运动会-文学作品读后感

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第一讲：找规律

1．知识要点：
观察是解决问题的 根据。通过观察，得以揭示出事物的发展和变化规律，在一般情况下，我们可以从以下几个方面来
找规律 ：
1．根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数；
2．根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数；
3．要善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律；
4．数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可以认为是正确的。
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1．例题：先找出下列数排列的规律，并根据规律在括号里填
上适当的数。
1，4，7，10，（ ），16，19
分析：在这列数中，相邻的两个数的差都是3 ，即每一个数加
上3都等于后面的数。根据这一规律，括号里应填的数为：
10+3=13或1 6－3=13


2．例2：先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当
的数。
1，2，4，7，（ ），16，22
5．例5：下面每个括号里的两个数都是按一定的规律组合的，
在□里填上适当的数。
（8，4） （5，7） （10，2） （□，9）
分析：经仔细观察、分析，不难发现： 每个括号里的两个数
相加的和都是12。根据这一规律，□里所填的数应为：12
－9=3




模仿训练:
分析：在这列数中，前4个数每相邻 的两个数的差依次是1，1.先找出下列各列数的排列规律，然后在括号里填上适当的
2，3。由此可以 推算7比括号里的数少4，括号里应填：7+4=11。 数。



20，6，17，8，（ ），（ ），11，12
分析：在这列数中，第一个 数减去3的差是第三个数，第二
个数加上2的和是第四个数，第三个数减去3的差是第五个
数， 第四个数加上2的和是第六个数……依此规律，8后面的
一个数为：17-3=14，11前面的数为： 8+2=10



4．例4：在数列1，1，2，3，5，8，13，（ ），34，55……
中，括号里应填什么数？分析：经仔细观察、分析，不难发
现：从第三个数 开始，每一个数都等于它前面两个数的和。
根据这一规律，括号里应填的数为：
8+13=21或34－13=21
（1）2，6，10，14，（ ），22，26
（2）3，6，9，12，（ ），18，21
（3）33，28，23，（ ），13，（ ），3
（5）3，6，12，（ ），48，（ ），192
（6）2，6，18，（ ），162，（ ）
（7）128，64，32，（ ），8，（ ），2
（8）19，3，17，3，15，3，（ ），（ ），11，3
2. 先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。
（1）10，11，13，16，20，（ ），31
（2）1，4，9，16，25，（ ），49，64
（3）3，2，5，2，7，2，（ ），（ ）
（4）53，44，36，29，（ ），18，（ ），11，9，8
（5）81，64，49，36，（ ），16，（ ），4，1，0
（6）28，1，26，1，24，1，（ ），（ ），20，1
（7）30，2，26，2，22，2，（ ），（ ），14，2
（8）1，6，4，8，7，10，（ ），（ ），13，14
3．例3：先找出规律，然后在括号里填上适当的数。23，4，（4）55，49，43，（ ），31，（ ），19



1．知识要点：
观察 是解决问题的根据。通过观察，得以揭示出事物的发展和变化规律，在一般情况下，我们可以从以下几个方面来< br>找规律：
1．根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数；
2．根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数；
3．要善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律；
4．数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可以认为是正确的。
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3. 先找出规律，然后在括号里填上适当的数。
（1）1，6，5，10，9，14，13，（ ），（ ）

（2）13，2，15，4，17，6，（ ），（ ）

14

（4）21，2，19，5，17，8，（ ），（ ）


（6）2，9，6，10，18，11，54，（ ），（ ），13，
486

（7）1，5，2，8，4，11，8，14，（ ），（ ）


4. 先找出规律，然后在括号里填上适当的数。

（1）2，2，4，6，10，16，（ ），（ ）

（2）34，21，13，8，5，（ ），2，（ ）

（3）0，1，3，8，21，（ ），144

（4）3，7，15，31，63，（ ），（ ）

（5）33，17，9，5，3，（ ）

（5）33，17，9，5，3，（ ）

（6）0，1，4，15，56，（ ）

（7）1，3，6，8，16，18，（ ），（ ），76，78
（8）0，1，2，4，7，12，20，（ ）

5. 下面括号里的两个数是按一定的规律组合的，在□里填上
适当的数。
（1）（6，9） （7，8） （10，5） （□，4）


（2）（1，24） （2，12） （3，8） （4，□）




（4）（2，3） （5，9） （7，13） （9，□）


（5）（2，3） （5，7） （7，10） （10，□）


（6）（64，62） （48，46） （29，27） （15，□）

（3）3，29，4，28，6，26，9，23，（ ），（ ），18，
（5）32，20，29，18，26，16，（ ），（ ），20，12
（8）320，1，160，3，80，9，40，27，（ ），（ ） （3）（18，17） （14，10） （10，1） （□，5）

第二讲：等差数列求和
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1．知识要点：
数列：若干个数排成一列，称为数列。
等差数列：从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列。
首项与末项：数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
项数：数列中数的个数称为项数。
公差：后项与前项的差称为公差。
例如：等差数列：3、6、9 …… 96，这是一个首项为3，末项为96，项数为32，公差为3的数列。
2．计算等差数列的相关公式：
通项公式：第n项＝首项＋（项数－1）×公差
项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1
求和公式：总和＝（首项＋末项）×项数÷2
平均数公式：平均数＝（首项＋末项）÷2
1．例题：
总和＝（首项＋末项）×项数÷2
（1）1＋2＋3＋4＋…＋49＋50





（2）2＋4＋6＋8＋…＋100





2．例题：
项数＝（末项－首项）÷公差＋1
（1）已知数列2、5、8、11、14 …… ，47应该是其中的第
几项？





（2）3＋6＋9＋12＋…＋33＋36







5.模仿练习
3．例题：
第n项＝首项＋（项数－1）×公差
（1）已知数列2、5、8、11、14 …… ，第21项是多少？





（2）剧院有31排座位 ，第一排有35个座位，以后每排都比
前一排多一个座位，最后一排有几个座位？





4．例题：
平均数＝（首项＋末项）÷2
（1）有五个连续的偶数：4、6、8、10、12，他们的平均数
是多少？




（2）已知5个连续自然数的和是75，求这五个数分别是几？



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（1）1＋2＋3＋…＋99＋100






（2）1＋3＋5＋7＋…＋99







（3）已知数列1、4、7、10、13 …… ，298应该是其中的
第几项？







（4）6＋10＋14＋…＋398＋402







（5）21＋23＋23＋…＋197＋199

（6）已知数列3、6、9、12、15 ……第51项是多少？







（7）丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比
前一天多学会1个，那么第11天学会了学会了多少个单词？







（8）5个连续偶数的和是200，那么这10个数分别是多少？









（9）有一列数：13、16、19、22、……307，这些数的平均
数是多少？



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第三讲：速算与巧算

1．运算定律与性质：
（1）加减法运算定律：a+b-c=a-c+b (a+b)+c=a+(b+c) a-b-c=a-（b+c）
（2）乘除法运算定律：a×b×c=a×（b×c） a×（b+c）=a×b+a×c a÷b÷c=a÷（b×c） a×b÷c=a÷c×b
（a×b）÷c=a÷c×b （a+b）÷c=a÷c+b÷c
（3）去、添括号的性质：-（）， ÷（）去掉括号或添上括号要变号；+（），×（）去掉或添上括号不变号。
（4）利用商不变的性质使计算简单。

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1．例题：
a+b-c=a-c+b
（1）843＋78-43





