

（
2005
年第十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛小学组决赛第
1
题）下表中 每一列为同一
年在不同历法中的年号，请完成下表：
公元历
2005

1985

1910

希伯莱历
伊斯兰历
印度历


5746




1332


1927

【分析】第一列与第二列差
20
年，第一列与第三列差
95
年，第二列与第三列差
75
年；
答案如下。
公元历
2005

1985

1910

希伯莱历
5766

5746

5671

伊斯兰历
1427

1407

1332

印度历
1927

1907

1832

【说明】各种历法的简介
公元历
公元纪年法和耶稣的 诞辰有关。在公元
325
年，欧洲各国基督教开会决定使用统一的历
法，即儒略历。但 各国仍使用原有的纪年方法。罗马帝国以始建罗马城为纪元；希腊以召开
第一次奥林匹克运动会的那一年 （公元前
776
年）为纪元。为了扩大基督教的影响，教士们
一直谋求使用统一的纪年 方法。公元
532
年，著名教士狄奥尼西经过一番联想和推算，判定
耶稣诞生于狄奥克 列颠纪元前的
284
年，并建议以后基督的纪年不再用别的方法，而统一以
耶稣降生之 年为纪元。这个建议得到绝大多数基督教会的支持，经过推算，确定当年是耶稣
诞生的第
532
年，也就是公元
532
年，公元纪年法由此诞生。
玛雅历
号称< br>5000
年历史的玛雅文化在秘鲁等中南美国家至今仍有遗存。危地马拉有一个一直
使用 太阳历的部落，他们就是玛雅人的后代，关于玛雅人这种太阳历的来龙去脉至少有
10
种
不同的说法，比较可信的是公元前
3114
年
8
月开始启用的太阳历，不过 它又分为民间历和
宗教历两种，民间历把一年分为
365
天，也叫哈布，宗教历则只有
260
天，通称左尔吉。玛
雅人出生时都从左尔吉那里受赐一种命运，与每人的生日对 应的神就是他在天上的教父，出
生当天就已决定了今生的命运，生日这一天往往就是自己的名字。 玛雅人的太阳历有
18
个月，每月
20
天，到年底多余出来的
5
天作为幽灵日，因带有背
运成分，深为人所避忌。另外，这
5
天又是进入新一 年的过渡期，对于其中某一天的祸患程
度，玛雅人通常按左尔吉与哈布两种日期的位置关系来推算。

埃塞俄比亚历
埃塞俄比亚人信奉基督教，但是，既不用格里高里历，也不用东正教 用过的儒略历，而
是采用从先祖亚历山大手里继承过来的另一种太阴太阳历。这种历法如同它的名字一样 ，月
的划分按阴历进行，为了补偿与阳历的偏差，每年的
9
月末要相应地增加几天，此 时适逢雨
季行将结束的时候。
2

希伯莱历
希伯莱历是以色列人采用的，它依据的是太阳和月亮在既定的时间相遇的过程。按律法
的定则耶 稣复活日的祭月活动必须在春天进行，而且要与阳历调整好。可是，另有一种定则
又要求希伯莱历的每个 月必须在新月初现的时候开始，强调其新与净。
这样希伯莱历就成了两种原则下的太阳历、太阴历，计 算方法以地球的运动和耶路撒冷
观测到的月亮的盈亏为基准。但是太阳和月亮如何关联，一年
3 65
天的阳历与每月
29.5
天的
阴历之间又是怎样调整的呢？为此，希伯莱 历交替设置了
353
天和
355
天的平年以及
383
天和
385
天的闰年，在犹太人看来，历法于“开天辟地”那一刻就已经开始了，按这一历法 ，
公历的
2001
年
10
月
1
日是希伯莱历
5762
年的元旦。

伊斯兰历
伊斯兰教徒为了斋月期间白天的禁食和 每天的祭祀活动，使用以月亮运行为基准的太阴
历，这种宗教历法以一轮新月的出现作为一个月的开始， 信徒只要注意天上的月亮就可以确
认时间。但也有明显的不足，地球上观察新月并非每个地方都处于同样 时间，而且遇上阴天
就无法判断了。为此，在宗教历之外，常用的还有一种事先印制好的太阴历，每个月 交替以
29
日和
30
日为月底，实际上不能完全符合
29.5
天，必须以
30
年为一个周期设置
11
个闰年。
354
天 的太阴历与
365
天的太阳历不完全相符，所以，季节的轮回也出现了偏差，很可能造
成隆冬赶在
3
月份或盛夏出现在
3
月份的怪现象。为了与太阳历的季节一致， 此后不久，新
的伊斯兰历应运而生。
伊斯兰历的纪元以公元
622
年为起点 ，即以穆罕默德从麦加向麦地那逃亡的史称圣迁的
那一年为元年，而公元
2001
年就 成了伊斯兰历的
1423
年，伊斯兰教徒的新世纪早在我们之
前已经度过了。

