领土面积-老人与海鸥教案

学科教师辅导讲义
学员编号：
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教学目标
授课日期及时段
T同步课堂
年 级：四年级
辅导科目：奥数
课 时 数：3
学科教师：
第29讲-
容斥问题

P实战演练 S归纳总结
① 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容
②
掌握容斥原理在组合计数等各个方面的应用


T
（Textbook-Based）
——同步课堂

知识梳理


一、两量重叠问题

在一些计数问题中，经常遇到有关集合 元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把
两个集合的元素个数相加，而要从两个集 合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，
用式子可表示成：
ABA BAB
，则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．
图示如下:
A
表示小圆部分，
B
表示大圆部分，
C
表示大圆与小圆的公共部分，记为：< br>A
图示如下:
A
表示小圆部分，
B
表示大圆部分，
C
表示大圆与小圆的公共部分，记为：
A

B
，即阴影面积．
B
，即阴影面积．
1．先包含——
AB

重叠部分
A

B
计算了
2
次，多加了
1
次；
ABAB
B
的元素的个数，可分以下两步进行： 包含与排除原理告诉我们，要计 算两个集合
A、B
的并集
A
AB
A
1
第一步：分别 计算集合
A、B
的元素个数，然后加起来，即先求
、B
的一切元素都“包含” 进
AB
(意思是把
来，加在一起)；
第二步：从上面的和中减去交集的元 素个数，即减去
CAB
(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．




1

二、三量重叠问题
A
类、
B类与
C
类元素个数的总和
A
类元素的个数
B
类元素 个数
C
类元素个数

既是
A
类又是
B
类
的元素个数

既是
B
类又是
C
类的元素个数

既是
A
类又是
C
类的元素个数

同时是
A
类、
B
类、
C
类的元
素个数．用符号表示为：
ABCABCABBCACABC
．图示如下：
图中小圆表示
A的元素的个数，中圆表示
B
的元素的个数，
C
1．先包含：
A BC



重叠部分
AB
、
BC
、CA
重叠了
2
次，
1
在解答有关包含排除问题时，我们常常利用 圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．
ABCABBCAC

ABC

3
ABC
ABBCAC

典例分析

考点一：两量重叠问题
例1、实验小学四年级二班，参加语文 兴趣小组的有
28
人，参加数学兴趣小组的有
29
人，有
12
人两个小组都
参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？

ABCABBCACABC
AC
B







2

例2、对全班同学调查发现，会游泳的 有
20
人，会打篮球的有
25
人．两项都会的有
10
人，两 项都不会的有
9
人．这个班一共有多少人？
会
游
泳
的A
两
项
都
会
的
B
会
打
篮球
的
两项都不会的



例3、在
46
人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有
18
人，既采了樱桃又采了杏的有
7
人，既没采樱桃又没采
杏的有
6
人，问：只采了杏的有多少人？
A
既采
樱桃
又采
杏的
B
既没采樱桃
又没采杏的



例4、育才小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅 画不是五年级的，五、六年级
共展出25幅画，其他年级的画共有多少幅？
乙
A
丙
B
甲



考点二：三量重叠问题
例1、全班有
25
个学生，其中
17
人会骑自行车，
13
人会游泳，
8
人会滑冰，这三个运动项目没有人全会， 至
少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了，但又都不是优秀．若全班有
6
个人数 学不及格，那么，
（1） 数学成绩优秀的有几个学生？
（2）有几个人既会游泳，又会滑冰？



3

考点三：图形中的重叠问题
例1、把长
38
厘米和
53
厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长
4
厘米，焊接后这根铁条有多长？




< br>例2、两张长
4
厘米，宽
2
厘米的长方形纸摆放成如图所示形状．把它 放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？
4
厘
米
2厘米
图3



例3、三个面积均为
50
平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图)，三个纸片共同重叠的面积 是
10
平方厘米．三个
纸片盖住桌面的总面积是
100
厘米．问：图 中阴影部分面积之和是多少？
A
10
B
C


考点四：容斥原理在数论问题中的应用
例1、在
1~100
的全部自然数中 ，不是
3
的倍数也不是
5
的倍数的数有多少个？
A
B





4

考点五：容斥原理中的最值问题 例1、将1～13这13个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的13个区域中，然后把每个 圆内
的7个数相加，最后把四个圆的和相加，问：和最大是多少？



P(Practice-Oriented)——实战演练

实战演练

 课堂狙击
1、一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有3 7人举手。又问：“谁做完数学作业？
请举手！”有42人举手。最后问：“谁语文、数学作业都没有做 完？”没有人举手。求这个班语文、数学作业都
完成的人数。




2、某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题 都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对？


3、某班有56人 ，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么
同时参加 语文、数学两科竞赛的有多少人？




5

4、在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？


5、光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年 级的，
有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅，其他年级参展的书法作品共有多 少幅？



 课后反击
1、芳草地小学四年级有
5 8
人学钢琴，
43
人学画画，
37
人既学钢琴又学画画，问只学钢琴 和只学画画的分别
有多少人？
A
CB


2、科技活动小 组有
55
人．在一次制作飞机模型和制作舰艇模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：
制作好一架飞机模型的同学有
40
人，制作好一艘舰艇的同学有
32
人．每个同学都至少完成了一项制作．问两
项制作都完成的同学有多少人？
A
C
B


3、五年级一班共有
36
人， 每人参加一个兴趣小组，共有
A
、
B
、
C
、
D、
E
五个小组，若参加
A
组的有
15
人，参加
B
组的人数仅次于
A
组，参加
C
组、
D
组的人数相 同，参加
E
组的人数最少，只有
4
人．那么，参
加
B
组的有_______人．



6

4、如下图，一张长
8
厘米，宽
6
厘米，另一个正方形边长为
6
厘米，它们中间重叠的部分是一个 边长为
4
厘米
的正方形，求这个组合图形的面积．
8
6
4
6
图3




5、甲、乙、丙同时给100盆花浇水．已知甲浇了78盆，乙浇了68盆，丙浇了58盆，那么3人都浇过的花
最少有多少盆?




直击赛场

1、(第二届小学迎春杯数学竞赛)有
100
位旅客，其中有
10
人 既不懂英语又不懂俄语，有
75
人懂英语，
83
人懂
俄语．问既懂英 语又懂俄语的有多少人？






(Summary-Embedded)——归纳总结



7

名师点拨

容斥原理的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后
再 把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。

学霸经验

 本节课我学到了







 我需要努力的地方是













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