（2）843-86＋157





2．例题：
a-b-c=a-（b+c）；去、添括号的性质
（1）528-（186＋328）




（2）564-（387-136）





3．例题：
a×b×c=a×（b×c）；
a÷b÷c=a÷（b×c）
（1）25×32×125




1．运算定律与性质：
（2）75000÷125÷8





5．例题：
（a×b）÷c=a÷c×b；
a×（b+c）=a×b+a×c
（1）56×165÷7÷11





（2）44×25





6．例题：
a×（b+c）=a×b+a×c
利用商不变的性质
（1）72×53+72×47




（2）2400÷25




（1）加减法运算定律：a+b-c=a-c+b (a+b)+c=a+(b+c) a-b-c=a-（b+c）
（2）乘除法运算定律：a×b×c=a×（b×c） a×（b+c）=a×b+a×c a÷b÷c=a÷（b×c） a×b÷c=a÷c×b
（a×b）÷c=a÷c×b （a+b）÷c=a÷c+b÷c
（3）去、添括号的性质：-（）， ÷（）去掉括号或添上括号要变号；+（），×（）去掉或添上括号不变号。
（4）利用商不变的性质使计算简单。

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5．模仿训练
（1）329＋46-129






（2）647-86＋153






（3）528-186-314





（4）728-（347-172）






（5）25×64×125×5

（6）3600÷25÷4




（7）8÷7+9÷7+11÷7




（8）88×125




（9）75×27+19×25





（10）9000÷125





（11）20112011×2010-2011×20102010



第四讲：错中求解
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1．知识要点：
（1 ）和的变化规律：如果一个加数不变，另一个加数增加（或减少）一个数，那么它们和也增加（或减少）同一个数 。
（2）差的变化规律：如果减数不变，被减数增加（或减少）一个数，那么它们的差也增加（或减少 ）同一个数。如果被减
数不变，减数增加（或减少）一个数，那么它们的差反而减少（或增加）同一个数 。
（3）多加要减，少加再加；多减要加，少减再减。
1．例题：
【多加要减，少加再加】
（1）小明在做一道加法时，把一个加数个位的2看作了4，
另一个加数个位上的7看作9，结果计算的和为25，正确的
和为多少？





（2）小华在计算两个数相加时，把第1个加数百位上的7错
写成1，把第2个加数十位上的6错写成9，这样算得的和是
443，正确的和应是多少？






2．例题：
【多减要加，少减再减】
（1）小马虎在做一道减法题时，把减数十位上的2看作5，
结果得到的差是342，正确的差 是多少？





,
（2）在减法算式中， 错把减数百位上的5看成3，十位上的
1看成7，结果得到的差是254，正确的差是多少？
3．例题：
（1）小马虎在做一道减法题时，把被减数百位上的6看成4，
结果得到 的差是212，正确的差是多少？







（2）小马虎在做减法题时，把被减数十位上的3写成8，个
位上的2写成了5，结果得到的差 是284，正确的差是多少？






4．例题：
（1）小马虎在做一道减法题时，把被减数十位上的4看成6，
把减数十 位上的2看作5，结果得到的差是52，正确的差是
多少？






（2）小聪在计算一道减法题时，把被减数5023错写成5032，
把 减数千位上的3错写成2，十位上的5错写成8，这样得
到的差是2352。正确的差应是多少？





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1．知识要点：
（1）和的变化规律：如果一个加数不变，另一个加数增加（或减少）一个数 ，那么它们和也增加（或减少）同一个数。
（2）差的变化规律：如果减数不变，被减数增加（或减少 ）一个数，那么它们的差也增加（或减少）同一个数。如果被减
数不变，减数增加（或减少）一个数，那 么它们的差反而减少（或增加）同一个数。
（3）多加要减，少加再加；多减要加，少减再减。
5．模仿训练
（1）小明在做一道加法时，把一个加数个位的5看作了8，
另一个加 数个位上的4看作6，结果计算的和为25，正确的
和为多少？





（2）小华在计算两个数相加时，把第1个加数百位上的5
错写成2，把 第2个加数十位上的3错写成8，这样算得的和
是444，正确的和应是多少？






（3）小马虎在做一道减法题时，把减数十位上的2看作5 ，
结果得到的差是342，正确的差是多少？







（4）在减法算式中，错把减数百位上的6看成4，十位上的
3看成8， 结果得到的差是564，正确的差是多少？

（5）小马虎在做一道减法题时，把被减数百位 上的8看成3，
结果得到的差是212，正确的差是多少？







（6）小马虎在做减法题时，把被减数十位上的5写成8，个
位上的4写成了7，结果得到的差是284，正确的差是多少？







（7）小马虎在做一道减法题时，把被减数十位上的3看成8，
把减数十位上的4看作7，结果得到的差是252，正确的差是
多少？






（8）小聪在计算一道减法题时，把被减数3046错写成 3064，
把减数千位上的2错写成1，十位上的4错写成7，这样得到
的差是3360。正确 的差应是多少？



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第五讲：定义新运算

新运算，显然是与旧运算相对应，旧运算又是什么呢？同学们 可以思考一下，就运算就是学校里的四则运算“加减乘除”，
对于这些运算，同学们应该很熟悉。前面课 程里，我们也讲到了很多旧的运算，今天我们要讲的就是新运算，既然是新运
算，就是不同于以前的运算 ，为了不让同学们混淆了，所以就需要我们定义一下。
那么怎么样定义呢？同学们可以与生活中结合起 来，公共场所都有标志，这些标志都是我们人为定义的，新运算也是如此，
关键点就是看如何定义的。同 时想提醒同学们注意，一个符号在一个问题里被定义了，不代表在所有题目里都是同一个意
思，要结合题 目的实际情况。
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1．例题：
（1）设a、b都表示数，
规定： a△b = a×3－b×2。
试计算：（1）5△6；（2）6△5。



（2）设a、b都表示数，
规定：a○b=6×a－2×b。
试计算3○4



2．例题
（1）对于两个数a与b，规定a
⊕b=a×b＋a＋b，试计算6⊕2。



（2）对于两个数a与b，规定：
a⊕b=a×b－（a＋b）。计算3⊕5。



3．例题
（1）如果2△3=2＋3＋4，5△4=5
＋6＋7＋8，按此规律计算3△5。



（2）如果5▽2=5×6，2▽3=2×3×
4，计算：3▽3。
（4）对于两个数a与b，
（1）对于两个数a与b，规定a规定：a⊕b= a×b＋a＋b。如果5⊕
□b=a(a+1)+(a+2)+…(a+b－1)。x=29，求x。

已知x□6=27，求x
4．例题：







（2）如果2□3=2＋3＋4=9，6□
5=6 ＋7＋8＋9＋10=40。已知x□
3=5973，求x




5．模仿训练
（1）设a、b都表示数，规定：
a*b=3×a＋2×b。试计算：（5*6）
*7





（2）有两个整数是A、B，A▽B
表示A与B的平均数。已知A▽
6=17，求A。




（3）对于两个数A与B，规定：A
☆B=A×B÷2。试算6☆4。

（5）如果2▽4=24÷（2＋4），3▽6=36
÷（3＋6），计算8▽4。




（6）如果2△3=2＋3＋4，5△4=5
＋6＋7＋8，且1△x=15，求x。





（7）对于两个数a与b，规定a□
b =a+(a+1)+(a+2)+…+(a+b－1)，已
知95□x=585，求x。





（8）如果1！=1，2！=1×2=2，3！
=1×2×3=6，按此规律计算5！。


第六讲：平均数问题

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. 我们经常用各科成绩的平均分数来比较班级之间，同学之间成绩的高低，求出各科成绩的平均数就是求平均数 。平均数在
日常生活中和工作中应用很广泛，例如，求平均身高问题，求某天的平均气温等。
求平均数问题的基本数量关系是：总数量÷总份数=平均数
解答平均数问题的关键是要确定“ 总数量”以及与“总数量”相对应的“总份数”，然后用总数量除以总份数求出平均数。