印度历
印度如今使用着多种历书，
1957
年历法改革时决定全 国统一使用太阳历。以当时公元
79
年的春分为起点。到公元
2001
年12
月，按他们的太阳历计算是
1923
年的刚刚开始。

流 水线上生产小木球涂色的次序是：先
5
个红，再
4
个黄，再
3
个绿，再
2
个黑，再
1
个白，
然后又依次是
5
红 、
4
黄、
3
绿、
2
黑、
1
白、……，如此 继续涂下去，到第
2010
个小球该
涂什么颜色？在前
2010
个小 球中，涂黑色的小球有多少个？
【分析】根据题意，小木球涂色的次序是：“
5
红、
4
黄、
3
绿、
2
黑、
1
白”，
也就是每涂过“
5
红、
4
黄、
3
绿、
2
黑 、
1
白”循环一次。
这里，给小木球涂色的周期是：
54321= 15
，
201015134
，
第
2010
个小球出现 在上面所列一个周期中第
15
个，所以第
2010
个小球是涂白色。
每个周期黑球共有
2
个，则在前
2010
个小球中，涂黑色的小球有
2134268
个。

流水线上生产小木球涂色的次序是：先
5个红，再
4
个黄，再
3
个绿，再
2
个黑，再
1
个白，
然后又依次是
5
红、
4
黄、
3
绿、
2
黑、
1
白、……，如此继续涂下去，涂到第
2010
个黑 球
时，涂色的小球一共有多少个？
【分析】根据题意，小木球涂色的次序是：“
5< br>红、
4
黄、
3
绿、
2
黑、
1
白”，
也就是每涂过“
5
红、
4
黄、
3
绿、
2< br>黑、
1
白”循环一次。
这里，给小木球涂色的周期是：
543 21=15
，每个周期里有
2
个黑球，
所以经过了
2010 2
个
1
周期，涂了
15100414
或
3

151005115074
个小球。

小 明在桌上将若干个红球排成一排，然后在每相邻的
2
个球之间放
2
个黄球，最 后在每相邻
的
2
个球之间再放
2
个蓝球，这时桌上共有
20 08
个球，那么其中黄球有
_______
个。
【分析】如图所示，每2
个红球之间有
2
个黄球和
6
个蓝球；
可以把
1
个红球、
2
个黄球、
6
个蓝球视为一个循环。
黄球有



20081



126< br>


2446
个。
红球蓝球蓝球黄球蓝球蓝球黄球蓝球蓝球红球


如图的图案表示一个花圃的 设计方案，汉字表示每盆花的颜色，请问第
7
行第
5
盆花的颜
色？第
20
行第
5
盆花的颜色？（从左往右计数）
红
蓝
黄
白黄
红
红
白
蓝
蓝

【分析】通过观察可以发现，从上往下，从左至右，排列周期是：红、蓝、白、黄 ；
因为第
7
行第
5
盆花是第
123456526
盆，
26462
，所以是蓝
色；
因为第
20
行第
5
盆花是第
12195195
盆，
1954483
， 所以是
白色的。

（
1989
年第二届“华罗庚金杯”少年数学邀 请赛小学组初赛第
13
题）四个小动物换座位。
一开始，小鼠坐在第
1
号位子，小猴坐在第
2
号，小兔坐在第
3
号，小猫坐在第
4
号。以后
它们不停地交换位子。第一次上下两排交换。第二次是在第一次交换后再左右两排交换。第三次再上下两排交换。第四次再左右两排交换……这样一直换下去。问：第十次交换位
子后，小兔 坐在第几号位子上？（参看下图）
鼠
兔
猴
猫
兔
鼠
猫
猴
猫
猴
兔
……
鼠
12
34
12
34
12
34
12
34
第十次第一次第二次
【分析】因为经过
10
次交换，小兔分别有
5
次上下交换和
5< br>次左右交换；
5221
，相当于小兔分别有
1
次上下交换和1
次左右交换；
第十次交换位子后，小兔坐在第
2
号位子上。

