期末考试试卷-好人好事新闻稿

目 录

第一讲 速算与巧算 ……………………………………..……………………. 2
第二讲 应用题综合（一） ……………………………………..………………9
第三讲 应用题综合（二）………………………………..……………………14
第四讲
第五讲
第六讲
第七讲
第八讲
第九讲
第十讲
第十一讲
第十二讲
第十三讲
第十四讲
第十五讲



行程问题初步 ……………………………..…………………………..18
奇数与偶数 ………………………………..…………………………..23
计数问题 …………………………………..…………………………..28
体育比赛中的数学 ………………………..…………………………..33
期中测试 …………………………………..…………………………..37
余数与周期 …………………………………..………………………..40
简单的抽屉原理 ……………………………..………………………..45
巧求周长 ………………………………..……………………………..50
数字谜 …………………………………..…………………………....55
趣题巧解 …………………………..………………….……………..60
逻辑推理 ………………………..………………….………………..64
期末测试 ……………………………..………….……………….….68

第一讲 速算与巧算
亲爱的同学们，你想一见到 算式就能张口说出得数吗你想让自己变得更聪明吗学了今天的速算技巧后你就可以
梦想成真了！还等什么 来吧，一起出发！















计算：378+26+609

分析：原式=（378+22）+（600+9）+（26-22）
=400+600+9+4
=1013.

[拓展] 计算：1998+198+18
分析：原式=（2000-2）+（200-2）+（20-2）
=2220-6
=2214.

计算：-10

分析：原式 =1000-（90＋80＋20＋10）
=1000-200
=800.


计算：1）63×11 ； 2） 852×11

分析：在这个数的首尾之间添上相邻两数依次相加的和（和满10要进1）. 即“两边一拉，中间相加”.
1）63×11=693 （其中9是6+3），
2）852×11=9372（7=5+2 3=5+8末尾 9=8+1）.


加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变.
加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者，先把后两个数相加，
再与第一个数相加，它们的和不变.
乘法交换律：两个数相乘，交换两个数的位置，其积不变，
即a×b=b×a,其中a，b为任意数.
乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数相乘后，再与后一个数相乘，或先把后两个数
相乘后，再与前一个数相乘，积不变，即a×b×c=(a×b)×c=a×(b×c).

你还记得吗

计算 ：15×15 ；25×25 ；35×35

分析：建议教师先介绍个位数字为5的数的平方速算规律：首数加1的和乘以首数，尾数相乘，两积连起 来即
为所求的积.15×15=225 ；25×25=625 ；35×35=1225.



















在乘除运算中 ，要做到既正确又迅速，首先要熟练地掌握乘除的各种运算定律，性质和运算中积商的变化规律，
其次要 了解题目的特点，创造条件，选用合理，灵活的计算方法，下面我们通过一些例题介绍一些运算的速算
和 巧算的方法.

计算：25×9×125×4×8

分析：解题关键是观 察题目可以发现25×4得100，125×8得1000，将它们分别合并便可达到速算
原式=(25×4)×(125×8)×9
=100×1000×9
=900000.


计算：456×2×125×25×5×4×8

分析：原式=456×（2×5）×（25×4）×（125×8）
=456×10×100×1000
=0.

[巩固] 计算：19×25×64×125
分析：原式=（25×4）×（125×8）×（19×2）
= 100×1000×38
=3800000.

商不变性质 ：被除数和除数乘（或除）以同一个非零数，其商不变.在连除时，可以交换除数的位置，
商不变，即a ÷b÷c=a÷c÷b
乘除法混合运算的性质
（1）在乘除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同数字前面的运算符号一起交换位置，
例如a×b÷c=a÷c×b=b÷c×a
(2)在乘除混合运算中，去掉括号的规则以及去括号的情形
a×(b×c)=a×b×c
a×(b÷c)=a×b÷c
a÷(b÷c)=a÷b×c
(3)两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘，即
(a×b)÷(c×d)=(a÷c)×(b÷d)=(a÷d)×(b÷c).

暑假精讲

计算：5400÷25÷4

分析：根据除法性质知一个数分别除以两个数，等于除以这两个数的积.
原式=5400÷（25×4）
=5400÷100
=54.


计算：5÷(7÷11) ÷(11÷15) ÷(15÷21)

分析：原式=5÷7×11÷11×15÷15×21
=5×（11÷11）×（15÷15）×（21÷7）
=5×3
=15.


计算：333333÷37÷3-3625÷125+125×50

分析：运用a÷b÷c=a÷(b×c) .
原式=333333÷（37×3）-29+6250
=333333÷111+（6250-29）
=3003+6221
=9224.


53×46+71×54+82×54

分析：可以把53，199拆分.
原式=（54-1）×46+71×54+82×54
=54×46+71×54+82×54-46
=54×（46+71+82）-46
=54×199-46
=54×（200-1）-46
=54×200
=54-46
=10800-100
=10700.


（873×477-198）÷（476×874+199）

分析：观察到873与874，476与477的关系，可以考虑把整数进行拆分.
原式=[873×（476+1）-198] ÷[476×（873+1）+199]
=[873×476+873-198] ÷[476×873+476+199]
=[873×476+675] ÷[476×873+675]
=1.

11×99

分析：原式=11×（）
=000111
=8888889.


99999×26+33333×24

分析：原式=99999×26+33333×3×8
=99999×26+99999×8
=99999×（26+8）
=（100000-1）×34
=3399966.


计算：1+1×2×2+l×2×3×3+l×2×3×4×4+l×2×3×4×5×5

分析：原式=1×(2-1)+l×2×(3-1)+1×2×3×(4-1)+1×2×3×4×(5 -1)+l×2×3×4×5×(6-1)
=l×2-1+l×2×3-1×2+l×2×3×4-1 ×2×3+l×2×3×4×5-1×2×3×4+l×2×3×4×5×6-l×2×3×4×5
=l×2×3×4×5×6-l
=720-l
=719．


计算：2006+2005-2004-2003+2002+200+1998+…+5-4-3+2 +1

分析：（法1）我们观察可以发现，题目中每4个数一组可以相互抵消，将这些数先分组，简化计算.
原式=2006+（2005-2004-2003+2002）+（200+1998）+…+（5- 4-3+2）+1
=2006+0+0+…+0+1
=2007.
（法2）根据符号规律，可以4个数一组.
原式=（2006+2005-2004-2003）+…+（6+5-4-3）+2+1
=4×（2004÷4）+3
=2007.

[拓展] 计算：1992-1-2+3+4-5-6+7+8-…-1989-1990+1991
分析：原式=（1992+9）+…+（4+3-2-1）
=4×（1992÷4）
=1992.


计算：9×17+91÷17-5×17+45÷17

分析：[前铺]分配律的逆运算是个难点，建议教师先从简单题讲清楚再讲本题.
计算1： 36×19+64×19

=（36+64）×19
=1900.
计算2： 36×19+64×144
=36×19+64×（19+125）
=（36+64）×19+64×125
=1900+8×8×125
=1900+8000
=9900.
例题原式=9×17-5×17+91÷17+45÷17
=（9-5）×17+（91+45）÷17
=4×17+136÷17
=68+8
=76.


计算：765×213÷27+765×327÷27

分析：原式=765×（213+327）÷27
=765×540÷27
=765×20
=15300.


计算：25×2626-26×2525

分析：[前铺]建议教师先给学生讲清楚 周期性数字的规律.如123123=123×1001，3=123×1001001，…
原式=25×26×101-26×25×101
=0.

[拓展1] 计算：÷3030303
分析：原式 =12×1010101÷（3×1010101）
=（12÷3）×（1010101÷1010101）
=4×1
=4.

[拓展2] 计算：（4545+5353）÷4949
分析：原式=（45×101+53×101）÷（49×101）
=（45+53）×101÷49÷101
=（45+53）÷49
=2.

2004×2003-2003×2004

分析：原式=2004×2003×3×2004×1=0.


附加内容

计算：（11×10×9×…×3×2×1）÷（22×24×25×27）

分析：原式= （11×2÷22）×（10×5÷25）×（9×6÷27）×（8×3÷24）×7×4
=1×2×2×1×7×4
=112.


计算：（12345 6+234561+345612+456123+561234+612345）÷7

分 析：[前铺]建议教师先讲解拆数法：123456=1×100000+2×10000+3×1000+4× 100+5×10+6×1，
234561=2×100000+3×10000+4×1000+5× 100+6×10+1×1，…
或者观察竖式发现：每个数位上的和=（1+2+3+4++5+6） ×相应的数量单位.讲清楚拆
数这个问题，题目就迎刃而解了.
原式=（1+2+3+4+5+6）×(100000+10000+1000+100+10+1) ÷7
=21×111111÷7
=3×111111
=333333.




25×17×32×125

分析：原式=（25×4）×17×（8×125）=1700000 .


1）57×99 ；2） 17×999

分析：1）原式= 5643 ；2）原式=16983.


56000÷（14000÷16）

分析：原式= 64.


4. 15000÷125÷15

分析：原式=15000÷15÷125=1000÷125=8.





　　１２３４５６
　　２３４５６１
　　３４５６１２
　　
　　４５６１２３
　　５６１２３４
＋）６１２３４５
大显身手
数学迷宫

仔细看看图中有几只猴子

第二讲 应用题综合（一）

春季班同学们已经学习了平均数的应 用题，其中包括以两组数的平均数和它们的总平均数间的关系为内容的问
题．求解时应恰当选取基准数并 注意权重．暑假我们学习的平均数问题包括算术平均数、加权平均数、连续数
和求平均数、调和平均数和 基准数求平均数.解答这类应用题时，主要是弄清楚总数、份数、一份数三量之间的
关系，根据总数除以 它相对应的份数，求出一份数，即平均数.首先，让我们先回顾一下吧！


小强做跳绳练习，第一次跳了67下，第二次跳了76下．她要想三次平均成绩达到80下，第三次至少要跳 多
少下

分析：80×3－(67＋76)＝97(下).


小明家先后买了两批小猪，养到今年10月.第一批的3头每头重66千克，第二批的5头每头重42千 克.小明家
养的猪平均多重

分析：两批猪的总重量为66×3＋42×5＝408 (千克).两批猪的头数为3＋5＝8(头)，故平均每头猪重408÷8＝51(千
克).


甲乙两地相距240千米，一辆汽车从甲地往乙地送货，去时以每小时40千米的速度行驶. 返回时由于空载，以
每小时60千米的速度行驶.这辆汽车往返的平均速度是每小时多少千米

分析：240×2=480（千米），240÷40=6（小时），240÷60=4（小时），6+4 =10（小时），480÷10=48（千米）.


小强为了培养自己的数学解题 能力，除了认真读一些书外，还规定自己每周(一周为7天)平均每天做4道数学
竞赛训练题.星期一至 星期三每天做3道，星期四不做，星期五、六两天共做了13道.那么，星期日要做几道题
才能达到自己 规定的要求

分析：要先求出每周规定做的题目总数，然后求出星期一至星期六已做的题目数 .两者相减就是星期日要完成的
题目数.每周要完成的题目总数是4×7=28(道)．星期一至星期六 已做题目3×3＋13＝22(道)，所以，星期日要完
成28-22＝6(道).综合列式为4×7- (3×3＋13)＝6(道).







你还记得吗
暑假精讲

五个同学期 末考试的数学成绩平均94分，而其中有三个同学的平均成绩为92分，另两个同学的平均成绩是多
少

分析：（94×5-92×3）÷2=97（分）.


一个房 间里有9个人，平均年龄是25岁；另一个房间里有11个人，平均年龄是45岁．两个房间的人合在一
起，他们的平均年龄是几岁

分析：（25×9+45×11）÷（9+11）=36（岁）.


学而 思三升四竞赛班50人考试，全班平均分为85分，其中有40的人及格，及格人的平均分是93分，那么不及格人的平均分是多少分

分析：不及格人的平均分是（85×50-93×40）÷（50-40）=53（分）.


甲班51人，乙班49人，某次考试2个班全体同学的平均成绩是81分，乙班平均分比甲班 高7分，那么乙班
的平均成绩是多少分

分析：甲、乙2班总分为81×（51+49）=8100（分），由于乙班平均分比甲班高7 分，如 果甲班每人提高7
分，那么2班平均分即为乙班现在的平均分（8100+7×51）÷（51+49） =（分）.

下面我们要学习一类新的应用题——盈亏问题.
盈亏问题就是把一 定数量的物品分给若干对象，由两种分配方案产生不同的盈亏数，反过来求被分配的物品数
与分配的对象 数.解题的关键在于确定两次分配数之差与盈亏总额(盈数+亏数)，由此得到求解盈亏问题的公式：
分 配总人数=盈亏总额÷两次分配数之差.需要注意的是，两种分配方案的结果会出现一盈一亏、两盈、两亏等情< br>况，所以我们要灵活把握.

六一儿童节到了，李老师给同学们准备了一些漂亮的贴画 作礼物，如果每人分3张就会多出29张，如果每人
分5张则少19张，那么李老师给几个学生发礼物呢

分析：学生的人数：(29+19)÷(5-3)=24(个).

< br>杨老师到新华书店去买书，若买5本则多3元；若买7本则少元．这本书的单价是多少顾老师共带了多少元 钱

分析；买5本多3元，买7本少元.盈亏总额为3＋=（元），这元刚好可以买7-5＝ 2（本）书，因此每本书÷
2=（元），顾老师共带钱×5＋3＝15（元）.

学 校组织四年级师生去参观清华、北大，原计划租用45个座位的客车，但这样有5人没座，如果租用同样数
量的55个座位的客车，则正好多出1辆车.那么，原计划租用45座客车几辆

< br>分析：租55个座位的客车，正好多出1辆车，也就是少了一车的人，即55人，所以，原计划租用的客车 数量
(55+5)÷(55-45)=6(辆).


用绳子量一口井的深 度，把绳子折两折来量，多50厘米；折三折来量，还差30厘米，求绳长和井深各是多少

分析：根据题意，（50×2+30×3）÷（3-2）=190（厘米）.（190+50）×2=480（ 厘米）或（190-30）×30=480
（厘米）.


海尔兄弟约好在 动物园门口见面，弟弟从家去动物园，如果每分钟走30米，就要迟到5分钟，如果每分钟走
40米，可 以提前2分钟到动物园，那么，海尔兄弟家到动物园的距离是几米

分析：迟到5分钟相当于少走了：30×5=150(米)，提前2分钟到相当于多走了：40 ×2= 80(米)，所以，如果不
迟到也不早到，弟弟走的时间为：(150+80)÷(40-30)= 23(分钟)，家到学校的距离为：30×(23+5)=840(米).