1．例题1：
二（1）班学生分三组植树，第一组有
8人，共植树80棵；第二组有 6人，
共植树66棵；第三组有6人，共植树
54棵。平均每人植树多少棵？
6．模仿训练
（1）
电视机厂四月份前10天共生产
电视机3300台，后 20天共生产电视机
6300台。这个月平均每天生产电视机多
少台？


（6）
大伯上山采药，上山时他每分钟走
50米，18分钟到达山顶；下山时，他沿< br>原路返回，每分钟走75米。求大伯上下
山的平均速度。





2．例题2：
王老师为四年级羽毛球队的同学测量
身高。其中 两个同学身高153厘米，
一个同学身高152厘米，有两个同学
身高149厘米，还有两个同 学身高147
厘米。求四年级羽毛球队同学的平均
身高。


（2） 小明参加数学考试，前两次的平
（7）
小军参加了3次数学竞赛，平均分
是84分。已 知前两次平均分是82分，他
均分是85分，后三次的总分是270分。第三次得了多少分？

求小明这五次考试的平均分数是多少。






3．
例3：从山顶到山脚的路长36千
米，一辆汽车上山，需要4小时到达
山顶，下山沿原路返回，只用2小时
到达山脚。求这辆汽车往返的平均速
度。

（3）
五（1）班有7个同学参加数学
竞赛，其中有两个同学得了99分，还
有三个同学得了96分，另外两个同学
分别得了97、89分。这7个同学的平
均成绩是多少？



（4）气象小组每天早上8点测得的一



（8）
小丽在期末考试时，数学成绩公布
前她四门功课的平均分数是92分；数学成绩公布后，她的平均成绩下降了1分。
小丽的数学考了多少分？




4．
例4：华参加体育达标测试，五项
平均成绩是85分，如果投掷成绩不 算
在，平均成绩是83分。华投掷得了多
少他？
．




（9）
如果三个人的平均年龄是22岁，
周气温如下：13℃、13℃、1 3℃、14℃、且没有小于18岁的，那么三个人中年龄
15℃、14℃、16℃。求一周的平均气温。

最大的可能是多少岁？




5．
例 5：如果四个人的平均年龄是23
岁，四个人中没有小于18岁的。那么
年龄最大的人可能是多 少岁？





（5）
小强家离学校有1200 米，早上
上学，他家到学校用了15分钟，从学
校到家用了10分钟。求小强往返的平
均速度。




（10）
如果四个人的平均年龄是28 岁，
且没有大于30岁的。那么最小的人的年
龄可能是多少岁？



第七讲：还原问题
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知识要点：
一个数量 经过若干次变化成了另一个结果，我们从结果出发，根据每一次变化情况，一步一步地倒着想，把结果还原成开< br>始状态，这类问题叫做还原问题，又叫逆运算问题。
对于简单的每一次变化不太复杂的还原问题 ，可以直接列式一步步倒着推算，对于变化复杂的，可借助列表和画图来帮助
解决问题。
1． 例题1：小刚的奶奶今年年龄减去7后，缩小9倍，再加
上2之后，扩大10倍，恰好是100岁。小刚 的奶奶今年多
少岁？
5．例5：两只猴子拿26个桃，甲猴眼急手快，抢先得到，乙
看甲猴拿得太多，就抢去一半；甲猴不服，又从乙猴那儿抢
走一半；乙猴不服，甲猴就还给乙猴5个，这 时乙猴比甲猴
多5个。问甲猴最初准备拿几个？






2．例题2：某商场出售洗衣机，上午售出总数的一半多10
台，下午售出剩下的一 半多20台，还剩95台。这个商场原
来有洗衣机多少台？






3．例3：小明、小强和小勇三个人共有故事书60本。如果
小强向小明 借3本后，又借给小勇5本，结果三个人有的故
事书的本数正好相等。这三个人原来各有故事书多少本？









6．模仿训练
（1）
在□里填上适当的数。

20×□÷8＋16=26







（2）小红问王老师今年多大年纪，王老师说：“把我的年纪
加上9，除以4，减去 2，再乘上3，恰好是30岁。”王老师
今年多少岁？






4．例4：甲乙两桶油各有若干千克，如果要从甲桶中倒出和
乙桶同样多 的油放入乙桶，再从乙桶倒出和甲桶同样多的油
放入甲桶，这时两桶油恰好都是36千克。问两桶油原来 各
有多少千克？







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知识要点：
一个数量经过若干次变化成了另一个结 果，我们从结果出发，根据每一次变化情况，一步一步地倒着想，把结果还原成开
始状态，这类问题叫做 还原问题，又叫逆运算问题。
对于简单的每一次变化不太复杂的还原问题，可以直接列式一步步倒着推 算，对于变化复杂的，可借助列表和画图来帮助
解决问题。
（3）
粮库有一批大米， 第一次运出总数的一半多3吨，第
二次运出剩下的一半多5吨，还剩下4吨。粮库原有大米多
少 吨？





（4）爸爸买了一些橘子，全家人第一天 吃了这些橘子的一半
多1个，第二天吃了剩下的一半多1个，第三天又吃掉了剩
下的一半多1个 ，还剩下1个。爸爸买了多少个橘子？

（7）
王亮和强各有画片若干，如果王亮拿出 和强同样多的
画片送给强，强再拿出和王亮同样多的画片给王亮，这时两
个人都有24。问王亮 和强原来各有画片多少？





（8）
甲、乙 、丙三个小朋友各有玻璃球若干个，如果甲按
乙现有的玻璃球个数给乙，再按丙现有的个数给丙之后，乙
也按甲、丙现有的个数分别给甲、丙。最后，丙也按同样的
方法给甲、乙，这时，他们三个人都 有32个玻璃球。原来
每人各有多少个？







（5）
甲、乙、丙三个小朋友共有贺年卡90。如果甲给乙3
后 ，乙又送给丙5，那么三个人的贺年卡数刚好相同。问三人
原来各有贺年卡多少？










（9）
学校运来36棵树苗，小强和小萍两人争着去栽。小
强先拿了树苗若干棵，小萍看到小强拿太多了就抢 了10棵，
小强不肯，又从小萍那里抢了6棵，这时小强拿的棵数是小
萍的2倍。问最初小强准 备拿多少棵？






（10）
辉和 新各搬60本图书，辉抢先拿了若干本，新看辉
拿了太多，就抢了一半；辉不肯，新就给了他10本。这 时
辉比新多4本。问最初辉拿了多少本？

（6）
小红、小丽、小敏三个人各 有年历片若干。如果小红
给小丽13，小丽给小敏23，小敏给小红3，那么他们每人各
有40 。原来三个人各有年历片多少？





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第八讲：和差问题
知识要点：
已知大小两个数的和及 它们的差，求这两个数各是多少，这类问题我们称为和差问题。掌握了和差问题的特征和规律，我
们解答 起来就很方便了。解答和差问题通常用假设法，同时结合线段图进行分析。可以假设小数增加到与大数同样多，先
求大数，再求小数；也可以假设大数减少到与小数同样多，先求小数，再求大数。
用数量关系表示：（和＋差）÷2=大数 （和－差）÷2=小数