（
2005
年
3
月
13
日第三届小学“ 希望杯”全国数学邀请赛四年级第
1
试第
8
题）如图，以
A
，
B
，
C
，
D
，
E
依次表示左手的大拇指 、食指、中指、无名指、小拇指，若从大拇指开始
4

数数， 按
ABCDEDCBABCDEDCBA
…的顺序数，数到“
113
”时，是< br>_______
。

【分析】以
ABCDEDCB
循环，周期为
8
；
113 814......1
，数到“
113
”时，是
A
，即大拇指。

(2011年2月20日小机灵杯四年级决赛)某年一月份，共有5个星期五，4个星期六， 则该
月的1月20日是星期几？
【分析】五个星期五，四个星期六说明一月的31日是周五， 20日到31日有31-20+1=12天。
（12-1）

7=1……4，5-4=1，故1月20日是
周一。
有
11
位小朋友分别标号为
1~11
，按如图所示围成一圈，从
1
号开始发书，每次发一本书，
按顺时针方向，依次隔
2
人、再隔
3
人；再隔
2
人、再隔
3
人……这样的顺序发下去，共有
20 04
本书，问最后一本书发给几号小朋友？
【分析】列表分析：
小朋友
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11


3


2


4

7


5


6



8


9


10



11


12


13


书

14


15


16



17


18


19


20


21


22


23


24


25


26

每
22
本书为一个周期 ；
200422912
,所以最后一本书发给
4
号小朋友。
1



找规律

为迎接世博会，学而思学校 买来
2010
盆花摆成如图所示的花圃，汉字表示每盆花的颜色，
则为使花圃完整，学 而思至少还要买多少盆花？花圃摆好后，其中一共有多少盆红花？
5

红
蓝
黄
白黄
红
红
白
蓝
蓝

【分析】
12345632016
，所以至少还要买
2016 20106
盆花。
其中有
20164504
盆红花。

按规律排列的一串数：
2
、
5
、
9
、
14
、
20
、
27
、……，这串数的第
2010
个数是 多少？
【分析】第
n
个数为
23n

n1

n

n3

2
2010
< br>20103

2
；
这串数的第
2010
个数是
2023065


按规律排列的一串数：1、4、11、30、85、248、735……，这串数的第N个数是多少？
【分析】把每项乘以3与后项做差，容易得到一个等差数列。这是一个等差与等比的综合数
列。
第
n
个数为
3
(n1)
(n1)


（小学数学奥林匹克初赛民族卷）有一列数：
2
、
3
、< br>6
、
8
、
8
、……，从第三个数起，
每个数都是前两 个数乘积的个位数字，那么这一列数的第
80
个数应是 。
【分析 】这串数为：
2
、
3
、
6
、
8
、
8
、
4
、
2
、
8
、
6
、
8
、……
除去前两个数外，其余各数每六个一组，以“
6
、
8、
8
、
4
、
2
、
8
”为循环； 因为
(802)613
，所以这一数列的第
80
个数是
8
。

有一串数：
5
，
8
，
13
，
21
，
34
，
55
，
89
，……，其中 第一个数是
5
，第二个数是
8
，从
第三个数起，每个数恰好是前两个 数的和。那么在这串数中，第
2010
个数被
3
除后所得余
数是几？
【分析】把前两个数被
3
除后所得的余数相加，然后再除以
3
，所得 的余数就是后一个数被
3
除的余数。
5

8

13

21

34

55

89

144

233

377

数
被
3
除的余数
2

2

1

0

1

1

2

0

2

2

被
3
除的余数以“
2
，
2
，
1
，
0
，
1
，
1
，
2
，
0
”为循环；
因为
2010 82512
，所以第
2010
个数除以
3
所得的余数是
2
。
【说明】如果一个数等于几个数的和，那么这个数被
a
除的余数，
等于各个加数被
a
除的余数的和再被
a
除的余数。

观察下表：
6

11
358
791127

1315171964
请写出此数表的第
10
行。
【分析 】观察规律：第
n
行等号左边有
n
个数、等号右边为
n
3< br>（
nZ

）
第
1234567891 46
个正奇数
462191
排在第
10
行最左边；
此数表的第
10
行为
91939597991011031051 071091000
。