百货 商店委托搬运站运送100只花瓶．双方商定每只运费1元，但如果发生损坏，那么每打破一只不仅不给运
费，而且还要赔偿1元，结果搬运站共得运费92元．问：搬运过程中共打破了几只花瓶

分析：假设100只花瓶在搬运过程中一只也没有打破，那么应得运费1×100=100(元)．实际上只得到 92元，少
得100-92=8(元)．搬运站每打破一只花瓶要损失1+1=2(元)．因此共打破花 瓶8÷2=4(只)．




100名学生参加数学竞赛，平均 分数是63分，其中参赛男同学平均分为60分，女同学平均分为70分，那么该
校参赛男同学比女同学 多几人

分析：参赛女同学人数为：[100×(63-60)] ÷(70-60)=30(人)．所以参赛男同学比女同学多100-30-30=40（人）．


学而思竞赛班举行歌唱比赛，五位评委打分．计分时，先去掉一个最高分和一个最低分，在算 出平均分作为该
选手的最后得分．下面是嘟嘟同学的得分：79，83，86，81，■（第五个分数被 盖上了），最后得分82．请你
算算第五位评委打多少分

分析：如果第五位评委 的分数是最高分获最低分，那么另一个去掉的分数就是79或86，剩下的3个分数的平
均分不等于82 ，不合题意.所以第五位评委的分数是没有被去掉的，去掉的是79和86，第五位评委的分数是
82× 3-（83+81）=82（分）.
早晨陈奶奶去超市买菜，如果她买6千克鱼肉则还差10元．如果 买8千克猪肉则还剩2元．已知每千克鱼肉
比猪肉贵5元．那么陈奶奶带了多少钱

分析：由于每千克鱼肉比猪肉贵5元，6千克鱼肉应该比6千克猪肉贵：6×5=30(元)，这时，买6千克猪 肉应该
剩下：30—10=20(元)，所以，每千克猪肉的价钱为：(20—2)÷(8—6)=9( 元)，陈奶奶所带钱数：8×9+2=74(元).

附加内容

乐乐从家去学校上学，每分钟走50米，走了2分钟后，发觉按这样的速度走下去，到学校就会迟到8分 钟．于
是乐乐开始加快速度，每分钟比原来多走10米，结果到达学校时离上课还有5分钟．问：乐乐家 离学校有多
远

分析：乐乐从改变速度的那一点到学校，若每分钟走50米，则要迟到8分钟，也就是到上课时间时，
他离学校还有50×8=400(米)；若每分钟多走10米，即每分钟走60米，则到达学校时离上课 还有5分钟，如果
一直走到上课时间，那么他将多走(50+10)×5=300(米)．所以盈亏总额 ，即总的路程相差
400+300=700(米)．两种走法每分钟相差10米，因此所用时间为70 0-10=70(分)，也就是说，从乐乐改变速度起
到上课时间有70分钟．所以乐乐家到学校的距离 为50×(2+70+8)=4000(米)．


四(2)班在这次的班级评比中 ，获得了“全优班”的称号．为了奖励同学们，班主任刘老师买了一些铅笔和橡皮．刘
老师把这些铅笔和 橡皮分成一小堆一小堆，以便分给几位优秀学生．如果每堆有1块橡皮2支铅笔，铅笔分完
时橡皮还剩5 块；如果每堆有3块橡皮和5支铅笔，橡皮分完时还剩5支铅笔．那么，刘老师一共买了多少块
橡皮多少 支铅笔
分析：如果增加10支铅笔，则按1块橡皮、2支铅笔正好分完；而按3块橡皮、5支铅笔 分，则剩下10+5=15(支)
铅笔，但如果按3块橡皮、6支铅笔分，则正好分完，可以分成：15 ÷(6—5)=15(堆)，所以，橡皮数为：15×3=45(块)，
铅笔数为：15×6—10=8 0(支)．





暑假期间，小强每天都坚持游泳， 并对所游的距离作了记录．如果他在暑假的最后一天游670米，则平均每天
游495米；如果最后一天 游778米，则平均每天游498米；如果他想平均每天游500米，那么最后一天应游多
少米

分析：（778-670）÷（498-495）=108÷3=36（天），说明小强一共 游了36天.要想平均游500米的话，他最
后一天应该游670+36×（500-495）=670 +180=850米.


甲、乙两地相距240千米，一辆汽车从甲地往乙地送货 ，去时以每小时40千米的速度行驶.返回时由于空载，
以每小时60千米的速度行驶.这辆汽车往返的 平均速度是每小时多少千米

分析：240×2=480（千米），240÷40=6（小时 ），240÷60=4（小时），6+4=10（小时），480÷10=48（千米）.



王老师带班里的学生去颐和园春游，他们租了一些船在昆明湖上划船，如果增加1条船，正好 每条船坐4人，
如果减少1条船，正好每条船坐6人，那么，他们总共有几人去了颐和园
< br>分析：这道题也可以理解为：原来每条船坐4人正好，后来减少了2条船，每条船坐6人．所以，租的船的 数
量为：6×(1+1)÷(6—4)=6(条)，去颐和园的总人数为：6×4=24(人).


大显身手

兰兰参加暑假的英语夏令营，老师为她们安排 住宿，如果每个房间住5人，则多出18人，如果每个房间住7
人，则有2个房间空着.那么，参加英语 夏令营的同学有几人

分析：房间数量：(18+7×2)÷(7—5)=16(个)，参加 夏令营的人数：16×5+18=98(人).





永远看得起自己
有一天某个农夫的一头驴子，不小心掉进一口枯井里，农夫绞尽脑汁想办 法救出驴子，但几个小时过去了，
驴子还在井里痛苦地哀嚎着．
最后，这位农夫决定放 弃，他想这头驴子年纪大了，不值得大费周章去把它救出来，不过无论如何，这口
井还是得填起来．于是 农夫便请来左邻右舍帮忙一起将井中的驴子埋了，以免除它的痛苦．
农夫的邻居们人手一把铲子 ，开始将泥土铲进枯井中．当这头驴子了解到自己的处境时，刚开始哭得很凄
惨．但出人意料的是，一会 儿之后这头驴子就安静下来了．农夫好奇地探头往井底一看，出现在眼前的景象令
他大吃一惊：当铲进井 里的泥土落在驴子的背部时，驴子的反应令人称奇──它将泥土抖落在一旁，然后站到
铲进的泥土堆上面 ！
就这样，驴子将大家铲倒在它身上的泥土全数抖落在井底，然后再站上去．很快地，这只驴子 便得意地上
升到井口，然后在众人惊讶的表情中快步地跑开了！
成长故事

第三讲 应用题综合（二）

年龄问题和还原问题 春季班都学习过基础的知识：年龄问题的解题要点是分析题意从表示年龄间倍数关系的条
件入手理解数量 关系.关键抓住“年龄差”不变.应用“差倍”、“和倍”或“和差”问题数量关系式解决；还原问题我们
学习了用倒推法解单、多个变量的还原问题.今天我们再提高和拓展一下.来吧，我们出发！



今年姐姐13岁，弟弟今年10岁，当姐弟年龄之和达101岁时，姐弟各是多少岁

分析： 法1：两人年龄和每年增加2岁．算出过多少年两人年龄和达101岁，就可在现在的年龄上各 人增加同
样多的岁数．101－(13＋10)=101－23=78(岁)，78÷2＝ 39(年)，姐：13＋39＝52(岁) ，弟：10＋39＝49(岁) ．
法2：可以把本题理 解为一道“和差问题”，由已知姐姐和弟弟今年分别是13岁和10岁，可求出两人今年的
年龄差是：1 3-10=3（岁）．当两人的年龄和是101岁时，两人的年龄差还是3岁．所以，姐姐的年龄为（101+3 ）
÷2=52（岁），弟弟的年龄为52-3=49（岁）．


今年爸爸48岁，儿子20岁，几年前爸爸的年龄是儿子的5倍

分析：今年爸爸与 儿子的年龄差为“48—20=28”岁，因为二人的年龄差不随时间的变化而改变，所以当爸爸
的年龄 为儿子的5倍时，两人的年龄差还是这个数，这样就可以用“差倍问题”的解法．当爸爸的年龄是儿子
年 龄的5倍时，他们的年龄差是儿子年龄的4倍，所以儿子的年龄是：（48—20）÷（5—1）＝7（岁），由
20－7＝13（岁），推知13年前爸爸的年龄是儿子年龄的5倍


小 新在做一道加法题，由于粗心，将个位上的5看作9，把十位上的8看作3，结果所得的和是123．正确的答< br>案是多少

分析：（倒推法）把个位上的5看作9，相当于把正确 的和多算了4，求正确的和，应把4减去；把十位上的8
看作3，相当于把正确的和少算了50，求正确 的和，应把50加上去．所以正确的和是123+50- 4=169．即：
123+(80-30)- (9-5)=169.


一群蚂蚁搬家，原存一堆食物．第一天运出总数的一半少 12克．第二天运出剩下的一半少12克，结果窝里还
剩下43克．问蚂蚁家原有食物多少克

分析：（倒推法）教师可画线段图帮助学生理解．如果第二天再多运出12克，就是剩下的一半，所以第 一天
运出后，剩下的一半重量是43-12=3l(克)；这样，第一天运出后剩下的重31×2=62 (克)．那么，一半的重量是
62—12=50(克)，原有食物50×2=100(克)． 即 [(43-12)×2-12]×2=100(克).



你还记得吗
暑假精讲

父亲15年前的年龄相当于儿子12年后的年龄．当父亲的年龄是儿 子的4倍时，父亲多少岁

分析：父亲比儿子大15+12=27岁．儿子是27÷(4—1)=9岁．父亲是9×4=36岁．


小明一家有4人：爷爷、爸爸、妈妈和小明．爷爷比爸爸大26岁，妈妈比小明也 大26岁．已知这家人今年的
年龄之和为126岁，而5年前的年龄之和为107岁，那么小明与他爷爷 的年龄之差是几岁

分析：5年来，小明家的年龄之和增加了126-107=19岁．这家 现有4口人，而19<4×5，这说明小明还不满5
岁，他今年只有19-3×5=4岁．于是今年妈妈 4+26=30岁，爷爷和爸爸的年龄之和为126-4-30=92岁．又爷爷
比爸爸大26岁，因此 今年爷爷(92+26)÷2=59岁，他比小明大59-4=55岁．


6年前，母亲的年龄是儿子的5倍.6年后母子年龄和是78岁.问：母亲今年多少岁

分析： 母子今年年龄和： 78-6× 2=66（岁），母子6年前年龄和： 66-6×2=54 （岁），母亲6年前的年龄：
54÷（5+1）×5=45（岁），母亲今年的年龄：45+6=51（ 岁）．


王老师与王平和李刚两位同学的平均年龄是20岁，李老师与王平和李刚 两位同学的平均年龄是18岁．王老师
今年32岁，李老师今年多少岁

分析：王老 师比李老师大20×3—18×3=6(岁)．故李老师今年的年龄为32—6=26(岁)．


林林1999年上四年级，他出生年份的各位数字之和是最大的一位数的3倍，问他1999年几岁

分析：他出生于1989年，1999年时他10岁.


新天 地广场运进一批新款式彩色电视机，第一天售出总数的一半多10台，第二天售出剩下的一半多20台，还
剩95台．这批新款彩电有多少台

分析：根据题意可画出线段示意图进行倒推还原．

由示意图可知：95台加上20台正好是剩下的一半，所以用(95+20)×2=剩下的台 数；剩下的台数加上10台，正
好是总数的一半，于是可求出这批彩电的台数．

[(95+20)×2+10]×2=480（台）.

村姑卖蛋，第一次卖出一篮的一半又二个；第二次卖出余下的一半又二个；第三次卖出再剩下的一半又二个，< br>这时篮里只剩下二十个蛋．这篮鸡蛋有多少个

从上面线段图可以看出：最后剩下20 个再加上第三次卖出的再余下的一半以外的2个，就是再余下的一半，
由此可求出再余下的是：(20+ 2)×2=44(个)．44个再加上第二次卖出余下的一半以外的2个就是余下的一半，因
此可求出余 下的是：(44+2)×2=92(个)．92个再加上第一次卖出一篮的一半以外的2个就是全篮的一半，因此 可
求出全篮鸡蛋的个数是(92+2)×2=188(个)．


A，B， C三位小朋友都有若干本图书，如果A将自己的书给B，C，使B，C的书各增加一倍然后B又将现有的
图书给A，C，使A，C现有的图书各增加一倍；最后C再将自己已有的图书给A，B，使A，B的图书各增加一
倍，这时三人的图书都是240本．A，B，C三位小朋友原来各有图书多少本

分析：如图：







三人存款不等，只知如果甲给乙40元，乙又给丙30元，丙再给甲20元，给乙70元，这时三人都有240元 ．三
人原来各有存款多少元

分析：甲原有：240-20+40=260（元）； 乙原有：240-70+30-40=160（元）；丙原有：240+20+70-30=300（元）.





甲、乙、丙、丁四人现在的年龄和是64岁，甲 21岁，乙17岁．甲18岁时，丙的年龄是丁的3倍．丁现在的
年龄是多少岁

分 析：（法1）当甲18岁时，乙的年龄为17—3=14(岁)．丁现在的年龄为(64—18—14)÷(1+ 3)=32÷4=8(岁)．
（法2）甲18岁是3年前，所以4人总年龄是64-3×4=52（岁 ），所以丙丁年龄和为52-18-14=20（岁），丁
就是20÷（1+3）=5（岁），现在的年 龄是5+3=8（岁）.



竹篮内有若干李子，将它的一半又一个给小 朋友甲，把剩下的一半又两个给小朋友乙，最后取剩余的一半又三
个给小朋友丙，这时竹篮里的李子恰好 发完．问竹篮内原来有多少个李子


A B C
第一次
390 210 120
第二次
60

420 240
第三次
120 120 480
240 240 240
附加内容 < /p>

分析：（倒推法）“剩余的一半又三个恰好发完”说明剩余的一半刚好是3个，即第二次发 完后还剩6个，“剩
下的一半又两个”，则第一次发完后还剩（6+2）×2=16（个），“将它的一 半又一个”，则原来有
（16+1）×2=34（个）.




小樱今年16岁，小桃今年11岁，几年后，小樱和小桃的年龄之和是45岁

分析：小樱和小桃今年年龄和为16+11=27(岁)．小樱和小桃经过45—27=18(年) 两人的年龄之和是45岁时． 这
时，小樱和小红每人经过的年数都为：18÷2=9(年)．


已知明明今年2岁，爸爸今年28岁，那么请问11年后爸爸的年龄是小明的年龄的多少倍

分析：(28+11)÷(2+11)=39÷13=3（倍）．


小龟 问老龟：“老爷爷，您今年多少岁”老龟说：“把我的年龄加上20，再缩小2倍之后减去15，再扩大3倍，< br>正好是105岁．你能算出我今年多少岁吗”

分析：（法1）根据题意，从最后一个 条件105岁开始倒推：最后的数扩大3倍是105岁，如果没扩大3倍，
应该是105÷3=35(岁 )；这个35岁是减去15得到的，如果没减去15，应该是35+15=50(岁)；这个50岁是缩小2倍后得到的，如果没有缩小2倍，应该是50×2=100(岁)；这个100岁是老龟的年龄加上20后得 到的，那么老龟
的年龄应该是80岁．
（法2）设老龟今年x岁．依题意有[(x+20)÷2—15]×3=105．解得x=80．


小红、小华和小刚各有一些故事书，小红给小华3本，小华给小刚5本后，三个人 的书的本数同样多.小华原来
比小刚多多少本

分析：（倒推法）5+(5-3)= 7(本).