1．例题1：期中考试王平和语文成绩的总和是188分，比王
平少4分。两人各考了多少分？






2．例题2：某机床厂第一、二两个 车间共有车床96部，如
果第一车间拨给第二车间8部，那么两个车间车床数相等。
两个车间各 有车床多少部？






3．例3：哥弟俩 共有邮票70，如果哥哥给弟弟4邮票，这时
哥哥还比弟弟多2。哥哥和弟弟原来各有邮票多少？







4．例4：把一条100 米长的绳子剪成三段，要求第二段比第
一段多16米，第三段比第一段少18米。三段绳子各长多少米？




5．例5：四个人年龄之和是88岁，最小的3 岁，他与最大
的年龄之和比另外两个人年龄之和大8岁。最大的年龄是多
少岁？









6．模仿训练
（1）两筐水果共重124千克，第一筐比第二筐多8千克。两
筐水果各重多少千克？







（2）小宁与小慧的身高 总和是264厘米，又已知小宁比小慧
矮8厘米。两人分别高多少厘米？




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知识要点：
已知大小两个数 的和及它们的差，求这两个数各是多少，这类问题我们称为和差问题。掌握了和差问题的特征和规律，我
们解答起来就很方便了。解答和差问题通常用假设法，同时结合线段图进行分析。可以假设小数增加到与大数同样 多，先
求大数，再求小数；也可以假设大数减少到与小数同样多，先求小数，再求大数。
用数量关系表示：（和＋差）÷2=大数 （和－差）÷2=小数

（3） 红星小学一年级新108人，分成甲、乙两个班。如果从
甲班转3个学生到乙班去，两班学生就一样多。 甲、乙两班
各有学生多少人？







（4）甲、乙两筐共有水果80千克，若从甲箱取出6千克放
到乙箱中，这时两箱水 果同样多。两箱原来各有水果多少千
克？







（5）一只两层书架共放书72本，若从上层中拿出9本给下
层，上层比 下层多4本。上、下层各放书多少本？





（6）姐姐和妹妹共有糖果39块，如果姐姐给妹妹7块，就
比妹妹少3块。那么姐姐和妹妹原来各 有糖果多少块？

（7）某工厂第一、二、三车间共有工人280人，第一车间
比第 二车间多10人，第二车间比第三车间多15人。三个车
间各有工人多少人？







（8）某工厂将857元奖金分给有创造发明的 三名优秀工人，
第一名比第二名多得250元，第二名比第三名多得125元。
三名优秀工人各 得多少元？







（9）小军 一家四口年龄之和是129岁，小军7岁，妈妈30
岁，小军与爷爷年龄这和比他父母年龄之和大5岁。 爷爷和
爸爸的年龄各是多少岁？





（1 0）某校四个年龄共有438名学生，其中一年级119人，
四年级101人，一、二年级的总人数比三 、四年级的总人数
多52人。二、三年级各有多少人？



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第九讲：和倍问题

知识要点：
已知两个数的和与它们之间的倍数关系，求这两个数是多少的应用题，叫做和倍问题。
解答和倍应用题的基本数量关系是：
和÷（倍数＋1）=小数 小数×倍数=大数 （和－小数=大数）

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1．例题1：学校有科技书和故事书共
两种书各有多少本？



2．例题2：果园里有梨树、桃树和苹
果树共1200棵，其中梨树的棵数是苹
果树的 3倍，桃树的棵数是苹果树的4
倍。求梨树、桃树和苹果树各有多少
棵？



第二个书橱里的书是第一个的2倍，
第三个书橱里的书是第二个的4倍。
每 个书橱里各放了多少本书？




4．例4：少先队员种柳树和 树共216
棵，树的棵数比柳树的3倍多20棵，
两种树各种了多少棵？




甲队筑的米数是乙队的2倍，乙队比
丙队多240米。三个队各筑多少米？
6．模仿训练
其中铝的重量是锡的5倍。铝和锡各用
了多少千克？




（2）甲、乙两数的和是112，甲数除以




鸡的只数是鹅的3倍，养鸭的只数是鹅
的4倍。鸡、鸭、鹅各养了多少只？




（4）甲、乙、丙三数之和是360，已知
甲是乙的3倍，丙 是乙的2倍。求甲、
乙、丙各是多少。




（5）甲、乙、丙三个数之和是400，已
乙、丙各是多少。

（6）三块钢板共重621千克，第一块的
三块的2倍。三块钢板各重多少千克？




（7）粮站有大米和面粉共6300千克，大
米的重量比面粉 的4倍还多300千克，大




（8）小华和小明两人参加数学 竞赛，两
人共得168分，小华的得分比小明的2倍
少42分。两人各得多少分？




（9）三个植树队共植树1900棵，甲队植
树的棵数是乙队 的2倍，乙队比丙队少植
300棵。三个队各植树多少棵？




（10）三个数的和是1540，甲数是丙数的


480本，科技书的本数 是故事书的3倍。（1）用锡和铝制成的合金是720千克，重量是第二块的3倍，第二块的重量是第
乙 数的商是6，甲、乙两数各是多少？ 米和面粉各有多少千克？
3．例3：有三个书橱共放了330本 书，（3）大伯养鸡、鸭、鹅共960只，养
5．例5：三个筑路队共筑路1360米，知甲是乙的3倍 ，丙是甲的4倍。求甲、7倍，乙数比甲数多40。三个数各是多少？
第十讲：差倍问题

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知识要点：
前面我们已经初步掌握了“和倍问题” 的特征和解题方法。如果知道了两个数的差与两个数间的倍数关系，要求两个数各
是多少，这一类题，我 们则把它称为“差倍问题”。小朋友，你们有没有想到用解答和倍问题的类似方法解答差倍问题呢？
解 答差倍问题与解答和倍问题相类似，要先找出差所对应的倍数，先求1倍数，再求出几倍数。此外，还要充分利用 线段
图帮助分析数量关系。用关系式可以这样表示：两数差÷（倍数－1）=较小的数（1倍数）
较小的数×倍数=较大的数（几倍数）
1．例题1：小明到市场去买水果，他
买的苹果个数是梨的3倍，苹果比梨



2．例题2：被除数比除数大252，商
是7，被除数、除数各是多少？



3．例3：水果店有两筐橘子，第一筐
橘子的重量是第二筐的5倍，如果 从
第一筐中取出300个放入第二筐，那
么第一筐橘子还比第二筐多60个。原
来两筐 橘子各有多少个？




4．例4：甲、乙两个数，如果甲数加
上280就等于乙数，如果乙数加上320




如果从第一个书架里取出200本书，
而第二个书架再放入4 0本书，那么第
问两个书架原来各存书多少本？
6．模仿训练
（1）学校合唱组，女同学人数是男同
合唱组有男、女同学各多少人？




（2）一件皮衣价钱是一件羽绒服价钱
的5倍，又已知一件皮衣比一件羽 绒服
贵960元。皮衣与羽绒服各多少元？




（3）被除数比除数大168，商是22，
被除数、除数各是多少？




（4）除数比被除数小212，商是5，被




是三年级的3倍。如果从六年级捐款钱
数中取出160元放入三年级，那么六年个年级分别捐款多少元？

（6）人民公园的杜鹃花盆数是园的4倍，
如果从人 民公园搬出188盆杜鹃花放入
园，则人民公园的杜鹃花盆数就比园的少
25盆。原来两个公园 各有杜鹃花多少盆？




（7）甲、乙两人的存款相等，甲取 出60
元，乙存入20元后，乙的存款是甲的3
倍。甲、乙两人原有存款各多少元？



（8）小明和小华的连环画本数相等，若
小明借给小华6本，小华的本数 是小明的
4倍。原来两人各有连环画多少本？



（9）两个仓 库所存粮食重量相等，如果
从第一个仓库里取出2000千克，而第二
个仓库再存入400千克 ，那么第二个仓库
的粮食重量就是第一个仓库的7倍。两个
仓库原来各存粮食多少千克？