（
2007
年台湾第十一届小学数学 世界邀请赛队际赛第
7
题）将连续正整数依下列方式分组：
（
1
）， （
2
，
3
），（
4
，
5
，
6），（
7
，
8
，
9
，
10
），……， 其中第一组有
1
个数，第二组有
2
个数，第三组有
3
个数… …依此类推。请问在第
2007
组内所有的数之总和是多少？
【分析】第
2 007
组的第一个数是
12
第
2007
组的最后一个数是
12
第
2007
组内所有的数之和是

200612007

12006

2006
2

12007

2007
12013022

201502028

2

2013022201502028

2007
2
4042148175

2
1< br>

1
2
3
2
1


1< br>234

1


1
观察以下各数分组规律：

；

，，

；

，，，，

；

，，，，
2
2


3
3
3< br>3
3


4
444

1


2
1

32
，，

；……求：①第
15
组第
3
个数是哪个数？第
20
个数是哪个数？②第
15组各数
4

44
之和是多少？③前
15
组各数之和是多 少？
【分析】①组序号与该组数的分母相同，第
15
组数的分母都是
15< br>；
第
15
组数有
152129
个数；
第
15
组第
3
个数是
3
，
15
10
。
15
数
21
第
15
组第
20
个数即为倒数第
10
个数，是
②第
n
组 之和是
12

nn
n2112

nnn所以第
15
组各数之和是
15
。
③前
15
组 各数之和是
12
n
n
n
2
；
n（
nZ

）
n
15

115

15
2
120
。

13
5
（2004
年第九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛小学组初赛第
4
题）在一列数： ，，，
35
7
79111
，，，……中，从哪一个数开始，
1
与每个数之差都小于？
911131000
7

【分 析】第
n
个数为
2n121
2n12n1

（nZ

），
1
与的差
1
；
2n12n 1
n
1
2n12n1
2
所以当
n
≥
1000
时，
1
与
2n11
的差小于；
2n11000

（
1995
年第四届日本小学数学奥林匹克大赛 高小组预赛第
4
题）下列⑴
~
⒇的二十个加法
算式是按一定规律排出 的，得数最小的算式是哪个？请写出它的得数。

1

45
525

2

46

625

3
47

725

19

423
< br>2325

20

424


24251
【分析】⑴
~
⒇的算式中，“

”右边的分数逐渐增大，差均 为；
25
⑴
~
⒇的算式中，“

”左边边的分数逐渐增大， < br>444444444
差依次为

，

，……，

；

5656676723242324
因
4
< br>5
为
4


14

251010

4
7
；
4
9
所
4

以< br>66

；

10

1
在
44的左侧，减少的数比增加的数大，总的来说是减小的，即从⑴
~
10101010⑹依次减小；
在
44
的右侧，减少的数比增加的数小，总的来说是增大的，即从 ⑹
~
10101010
⒇依次增大；
所以最小的数是⑹，即
4104

。
10255
（
2005
年第十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛小学组团体决赛口试题第
12
题）下图是中
国古代的“杨辉三角形”，问：写在图中“网点”处所有数的和是多少？
8

1
1
1
1
1
1< br>16
5
15
4
10
30
3
6
10< br>15
2
3
4
5
6
1
1
1
1
1
1

【分析】第
n
行所有的数的和为
2
n1
；前
n
行所有的数的和为
12
写在图中“网点”处所有数 的和是
2
7
163
。

世界上著名的莱布尼兹三角形如图所示：
1
1
1
2
13
1
6
1
2
1
3
2
n1
2
n
1
；
1
7
1111
412124
11111
52030205
111111
6306060306
1111 1
421

1
7
则排在第
2010
行从左边数第< br>3
个位置上的数是
_______
。
【分析】规律：①第
n
行有
n
个数，②第
n
行最左边和最右边的数均为
③下面两个 数的和等于上面一个数；
1
，
n
1
11
第
8< br>行最左边的数是，第
9
行最左边的数是，第
10
行最左边的数是， < br>10
89
11
第
9
行从左边数第二个位置上的数是