老鹰和火鸡
有一群火鸡看着老鹰张著翅膀自由 自在地在天上翱翔，十分的羡慕．于是和老鹰的头头商量是否能够派一个教
练来教他们飞行的方法，老鹰 头头爽快的答应下来．
老鹰教练很有耐心地教导火鸡张开翅膀学飞行：翅膀张开，用力地拍！火 鸡们在老鹰教练的大力指导下拼
命地张着翅膀、用力地拍，它们好高兴自己会飞了，虽然飞得不是很高， 但是它们已经会飞了！
太阳西下，该是下课回家的时候了，老鹰教练对它们说：你们今天好棒！ 你们都飞得很好，你们可以飞了！
太阳下山了，我也要回家了！结果呢老鹰是飞着回家，火鸡仍然是走路 回家．

大显身手
成长故事

第四讲 行程问题初步

在春季班时我们已经学习了简单的行程问题——相遇问题的基本类型 （两人单次直线相遇），同学们，你
们还记得做行程问题的基本工具是什么吗没错，就是画“线段图”. 今天我们将学习更加复杂的相遇问题.先来
回顾一下相遇问题的基础知识吧！





团团和圆圆同时从甲、乙两个书店相对出发，团团每分钟走460米， 圆圆每分钟走480米．3分钟后两人相遇．甲、
乙两个书店相隔是多少千米

分析 ：（法1）根据公式：总路程=速度和×相遇时间，所以甲、乙两个书店的路程是（460+480）×3=28 20（米）．
（法2）如图，还可以先分别求两人各走了多少再相加，460×3+480
× 3=2820（千米）．


胖胖和瘦瘦两家相距255千米，两人同时骑车从家出 发相对而行，胖胖每小时行45千米，瘦瘦每小时行40千
米．两人相遇时，胖胖和瘦瘦各行了多少千米

分析：255÷（45+40）=3（小时）．胖胖：45×3=135（千米），瘦瘦：4 0×3=120（千米）．


孙悟空在花果山，猪八戒在高老庄，花果山和高老庄 中间有条流沙河，一天，他们约好在流沙河见面，孙悟空
的速度是200千米／小时．猪八戒的速度是1 50千米／小时，他们同时出发2小时后还相距500千米，则花果
山和高老庄之间的距离是多少千米

分析：建议教师画线段图．我们可以先求出2小时孙悟空和猪八戒走的路程：(200+15 0)×2=700(千米)，又因为
还差500米，所以花果山和高老庄之间的距离：700+500= 1200(千米)．


甲乙两辆汽车分别从A、B两地出发相向而行，甲车先行1 小时，甲车每小时行48千米，乙车每小时行5O千
米，5小时相遇．求A、B两地间的距离．

分析：这题不同的是两车不“同时”．（法1 ）求A、B两地间的路程就是求甲、乙两车所 行的路程和．这样
可以充分别求出甲车、乙车所行的路程，再把两部分合起来．48×（1＋5）＝28 8（千米），5O×5＝25O（千
米），288＋25O＝538（千米）．
（法2 ）还 可以先求出甲、乙两车5小时所行的路程和，再加上甲车1小时所行的路程．（48＋5O）×5＝49O
（千米），49O＋48＝538（千米）．




你还记得吗
暑假精讲

两辆汽车分别从A、B 两地出发相向而行，甲车先行三小时后乙车从B地出发，乙车出发5小时后两车还相距
15千米．甲车每 小时行48千米，乙车每小时行5O千米．求A、B两地间相距多少千米

分析：（48＋5 O）×5＝49O（千米），49O＋48×3＋15＝649（千米），A、B两地间相距649千米．


甲乙两列火车从相距144千米的两地相向而行，甲车每小时行28千米，乙车每 小时行22千米，乙车先出发2
小时后，甲车才出发．甲车行几小时后与乙车相遇

分析：甲、乙两车出发时间有先有后，乙车先出发2小时，这段时间甲车没有行驶，那么乙车这2小时所行的路程不是甲、乙两车同时相对而行的路程，所以要先求出甲、乙两车同时相对而行的路程，再除以速度和，才
是甲、乙两车同时相对而行的时间．乙车先行驶路程：22×2=44(千米)甲、乙两车同时相对而行 路程144-44=100(千
米)，甲、乙两车速度和：28+22=50(千米)，甲车行的时间： 100÷50=2(小时)．


甲乙两列火车从相距770千米的两地相 向而行，甲车每小时行45千米，乙车每小时行41千米，乙车先出发2
小时后，甲车才出发．甲车行几 小时后与乙车相遇

分析：甲乙两车出发时间有先有后，乙车先出发2小时，这段时间甲车没 有行驶，那么乙车这2小时所行的路
程不是甲、乙两车同时相对而行的路程，所以要先求出甲、乙两车同 时相对而行的路程，再除以速度和，才是
甲、乙两车同时相对而行的时间．乙车先行驶路程：41×2= 82(千米)甲、乙两车同时相对而行路程770-82=688(千
米)，甲、乙两车速度和：45+ 41=86(千米)，甲车行的时间：688÷86=8(小时)．


甲 乙两人同时从两地相向而行．甲每小时行5千米，乙每小时行4千米．两人相遇时乙比甲少行3千米．两地
相距多少千米

分析：两人行驶的时间为3÷（5-4）=3小时，所以两地相距(5+4)×3=27千米.


李明和王亮同时分别从两地骑车相向而行，李明每小时行18千米，王亮每小时行 16千米，两人相遇时距全程
中点3千米．问全程长多少千米

分析：根据题意，画个草图，能帮助我们找出数量关系．依题意作行程草图如下：

李明走了全程的一半多3千米，王亮走了全程的一半少3千米，李明比王亮实际多走了3×2=6(千米 )．由已知
李明每小时比王亮多走18—16=2(千米)，那么多少小时李明比王亮多行6千米呢需要 6÷2=3(小时)，这就是两
人的相遇时间，有了相遇时间，全程就容易求出了．全程(18+16) ×3=102(千米).


两地相距900米，甲、乙二人同时、同地向同一方向 行走，甲每分钟走80米，乙每分钟走100米，当乙到达

目标后，立即返回，与甲相遇 ，从出发到相遇共经过多少分钟

分析：甲、乙二人开始是同向行走，乙走得快，先到达目标 ．当乙返回时运动的方向变成了同时相对而行，把
相同方向行走时乙用的时间和返回时相对而行的时间相 加，就是共同经过的时间．乙到达目标时所用时间：900
÷100=9(分钟)甲9分钟走的路程：8 0×9=720(米)甲距目标还有：900—720=180(米)相遇时间：180÷(100+80)=1 (分
钟)，共用时间：9+1=10(分钟).
简便解：画图可知两人总共走了2个全程，所 以总全程为1800，所以时间为1800÷(80+100)=10分钟．


一 个圆形操场跑道的周长是500米，两个学生同时同地相背而行．甲每分钟走66米，乙每分钟走59米．经过< br>几分钟才能相遇

分析：500÷（66+59）=500÷125=4分钟.


阿呆和阿瓜同时从距离20千米的两地相向而行，阿呆每小时走6千米，阿瓜每小时走4千米. 阿瓜带 着一只小
狗，狗每小时走10千米．这只狗同阿瓜一道出发碰到阿呆的时候，它就掉头朝阿瓜这边走，碰 到阿瓜时又朝
阿呆那边走，直到两人相遇，问这只小狗一共走了多少千米

分析：要 求狗走的路程，由于狗在两人之间要跑多少个来回，每一次所用的时间是多少，这些量无法确知，所
以不 可能把每次狗与两人相遇走的路程分别求出再相加．仔细分析整个过程，抓住其中不变的关系：不论狗在
两人之间跑了多少个来回，狗走的路程所用的总时间等于两人相遇所用的时间．所以，只要求出两人相遇所用的时间，就可以求出狗所走的路程．这样，问题就转化为阿呆和阿瓜两人相遇时间的问题．相遇时间20÷( 6+4)=2
（小时)，狗共跑路程10×2=20(千米).


甲骑自 行车每小时行18千米，乙步行每小时行6千米，如果两人同时在同一地点同一方向出发，甲走了48千
米到达某地，立即按原路返回，在途中和乙相遇.问：从出发到相遇共经过多少时间

分析 ：由题意知，甲走了48千米到达某地说明全程为48千米，甲乙从出发到相遇共行了两个全程，则再依两
人的速度和，求出相遇时间.所以甲乙速度和为18+6=24（千米）.甲乙的相遇时间为48×2÷24= 4（小时）.


一辆汽车和一辆摩托车同时从甲乙两地相对开出，摩托车每小时行 54千米．汽车每小时行48千米.两车相遇后
又以原来的速度继续前进，摩托车到乙地立即返回.汽车 到甲地立即返回.两车在距离中点108千米的地方再次
相遇，那么甲乙两地的路程是多少千米

分析：第二次相遇距中点108千米，说明两车共有108×2=216（千米）的路程差， 由此可知两车共行216÷（54-48）
=36（小时）.又因为第二次相遇两车共走了3个全程，所 以走一个全程用36÷3=12（小时）.记可求出甲乙两地
的路程是（54+48）×12=1224 （千米）.






附加内容

有一个自行车队，以每小时35千米的速度前进，甲选手突然发力，以每小时 45千米的速度前进，车队速度不
变，当甲选手行进了10千米后掉头返回，问再过多久可以与自行车队 相遇

分析：甲走10千米的时间为
1045
22
（小时 ）， 车队走的时间也是（小时 ）， 车队走的路程是：
99
2707020
（千 米），此时车队与甲相距
10
（千米），甲掉头返回与车队相遇的时间为
35
9999
201
（小时 ）．
(3545)
936


甲乙两人同时从AB两地相向而行， 第一次相遇在距A地的75米，两人到达AB后又立即返回，第二次相遇距
离B地50千米．求AB两地 的距离．

分析：相同时间内（两个人都没有停过），两个人每走过与全程的距离相等的时候 ，所经过的距离都和第一次
相遇时所走过的距离是相等的．在第二次相遇时两个人一共走了相当于三个全 程的距离，这时甲应该是走过了
75×3=225（千米），而从图上可知甲走过全程后又走过50米， 所以全程距离应该是225-50＝175千米.






某工程兵修铁路开凿山洞的长是300米，两个班从两端开始凿山洞，甲班每天凿出5米，乙 班每天凿出6米，
同时开凿多少天后，还差80米没有凿通

分析：（300-80）÷（5+6）=20（天）.


两列货车从相距 450千米的两个城市相向开出，甲货车每小时行38千米，乙货车每小时行40千米，同时行驶
4小时 后，还相差多少千米没有相遇

分析：450-（38+40）×4=138（千米）.


甲乙两列客车同时由相距680千米的两地相对出发，甲客车每小时行42千米， 经过8小时后相遇．问乙列客
车每小时行多少千米

分析：680÷8-42=43（千米时）.



甲乙两列火车 从相距366千米的两个城市对面开来，甲列火车每小时行37千米，乙列火车每小时行36千米，
甲列 火车先开出2小时后，乙列火车才开出，问乙列火车行几小时后与甲列火车相遇

大显身手

分析：（366-37×2）÷（37+36）=4（小时）.







砌墙工人的命运
三个工人在砌一堵墙． 有人过来问：“你们在干什么” 第一个人没好气地说：“没看见吗砌墙．” 第二个
人抬头笑了笑，说：“我们在盖一幢高楼．” 第三个人边干边哼着歌曲，他的笑容很灿烂开心：“我们正在
建设一个新城市．” 10年后，第一个人 在另一个工地上砌墙；第二个人坐在办公室中画图纸，他成了工程师；
第三个人呢，是前两个人的老板．





成长故事

第五讲 奇数与偶数

春季班我们在学习能被2，3，5整除的数的特征时介 绍能被2整除的数的个位数是0，2，4，6，8，称为偶数；
不能被2整除的数的个位数是1，3，5 ，7，9，称为奇数.那么今天我们就具体来学习一下奇数与偶数的重要性
质.





不算出结果，直接判断下列各式的结果是奇数还是偶数：
(1)1＋2＋3＋…＋9＋10；
(2)1＋3＋5＋…＋21＋23；

分析：(1)奇数；(2)偶数.


不算出结果，判断数(524+42-429)是偶数还是奇数

分析：根据奇偶数 的运算性质：因为524，42是偶数，所以(524+42)是偶数.又因为429是奇数，所以(524+4 2-429)
是奇数.

提示：在全部是加、减法的运算中，若参加运算的奇数的个 数是偶数，则结果是偶数；若参加运算的奇数的个
数是奇数，则结果是奇数.
同奇偶性：任何数的和与差奇偶性相同
老师可以举例说明：7-4=3，7+4=11结果都是奇数．

1×3×5×7×9×11×12×13的积是偶数还是奇数

分析：1，3 ，5，7，9，11，13都是奇数，由1×3为奇数，推知1×3×5为奇数……推知1×3×5×7×9×1 1×13为奇数.
因为12为偶数，所以(1×3×5×7×9×11×13)×12为偶数，即1×3 ×5×7×9×11×12×13为偶数.


在1～199中，有多少个奇数有多少个偶数其中奇数之和与偶数之和谁大大多少

分析：由于1，2，3，4，…，197，198，199是奇、偶数交替排列的，从小到大两两配对：(1，2 )，(3，4)，…，
(197，198)，还剩一个199，共有198÷2=99(对)，还剩一个 奇数199.所以奇数的个数=198÷2+1=100(个)，偶数的
个数=198÷2=99(个) .因为每对中的偶数比奇数大1，99对共大99，而199-99=100，所以奇数之和比偶数之和大，大100.





你还记得吗
暑假精讲

从公元1年开始到2年，3年，一直到2000年，在这些年份当中，请问有多少奇数年有多少个偶数年

分析：我们把这些年份，按顺序排成一列数：1，2，3，4，5，6，……1999，20 00.不难发现：这些数，奇数、
偶数先后依次交替出现，最先是奇数，最后是偶数，可见奇数和偶数一 样多，而奇数和偶数一共有2000个，
所以本题答案显而易见了．因为奇数年份和偶数年份一样多，它 们一共有2000个，所以，奇数年份和偶数年
份各有2000÷2=1000(个)，即奇数年份10 00个，偶数年份也是1000个.


有一根团成一团的毛线，拿剪刀任意一刀， 假设剪出偶数个断口．问：这根毛线被分成的段数是偶数还是奇数

分析：奇数．分成的线段数比断口数多1．


用数字1，3，0可以组成多少个奇数和偶数

分析：因为偶数的个位是偶数，所以 只有0可作个位数组成偶数；因为奇数的个位是奇数，所以只有1和3可
作个位数组成奇数．偶数有：0 ，10，30，130，310共5个；奇数有：1，3，13，31，103，301共6个．注意
0 不可以作首位数．


任意交换某个三位数的数字顺序得到一个新的三位数，原三位数与新三位数之和能否等于999

分析：不能．两数和为999，各位数相加时必定没有向上进位，又因为新三位数与原三位数 只是三个数字的排
列顺序不同，所以把两个三位数的个位、十位、百位数字加在一起一定是偶数，而9+ 9+9=27是奇数，矛盾．


在一张9行9列的方格纸上，把每个方格所在的行数和 列数加起来，填在这个方格中，
例如a=5+3=8．问：填入的81个数字中是奇数多还是偶数多

分析：此题如果按步就班地把每个格子的数算出来，再去数一数奇数和偶数各有多少．然后得出奇数和偶数哪个多，哪个少的结论．显然花时间很多，不能在口试抢答中取胜．我
们应该从整 体上去比较奇偶数的多少．易知奇数行偶数多一个，偶数行奇数多1个．所以前8行中奇偶数一样，
余下 第9行奇数行，答案可脱口而出．偶数多．
[拓展] 如果把每个方格所在的行数和列数乘起来，填在 这个方格，例如：a=5×3=15．问填入的81个数中是奇
数多还是偶数多

分析：奇数行奇数多1个偶数行全是偶数，显然偶数多得多．

奇数和偶数的表示方法：
偶数表示方法：如果我们用n表示整数，n=0，1，2，3，…… 那么2×n就表示偶数，简写成2n．
奇数表示方法：因为2n为偶数，比2n多1或少1的数为奇数 ．所以我们用2n+1或2n-1表示奇数．

小明爷爷钓鱼回来 ，小明问：“爷爷您今天钓了多少鱼呀”爷爷说：“我今天甩出鱼杆和提起鱼杆共100次，可
是有17 次提起鱼杆时没钓着鱼，其余每提一次就钓了一条鱼，你说我今天钓了多少鱼呀

分析：小明 爷爷每甩出一次鱼杆都要收回来一次，所以甩出鱼杆次数和收回鱼杆次数相等．其总次数必为偶数，
故可 被2整除．于是收回鱼杆次数为100÷2=50(次)，收回鱼杆50次有17次没钓着鱼，所以共钓鱼50- 17=33（条）.





