（10）小红和小明的铅笔枝数相等，如果
奶奶再给小红16 枝铅笔，给小明2枝铅
笔，那么小红的铅笔枝数就是小明的3倍。
原来小红和小明各有铅笔多少 枝？


多18个。小明买苹果和梨各多少个？ 学的4倍，女同学比男同学多42人。
就等于甲数的3倍。两个数各是多少？ 除数、除数各是多少？
5．例5：两个书架所存书的本数相等，（5）同学们捐助残，六年级捐款钱数
二个书架的本数 是第一个书架的3倍。级捐款的钱数还比三年级多40元。两
第十一讲：年龄问题
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知识要点：
年龄问题可以说是前面所讲的和差问题及差倍问题的 综合，要正确解答这类题，首先要弄清：两个不同年龄的人，年龄之
差始终不变，但两个人年龄的倍数关 系却在不断地变化。年龄问题的主要特征是：大小年龄差是一个不变的量。我们可以
抓住差不变这个特点 ，利用和差、差倍等知识来分析解答这类应用题。
1．例题1：三年前爸爸年龄是女儿的
4倍，爸爸今年43岁，女儿今年多少
岁？




2．例题2：明明4岁时，妈妈年龄是
明明的8倍 。今年明明12岁，妈妈今
年多少岁？




3．例3：女儿今年3岁，妈妈今年33
岁。几年后，妈妈的年龄是女儿的7
倍？




4．例4：4年前，妈妈的年龄是女儿
妈妈今年多少岁？




5．例5：明明今年12岁，强强今年7
岁，当两人的年龄和是45岁时，两人各多少岁？
6．模仿训练
（1）四年前小林年龄是小丽的2倍，
小林今年12岁，小丽今年多少岁？




（2）五年前爷爷年龄是子的7倍，子
今年14岁，爷爷今年多少岁？




（3）玲玲7岁时，爸爸年龄是玲玲的5





（4）爷爷63岁时，他的年龄是小青的
9倍。今年小青12岁，爷爷今年多少





（6）儿子今年2岁，爸爸今年的年龄是
儿子的1 6倍。几年后，爸爸的年龄是儿
子的7倍？




（7 ）3年前，哥哥的年龄是弟弟的2倍。
3年后，哥弟俩的年龄和是30岁。哥哥今
年多少岁？




5年后，小明和小红年龄和是44岁。今年
小明多少岁？




（9）小红今年4岁，小平今年10岁，当
两人的年龄和是30岁时，两人各多少岁？





倍。今年爸爸40岁，玲玲今年多少岁？ （8）5年前，小明的年龄是小红的3倍。
的3倍，4年后，母女年龄和是56岁。岁？
（5 ）小明今年7岁，爷爷今年62岁。（10）聪聪今年2岁，妈妈今年28岁。
几年前，爷爷的年龄是小 明的12倍？ 当母子俩的年龄和是42岁时，两人各多
少岁？



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第十二讲：盈亏问题
知识要点：
盈亏问 题又叫盈不足问题，是指把一定数量的物品平均分给固定的对象，如果按某种标准分，则分配后会有剩余（盈）； 按
另一种标准分，分配后又会有不足（亏），求物品的数量和分配对象的数量。盈亏问题的基本数量关系 是：（盈＋亏）÷两次
分配差=份数；（大盈-小盈）÷两次分配差=份数；（大亏- 小亏）÷两次分配差=份数；
1．例题1：一个植树小组植树。如果
每人栽5棵，还剩14棵 ；如果每人栽
7棵，就缺4棵。这个植树小组有多少
人？一共有多少棵树？



2．例题2：学校将一批铅笔奖给三好
学生。如果每人奖9支，则缺45 支；
如果每人奖7支，则缺7支。三好学
生有多少人？铅笔有多少支？



3．例3：有一些少先队员到山上去种
一批树。如果每人种16棵，还有24
棵没种；如果每人种19棵，还有6棵
没有种。问有多少名少先队员？有多
少棵树？



4．例4：学校给一批新入学的学生分
配宿舍。如果每个房间 住12人，则34
人没有位置；如果每个房间住14人，
则空出4个房间。求学生宿舍有多少< br>间？住宿学生有多少人？



5．例5：少先队员去植树，如果每 人
挖5个树坑，还有3个坑没人挖；如
果其中2人各挖4个，其余的人各挖6
个树坑， 就恰好挖完所有树坑。少先
队员一共挖多少树坑？
6．模仿训练
（1）幼儿园把一 些积木分给小朋友，
如果每人分2个，则剩下20个；如果
每人分3个，则差40个。幼儿园有 多
少个小朋友？一共有多少个积木？



（2）某校安排宿舍， 如果每间6人，
则16人没有床位；如果每间8人，则
多出10个床位。问宿舍多少间？学生< br>多少人？



（3）将月季花插入一些花瓶中。如果
每瓶 插8朵，则缺少15朵；如果每瓶
改为插6朵，则缺少1朵。求花瓶的只
数和月季花的朵数。



（4）王老师给美术兴趣小组的同学分
发图画纸。如果每人发 5，则少32；如
果每人发3，则少2。美术兴趣小组有
多少名同学？王老师一共有多少图画< br>纸？



一人说每人背45发还多260发；另一
人说每 人背50发还多200发。有多少
敌人？多少发子弹？

（6）老师将一叠练习本 分给第一小组的
同学。如果每人分7本，还多7本；如果
每人分8本则正好分完。请算一算，第 一
小组有几个学生？这叠练习本一共有多
少本？



（ 7）某校有若干个学生寄宿宿舍，若每
一间宿舍住6人，则多出34人；若每间
宿舍住7人，则 多出4间宿舍。问宿舍有
多少间？寄宿学生有多少人？



（8 ）育才小学学生乘汽车去春游。如果
每车坐65人，则有15人不能乘车；如果
每车多坐5人， 恰好多余了一辆车。问一
共有几辆汽车？有多少学生？



（9 ）老师给幼儿园的小朋友分苹果。如
果每个小朋友分2个，还多30个；如果
其中的12个小朋 友每人分3个，剩下的
每人分4个，则正好分完。一共有多少个
苹果？



擦玻璃。如果其中2人各擦4块，其余每
人擦5块，则余22块；如果每人擦7块，
则正好擦完。求擦玻璃的人数和玻璃的块
数。

（5）小虎在敌人窗外听里边在分子弹：（10）在一次大扫除中，老师分配若干人
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第十三讲：植树问题

知识要点：
解答植树问题的关键是要弄清总距离、间隔长和棵树三者之间的关系。解答植树问题要考虑植树的方式，一般在 不封闭的
线路上植树，棵数=总距离÷间隔长＋1；棵数=总距离÷间隔长；棵数=总距离÷间隔长-1 ；在封闭的线路上植树，棵数=总距
离÷间隔长。另外，生活中还有一些问题，可以用植树问题的方法来 解答，比如锯木头、爬楼梯问题等等，这里解题的关键
是要将题目中的条件与问题与植树问题中的总距离 、间隔长、棵数对应起来。
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1．例题1：小朋友们植树，先 植一棵
树，以后每隔3米植一棵，已经植了9
棵，第一棵和第九棵相距多少米？




2．例题2：在一条长40米的大路两侧
栽树，从起点到终点 一共栽了22棵。
已知相邻两棵树之间的距离都相等，
问相邻两棵树之间的距离是多少米？




3．例3：把一根钢管锯成小段，一共
花了28分 钟。已知每锯开一段需要4
分钟，这根钢管被锯成了多少段？




4．例4：在一个周长是48米的池塘周
围种树，每隔6米种一棵树，一共种
了多少棵？




5．例5：甲、乙两人比赛爬楼梯，甲跑到5楼时，乙恰好跑到3楼。照这
样计划，甲跑到17楼时，乙跑到多少
层？
6．模仿训练
（1）在路的一侧插彩旗，每隔5米插
一面，从起点到终点共插了10 面。这
条道路有多长？