，第
10
行从左边数第二个位置上的数是
89
11

，
910
1

11

11

第2010
行从左边数第三个位置上的数是




< br>


。
89910360


9

（
1991
年第三届“华罗庚金杯”少年数 学邀请赛小学组决赛一试第
3
题）观察下面数表（横
排为行）：
1
;
1
2
,
1
3
,
1
4
,
1
5
,
1
1
;
2
2
,
2
3
,
2
4
,
2
1
;

3
21
,;
34
321
,,;
345
根据前
5
行数所表达的规律，说明
1991
这个数位于由上而下的第几行？在这一行
1949
中，它位于由左向右的第几个？
【分析】观察可知，每行各数的分子、分母之和不变，分子< br>
分母

行数
1
；
1991
这个数位于由上而下的第
1991194913939
行；
1949
一个数在某一行中由左向右位置号码与这个数的分母相同；
所以
1991
位于由左向右的第
1949
个。
1949

平面上画（ ）个圆，再画一条直线，最多可以把平面分成44部分。
【分析】要使平面上的圆和直线把平面分得最 多，新加入的圆或直线与原来的图形那么必须
有最多的交点。 譬如两个圆把一个平面分成四部分，新加入一个圆，要使分的平面数
最多，一定要与原来的每个 圆相交2次。这时新加入的图形被分成四段弧，每段弧
把原来的平面分成两个部分。就新增加了 四个平面得到8个平面。
我们可以先画一条直线，这时有两个平面，新加入一个圆，多两个交点，多两段弧，
就多两个平 面，再多一个圆，就再多4个交点多4段弧4个平面，再多一个圆与原来
两个圆一条直线都相交 多6个交点6段弧6个平面，再多一个圆与原来三个圆一条
直线都相交多8个交点8段弧8个平 面……我们容易发现平面的个数的增加量有如
下规律
2,2,4,6,8,10,12,14
除去一开始的2，剩下增加的个数是等差数列的关系，不难得到最后得结论44个
平面需要 2+2+4+6+8+10+12，6个圆
这种题目可以先从找规律做起慢慢得到答案。

（
1989
年第一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛小学组团体决赛口试第
6
题）将非零自然
数按从小到大的顺序排成螺旋形，在
2
处拐第一个 弯，在
3
处拐第二个弯，在
5
处拐第三个
弯，……，问：拐第二十个 弯的地方是哪一个数？
10

2122232425 26

20

19

7

6

8
1


9
2

10
11

27


28
1854312

1716151413
【分析】设第
n
个拐弯处的数为
a< br>n
；

当
n2k
时（
kZ

），
a
n
a
2k
11

2k2

k
2
1k
；
k

2kk
2
1
； 当
n2k1< br>时（
kZ

），
a
n
a
2k1
1

12
拐第二十个弯的地方是
10
2
10 1111
。

（
1993
年第四届“华罗庚金杯”少年数学邀请 赛小学组复赛第
8
题）将自然数按如下顺次
排列：
1,
3,
4,
10,
11,
2,6,7,15,
5,8,14,
9,13,
12,

在这样的排列下，数字
3
排在第二行第一列，
13
排在第三行第三列，问：
1993
排
在第几行第几列？
【分析】设
m
为行数、
n
为列数，斜行（从右上向左下方向上）
amn1
，
令
123a
a(a1)
1993
，a(a1)3986
，
2
因为
626339063986< br>、
636440323986
，所以
a
min
63< br>。
3906211954
位于第
63
行、第
1
列； < br>1993195439
，
2010
位于
633924
行、第
13940
列。

（
2007
年第十二届“华 罗庚金杯”少年数学邀请赛小学组初赛第
9
题）如图，有一个边长
为
1
的正三角形，第一次去掉由三边中点连线所围成的那个正三角形；第二次对留下的三个
正三角形，再分 别去掉它们中点连线所围成的三角形……做到第四次后，一共去掉了
_______
个三角形， 去掉的所有三角形的周长之和是
________
。

11

【分析】如图，一共去掉了
133
2
33
40
个三角形；
去掉所有三角形的
234
周长之和是1195

1

1

1

3 1

33

33
2


33
3
12.1875
。
222216
< br>【说明】波兰数学家瓦茨瓦夫·弗朗西斯克·谢尔宾斯基（
WacławFranciszek< br>Sierpiński
，
1882~1962
）
在
1915
年提出谢尔宾斯基三角（参见例题）；在
1916
年提出谢尔宾斯基地毯（如
下）。