1+3+5+7+9+…+1997的和是奇数还是偶数

分析：由2n-1=1997得n=999为奇数，由结论2可知：它们的和为奇数．从上面的证明中， 我们不难知道：偶
数个奇数的和为偶数．显然：1+3+5+7+9+…+1997+1999为偶数．


（古趣题）三十六口缸，分作九船装，只准装单，不准装双．问：怎样运走这些缸

分析：根据奇数的运算性质知，9个奇数的和仍是奇数，36是偶数，所以不能.



桌子上有5个开口向上的杯子，现在允许每次同时翻动其中的4个，问能否经过若干次翻动， 使得5个杯子的
开口全都向下

分析：不能，杯子要翻过来得翻奇数次，5个杯子都 要翻过来，要把所有杯子都翻过来则总共需要翻动奇数次
杯子，而每次同时翻动4个，那总次数是偶数， 奇数不可能等于偶数，因此不能把5个杯子的开口全都向下．


奇数和偶数的运算性质
奇数+奇数=偶数；奇数+偶数=奇数；偶数+偶数=偶数；
奇数-奇数=偶数；奇数-偶数=奇数；偶数-奇数=奇数；偶数-偶数=偶数；
奇数×奇数=奇数；奇数×偶数=偶数；偶数×偶数=偶数

奇偶数加减法的几个常见结论．
结论1：任意个偶数的和是偶数．
我们根据偶数加 法的性质，可以把任意个偶数两两结合在一起相加之后再相加，如果还多1个
就接着加．即：(偶数+偶 数)+(偶数+偶数)+…+(偶数+偶数)=偶数+偶数+…+偶数=(偶数+偶数)+…+
偶数=偶 数+偶数=偶数.

结论2：奇数个奇数的和为奇数．
假设有2n+1个奇 数，那么我们把前面2n个奇数两两结合在一起相加，由奇数加法性质可知，
它们都是偶数，再把这些偶 数加起来还是偶数，最后与剩下的一个奇数相加，所以结果为奇数．

结论3：两个数的和加上这两个数的差，得到的一定是偶数

一次聚会时，大家互相握手，则握过奇数次手的人数必定是偶数.请你想一想为什么

分析：两人握手一次，每人算一次就是2次，所以握手的总次数必定是偶数.和的奇偶性由加 数中奇数的个数决
定，握手次数之和为偶数说明加数中有偶数个奇数，即握过奇数次手的人数是偶数.


有一本500页的书，从中任意撕下20张纸，这20张纸上的所有面码之和能否是1999

分析：不可能．每张纸上的两个页码之和是奇数，20个奇数之和是偶数．





如果有9个人坐在3行3列的座位上，要想把这9个人同时调到各自的 临座上（每个座位的前后左右位置上）．是
否可能




答案：不可能，因为奇数和偶数不相等


数列1，1，2，3，5，8， 13，21，34，55……的排列规律:前两个数是1，从第三个数开始，每一个数都是它前
两个数的 和，这个数列叫做斐波契数列，在斐波契数列前2004个数中共有几个偶数

分析：根据奇 数，偶数交替变化的规律，可以发现有奇奇偶奇奇偶奇奇偶奇奇偶．．．．这样的变化规律，所
以200 4个数有2004÷3=668个偶数.


有12张卡片，其中有三张上面写着1 ，三张写着3，三张写着5，三张写着7．问：能否从中选出五张，使它
们上面的数字之和为20为什么

分析：不能．5个奇数的和是奇数，不可能等于20．




沿江有1，2，3，4，5，6号六个码头，相邻两码头间的距离都相等．早晨有甲、乙两船 从1号码头出发，各
自在这些码头间多次往返运送货物．傍晚，甲船停泊在6号码头，乙船停泊在1号码 头．请说明甲、乙两船的
航程不相等．

分析：以相邻两码头间的距离为单位，则乙 船从1号码头出发又回到1号码头，其航程必为偶数个单位；甲船
从1号码头出发，最终泊在6号码头， 其航程必为奇数个单位．








附加内容

用数字9，8，0可以组成多少个奇数和偶数

分析：3个奇数9，89，809；8个偶数 0，8，80，90，98，980，890，908.


请你帮嘟嘟检查一下他算的结果对不对：25×37+38+1995-32×21=2285.

分析：错．用奇偶的运算性质判断.


两个自然数的乘积是奇数，那么这两个数的和是奇数还是偶数请说明理由.

分析：偶数. 乘积是奇数则说明两个数都数奇数.


桌子上有3个开口 向上的杯子，现在允许每次同时翻动其中的两个，问能否经过若干次翻动，使得三个杯子的
开口全都向下

分析：不能，杯子要翻过来的翻奇数次，三个杯子都要翻过来，则是3个奇数相加，和为奇数 ，因此，要把所
有被子都翻过来则总共需要翻动奇数次杯子，而每次同时翻动两次，那总次数永远不可能 是奇数，因此不能把
三个杯子的开口全都向下．




有一天，著名科学家爱因斯坦先生被邀请作演讲嘉宾．他的司机对他开玩笑说：“我经常听到你在车中预备演讲，听得多了，我也可以一字不漏地背念出来．”爱因斯坦听罢就说：“那就好极了，我昨日整天都在做研究
工作，疲倦得很，况且邀请我演讲的机构与我素未谋面，你大可替我演讲，我做你的司机好了．”演讲当 晚，
司机果然一字不漏地念出爱因斯坦惯说的演讲内容，令在场的人佩服不已，连坐在观众席最后排的爱 因斯坦，
也频频点头称是．可是，演讲完结后，突然有一位年青科学家，追问了一个颇为深入的问题，那 当然是司机的
演讲以外的资料，全场都等待着这位冒牌科学家的答复．出乎意料之外，他竟然气定神闲地 开始回答说：“年
青人，请恕我直言，你刚才的问题实在太简单，甚至可以说是个蠢问题，假如你不信的 话，我可以证明给你看．这
问题简单得连我的司机也懂得如何回答．”跟着，司机便邀请爱因斯坦上台作 答，并且在掌声雷鸣之下离开会
场．
大显身手
成长故事

第六讲 计数问题
今天我们要学习的计数问题，包括图形计数和数字计数等.计数问 题，尤其是图形计数看起来不难，但大多数同
学一做就错，通过今天的学习，相信你一定能有所收获！





数一数：右图中线段的总条数．

分析：（法1）我们规定：把相邻两点间的线段叫做基本线段，我们可以这样分类数，
由1个基本线段构成的线段有：AB、BC、CD、DE、EF 5条 ．
由2个基本线段构成的线段有：AC、BD、CE、DF 4条．
由3个基本线段构成的线段有：AD、BE、CF 3条．
由4个基本线段构成的线段有：AE、BF 2条．
由5个基本线段构成的线段有：AF 1条．
总数5+4+3+2+1＝15条．
（法2）按线段的起点分类（注意保持方向的一致），如右图
以A点为共同左端点的线段有： AB AC AD AE AF 5条．
以B点为共同左端点的线段有： BC BD BE BF 4条．
以C点为共同左端点的线段有： CD CE CF 3条．
以D点为共同左端点的线段有： DE DF 2条．
以E点为共同左端点的线段有： EF 1条．
总数5+4+3+2+1＝15条．


数一数，右图中共有多少个角你能用两种方法解答这个问题么

分析：（法1）我们规定：把相邻两条射线构成的角叫做基本角，我们可以这样分
类数：
由1个基本角构成的角有：∠AOB、∠BOC、∠COD、∠DOE、∠EOF共5个．

由2个基本角构成的角有：∠AOC、∠BOD、∠COE、∠DOF共4个．

由3个基本角构成的角有：∠AOD、∠BOE、∠COF共3个．

由4个基本角构成的角有：∠AOE、∠BOF共2个．

由5个基本角构成的角有：∠AOF共1个．

角总数5+4+3+2+1=15(个)．
（法2）以角的起始边分类（注意保持方向的一致）：
以OA边为公共边的角有：∠AOB、∠AOC、∠AOD、∠AOE、∠AOF共5个．
以OB边为公共边的角有：∠BOC、∠BOD、∠BOE、∠BOF共4个．
以OC边为公共边的角有：∠COD、∠COE、∠COF共3个．
以OD边为公共边的角有：∠DOE、∠DOF共2个．
以OE边为公共边的角有：∠EOF只1个．
角总数5+4+3+2+1=15(个)．

暑假精讲

数一数，右图中共有多少个三角形你有什么好方法

分析：（法1）
1个三角形组成的：△AOB、△BOC、△COD、△DOE、△EOF共5个；
2个三角形组成的：△AOC、△BOD、△COE、△DOF共4个；
3个三角形组成的：△AOD、△BOE、△COF共3个；
4个三角形组成的：△AOE、△BOF共2个；
5个三角形组成的：△AOF共1个；
共有5+4+3+2+1=15（个）.
（法2）我们先数下面的这条线有多少个线段，也就是有多少个三角形．
以A点为共同左端点 的线段有5条，即有△AOB、△BOC、△COD、△DOE、△EOF共5个三角形；
以B点为共同左端点的线段有4条，即有△AOC、△BOD、△COE、△DOF共4个三角形；
以C点为共同左端点的线段有3条，即有△AOD、△BOE、△COF共3个三角形；
以D点为共同左端点的线段有2条，即有△AOE、△BOF共2个三角形；
以E点为共同左端点的线段有1条，即有△AOF共1个三角形；
共有5+4+3+2+1＝15（个）．


数一数：下面三个图中长方形分别有多少个







分析：（法1）以1个长方形组成的；以2个长方形组成的……教师可 参看数线段、角、三角形的方法1．
（法2）先数一数AB边上有多少条线段，每一条线段可以分别作 为长方形的长，再数一数AD上有多少条线段，
每一条线段可以分别作为长方形的宽，每一条长与一条宽 搭配，就确定了一个长方形，这样就容易得出一共有
多少个长方形了．
先来看图(1 )，AB边上包含着的10条线段中的每一条(想一想为什么)，都可与线段AD对应，惟一确定一
个长 方形，所以图(1)中共有10×1=lO个长方形．
再来看图(2)，与图(1)不同的是 在AD上增加了一个分点，这样就有3条线段时，这3条线段分别与AB边
上不同的线段构成长方形，所 以图(2)中共有10×3=30个长方形．
最后看图(3)，与上面的思路相同，由于AD边上有3 +2+1=6条线段，所以图(3)中共有10×6=60个长方形．即：
(1)(4+3+2+1)× 1=10(个)；(2)(4+3+2+1)×(2+1)=30(个)；(3)(4+3+2+1)×(3+2 +1)=60(个)．


数一数：右图中有几个正方形

分析 ：（法1）边长为1的正方形有12个，边长为2的正方形有6个，边长为3的
正方形有2个，共20个 ．即4×3+3×2+2×1=20
（法2）请教师参看数长方形的法2．

数一数，右图中共有多少条线段

分析：“个人”：BF、CG ；
“集体1”：EH 系列，共3+2+1=6 （条）；
“集体2”：AD 系列，共3+2+1=6 （条）；
所以共14条．


数一数，右图中三角形共有几个

分析：27个．


从1-10里取2个不同的数，使得这2个数的和大于10，请问有多少种不同的取法

分析：（法1）按较小的数来分类，
若较小的数是1，则较大的数必须是10有1种取法
若较小的数是2，则较大的数是9或10有2种取法
若较小的数是3，则较大的数是8，9，10有3种取法
若较小的数是4，则较大的数是7，8，9，10有4种取法
若较小的数是5，则较大的数是6，7，8，9，10有5种取法
若较小的数是6，则较大的数是7，8，9，10有4种取法
若较小的数是7，则较大的数是8，9，10有3种取法
若较小的数是8，则较大的数是9，10有2种取法
若较小的数是9，则较大的数是10 有1种取法
综上所述，共有1+2+3+4+5+4+3+2+1=25种不同取法．
分析：（法2）若从大的开始考虑：先取10，那么另一个数就有1—9总共9个数字可以取，再取 9 ，那么另
一个数就有2～8总共7个数字可以取这样就是一个等差数列，所以总共就是9+7+5+3+ 1=25种．


一个两位数的两个数字之和是7的倍数，这样的两位数有几个

分析：数字之和是7的倍数有2种可能，要么是7要么是14，因此我们要分2类来枚举
第一类：数字和是7，那么这样的两位数有70 61 52 43 34 25 16 共7个；
第二类：数字和是14，那么这样的两位数有95 86 77 68 59共5个，
综上所述，这样的两位数有12个.


商店里有100克的茶叶3包 300克的茶叶2包，400克的茶叶一包 500克的茶叶2包，小明要到商店给爷爷
买1千克茶叶， 在不打开包装的情况下，请问售货员阿姨有多少种不同的方法把茶叶交给小明

分析：要凑1000克茶叶不难，关键是要做到不重复不遗漏，因此我们按一定的次数来凑.
1）500+500，
2）500+400+100， 500+300+100+100，
3）400+300+300， 400+300+100+100+100，得到共有5种方法.

附加内容

如图，有多少个三角形

分析：分类法，15个.


如图，有多少个正方形

分析：27个.







