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四年级奥数 专题四（巧妙求和一）

温馨提醒：
亲爱的学子们，在浩瀚的知识海洋里航行，自信是船，勤奋是帆，毅力是风，你们是舵手，而我是水手，只要我们师生齐心协力，不畏艰险，就能到达胜
利的彼岸。

专题讲解【巧妙求和（一）】
一、【知识要点 】
若干个数排成一列称为数列。数 列中的每一个数称为一项。其中第一项称为
首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。 从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项
与前项的差称为公差。
在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。
通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差
项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1
二、【典型例题讲解】
【例题1】 有一个数列：4，10，16，22.„，52.这个数列共有多少项？
【思路导航】容易看出这是一 个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52.
要求项数，可直接带入项数公式进行计算。

四年级奥数 专题四（巧妙求和一）

练习1：
1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项？
项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。





2.有一个等差数列：2.5，8，11.„，101.这个等差数列共有多少项？





3.已知等差数列11.16，21.26，„，1001.这个等差数列共有多少项？





【例题2】有一等差数列：3.7，11.15，„„，这个等差数列的第100项是多少？
【思路导航】这个等差数列的首项是3.公差是4，项数是100。要求第100
项，可根据“末项=首 项+公差×（项数－1）”进行计算。
第100项=3+4×（100－1）=399.

四年级奥数 专题四（巧妙求和一）

练习2：
1.一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少？




2.求1.4，7，10„„这个等差数列的第30项。




3.求等差数列2.6，10，14„„的第100项。




【例题3】
有这样一个数列：1.2.3.4，„，99，100。请求出这个数列所有项的和。


【思路导航】如果我们把1.2.3.4，„，99，100与列100，99，„，3.2 .1
相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+„+（99+2）+（100+1） ，其中每
个小括号内的两个数的和都是101.一共有100个101相加，所得的和就是所求
数列的和的2倍，再除以2.就是所求数列的和。
1+2+3+„+99+100=（1+100）×100÷2=5050
上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的
公式求和：
等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2
这个公式也叫做等差数列求和公式。

四年级奥数 专题四（巧妙求和一）

练习3：计算下面各题。
（1）1+2+3+„+49+50




（2）6+7+8+„+74+75




（3）100+99+98+„+61+60





【例题4】求等差数列2，4，6，„，48，50的和。







【思路导航】这个数列是等差数列，我们可以用公式计算。 要求这一数列的
和，首先要求出项数是多少：项数=（末项－首项）÷公差+1=（50－2）÷2+1 =25
首项=2.末项=50，项数=25
等差数列的和=（2+50）×25÷2=650.

四年级奥数 专题四（巧妙求和一）

练习4：计算下面各题。
（1）2+6+10+14+18+22




（2）5+10+15+20+„+195+200




（3）9+18+27+36+„+261+270




【例题5】计算（2+4+6+„+100）－（1+3+5+„+99）



【思路导航】容易发现，被减数与减数都是等差数列的和，因此，可以 先分
别求出它们各自的和，然后相减。
进一步分析还可以发现，这两个数列其实是把1 ～ 100这100个数分成了
奇数与偶数两个等差数列，每个数列都有50个项。因此，我们也可以把这两 个
数列中的每一项分别对应相减，可得到50个差，再求出所有差的和。
（2+4+6+„+100）－（1+3+5+„+99）
=（2－1）+（4－3）+（6－5）+„+（100－99）
=1+1+1+„+1
=50

四年级奥数 专题四（巧妙求和一）

练习5：用简便方法计算下面各题。
（1）（2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994）





（2）（2+4+6+„+2000）－（1+3+5+„+1999）





（3）（1+3+5+„+1999）－（2+4+6+„+1998）