谢尔宾斯基地毯的构造方式为：把一个正方形分成
9
个小正方形， 取走中间小正方
形，
对其余的小正方形重复这一过程，直至无穷。
谢尔宾斯基三角形和谢尔宾斯基地毯会出现一个有悖于直觉的结论：
得到的图形具有无穷的周长和零面积。
将谢尔宾斯基地毯推广至三维，可以得到门格海绵。
门格海绵由奥地利数学家卡尔·门格
Carl
Menger
在
192 6
年提出。
门格海绵的构造方式为：把正方体的每一个面分成
9
个正方形， 这将把正方体分成
27
个小正方体，
把每一面的中间的正方体去掉，把最中心的正方体也去掉，留下
20
个正方体，
把每一个留下的小正方体都重复这一过程，直至无穷。
门格海绵的每一个面都是谢尔宾斯基地毯。


意大利著名数学家斐波那契 在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：
1
，
1
，
2
，
3
，
5
，
8
，
13
，……，其中从第三个 数起，每一个数都等于它前面两个数的和。现以这组数中的
各个数作为正方形的长度构造如图⑴所示的正 方形。再分别依次从左到右取
2
个、
3
个、
4
个、
5
个正方形拼成如图⑵所示的矩形，并记为①、②、③、④，相应矩形的周长如表所示：
序号 ① ② ③ ④
周长
6

10

16

26

若按此规律继续作矩形，则序号为⑩的矩形的周长是
_______
。
12

1
1
5
11
2
3
11
①
（1）
【分析】记
Fibonacci
数列第
i个数为
F
i
（
iZ

）；
2
3
④

11
1
1
2
②
2
③
（2）
3
5
第
i
个矩形的宽（较短的边）为< br>F
i1
，长（较长的边）为
F
i2
、周长为
2< br>
F
i1
F
i2

2F
i3；
因为
Fibonacci
数列：
1
，
1
，
2
，
3
，
5
，
8
，
13
，
21
，
34
，
55
，
89
，
1 44
，
233
，……
中
F
13
233
；
所以序号为⑩的矩形的周长是
2233466
。
【说明】如图所示为以
Fibonacci
数列为边长的正方形组成的螺旋。
13
2
21
3
8
11
5

（第七届“华杯赛”）一串数
1
，
1
，
1
，
2
，
2
，
3
，
4
，
5
，
7
，
9
，
12
，
16
，
21
，……
称为帕多瓦数列，请陈述这个数列的一个规律，并且写出其中的第
14
个数和第
18
个数。
【分析】记
Padovan
数列的第
n
项为
P
n
；
，②
P
n
P
n1
 P
n5
（
n
≥
Padovan
数列的规律：①
P
n
P
n2
P
n3
（
n
≥
4
，
nZ

）
，
6
，
nZ

）
③
P
n
P
n3
P
n4
P
n5
（
n
≥
6
，
nZ

），④
P
n
P
n2
P
n4
P
n8
（
n
≥
9
，
nZ

），
⑤
P
n
P
n4
P
n5
P
n 6
P
n7
P
n8
（
n
≥
9
，
nZ

）；
Padovan
数列：
1
，< br>1
，
1
，
2
，
2
，
3
，< br>4
，
5
，
7
，
9
，
12
，
16
，
21
，
28
,
37
,
49
,
65
,
86
,……
Padovan
数列第14
个数是
28
，第
18
个数是
86
。 【说明】
Padovan
数列是以建筑师
RichardPadovan
命名。
如图所示为以
Padovan
数列为边长的等边三角形组成的螺旋。
13

12
9
7
2
2
1
16
3
1
1
4
5


（
1997
年第六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛小学组复赛第
11
题）
①下面这样的四个图（
a
）、（
b
）、（
c
）、（
d
）我们都称作平面图。
（a）
（b）（c）（d）

数一数每个 图各有多少个顶点，多少条边，这些边围出了多少区域，将结果填入
下表：（按填好的样子做）

顶点数 边数 区域数
3

6

4


（
b
）

（
c
）

（
d
）
②观察上表，推断一个平面图的顶点数、边数、区域数之间有什么关系？
③现已知某一平面图 有
999
个顶点和
999
个区域，试根据②中推断出的关系，确定
这 个图有多少条边？
【分析】①填表。
顶点数 边数 区域数
3