1．数一数，图4－１中共有多少条线段

分析：10条．


2．数一数，图中有多少个三角形

分析：（1）5 （2）6 （3）6 （4）5


3．分别数出图中各图形里长方形的个数．
大显身手

分析：（1）6 （2）10


4.图中有多少个正方形

分析：（1）5 （2）17





成长故事

有一群朋友去郊游，走到一半的时 候，却发现迷路了，折腾了大半天的时间，大伙又饿又累，终于看到了一个
小山丘，走在前面的人很高兴 地登上了山顶，向山下眺望时，隐约地看到远处有一个招牌，上面写着一个大大
的“骨”字，于是他大声 吆喝着：“伙伴们，前面有我们的希望，大家赶快冲啊！我看到远处有一家排骨饭的
店，我们有排骨饭可 以吃了！”大伙一听有排骨饭可吃，卯足了劲往前冲．
到了距离招牌约五十米之处时，全部的人都瘫 在地上，露出失望的表情，原来招牌上写着是『接骨馆』三个字．

第七讲 体育比赛中的数学

我们看看下面的问题：二年级四个班进行小足球比赛，每两个班之间 都要赛一场，那么每个班要赛几场一
共要进行多少场比赛 （如果参赛队每两队之间都要赛一场，这种比 赛称为循环赛）这个问题就是我们这节课
将要学习的有趣的体育比赛中的数学问题．




我们可以将上面的问题如下表述：下面的四个点，每两个点之间都连一 条线段，那么，
从一个点可以连出几条线段一共可以连多少条线段

分析：（法1 ）题意要求每两个点之间都连一条线段．先考虑点A(如图)，它与B、C、
D三点能且只能连接三条线 段AB、AC、AD；同样，从点B也可以连出三条线段BA、
BC、BD；从点C可以连出三条线段C A、CB、CD；从点D可以连出三条线段DA、DB,DC．因
此，从一个点可以连三条线段．从每个 点都连出三条线段，共有四个点．3×4=12(条)
注意到线段AB既是由A点连出的，也是由B点 连出的，并且每一条线段都是这样(如
图)，所以，线段的总数应为12÷2=6(条).
（ 法2）从点A引出三条线．AB、AC、AD，为避免重复计数，从B点引出的线段只
计BC、BD两条 ，由C点引出的只计 CD一条．因此，线段的总数为3+2+1=6(条)．


甲、乙、丙三人进行乒乓球循环赛，结果3人获胜的场数各不相同．问第一名胜了几场
分析：三人进行循环赛，即每两人都要赛一场，共进行2×3÷2=3场比赛．每场比赛都有一人获胜，每人 都赛2
场．由题意知三人获胜的场数各不相同，所以三人获胜的场数分别为2、1、0．显然，第一名是 胜了2场．


甲、乙、丙、丁四人进行乒乓球循环赛，结果有三人获胜的场数相同．问另一个人胜了几场

分析：甲、乙、丙、丁四人进行循环赛，则每人都赛3场，共赛3×4÷2=6(场)．如果其中有三人 都胜3场，则至
少进行9场比赛，这是不可能的；如果其中有三人都胜2场，那么6场比赛中的获胜者都 在这三个人中，每人
胜了2场，另一个人胜0场；如果其中有三人都胜1场，那么6场比赛中的3场这三 人各胜1场，另外3场的
胜者必是第四个人，故另一个人胜3场；三个人都胜0场是不可能的．因此，如 果有3人获胜的场数相同，那
么另一个人可能胜0场，也可能胜3场．







学校组织了一次投篮比赛，规定投进一球得3分，投不进倒 扣1分，小明投了5个球，投进了3个．那么，他
应该得多少分
暑假精讲

分析：（法1）小明投的5个球中， 投进的3个球得到3×3=9(分)， 而没有投进的2个球被扣掉1×2=2(分)，于
是他应得9-2=7(分)．
（法2）如果 小明投的5个球都进了，那么他应得3×5=15(分)，但是实际上他只投进了3个球，未投进的2个
球中每个球都由得3分变为扣1分，多计3+1=4分，共多计了4×2=8(分)，故小明应得15-8=7( 分).


学校组织了一次投篮比赛，规定投进一球得3分，投不进倒扣1分，如果 大明得30分，且知他有6个球没有
投进，那么大明共投了几个球

分析：大明有6 个球没有投进，要被扣掉6分，如果不考虑这6个球，大明应该得30+6=36(分)，36÷3=12(个) ，
所以，大明投进了12个球，加上未投进的6个球，大明共投了18个球．

< br>四个足球队进行单循环比赛，规定胜一场得3分，平一场得一分，负一场得0分，有一个队没输过，但却排 名
倒数第一，你觉得有可能吗如果可能，请举出这种情况何时出现，如果不可能，请你说明理由．

分析：有可能 A,B,C,D四个队 A胜B ,B胜C,C胜A,D和A,B,C都打平 .这样的话A,B,C都是4分，D是3分，D
虽然不败但却难逃垫底厄运．

< br>四个人进行象棋循环赛，规定胜者得2分，负者得0分，和棋双方各得1分，比赛结束后统计发现，四个人 的
得分和加起来一定是多少

分析：根据例1的结果，四个人循环比赛总共比赛六场 ，每场无论分出胜负还是打平，两人的得分和一定是2
分，因此最终四个人的得分加起来一定是2×6= 12分．


8只球队进行淘汰赛，为了决出冠军，需要进行多少场比赛

分析：（法1）8进4进行了4场，4进2进行2场，最后决赛是1场，因此共进行了4+2+1=7场 比赛
（法2）每进行一场比赛就淘汰一支球队，最后只剩下冠军了，也就是说淘汰了7只球队，因此进 行了7场比
赛．


甲、乙、丙、丁四人进行象棋比赛，每两个都比赛一场 ，规定胜者得2分，平局各得1分，输者得0分.结果甲
第一，乙、丙并列第二，丁最后一名，那么乙得 几分

分析：根据比赛结果只能2种情况：第一种，甲全胜得6分，丁全负得0分，乙、丙 各得3分；第二种，甲只
负丁，甲得4分，丁得2分，乙、丙各得3分.所以，乙得3分.






附加内容

假设203 2年奥运会主办权由51个国家投票，北京，纽约，东京3个城市作为侯选城市，统计其中40张选票
数 的结果是：北京得18票，纽约得12票，东京得10票．北京至少再得几张票，才能保证以得票数最多获得奥运会主办权

分析：还剩下51-18-12-10=11张，北京再得3张票的话， 自己有18+3=21张，而纽约最多只有12+8=20票，日
本不足为虑．北京可以保证获得主办权 ．而北京只得2张票的话，万一剩下9张全被纽约得到，那么纽约将以
21比20击败北京．因此北京至 少再得3张票，才能保证以得票数最多获得奥运会主办权．

参加世界杯足球赛的国家共有3 2个（称32强），每4个国家编入一个小组，在第一轮循环赛中，每个国家都
必须而且只能分别和本小 组的其他各国进行一场比赛，赛出16强后，进入淘汰赛，每两个国家用一场比赛定
胜负，产生8强、4 强、2强，最后决出冠军、亚军、第三名，第四名．至此，本届世界杯的所有比赛结束．
根据以上信息，算一算，世界杯的足球赛全程共有几场

分析：循环赛中，有324=8个组．每组4个队． 每组4个队中，每个队要与其他3队都比赛1场， 每个队就
比3场．因为每场比赛要2个队．所以1组里有4×32=6场．有8个组，循环赛就有8×6 =48场．进入淘汰
赛，有16个队，淘汰赛每比1场就淘汰1个队，最后决出冠军1个队，就比了16 -1=15场，还要决出第三名，
第四名，又多了1场．淘汰赛就有15+1=16场．世界杯的足球赛 全程共有48+16=64场．





二年级六个班进行拔河循环赛，每个班要进行几场比赛一共要进行几场比赛

分析：5场，15场．


某班举行乒乓球循环赛，小明是裁判小组的组长 ．妈妈问他有多少名选手参赛，小明想了想对妈妈说：“总共要
进行28场比赛，您说有几名选手参加呢 ”你能回答这个问题吗

分析：28=7+6+5+4+3+2+1,所以8名选手．


有8个选手进行乒乓球循环赛，结果每人获胜局数各不相同，那么冠军胜了几局

分析：7场．


甲、乙、丙、丁四人进行乒乓球循环赛，结果 甲、乙、丙三人胜的场数相同，而且知道甲胜了丁，问丁胜了几
场

分析： 0场．




大显身手
成长故事

青蛙的故事
如果把一只青蛙放在滚烫的热水中，青蛙会很快的从水中跳出．但是如果把一只青 蛙放在湿水里，再慢慢地将
水加热，等到青蛙发现水太烫的时候，它已经跳不出来了．

第八讲 期中测试

同学们，半学期过去了，让我们在回顾的基础上，跟随小新进入美妙的数学天地吧！！

第一节、小试身手吧（20分）
1、1+3+5+7+9+…+197的和是奇数还是偶数
解：奇数

2、78×99
解：7722

3、7800÷25÷4
解： 78

4、2007×16×125×25×5×4
解：00


第二节、加油哦！（80分）
1、提高班的小新问爷爷多大年龄，爷爷说：“这样吧，你暑假 都学了一半了，我出道题吧！如果你学的好，
就能答出来，我今年的年龄是把我的年龄加17，然后用4 除，减15，再用10乘，恰巧是100岁．”请问你知
道小明的爷爷几岁
解：83


2、回答完爷爷的问题后，爷爷又给小新出了一道加法题，由于粗心，小新将个位 上的4看作8，把十位上的7
看作2，结果所得的和是123．请问正确的答案是多少
解 ：（倒推法）把个位上的4看作8，相当于把正确的和多算了4，求正确的和，应把4减去；把十位上的7
看作2，相当于把正确的和少算了50，求正确的和，应把50加上去．所以正确的和是123+50- 4=169．即：
123+(80-30)- (9-5)=169.


3、第二天小新去参加班级的象棋比赛，老师告诉同学们：所有参赛队员每两人都要赛一场，共比赛了36场，< br>问有多少个队员参赛
解： 1+2+3+…+=36中的是几．经过试验可知：=8．所以应有9个参赛队．

< br>4、回到学校后，学而思老师给每个同学发本子，若每人分5本则多9本；若每人分6本则少6本．问：有 多
少个小朋友总共有几本
解：（9+6）÷（6-5）=15人，总共有15×5+9=84本．

5、期中考试之前，小新前几次数学测验的平均分是84分，这一 次要是考了100分，就能把平均分提高到86
分，则这一次是第几次测验
解：第8次


6、考试后，小新问了其他人的分数，已知A、B、C、D四个数的平均数是38 ，A与B的平均数是42，B、C、
D的平均数是36，则B是多少
解：40分


7、等老师分析完试卷后，小新发现自己还是有道题目不对，请你帮他数一数下图中有多少个正方形

解：还是分类，这次我们按正方形的边长来分类
边长为1的正方形有9个
边长为2的正方形有4个
边长为3的正方形有1个
因此该图里共有9+4+1=14个正方形


8、等小新吧所有的都弄懂 了，小新就乘车回家，这是司机叔叔给小新除了道难题：一辆公共汽车和一辆小轿
车同时从相距450千 米的两地相向而行，公共汽车每小时行40千米，小轿车每小时行50千米，问几小时后两
车第一次相距 180千米
解：（450-180）（40+50）=3小时.


思考题：（两题中任选一题，总分20分）
1、甲乙丙共有100本课外书．甲的本数除以乙 的本数，丙的本数除以甲的本数，商都是5，而且余数都是1．那
么乙有书多少本
解：甲的 本数除以乙的本数，商5余1，说明甲是乙的5倍多1，丙的本数除以甲的本数，商5余1，说明丙是
甲 的5倍多1，是乙的25倍多6（5+1），因此，这是一个和倍问题．乙的本数=（100-1-6）（1+5 +25）=3本．









2、从1-10里取2个不同的数，使得这2个数的和大于10，请问有多少种不同的取法

解：按较小的数来分类，
若较小的数是1，则较大的数必须是10，有1种取法
若较小的数是2，则较大的数是9或10，有2种取法
若较小的数是3，则较大的数是8，9，10，有3种取法
若较小的数是4，则较大的数是7，8，9，10，有4种取法
若较小的数是5，则较大的数是6，7，8，9，10，有5种取法
若较小的数是6，则较大的数是7，8，9，10有4种取法
若较小的数是7，则较大的数是8，9，10有3种取法
若较小的数是8，则较大的数是9，10有2种取法
若较小的数是9，则较大的数是10 有1种取法
综上所述，共有1+2+3+4+5+4+3+2+1=25种不同取法．

第九讲 余数与周期

在整数除法运算中， 除了春季班学过的整除情形外，更多的是不能整除的情况，例如65÷3，38÷5…，不能整
除就产生 了余数，通常表示为65÷3=21…2，38÷5=7…3，其中2和3 就是余数，即被除数÷除数=商…… 余数；
上面两个算式还可以写成65=3×21+2，38=5×7+3，即被除数=除数×商+余数， 通常把这一算式称作带余除式. 今
天我们就来学习余数问题以及与它紧密相连的周期问题吧！





填空：(1) ( )÷3=2……1 ( )÷2=4……1
(2) 25÷( )=6……1 30÷( )=4……2

分析：(1)2×3+1=7，2×4+1=9 （2）25-1=24 24÷6=4；30-2=28 28÷4=7.


找出下面图形的排列规律，根据规律算出第16个图形是什么
你还记得吗


分析：（1）这一排图形是一个△，两个○，这样三个图形为一个组，不断重复出现的.先算 16个图形里面有几
组这样的图形，16÷3=5（组）……1（个），余数是1，这一个图形是第6组 的第一个，应该是△.
（2）这一排图形是一个○，一个△，两个□，这样四个图形为一个组，不断重 复出现的.先算16个图形里面有
几组这样的图形，16÷4=4（组），没有余数，那么第16个图形 是第4组的第四个，应该是□.


有一堆围棋子，按“二黑三白”的顺序排列起来，想一想，第52个是白子还是黑子第63个呢
●●○○○●●○○○●●○○○……

分析：52÷5=10（组）……2（个 ），第52个棋子是黑色的；63÷5=12（组）……3（个），第63个棋子是白色
的.


按“从小爱数学从小爱数学从小爱数学……”依次排列，第56个字是什么
分析：这一列数字是按“从小爱数学”每五个字一组重复出现的，56÷5=11……1，那么第56个字应 该是第12
组的第一个字是“从”.

分析：这些卡片按从小到大，每5个数为一个周 期.27÷5=5……2，余数是2，也就是说，第27张卡片发给小冬.

运动场上有一排彩旗，共34面，按三面红旗，一面黄旗依次排列着，这些彩旗中，红旗有几面 黄旗有几面

分析：34÷（3+1）=8……2，红旗有：3×8+2=26（面），黄旗有1×8=8（面）.


2007年5月1日是星期三，再过20天是星期几

分析：20÷7=2……6，从星期四开始算，第20天应该是第三周的第6天，应该是星期二.


我国十二生肖的顺序是这样排列的：鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、 狗、猪．如果公元1年是鸡
年，那么公元2002年是什么年

分析：我们把这十二 种动物看作是一个周期，公元1年是鸡年，到公元2002年就是再经过2002-1=2001(年)，
我们算一算2001年里含有多少个周期余几年，然后再按着顺序往下推，就知道2002年是什么年了． < br>(2002-1)÷12=166……9，我们对照十二生肖的顺序从鸡年开始，按顺序往下推9年，便推 出2002年是马年了．


有一列数5，7，6，8，5，7，6，8，5，7， 6，8……问：(1)第90个数是多少(2)这90个数的和是多少

分析：从题中看出， 这一列数是按5，7，6，8的顺序循环排列着，我们可以把每4个数看成一组，那么90个
数可以分成 90÷4=22(组)……2(个)，90个数可分成22组还余2个数，第二个数是7．要求90个数的和，先 算
出每组数的和：5+7+6+8=26，一共有22组，然后再加上余下的两个数就可以了；这90个 数的和是(5+7+6+8)
×22+5+7=584或者(5+7+6+8)×23-(6+8)=5 84，即第90个数是7；这90个数的和是584．
在算式( )÷15=12……( )中被除数最大是几最小是几

分析：这是一道有余数的除法算式，余数最大时，被除数最 大；余数最小时，被除数最小．因为除数是15，所
以余数最大就是14，余数最小{就是1，由于被除 数等于商乘以除数再加上余数，那么，这个问题就好解决了．(1)
被除数最大是15×12+14=1 94，(2)被除数最小是15×12+1=181

余数的几个重要性质：
性质1：在带余除式中，余数总是比除数小.
性质2：A、B 两数如果被同一除数来除，得到两个余数，那么A、B 两数之和被这个除数除，
它的余数就是两个余数之和被这个除数除所得的余数.
性质3：A、B 两数如果被同一除数来除，得到两个余数，那么A、B 两数的积被这个除数除，
它的余数就是两个余数的积被这个除数除所得的余数.