（2）在学校的走廊两边 ，每隔4米放
一盆菊花，从起点到终点一共放了18
盆。这条走廊长多少米？



从起点到终点共插了5面，相邻两面旗
之间距离相等，相邻两面旗之间相距多
少米？



（4）在公园一条长25米的路的两侧放
相邻两把椅子距离相 等。相邻两把椅子
之间相距多少米？




（5）一根木料，要锯成4段，每锯开

（6）一根圆木锯成2米长的小段，一共花了15分钟。已知每锯下一段要3分钟，
这根圆木长多少米？




（7）在一个周长是42米的长方形花园周
围，每隔2米放一盆花，一共可放多少盆
花？




水池周长为245米，计划要栽49棵树，
相邻两树之间距离相等。相邻两树之间相
距多少米？




篱笆，每隔4米打1根木桩，一共要准备
多少根木桩？



（10）小明爬楼梯，每上一层要走12级
台阶，一级台阶需走2秒。小明从一楼到



（3）在一条长32米的公路一侧插彩旗，（8）要在一个水池周围种树，已知这 个
椅子，从起点到终点共放了12把椅子，（9）在一个边长为12米的正方形四周围
一处要5 分钟，全部锯完要多少分钟？ 四楼共要走多少时间？

第十四讲：假设法解应用题

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知识要点：
假设法是一种常用的解题方 法。“假设法”就是根据题目中的已知条件或结论作出某种假设，然后按已知条件进行推算，根
据数量上 出现的矛盾作适当调整，从而找到正确答案。
运用假设法的思路解应用题，先要根据题意假设未知的两 个量是同一种量，或者假设要求的两个未知量相等；其次，要根
据所作的假设，注意到数量关系发生了什 么变化并作出适当的调整。
1．例题1：今有鸡、兔共居一笼，已
知鸡头和兔头共35个，鸡 脚与兔脚共
94只。问鸡、兔各有多少只？



2．例题2：面 值是2元、5元的人民
币共27，全计99元。面值是2元、5
元的人民币各有多少？



3．例3：一批水泥，用小车装载，要
用45辆；用大车装载 ，只要36辆。
每辆大车比小车多装4吨，这批水泥
有多少吨？



4．例4：某玻璃杯厂要为商场运送1000
如果打碎一个，这个不但不给运费，< br>而且要赔偿3元。结果运到目的地后
结算时，玻璃杯厂共得运费920元。
求打碎了几个 玻璃杯？



40元、50元的门票共200，收入7800
元 。其中40元和50元的数相等，每
种票各售出多少？
6．模仿训练
鸡与兔各有多少只？




鸡与兔各有多少只？



（3）佳有2分、5分硬币共40枚，一


（4）50名同学去划船，一共乘坐
11只船，其中每条大船坐6人，每条小
船坐4人。问大 船和小船各几只？




（5）一批货物用大卡车装要16辆， 如
果用小卡车装要48辆。已知大卡车比
小卡车每辆多装4吨，问这批货物有多
少吨？
（6）有一堆黄沙，用大汽车运需运50次，
车比小汽车多运3吨，这堆黄沙有多少
吨 ？



只可得搬运费3角。但打碎一只，不仅不
给搬运费还要赔 5角。如果运完后共得运
费260元，那么，搬运中打碎了多少只？


（ 8）某次数学竞赛共20道题，评分标准
是每做对一题得5分，每做错一题倒扣1
分。亮参加了 这次竞赛，得了64分。亮
做对了多少道题？



（9）某场球 赛售出40元、30元、50元
的门票共400，收入15600元。其中40
元和50元的数 相等，每种门票各售出多
少？



（10）数学测试卷有20道 题，做对一题
得7分，做错一题倒扣4分，不做得0分。
红红得了100分，她几道题没做？



（1）鸡与兔共有30只，共有脚70只。如果用小汽车运，要运80 次。每辆大汽
（2）鸡与兔共有20只，共有脚50只。（7）搬运1000玻璃瓶，规定安全运到一< br>共是1元7角。两种硬币各有多少枚？
个玻璃杯，双方商定每个运费为1元，
5．例5：某场乒乓球比赛售出30元、

第十五讲：行程问题
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知识要点：
我们把研究路程、速度、时间这三者之间 关系的问题称为行程问题。行程问题主要包括相遇问题、相背问题和追及问题。
这一周我们来学习一些常 用的、基本的行程问题。解答行程问题时，要理清路程、速度和时间之间的关系，紧扣基本数关
系“路程 =速度×时间”来思考，对具体问题要作仔细分析，弄清出发地点、时间和运动结果。
相遇问题：“相遇路程=速度和×相遇时间”。追及问题：“追及路程=速度差×追及时间”。
1．例题1：甲乙两人分别从相距20千
米的两地同时出发相向而行，甲每小
时走6千米，乙 每小时走4千米。两
人几小时后相遇？


2．例题2：王欣和陆亮两人同 时从相
距2000米的两地相向而行，王欣每分
钟行110米，陆亮每分钟行90米。如
果一只狗与王欣同时同向而行，每分
钟行500米，遇到陆亮后，立即回头
向王欣跑去；遇到 王欣后再回头向陆
亮跑去。这样不断来回，直到王欣和
陆亮相遇为止，狗共行了多少米？



3．例3：甲每小时行7千米，乙每小
时行5千米，两人于相 隔18千米的两
地同时相背而行，几小时后两人相隔
54千米？


4．例4：甲乙两人分别从相距24千米
的两地同时向东而行，甲骑自行车每
小时行13千米 ，乙步行每小时走5千
米。几小时后甲可以追上乙？


5．例5：甲、乙 两沿运动场的跑道跑
步，甲每分钟跑290米，乙每分钟跑
270米，跑道一圈长400米。如 果两人
同时从起跑线上同方向跑，那么甲经
过多长时间才能第一次追上乙？
6．模仿训练
（1）甲乙两艘轮船分别从A、B两港同
时出发相向而行，甲船每小时 行驶18
千米，乙船每小时行驶15千米，经过6
小时两船在途中相遇。两地间的水路长
多少千米？


（2）一辆汽车和一辆摩托车同时分别
从相距900千米 的甲、乙两地出发，汽
车每小时行40千米，摩托车每小时行


（3）甲乙 两队学生从相隔18千米的两
地同时出发相向而行。一个同学骑自行
车以每小时15千米的速度 在两队之间
乙队每小时行4千米。两队相遇时，骑
自行车的同学共行多少千米？


（4）A、B两地相距400千米，甲、乙
两车同时从两地相对开出，甲车每小时< br>行38千米，乙车每小时行42千米。一
只燕子以每小时50千米的速度和甲车
同时出发 向乙车飞去，遇到乙车又折回
向甲车飞去。这样一直飞下去，燕子飞
了多少千米，两车才能相遇 ？


（5）甲车每小时行6千米，乙车每小
时行5千米，两车于相隔10 千米的两
地同时相背而行，几小时后两人相隔65
千米？

（6）甲每小时 行9千米，乙每小时行7
千米，甲从南庄向南行，同时乙从北庄向
北行。经过3小时后，两人相 隔60千米。
南北两庄相距多少千米？



（7）甲乙两人同时 从相距36千米的A、B
两城同向而行，乙在前甲在后，甲每小时
行15千米，乙每小时行6千 米。几小时
后甲可追上乙？


（8）解放军某部从营地出发，以每小时6
千米的速度向目的地前进，8小时后部队
有急事，派通讯员骑摩托车以每小时54
员能 赶上队伍？



（9）一条环形跑道长400米，小强每分
钟跑 300米，小星每分钟跑250米，两人
同时同地同向出发，经过多长时间小强第
一次追上小星 ？



（10）光明小学有一条长200米的环形跑
道，亮亮和 晶晶同时从起跑线起跑。亮亮
每秒跑6米，晶晶每秒跑4米，问：亮亮
第一次追上晶晶时两人各 跑了多少米？



50千米。8小时后两车相距多少千米？
不停地往返联络。甲队每小时行5千米，千米的速度前去联络。多长时间后，通讯
.