6

（
a
）
4

8

5

（
b
）
12

6

9

（
c
）
4

15

6

（
d
）
10

（
a
）
②由该表可以看出，所给四个平面图的顶点数、边数、区域数之间有下述关系：
436 1
，
85121
，
6491
，
10615 1
；
可以推断任何平面图的顶点数、边数及区域数之间都有下述关系：顶点数
< br>区域数

边数
1
。
③某一平面图有
999
个顶点和
999
个区域，这个图有
99999911997
条边。

（
2003
年小学生数学报数学邀请赛）
⑴数一数图
1
～图
4
的每一种立体图中各有多少个顶点，多少条棱，多少个面，并
将结果填 入下表：
14

图1
图2
图3
图4


图
1
正四面体
图
2
正方体
图
3
八面体
图
4
六棱锥
顶点数
V





面数
F





棱数
E





VFE





⑵如果从一个正方体的每个角上切掉一个小三棱锥（如图< br>5
），那么，所得到的新
的多面体的顶点数
V_______
，面数
F_______
，棱数
E_______
；

图2
图
5
图
6

⑶如果 把一只传统的足球（如图
6
）看作一个多面体，其中黑色的面（正五边形）
共有
12
块，那么白色的面（正六边形）共有
_______
块，这个多面体（足球）的
棱共有
_______
条。
【分析】⑴填法如下表所示：

图
1
正四面体
图
2
正方体
图
3
八面体
图
4
六棱锥
顶点数
V
面数
F
棱数
E

VFE

4

8

6

7

4

6

8

6

12

12

12

2

2

2

2

7

⑵从一个正方体的每个角上切掉一个小三棱锥，每一个顶点变成了三个顶点，
面比原来的正方体多了八个，棱数多了
3824
条，
即
V8 324
，
F6814
，
E123836
。 ⑶每个黑色的面与
5
个白色的面相邻，而每个白色的面与
3
个黑色的面相 邻，
所以白色的面共有
125320
块。
每个白色的面有
6
条边，
3
条与黑色的面相邻（每条边算是一条棱），
，所以多面体的棱共有
20(332)90
条。
3
条与白 色的面相邻（两条算一条棱）
【说明】在多面体里，顶点数
V
、面数
F
及棱数
E
间的关系为
VFE2
，
这个公式称为欧拉（
Euler
）公式。
以四面体
ABCD
为例来说明：
将它的一个面
BCD
去掉 ，并使其变为平面图形，四面体的顶点数
V
、棱数
E
与剩
下的面数< br>F1
变形后都没有变.因此，要研究
V
、
E
和
F
的关系，只要去掉一个面，
将它变形为平面图形即可.
15

对平面图形，我们来研究：
（1）去掉一条棱，就减少 一个面.例如去掉
BC
，就减少一个面
ABC
．
同理，去掉棱CD
、
BD
，也就各减少一个面
ACD
、
ABD
．
所以
(F1)E
、
V
的值都不变，因此
V(F 1)E
的值也不变.

（2）再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少一个顶 点.例如去掉
AC
，就减少
一个顶点
C
．同理，去掉
DA< br>就减少一个顶点
D
，最后剩下
AB
（如图）．

在此过程中
VE
的值不变，但这时面数
F
是
0
，
所以
V(F1)E
的值也不变.
由于最后只剩下
AB
，所以
V(F1)E
=2+0-1=1，
最后加上去掉的一个面，就得到
VFE2
．
那么进一步问，有没有正五面体？
世界上有没有正五面体？
平面图形里有正三角形，三维空间里有正四面体（四个顶点，四个面，六条棱），

那么进一步问， 有没有正五面体？
实际上，三维空间中只存在五种正多面体，分别是正四面体、正六面体、正八面
体、正十二面 体、正二十面体。可以通过欧拉定理得出该结论。

欧拉定理如下：如果一个凸多面体的顶点数是v、棱数是e、面数是f，那么它们
总有这样的关 系：
v - e + f = 2 ①
正多面体的每个面都是正多边形，不妨把边数记为n，而且
n ≥ 3 ②
同时，由于每条棱都属于两个面，故多面体的面数和棱数有以下关系：
nf = 2e ③
每个顶点都是由多条棱相交而成，不妨把与每个顶点相接的棱数记为r。由于顶点
是多面体中的 顶点，故
16