暑假精讲
杨老师把1～40号拼音卡片，依次发给小伟、小冬、小军、小辉、小燕，问第27张卡片应发给谁

哪些数除以6，能使商与余数相等．

分析：我们将原题 写成○÷6=口……口，在除法中，余数一定要比除数小．除数是6，余数只能是5，4，3，2，l．商
与余数相等，所以，商也只能是5，4，3，2，l，根据“被除数=商×除数+余数”，就可以求出被除数． (1)商和
余数都是l时是l×6+1=7，(2)商和余数都是2时是2×6+2=14，(3)商和 余数都是3时是3×6+3=21，(4)商和余数都
是4时是4×6+4=28，(5)商和余数都是 5时是5×6+5=35，所以这些数分别为7、14、2l、28、35．同时我们不
难发现，这些数 都是7的倍数．


一个数除以7余3，另一个数除以7余4，这两个数的和除以7余几

分析：我们举个例子加以说明．10÷7=1……3 11÷7=1…4，那么(10+11) ÷7=3，从以上的例子可以看出，两个
数的和除以7的余数等于这两个加数分别除以7的余数的和除以 7的余数，因为3+4能被7整除，所以这两个
数的和也能被7整除．解：(3+4)÷7=1，所以， 这两个数的和除以7余0．


求478×296×351除以17的余数．

分析：性质3 的应用.先求出乘积再求余数，计算量较大．根据性质（5），可先分别计算 出各因数除以17的
余数，再求余数之积除以17的余数．478，296，351除以17的余数分别 为2，7和11，（2×7×11）÷17=9……
1


甲、乙、丙、丁 四人玩扑克牌，甲把“大王”插在54张扑克牌中间，从上面数下去是第37张牌，丙想了想，就
很有把 握地第一个抓起扑克牌来，最后终于抓到了“大王”，你知道丙是怎么算出来的吗

分析： “大王”是第37张牌，甲、乙、丙、丁四人轮流摸牌，37÷4=9……1，那么“大王”会在第10轮时被第
一个人摸到，明白了一个道理，丙就第一个摸牌，就能拿到大王.













除以6，余数是几

分析：我们可以先写几个l，除以6，找找规律，看余数是否有规律地重复出现．
附加内容

l÷6=0……l
1l÷6=1……5
11l÷6=18……3
11ll÷6=185……1
Ll1ll÷6=185l……5
Illlll÷6=18518……3
我们发现 ，余数是按1，5，3的顺序重复出现的．也就是每3个数为一个周期，我们算一算1000个数里包含
多少个周期余几个数，再按顺序往下推就知道结果了．1000÷3=333……1.第1个数是l，那么余数就 是1
了．


我国古代著名的数学书《孙子算经》中，有这样一道名题：“今 有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，
七七数之剩二，问物几何”俗称“韩信点兵”，译为今天 的语言就是：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余
2，适合这个条件的最小的数是多少

分析：这道题我们采用”枚举法”来解决．“枚举法”就是把每个适合这个条件的数分类罗列出来，从中 发现答案．(1)
除以3余2的数有215，8，11，14，17、20、23、26……(2)除以 5余3的数有3、8、13、18、23、28、33……(3)
除以7余2的数有2、9、16、23 、30、37……从上面三列数可知，第一个在这三列数中都出现的数是23，那么
适合这个条件的最小 的数就是23．





口÷口=口……8，除数最小是几

分析：性质1的应用.除数最小是9.


同学参加学校拔河比赛，他们比赛的队伍按“三男二女”依次排成一队，第26个 同学是男同学还是女同学第
39个同学是男同学还是女同学

分析：这一队是按“三 男二女”5人一组不断重复的排列的，26÷5=5（组）……1（个），第26个同学是第6
组的第一 个，是一个男同学.39÷5=7（组）……4（个），第39个同学是第8组的第四个，是一个女同学.



园林工人在公园里的花坛里种菊花，他们按一棵白、两棵黄、两棵红的 顺序来种，一共种了有63棵菊花，那
么白菊花、黄菊花、红菊花各几棵

分析：这 些菊花是按“一棵白、两棵黄、两棵红“五棵一组为一个周期来排列的.63÷5=12（组）……3（棵），< br>这余下的3棵是1棵白菊花和2棵黄菊花.所以白菊花是12+1=13（棵），黄菊花是12×2+2= 26（棵），红菊花
是12×2=24棵.


除以6余数是1．
大显身手

今年“六一”儿童节是星期五，再过19天是星期几
< br>分析：今年“六一”儿童节是星期五，从“六一”后一天开始排列是星期六、星期日、星期一……，每七天 为一组
重复排列.19÷7=2……5，余数是5，那么再过19天就应该是第八组的第5个，应该是星 期三.








< br>有一只小麻雀飞到森林里，看到了一只孔雀，他觉得孔雀的翅膀是如此美丽，再看看自己这么丑，这么小的 翅
膀，自卑感油然而生．到了晚上，小麻雀做了一个梦，在梦里边成了一只美丽的孔雀，正兴高采烈地展 现自己
的翅膀时，突然有一只狼迎面扑来，小麻雀努力地振翅想逃，发现自己已经不能飞翔了，吓得它惊 惶醒来．小
麻雀心想还好只是个梦．有一天，小麻雀飞到一座高山上，他看到老鹰飞得好高好高，又好威 风，自己跟老鹰
比起来真是太渺小了．一会儿小麻雀靠着树干睡着了，梦见自己变成了老鹰，任意飞驰于 天空好不神气，但是，
他以前的好友却都离他而去，不敢再与他为伍了．他突然觉得好孤单，还是当小麻 雀的日子比较快乐，醒来后
他好庆幸自己还是一只小麻雀．看重自己，你就会发现其实自己并非一无是处 ，保有自己的特性，做个充满自
信的人，你将会是个独一无二的你！

成长故事

第十讲 简单的抽屉原理








把3个苹果放到2个抽屉里，可以有哪些放置的方法呢这些方法有什么相同之处

分析：我们可以一个抽屉放一个，另一个抽屉放两个；或者3个苹果都放在一个抽屉里，另一个抽屉不放.相同< br>之处：至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果.


如果要把4个苹果，放到3个抽屉里面，每个抽屉里面都必须有苹果，会出现什么情况

分析：把4个苹果，放到3个抽屉里面，每个抽屉装1个，还剩下1个苹果．剩下的这1个可以任意放在 其中
的一个抽屉里面，这样有两个抽屉放了1个苹果，还有1个抽屉放了2个苹果．也就是说要把4个苹 果，放到
3个抽屉里面，每个抽屉里面都必须有苹果，一定有1个抽屉里面有2个苹果．


如果要把5个苹果，放到3个抽屉里面，每个抽屉里面都必须有苹果，又会出现什么情况呢

分析：把5个苹果，放到3个抽屉里面，每个抽屉装1个，还剩下2个苹果．剩下的这2个可 以分开任意放在
其中的一个抽屉里面，这样有1个抽屉放了1个苹果，还有2个抽屉放了2个苹果．也可 以把剩下的这2个放
在其中的一个抽屉里面，这样有2个抽屉放了1个苹果，还有1个抽屉放了3个苹果 ．就是我们还是发现把5
个苹果，放到3个抽屉里面，每个抽屉里面都必须有苹果，一定有1个抽屉里面 至少有2个苹果．




6只鸽子要飞进5个笼子，每个笼子里都必须有1只，一定有一个笼子里有2只鸽子．对吗

分析：6只鸽子要飞进5个笼子，如果每个笼子装1只，这样还剩下1只鸽子．这只鸽子可以任意飞进其 中的
一个笼子，这样至少有一个笼子里有2只鸽子．所以这句话是正确的.


请你说明：13人必有2人属相相同.

分析：属相共12个，其中12个人可以互 不相同，但第13人会在十二个属相中的任意一个，所以13人必有2
人属相相同.

幼儿园有366名2007年出生的小朋友，是否有生日相同的小朋友
抽屉原理( 也叫鸽笼原理) : 如果把n+1个东西任意放在n只抽屉里，那么必有一只抽屉里至少
有两个东西.

你还记得吗
暑假精讲

分析：把365天看作 365个抽屉，将366名小朋友看作366个物品．这样，把366个物品放进365个抽屉里，
至少 有一个抽屉里不止放一个物品．因此至少有2名小朋友的生日相同．


用五种颜色给正方体各面涂色(每面只涂一种色)，请你说明：至少会有两个面涂色相同．

分析：五种颜色最多只能涂5个不同颜色的面，因为正方体有6个面，还有一个面要选择这五种颜色中的 任意
一种来涂，不管这个面涂成哪种颜色，都会和前面有个面颜色相同，这样就有2个面会被涂上相同的 颜色．所
以这句话是正确的．


把十只小兔放进至多几个笼里，仍能保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔．

分析：把十只小兔放进9个笼里，仍能保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔．


班上有50名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得 到不少于两本书

分析：根据抽屉原理，至少要拿51本书．


幼儿园买来不少玩具小汽车、小火车、小飞机，每个小朋友任意选择两件不同的，那么至少要有几个小朋友才< br>能保证有两人选的玩具是相同的

分析：

第一个小朋友
第二个小朋友
第三个小朋友
第四个小朋友
小汽车
√

√

小火车
√
√


小飞机

√
√

有3个小朋友就有三种不同的选择方 法，当第四个小朋友准备拿时，不管他怎么选择都可以跟前面三个同学其
中的一个选法相同．所以至少要 有4个小朋友才能保证有两人选的玩具是相同的.










三个小朋友在一起玩，其中必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩．

分析：（法1）情况1：这三个小朋友,可能全部是男的, 那么必有两个小朋友都是男孩的说法是正确的．
情况2：这三个小朋友,可能全部是女的, 那么必有两个小朋友都是女孩的说法是正确的．
情况3：这三个小朋友, 可能其中1男2女, 那么必有两个小朋友都是女孩的说 法是正确的
情况4：这三个小朋友,可能其中2男1女, 那么必有两个小朋友都是男孩的说法
是正确的.所以，三个小朋友在一起玩，其中必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩的说法是正确的．
（法2）三个人只有两种性别，所以至少有两个人的性别是相同的，所以必有两个小朋友都是男孩或者都 是女
孩．


学校里买来数学、英语两类课外读物若干本，规定每位同学可 以借阅其中两本，现有4位小朋友前来借阅，每
人都借了2本．请问，你能保证，他们之中至少有两人借 阅的图书属于同一种吗

分析：每个小朋友都借2本有三种可能：数数，英英，数英．第4个 小朋友无论借什么书，都可能是这三种情
况中的一种，这样就有两个同学借得是同一类书，所以可以保证 ，至少有2位小朋友，他们所借阅的两本书属
于同类．


用红、蓝两种颜 色将一个2×5方格图中的小方格随意涂色（见下图），每个小方格涂一种颜色．是否存在两列，
它们的 小方格中涂的颜色完全相同

分析：用红、蓝两种颜色给每列中两个小方格随意涂色，只有下面四种情形：

将上 面的四种情形看成四个“抽屉”．根据抽屉原理，将五列放入四个抽屉，至少有一个抽屉中有不少于两列，
这两列的小方格中涂的颜色完全相同．


在长度是10厘米的线段上任意取11个点，是否至少有两个点，它们之间的距离不大于1厘米

分析：把长度10厘米的线段10等分，那么每段线段的长度是1厘米（见下图）．

将每段线段看成是一个“抽屉”，一共有10个抽屉．现在将这11个点放到这10个抽屉中 去．根据抽屉原理，
至少有一个抽屉里有两个或两个以上的点（包括这些线段的端点）．由于这两个点在 同一个抽屉里，它们之间
的距离当然不会大于1厘米．所以，在长度是10厘米的线段上任意取11个点 ，至少存在两个点，它们之间的
距离不大于1厘米．





附加内容

有苹果和桔子若干个，任意分成5堆，能否找到这样两堆 ，使苹果的总数与桔子的总数都是偶数

分析：由于题目只要求判断两堆水果的个数关系，因 此可以从水果个数的奇、偶性上来考虑抽屉的设计．对于
每堆水果中的苹果、桔子的个数分别都有奇数与 偶数两种可能，所以每堆水果中苹果、桔子个数的搭配就有4
种情形：（奇，奇），（奇，偶），（偶， 奇），（偶，偶），其中括号中的第一个字表示苹果数的奇偶性，
第二个字表示桔子数的奇偶性．将这4 种情形看成4个抽屉，现有5堆水果，根据抽屉原理可知，这5堆水果
里至少有2堆属于上述4种情形的 同一种情形．由于奇数加奇数为偶数，偶数加偶数仍为偶数，所以在同一个
抽屉中的两堆水果，其苹果的 总数与桔子的总数都是偶数．


在20米长的水泥阳台上放12盆花，随便怎样摆放，至少有两盆花它们之间的距离小于2米．

分析：第1盆花放在一个端点上，第2盆花放在距第1盆花恰为2米处(这是两盆花之间最近 的距离了，再近就
说明题目已经正确了——两盆花之间距离小于2米!)，第3盆花放在距离第2盆花的 距离2米处，这样每隔2
米放1盆花，直到阳台的另一个尽头，恰好放第11盆花．至此，阳台上的11 盆花中任意两盆花之间的距离都
按你的设想不小于2米放好了．现在考虑最后l盆花，它只能放在已放好 的11盆花所留出的10个空档内了，
这已说明必有两盆花之间的距离小于2米．题目的结论是正确的( 见下面)．









将8朵花插入7只花瓶中，至少有1只花瓶中有2朵花，对吗

分析：有7只花瓶， 如果每个花瓶插1只花，那么就是7朵．8朵中还剩下的这一朵，会插在这7只瓶子的任
意一只中，这样 就有1只瓶子会插上2朵花，因此这句话是正确的．

把9条金鱼任意放在8个鱼缸里面，请你说明至少有一个鱼缸放有两条或两条以上金鱼．
< br>分析：在8个鱼缸里面，每个鱼缸放一条，就是8条金鱼；还剩下的一条会任意放在这8个鱼缸其中的一个 中，
这样至少有一个鱼缸里面会放有两条金鱼．


班上有28名小朋友， 老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书

分析：老师至少拿29本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书．
有10只鸽笼，为保证至少有1只鸽笼中住有2只或2只以上的鸽子．请问：至少需要有几只鸽子

分析：有10只鸽笼，每个笼子住1只鸽子，一共就是10只．要保证至少有1只鸽笼中住有 2只或2只以上的
鸽子．那么至少需要11只鸽子，这多出的1只鸽子会住在这10个任意一个笼子里． 这样就有1个笼子里住着
2只鸽子．所以至少需要11只鸽子．

大显身手

有个叫阿巴格的人生活在内蒙古草原上．有一次，年少的阿巴格和他爸爸在草原上迷了路，阿巴格又累又怕，< br>到最后快走不动了．爸爸就从兜里掏出5枚硬币，把一枚硬币埋在草地里，把其余4枚放在阿巴格的手上， 说：
“人生有5枚金币，童年、少年、青年、中年、老年各有一枚，你现在才用了一枚，就是埋在草地里 的那一枚，
你不能把5枚都扔在草原里，你要一点点地用，每一次都用出不同来，这样才不枉人生一世． 今天我们一定要
走出草原，你将来也一定要走出草原．世界很大，人活着，就要多走些地方，多看看，不 要让你的金币没有用
就扔掉．”在父亲的鼓励下，那天阿巴格走出了草原．长大后，阿巴格离开了家乡， 成了一名优秀的船长． 秘
诀2：珍惜生命，就能走出挫折的沼泽地．

成长故事

第十一讲 巧求周长

今天我们将学习通过平移法 将不规则图形转化为规则图形来求周长，你会发现原本很复杂的图形其实业很简单
哦！开始吧！




图中标出的数表示每边长，单位是厘米．它的周长是多少厘米





分析：平移转化为求长方形的周长，长方形的长5+6=11(厘米)，宽1+3 =4(厘米)，周长(11+4)×2=30(厘米)，
[(5+6)+(1+3)]×2=30(厘米 )，它的周长是30厘米.