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第十六讲：行船问题

知识要点：当你逆风 骑自行车时有什么感觉？是的，逆风时需用很大力气，因为面对的是迎面吹来的风。当顺风时，借着
风力 ，相对而言用里较少。在你的生活中是否也遇到过类似的如流水行船问题。解答这类题的要素有下列几点：水速、 流
速、划速、距离，解答这类题与和差问题相似。划速相当于和差问题中的大数，水速相当于小数，顺流 速相当于和数，逆
流速相当于差速。船速=（顺流船速+逆流船速）÷2；水速=（顺流船速—逆流船速 ）÷2；顺流船速=船速+水速；逆流船速=
船速—水速；顺流船速=逆流船速+水速×2；逆流船速= 逆流船速—水速×2。

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1．例题1：一条轮船往 返于A、B两地之间，
由A地到B地是顺水航行，由B地到A地是逆
水航行。已知船在静水中的 速度是每小时20
千米，由A地到B地用了6小时，由B地到A
地所用的时间是由A地到B地所 用时间的1.5
倍，求水流速度。
解：设水流速度为每小时x千米，则船由
A地到B 地行驶的路程为[（20+x）×6]千米，
船由B地到A地行驶的路程为[（20—x）×6×
1.5]千米。列方程为
（20+x）×6=（20—x）×6×1.5 x=4
6．模仿训练
（1）水流速度是每小时15千米。现在
有船顺水而行，8小时行32 0千米。若
逆水行320千米需几小时？



（2）水流速度每 小时5千米。现在有
一船逆水在120千米的河中航行需6小
时，顺水航行需几小时？


（3）有只大木船在长江中航行。逆流
而上5小时行5千米，顺流而下1 小时
行5千米。求这只木船每小时划船速度
和河水的流速各是多少？

< br>（4）有一船完成360千米的水程运输
任务。顺流而下30小时到达，但逆流
而上则需 60小时。求河水流速和静水
中划行的速度？



乙两个港口， 它顺流而下行了7小时，
逆流而上行了10小时。如果水流速度
是每小时3.6千米，求甲、乙 两个港口
之间的距离。

（6）一艘渔船顺水每小时行18千米，逆
水每小 时行15千米。求船速和水速各是
多少？



（7）当一机动船 在水流每小时3千米的
河中逆流而上时，8小时行48千米。返回
时水流速度是逆流而上的2倍 。需几小时
行195千米？



（8）已知一船自上游向下游航 行，经9
小时后，已行673千米，此船每小时的划
速是47千米。求此河的水速是多少？



（9）有两只木排，甲木排和漂流物同时
由A地向B地前行， 乙木排也同时从B地
向A地前行，甲木排5小时后与漂流物相
距75千米，乙木排行15小时后 与漂流物
相遇，两木排的划速相同，A、B两地长多
少千米？


速在中流和沿岸不同。中流每小时59千
米，沿岸每小时45千米。有一汽船逆流
而上，从沿岸 航行15小时走完570千米
的路程，回来时几小时走完中流的全程？



2．例题2: 有一船行驶于120千米长的河中，

逆行需10小时，顺行要6小时，求船速和水
速。 逆流速：120÷10=12（千米时）
顺流速：120÷6=12（千米时）
船速：（20+12）÷2=16（千米时）
水速：（20—12）÷2=4（千米时）
3．例题3:轮船以同一速度往返于两码头之间。

它顺流而下，行了8小时；逆流而 上，行了
10小时。如果水流速度是每小时3千米，求
两码头之间的距离。
（3+3）×8÷（10—8）×10=240（千米）
4．例题4: 汽船每小时行30千米，在长176
千米的河中逆流航行要11小时到达，返回需
几小时？
逆流速：176÷11=16（千米时）
所需时间：176÷[30+（30—16）]=4（小时）
5．例题5: 有甲、乙两船， 甲船和漂流
物同时由河西向东而行，乙船也同时从河东向
西而行。甲船行4小时后与漂流物相距 100千
米，乙船行12小时后与漂流物相遇，两船的
划速相同，河长多少千米？
船速：100÷4=25（千米时）
河长：25×12=300（千米）
（5）一 走轮船以同样的速度往返于甲、（10）有一条河在降雨后，每小时水的流
第十七讲：过桥问题

知识要点：
过桥问题是行程问题的一种情况。我们所说的列车通过一座桥，是指从 车头上桥到车尾离桥的这个过程。这时，列车行驶
的总路程是桥长加上车长，这是解决过桥问题的关键。 过桥问题的一般数量关系是： 路程=桥长+车长
车速=（桥长+车长）÷通过时间 通过时间=（桥长+车长）÷车速 桥长=车速×通过时间－车长
车长=车速×通过时间－桥长 通过隧道的问题和过桥问题的道理是一样的，也要通过上面的数量关系来解决。
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1．例题1：一列火车经过长江大桥，
大桥长6700米，这列火 车长140米，
火车每分钟行400米，这列火车通过
长江大桥需要多少分钟？









2．例题2： 一列火车长200米，全车
通过长700米的桥需要30秒钟，这列
火车每秒行多少米？









3 ．例3：一列火车长240米，这列火
车每秒行15米，从车头进山洞到全车
出山洞共用20秒 ，山洞长多少米？






6．模仿训练
已知由车头开始进入洞口到车尾进入
洞口共用9秒钟，又过了10秒钟，火
车刚好全部 通过隧道。求这列火车的
长。







（2）一列火车全长290米，每秒行驶
25米，全车要通过一座长985米长的大
桥，问需要多少秒钟？








（3）一列火车，车长300米，每分钟
行400米，通过长900米的隧道，要用
几分钟？








（4）一列火车，长150米，穿过200米
多少米？










（5）一列火车长240 米，每秒行15米，
全车通过一个隧道需38秒，求这个隧道
长多少米？








（6）一列火车长200米，行进速 度每秒
为25米，从火车头上桥到车尾下桥共需
20秒，求桥的长度。




（1）一列火车，通过300米长的隧道，长的山洞用了25秒钟，这列火车每秒 行
第十八讲：周期问题

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知识要点： < br>周期问题是指事物在运动变化的发展过程中，某些特征循环往复出现，其连续两次出现所经过的时间叫做周 期。在数学上，
不仅有专门研究周期现象的分支，而且平时解题时也常常碰到与周期现象有关的问题。这 些数学问题只要我们发展某种周
期现象，并充分加以利用，把要求的问题和某一周期的等式相对应，就能 找到解题关键。

1．例题1：流水线上生产小木球涂色
的次序是：先5个红，再4 个黄，再3
个绿，再2个黑，再1个白，然后又
依次5红、4黄、3绿、2黑、1白……
如此涂下去，到2001个小球该涂什么
颜色？


四盏蓝灯、三盏黄灯 的顺序排列着。
最后一盏灯是什么颜色的？三种颜色
的灯各占总数的几分之几？



那么，2002年1月1日是星期几？


4．例4 ：将奇数如下图排列，
各列分别用A、B、C、D、E为代表，
问：2001所在的列以哪个字 母为代
表？
A B C D E
1 3 5 7
15 13 11 9
17 19 21 23
31 29 27 25
… … … …
… … … …