[拓展] 如图，数据如例题，周长也是30厘米.



求右图的周长.
暑假精讲


分析：平移法转化成长方形，周长是（80+30+40）×2=300（厘米）.
[前铺] 求右图的周长.






分析：将原图通过平移转化为右上图，即有周长为500×4=2000（米）.




下图是一个锯齿状的零件，每一个锯齿的两条线段都长2厘米，求这个零件的周长．

分析：平移法，将
锯齿状的零件转化成
平行四边形，两组对边相等都等于24厘米 ，所以
这个零件的周长是
24×2=48（厘米）．


如图是某校 的平面图，已知线段a＝120米，b＝130米，c＝70米，d＝60米，l＝25O米．杨老师每天早晨绕学校跑3圈，问每天跑多少米



分析：平移法转化为长方形再 求.［(120＋130+60)＋(70+250)］×2×3＝3780(米).

如图正方形操场边长100米，一只蚂蚁沿甲地走了一圈，另一只蚂蚁沿乙地走了一圈，谁走的路长 它们各走
了多少米

分析：我们分别求甲、乙的周长.甲的周长可转化为长方形周 长（如图），即为（100+50+30）×2=360（米）.

一样长.


如图，AB=7 cm，AC=8 cm，BD=4 cm，DC=6 cm，求三角形ACD的周长比三角形ABD
的周长大多少
A

再求乙的周长. 乙的周长等于长方形周长加上2个30米，即为（100+50）×2+30×2=3 60（米）.所以它俩走的

8+6-7-4=3cm.
用20块边长都是1厘米的正方形木块，拼成的长方形中，最小的周长是多少厘米

分析：三种方案①长20厘米，宽1厘米，周长（20+1）×2=42（厘米）；
②长10厘米，宽2厘米，周长（10+2）×2=24（厘米）；
③长5厘米，宽4厘米，周长（5+4）×2=18（厘米），所以最小的周长是18厘米.
告诉学生结论，面积是相等的，所以相当于积相等，要求和最小，就是要求差最小．


B
D
C
分析：三角形ACD的周长是AC+DC+AD，三角形A BD的周长是AB+BD+AD，AD是公共部分，所以周长之差为
下图是由七个长5厘米、宽3厘米的 相同长方形经过竖放、横放而成的图
形．求这个图形的周长．

分析：平移法. {[（3+5）×3+3]+5}×2+6×（5-3）2=76（厘米）.

求右图的周长.






分析： 通过平移转化为右上图，周长等于大长方形周长加上AB、CD的长，即有周长为（50+35）×2+10×2 =190
（厘米）.


求右图的周长.


分析：平移法转化成长方形再加上4个10厘米长，周长是（30+20）×2+10×4=140（厘米）.


如右图，阴影部分是正方形．请你求出最大的长方形的周长．

分析：依题意知，9+6正好是最大的长方形的一个长和一个宽，所以最大的
长方形的周长是（9+6 ）×2=30.




右图是一面砖墙的平面图，每块砖长20 厘米，高8厘米，像图中那样一层、二层…一共摆十层，求摆好后这十
层砖墙的周长是多少

分析：我们仍然可以通过平移转化为长方形来求.长方形的长是10块砖的长度，即20×10=200 （厘米），宽是
10块砖的宽度，即8×10=80（厘米），所以十层砖墙的周长是（200+80） ×2=560（厘米）.



附加内容

把长2厘米、宽1厘米的长方形砖块摆成如图的形状，求该图形的周长．



分析：平移法转化为长方形.这个大长方形的长为2×10=20（厘米），宽为1×13＝ 13（厘米），长方形的周
长（2×10+1×13）×2＝66（厘米）.

从一 张长75厘米，宽48厘米的长方形纸片上剪下一个边长尽可能大的正方形，然后从剩下的部分中再剪
下 一个边长尽可能大的正方形，并按此方式不断重复，那么剪下来的前5个正方形的周长之和是几厘米
分析：从长方形上剪下的最大正方形的边长即等于长方形两组边中较短边的长度，于是第1次剪下来的正方形的边长是48厘米，余下的部分为一个两邻边长分别为48厘米和75-48=27厘米的长方形．依此方式 顺次计算可
得，第2，3，4，5次剪下的正方形边长的厘米数分别为48与27中的小数27，27与 48-27=21中的小数2l，21
与27—21=6中的小数6，6与21—6=15中的小数6． 5个正方形的周长之和为(48+27+21+6+6)×4=432厘米．





下图的小正方形边长为1厘米.这个图形的外沿的周长是多少厘米

分析：平移法．周长是（7+4）×2+6×1=28（厘米）.

图中是由周长都是20厘米的小正方形组成的，它的周长是多少厘米

分析：小正方 形的周长是20厘米，所以边长是5厘米，大图的周长是32条小正方形的边长组成
的，所以周长是32 ×5=160cm.


正方形被分成了五个长方形，每个长方形的周长都是36厘米．求这个正方形的周长是多
少厘米

分析：长方形周长为36厘米，则(长+宽)=36÷2=18cm，又长是宽的5倍，因此 长是15cm，
宽是3cm，那么大正方形的边长就是15cm，周长是60cm.


如图，每个小方格是一个正方形，如果该图总面积是52个平方单位，试求这个图形的外沿< br>周长是多少个长度单位

分析：图中共有13个小正方形，每个小正方形的面积是5 2÷13=4（平方单位），所以每个
小正方形的边长是2个长度单位，再通过平移，即可得到大正方形 边长是5×2=10（个长度
单位），即有大正方形周长是10×4=40（个长度单位）.
大显身手

放手
有一个故事说：在一群群猴戏出没的森林里，捕猴的猎人在树下设置了机关，专门捕小猴 子．猎人把空玻璃瓶
绑在树干上，瓶内装了一条香蕉，要诱小猴子来拿．这个空玻璃瓶的瓶口恰好可容下 小猴子将手伸进去，可是
拿了香蕉的手却比瓶口大，往往拔不出来，猎人就利用这个机会把小猴子逮个正 着．有一只小猴子到树林子里
玩耍，闻到香蕉的香味，兴奋不已，把手伸进瓶罐里要那香蕉来吃，没想到 手拔不出来了．小猴子很着急，连
忙跟旁边的大猴子求援，大猴子早已看破猎人的诡计，跟小猴子说：“ 放手啊！把香蕉放开，手就可以出来了！”
可小猴子舍不得香喷喷的香蕉，死不肯放手，坚持要大猴子把 瓶子打破，让他把手拔出来．猎人的脚步近了……
“救我啊，快救我啊！”小猴子喊着． “放手啊， 快放手啊！”大猴子叫着》故事的结局有两种：肯放手的
小猴子很快的挣脱猎人的陷阱逃跑了．不肯放手 的小猴子当然就成了猎人的猎物．我们人生常常遇到许多瓶颈，
像小猴子面临的困境一样．我们也常常呼 求上帝：救我啊，快救我啊！但在湖就的时候，许多人又不肯放手让
上帝采取他的方式施行拯救，仍然执 着于自己的方式，坚持要上帝照着自己的方式把玻璃瓶打破，结果当然是
失败了．朋友，遇到困难时，不 要固执于已过去的想法，试着放手．山不转路转，你将发现赫然又是一片新的
天空．

成长故事

第十二讲 数字谜

在一 个数学式子（横式或竖式）中擦去部分数字或用字母、文字来代替部分数字的不完整的横式或竖式，这样
的式子叫数字谜.解数字谜的关键是找到“突破口”.




在 右面的算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，求出我×
爱×数×学等于多少

分析：由4个“学”的和的各位数字是8，则“学”代表2或7，若“学”是2，那么
不进位，三个“数”的末位不可能是0，即“学”不是2，只能是7 .三个“数”
的和与2相加得 末位是0的数只有6，即“数”是个“爱”的和与2相加和的末位是0
的数有4或9.若“爱”代表4， “我”是1，若“爱”代表9，则“我”是0，不合题意.
所以“我”=1，“爱”=4. 我×爱×数×学=1×4×6×7=168.

[巩固1] 在下面的式中，不同的汉字代表不同的数字，求出它们使竖式成立的值：







分析：如图.

[巩固2 ]下边加法竖式中的每一个汉字都代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字．当
它们各代表什么数字时 ，算式成立．

分析：克=5 匹=6 林=4 奥=1.



如图加法竖式中的每一个汉字都代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字．当它们各代表什么数字时， 算式
成立．




分析：解决数字谜的题，要先观察， 分析，寻找“突破口”．常常考虑一些特殊的位置，比如最高位的数字，个
位上的数字，或者一些特殊的 数． 从百位进位来看，“开”字所代表的必定是数字1．而从十位相加的两数来看，
只能向百位进1， 因此“谜’’必定是9，这样“动”=0，由13-4-1=8可知“字”=8．

暑假精讲

下面算式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字．当每个字母代表 什么数字时，算式成
立




分析：我们先把减法变成加法算式，容易看出A=1 C=9，那么B=A+A=1+1=2．


在图中的□里填上合适的数使算式成立.





分析：个位由□+7=9可以得到□49□的个位上的□为2；十位由9+□的末 位数为4可以得到7□□7十位上的
□为5，且向百位进1；百位由4+□+1的末位数为7，则7□□ 7的百位上的□为2；千位□+7=9，易得出□49
□的千位上的□为2.所以原式为如图.


下边加法竖式中的每一个汉字都代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字．当它 们各代表什么数字时，算式
成立．


分析：找突破口，容易发现“真”= 1，那么“好”=9或8，“是”=0，从十位上“啊”+“是”=“好”可以发
现“好”比“啊”大1 ，又因为好+好=阿（要进位） 所以好=9 啊=8.


在图中的□里填上合适的数使算式成立.





分析：个位6-□=8，应向十位借1，16-□=8，7□4□中个位上的□为8；十位□-4=4， 又个位已向十位借1，所
以□8□6十位上□为9；百位由8-□=5，可以得到7□4□百位上的□为 3；千位□-7=0，容易得出□8□6千位
上的□应为7.所以结果如图.

在右面的算式中，相同的汉字代表相同的数 字，不同的汉字代表不同的数字，如
果“巧”+“解”+“数”+“字”+“谜”=30，那么“数字谜 ”所代表的三位数
是多少

分析：5ד谜”的个位仍是“谜”，所以“谜”=5 ，向十位进2；4ד字”+2
的个位数字仍是“字”，得到“字”=6，向百位进2；“数”×3+2 的个位数字
仍是“数”，得到“数”=9，向千位进2；同理可得“解”=8，“巧”=2.所以“数< br>字谜”所代表的三位数是965.


下面是一个残缺的算式，请补全．被乘数是多少





分析：容易得算式如图，即乘数为47568.


下面竖式中的字母A、B、C代表三个不同的数字．问A、B、C是什么数字时，算式成立


分析：观察这个乘法算式可知B×C的个位数是5，那么B×C只可能是1×5(或5×1) ，3×5(或5×3)、5×5、7
×5(或5×7)、9×5(或5×9)，即B、C中至少有一个是 5，另一个为1，3，5，7，9之一．若B=5，则由乘积是
435知C至少是7，即C是7或9．但 不论C是7还是9，都找不到适合算式的A值，所以B≠5．若C=5，则A
为8，B=7符合要求．故 使算式成立的A、B、C分别为8、7、5．


字母A、B、C、D分别代表不同 的数字，要使这个不完全的竖式能除尽，A、B、C、D
分别代表什么数字

分析 ：由于被除数的个位是l，除数的个位是9，所以只有B=9；由算式形式．，A与349的乘积是一个四位数，
所以A不会是1，即以至少等于2．而49×349>13CDl．而29×349<13CDl，所以 只有A=3，即商为39．349×39=13611，
C=6，D=I．故A=3，B=9，C=6， D=1．

如图是一个加减混合运算的算式 ，现在只知道其中的几个数字，你能不能在式中的空格内阁填入一个合适的数
字，将算式补充完整.







分析：先看加法，十位： 由算式中的第二个加数以及和的十位上都是9，所以个位上的数字之和一定向十位进
了1，十位上的数字 之和也向百位进了1，因此算式中十位上应是□+9+1=19，故第一个加数的十位上填9.个位：
因 个位上1+□的和向十位进1，故□中只能填9，和的个位就为0.百位和千位：由于是两位数加三位数，和是< br>四位数，所以百位上数相加后必向千位进1.这样第二个加数的百位应填9，和的千位填1，和的百位填0 ，即加
法就是如图.
再看减法，个位由于被减数的个位是0，差的个位是4，因此减数的个位 应填6，这样减法部分的算式变为如图.
十位和百位由于被减数是四位数，减数是三位数，差是两位数 ，所以减数的百位必须是9，同时十位相减时必
须向百位借1，这样减数与差的十位也只能填9.故答案 为如图.


在右面的算式中，每个不同的汉字代表0~9中不同的数字，当它们各代表什么数字时算式成立








分析：本题的 突破口在于乘法算式.首先很容易通过观察得到41×4=164，所以“数”=4，“学”=1.再由加法算< br>式得到“好”=7，“爱”=2，故答案如图.






下式中不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字，它们各代表什么
数 时，算式成立

分析：争=2，当=1，好=9，学=7，生=8.


下式中不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字，它们各代表什
附加内容
大显身手

么数时，算式成立

分析：ABCDEF=145386


下式中不同的汉字代表不同的数字 ，相同的汉字代表相同的数字，它们各代表
什么数时，算式成立

分析：学=1，习=7，好=9


如图，求A、B、C.

分析：A=8，B=1，C=0.



下式中不同的汉字代表不 同的数字，相同的汉字代表相同的数字，它们各代表什
么数时，算式成立

分析：解=1，题=3，乐=5.