5．例5：888……8[100个8]÷7，当商
是整数时，余数是几？
6．模仿训练
（1）跑道上的彩旗按“三面红、两面
绿、一面黄”的规律插下去，第 50面
该插什么颜色？



（2）有一串珠子，按4个红的，3个白
是什么颜色？



（3）有68面彩旗，按二面红的、一面
绿的、三面黄的排列着，这些彩旗中，



（4）黑珠和白珠共2000颗，按规律排
列着：○●○○○●○○○● ○
○……，第2000颗珠子是什么颜色的？
其中，黑珠共有多少颗？



（5）2002年1月1日是星期二，2002
年的六月一日是星期几？



（6）如果今天是星期五，再过80天是
星期几？






（9）444……4[100个4]÷3当商是整数
时，余数是几？




（10）444……4[100个4]÷6当商是整数
时，余数是几？





（8）把自然数按下列规律排列，
865排在哪一列？
A B C D
1 2 3
6 5 4
7 8 9
12 11 10
… … …
… … …
（7）1，将偶数2、4、6、8、……按下图
依次排列，2014出现在哪一列？
A B C D E
8 6 4 2
10 12 14 16
24 22 20 18
26 28 30 32
… … … …
… … … … 2．例题2：有47盏灯，按二盏红灯、的，2个黑的顺序重复排列，第160个
3．例3：2001年10月1日是星期一，红旗占黄旗的几分之几？
第十九讲：作图法解应用题
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知识要点：
用作图的方法把应用题的数量关系提示出来，使题意形象具体，一目了然，以便较快地找到解题的途径， 它对解答条件隐
蔽、复杂疑难的应用题，能起化难为易的作用。在解答已知一个数或者几个数的和差、倍 差及相互之间的关系，求其中一
个数或者几个数问题等应用题时，我们可以抓住题中给出的数量关系，借 助线段图进行分析，从而列出算式。

1．例题1：五（1）班的男生人数和女
生人 数同样多。抽去18名男生和26
名女生参加合唱队后，剩下的男生人
数是女生的3倍。五（1 ）班原有男、
女生各多少人？



2．例题2：同学们做纸花， 做了36朵
黄花，做的红花比黄花和紫花的总数
还多12朵。红花比紫花多几朵？



3．例3：甲、乙、丙、丁四个小组的
乙组少植2棵，丙组植的棵数扩大 2
倍，丁组植树棵数减少一半，那么四
个组植的棵数正好相同。原来四个小
组各植树多 少棵？



4．例4：五（1）班全体同学做数学竞
赛题，第一 次及格人数是不及格人数
的3倍多4人，第二次及格人数增加5
人，使及格的人数是不及格人数 的6
倍。五（1）班有多少人？



5．例5：用绳子测井深， 把绳了三折
来量，井外余16分米；把绳子四折来
量，井外余4分米。求井深和绳长。
6．模仿训练
（1）两根电线一样长，第一根剪去50
厘米，第二根剪去180厘米 后，剩下部
分，第一根是第二根长度的3倍。这两
根电线原来共长多少厘米？



（2）甲、乙两筐水果个数一样多，从
第一筐中取出31个，第二筐中取 出19
个后，第二筐剩下的个数是第一筐的4
倍。原来两筐水果各有多少个？



鸭和鹅的总数还多10只。奶奶家养的
鸡比鹅多几只？



（4）批发部运来一批水果，其中梨65
运来的香蕉比苹果少多少筐？




（6）甲、乙、丙三人分113个苹果，如
果把甲 分得的个数减去5，乙分得的个数
减去24，丙把分得的个数送给别人一半
后，三人的苹果个数 就相同。三人原来各
分得苹果多少个？




（7）有 两筐水果，甲筐水果的个数是乙
筐的3倍，如果从乙筐中拿5个放进甲筐，
这时甲筐的水果恰好 是乙筐的5倍。原来
两筐各有多少个水果？




（8 ）某车间有两个小组，A组的人数比B
组人数的2倍多2人。如果从B组中抽10
人去A组，则 A组的人数是B组的4倍。
原来两组各有多少人？


（9）用一根绳子量 大树的周长，把绳子2
折后正好绕大树2圈；若把绳子3折后，
绕大树一圈还余30厘米。求大 树的周长
和绳长。
同学共植树45棵，如果甲组多植2棵，（3）奶奶家养了25只鸭子，养 的鸡比
筐，苹果比梨和香蕉的总数还多24筐。
（5）甲、乙、丙、丁四个数的和是100，
甲数加上4，乙数减去4，丙数乘以4，
丁数除以4后，四个数就正好相等。求
这四个数。

（10）有一根绳子和 一根竹竿，把绳子对
折后比竹竿长2为，把绳子四折后比竹竿
短2米。竹竿长几米？绳子长几米 ？



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第二十讲：图形问题

知识要点：
解答有关“图形面积”问题时，应注意以下几点：
1．细心观察，把握图形特点，合理地进行切拼，从而使问题得以顺利地解决；
2．从整体上观察图形特征，掌握图形本质，结合必要的分析推理和计算，使隐蔽的数量关系明朗化。
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1．例题1：人民路小学操场长90米，6．模仿训练 宽45米。改造后，长增加10米，宽
增加5米。现在操场面积比原来增加
了多少平方米？


长增加6米，那么它的面积增加54平
方米；如果长不变，宽减少3米， 那
么它的面积减少36平方米。这个长方
形原来的面积是多少平方米？


3．例3：下图是一个养禽专业户用一
段16米的篱笆围成的一个长方形养鸡
场，求它 的占地面积。
宽8分米。如果长和宽分别减少10分
米、3分米，面积比原来减少多少平方
分米？


（2）一块长方形铁板，长18分米，宽
13分米。如果长和宽各减少2 分米，面
积比原来减少多少平方分米？



（3）一个长方形， 如果宽不变，长减
如果长不变，宽增加4米，那么它的面
积增加60平方米。这个长方形原来的
墙
4米
（6）用56米长的木栏围成长或宽是20
能使围成的面积最大？




（7）有一个正方形的水池，在它的周围
修一个宽 8米的花池，花池的面积是480
平方米，求水池的边长。




（8）四个完全相同的长方形和一个小正
正方形的面积是64平方米，小正方形的
面积 是4平方米，长方形的短边是多少
米？



第2题
4< br>第1题
（1）有一块长方形的木板，长22分米，米的长方形，其中一边利用围墙，怎样才
2．例题2：一个长方形，如果宽不变，
少3米，那么它的面积减少24平方米；方形拼成了一个大 正方形（如上图），大
面积是多少平方米？



（4）一个长方 形，如果宽不变，长增
如果长不变，宽增加3米，那么它的面
积增加48平方米。这个长方形原 来的
面积是多少平方米？



（5）右图是某个养禽专业户用一段长
求养鸡场的占地面积。


墙
5米




（9）一个正方 形一条边减少6分米，另
这个长方形的面积比正方形的面积少260
平方米，求原来正方形的边 长。



（10）一个长方形的木板，如果长减少5
分米，宽减 少2分米，那么它的面积就减
一个正方形。求原来长方形的面积。


< br>加5米，那么它的面积增加30平方米；一条边减少10分米后变为一个长方形，
4．例4：街心 花园中一个正方形的花
坛四周有1米宽的水泥路，如果水泥
路的总面积是12平方米，中间花坛 的
面积是多少平方米？


5．例5：一块正方形的钢板，先截去
宽5分米的长方形，又截去宽8分米
的长方形（如图），面积比原来的正方
形减少181平方分 米。原正方形的边
长是多少？
13米的篱笆围成的一个长方形养鸡场，少66平方分米，这时剩下的部分恰好是

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