一位年轻的修女进入修道院以后一直在从事织挂毯这项工作．做了几个星期之后， 有一天她拂袖而去．“我再
也做不下了！”她叹道，“给我的指示简直不知所云，我一直在用鲜黄色的丝 线编织，却突然又要我打结，把
线剪断，完全没有道理，真是浪费．”在一旁织毯的老修女说：“孩子， 你的工作并没有浪费，其实你织出的
很小一部分是非常重要的一部分．”
老修女带她 走到在工作室里摊开的挂毯面前，年轻的修女看呆了．原来她编织的是一幅美丽的《三王来朝》
图，黄线 织出的那一部分是圣婴头上的光环．



成长故事

第十三讲 趣题巧解
有些数学问题既不需要复杂的计算， 也没有用死板的公式，而是通过我们思考后就能脱口而出的，这种题目有
一定的智力测试的性质，我们称 之为“趣题巧解”.相信你一定很感兴趣，那还等什么，开始吧！




3只小猫同时吃3条鱼需要3分钟吃完，按照这样的速度计算，100只猫同时吃100条鱼需要几分钟

分析：“3只小猫同时吃3条鱼需要3分钟吃完”也就是1只小猫吃掉1条鱼需要3分钟，按 照这样的速度，
100只猫同时吃100条鱼所用时间也是3分钟.


在 中国南方的某个城市，最近连续一周都在下雨，大家都盼着早日雨过天晴.有一天中午，小英突然问妈妈：“再< br>过84小时太阳会出来吗”同学没们，你能回答她的问题吗

分析：一天中午再过84小时后是夜里零点，所以 不会出太阳.


操场 上50名学生，他们排成一列横队，报数以后，五号到十号，十五号到三十号退出，还剩下多少名学生

分析：本题关键是看退出了多少名学生，5号到10号有6个人，十五号到三十号有16个人，一共退出 了22个
人，所以还剩下50-22=28人．


一个人带着一只狐狸、 一只鹅和一些玉米渡河，每次只能带一样，可
是人不在时，狐狸要吃鹅，鹅要吃玉米.那么应该怎样渡河 呢

分析：先带鹅过河，自己划船回来，第二次带狐狸过去，再把鹅带回
来，第三 次带玉米过河，自己划船，第四次再把鹅带过去即可.


一根竹笋，从发芽到长大 ，如果每天长高1倍，经过10天长到40分米．那么，当长到5分米时，经过了多少
天

分析：首先 要搞清楚“每天长高1倍”是什么意思，然后再考虑问题，我们用倒推来思考这个问题：经 过10
天长到40分米；经过9天长到20分米；经过8天长到10分米；经过7天长到5分米，所以当 长到5分米时，
经过了7天．



幼儿园里有六个男孩，他们中 除一位较轻以外，其余五人的体重都一样重．现在如何利用翘翘板用最少的次数
来找出较轻的那位

暑假精讲

分析：先把六人分为两组，让他们分坐在翘翘板的两头， 找出了轻的一头，在轻的这头中，随便指定两位坐上
翘翘板的两头，如果重量相等，那么剩下的那位就是 体重较轻者．若重量不相等，那么翘起来的那人就是较轻
的．


甲乙两人 从相距10千米的两地同时出发相向而行，甲每小时走4千米，乙每小时走6千米.甲带着一条狗，甲
出 发时狗开始在甲乙两人之间来回奔跑，即碰到乙就掉头跑，碰到甲就再掉头跑，如此往复，直至甲、乙相遇
为止.如果狗每小时跑20千米，掉头时间忽略不计，那么狗跑了多少千米






分析：狗跑的时间恰好等于甲乙的相遇时间为1小时，所以狗跑了20×1=20（千米）.


蜗牛沿着9米高的柱子往上爬，白天它向上爬5米，而晚上又下降4米，问蜗牛爬到柱顶需要几天几夜

分析：一昼夜可以爬1米，爬了4昼夜后再经过一个白天即可爬到柱顶，因此需要5天4夜.

[拓展] 青蛙沿着10米高的井往上跳，每次它向上跳半米，然后又落下去，问青蛙爬需要跳几次就能跳出井外
分析：每次青蛙向上跳半米，然后又落下去，等于还在原地，所以永远也跳不出去.


世兵赛单打的参赛选手共35人，采用淘汰制，最后产生冠军，那么一共要比赛
几场

分析：如果考虑如何安排各轮比赛太麻烦，所以整体看，因为是淘汰制，每比
赛一场 就要淘汰一人，产生冠军要淘汰34人，所以赛34场.


红蓝墨水各一瓶，用一 根滴管从红墨水中吸一滴滴到蓝墨水中，搅拌后，从蓝墨水
中吸一滴滴到红墨水中.这时红墨水中的蓝墨 水多还是蓝墨水中的红墨水多

分析：如果算红蓝墨水的混合比例算不出来.我们可以这样想 如果红墨水中混进蓝
墨水，那么 这些蓝墨水必然挤占了同样体积的红墨水.所以红墨水中的蓝墨水和蓝墨
水中的红墨水一样多.


[拓展]甲组有26个男生，乙组有20个女生，从甲乙两组中各选出相同数量的 人交换，这样交换10次后，甲组
中女生的人数多还是乙组中男生的人数多

分析：一样多.


附加内容

甲乙丙三人练习打靶，靶子及环数见右图．每人打了4发，甲、乙共命中71环，乙、
丙共命中75环，甲、丙共命中76环．乙最多命中几个10环

分析：甲、乙、丙共命 中（71+75+76）÷2=111（环），乙命中111-76=35（环）．因为
最低为6环，所 以乙最多命中2个10环．


有60名同学到到河对岸的树林里玩耍．岸边只有一 只能载6个人的小船，问最少要分几次才能全部到达对岸

分析：这个题目如果稍不留神，很 容易算成606=10次.除了1人撑船之外每次只能运5个人，最后一次可以运
6个人，前11次运了 55个人，最后一次运5个，一共运了12次．


有个人去买葱，他问多少钱一斤 .卖葱的人说：“1元1斤”.买葱的人说：“我想全买了，不过要从中间切开秤，
葱叶2角1斤，葱白 8角1斤，你卖不卖” 卖葱的人一想：“2角+ 8角=1元”正好，他就全卖了.但是后来发
现自己赔了，同学们，你们知道为什么吗

分析：葱叶2角1斤，葱白8角1斤相当于1元钱买2斤葱，卖葱的人当然赔了.





一条小虫由幼虫长到成虫，如果每天长大1倍，20天长到20厘米长，问长到5厘米长时用几天

分析：20天长到20厘米长，19天长到10厘米长，18天长到5厘米长.


有一批解放军要从河边到对岸，河里只有一只船，每次最多乘8人，撑船的一人要解放军自己 ，6次运完，而
且最后一次船上坐满了人，问这些解放军有多少人

分析：7×5+8=43（人）.




一个施工队要 完成一项工程，7月20日开始动工，8月2日到5日因下大雨停工休息，到8月20日完工．这
个施工 队一共用了多少天完成了这项工程

分析：32-4=28（天）.


王叔叔加工了8个大小，形状完全相同的零件，可是，凭他丰富的工作经验，他知道这8个零件中，有一 个因
大显身手

为重量重了一些而不合格，他借来一台天平，最少称几次就可以找到那个次品.

分析：2次.先称3个和3个，若平则次品在剩下的2个中，在称1次即可；若不平，则从重 的一侧选两个称，
若平则次品在剩下的1个，不平则重的是次品.







美国有位心理医生，在他退休的时候著作的病例就有300 0多种，医生的成就让人钦佩．可他的所以学生们不
愿让他离开，请求他做最后一次演讲． 这位心理医 生没有说的太多，他说：我们人人都是自己的医生，我们
就是太放纵．人生最大的障碍就一句话：“如果 ”，人们总在说：如果时光可以倒流，我将会如何如何……，
如果我要不那么做就好了……等等， 根治 这一疾病的处方就是把“如果”去掉改成“下一次”，下一次我一
定如何如何……下一次我会做好的…… 人生路很漫长，唯一没有的路就是回头路，我们要把上一次的挫败当
作下一次的经验，这样才能走出人生 的辉煌！



成长故事

第十四讲 逻辑推理
在有些问题中，条件和结论中不出现任何数和数字，也不出现任何图形，因而，它既不是一个 算术问题，也不
是一个几何问题．也有这样的题目，表面看来是一个算术或几何问题，但在解决它们的过 程中却很少用到算术
或几何知识．
所有这些问题的解决，需要我们深入地理解条件和结论，分 析关键所在，找到突破口，由此入手，进行有根有
据的推理，做出正确的判断，最终找到问题的答案．这 类问题我们称它为逻辑推理．




如图，请问数字1和2的对面是几
分析：由图知，1的对面不是4和6；也不可能是2和3，所以只能
是5.同理2的对面是6.


甲乙丙三人分别说了下面三句话，请你从他们所说的话判定谁说假话甲说：“乙在说谎.” 乙说：“丙在说谎.”
丙说：“甲和乙都在说谎.”

分析：假设甲没说谎，那么 乙说谎，也就是丙没有说谎，这样丙所言“甲和乙都在说谎”属实，所以甲一定说
谎.故乙说：“丙在说 谎.”属实，所以丙也说谎，即甲和丙两人都说谎.


编号是1，2，3，4的四 位同学参加了学校的110米栏比赛，获得了全校的前四名.1号说：“3号比我先到终点.”
得第三名 的同学说：“1号不是第四名.”而另一位同学说：“我们的号码与我们所得的名次都不相同.”你能说
出他们的名次吗

分析：得第三名的同学说：“1号不是第四名.”推知：1号是第一或二 名，又1号说：“3号比我先到终点.”
说明1号是第二名，3号是第一名. 而另一位同学说：“我们的号码与我们所得的名次都不相同.”所以4号是
第三名，第四名是2号.


李波、顾锋、刘英三位老师共同担负六年级某班的语文、数学、政治、体育、音乐 和图画六门课的教学，每人
教两门．已知：（1）顾锋最年轻；（2）李波喜欢与体育老师、数学老师交 谈；（3）体育老师和图画老师都
比政治老师年龄大；（4）顾锋、音乐老师、语文老师经常一起去游泳 ；（5）刘英与语文老师是邻居.问：各人
分别教哪两门课程

分析：由（1）（ 3）（4）推知顾锋教数学和政治；由（2）推知刘英教体育；由（3）（5）推知李波教图画、
语文． 李波教语文、图画，顾锋教数学、政治，刘英教音乐、体育．


赵亮告诉小聪，有 甲、乙、丙三位教师，一个教数学，一个教自然，一个教外语．甲老师上课说汉语，外语老
师是女教师， 丙老师是自然老师的弟弟．赵亮问小聪：你知道哪位是自然老师吗小聪一下子就猜对了．同学们，
你知道 自然老师是哪一位吗
分析：甲.
暑假精讲

四个小朋友宝宝、星 星、强强和乐乐在院子里踢足球，一阵响声，惊动了正在读书的陆老师，陆老师跑出
来查看，发现一块窗 户玻璃被打破了．陆老师问：“是谁打破了玻璃”宝宝说：“是星星无意打破的．”
星星说：“是乐乐打 破的．”乐乐说：“星星说谎．”强强说：“反正不是我打破的．”如果只有一个孩
子说了实话，那么这 个孩子是谁是谁打破了玻璃
分析：因为星星和乐乐说的正好相反，所以必是一对一错，我们可以逐一假 设检验．假设星星说得对，即
玻璃窗是乐乐打破的，那么强强也说对了，这与“只有一个孩子说了实话” 矛盾，所以星星说错了．假设
乐乐说对了，按题意其他孩子就都说错了．由强强说错了，推知玻璃是强强 打破的．宝宝、星星确实都说
错了．符合题意．所以是强强打破了玻璃．

小刚在纸 条上写了一个四位数，让小明猜．小明问：“是603l吗”小刚说：“猜对了1个数字，且位置正确．”小明问：“是5672吗”小刚说：“猜对了2个数字，但位置都不正确．”小明问：“是4796吗”小刚说 ：“猜对了
4个数字，但位置都不正确．”根据以上信息，可以推断出小刚所写的四位数多少

分析：由两人的第3次问答可知小刚所写的四位数是由数字4，7，9，6组成的．因为 数字6在603l中出现，
所以据小刚的第1次回答知四位数的千位数字就是6．又数字7在5672和 4796中均出现过，且小刚说其位置
均不正确，所以7应该出现在个位．数字9在4796中出现，但 它的位置也不正确，所以9只能在百位，进而4
是十位数字．综上所述，所求的四位数是6947．


学校新来了一位老师，五个学生分别听到如下的情况：（1）是一位姓王的中年女 老师，教语文课；（2）是一
位姓丁的中年男老师，教数学课；（3）是一位姓刘的青年男老师，教外语 课；（4）是一位姓李的青年男老师，
教数学课；（5）是一位姓王的老年男老师，教外语课．他们每人 听到的四项情况中各有一项正确．问：真实
情况如何

分析：姓刘的老年女老师，教 数学．假设是男老师，由（2）（3）（5）知，他既不是青年、中年，也不是老
年，矛盾，所以是女老 师．再由（1）知，她不教语文，不是中年人．假设她教外语，由（3）（5）知她必是
中年人，矛盾， 所以她教数学．由（2）（4）知她是老年人，由（3）知她姓刘．


在一次数学 竞赛中，A，B，C，D，E五位同学分别得了前五名（没有并列同一名次的），关于各人的名次大家
作 出了下面的猜测：A说：“第二名是D，第三名是B．”B说：“第二名是C，第四名是E．”C说：“第一名是 E，
第五名是A．”D说：“第三名是C，第四名是A．”E说：“第二名是B，第五名是D．”结果每 人都只猜对了一半，
他们的名次如何

分析：第1名是E，第2名是C，第3名是B，第4名是A，第5名是D．











附加内容

甲乙丙丁四人进行羽毛球双打比赛，其中已知：①甲比乙年轻：②丁 比他的两个对手年龄都大；③甲比他的
伙伴年龄大：④甲与乙的年龄差距要比丙与丁的年龄差距要大一些 ．则甲的伙伴是谁年龄最大的人是谁

分析：丙，丙．由条件①甲比乙年轻，可知甲的年龄小 于乙的年龄；再由条件③甲比他的伙伴年龄大，可知甲
的伙伴只能是丁或丙．而实际上丁不可能是甲的伙 伴，否则甲、乙、丙3人的年龄顺序就为丁<甲<乙，这样丁
就找不到两个对手都比他年轻，与条件②矛 盾．因此，甲的伙伴只能是丙，故甲与丙搭档，而乙与丁搭档．根
据上述的推理，我们可以得到甲、乙、 丙三人的年龄大小顺序为：丙<甲<乙．再结合条件②，我们可以推断出
甲、乙、丙、丁4人的年龄顺序 应该是：丙<甲<乙<丁或丙<甲<丁<乙．实际上前一种情况是不可能的，否则甲、
乙的年龄差距要比 丁、丙的差距小，这与条件④不符，故4人的年龄顺序为丙<甲<丁<乙．年龄最大者为乙．


现有甲乙两个队比赛，甲队有A、B、C三名队员，乙队有X、Y、Z三名队员，从之前的比 赛情况是：A能胜Y，
Y能胜C，C能胜Z.但在第一轮比赛中他们都没有相遇，请问在第一轮比赛中谁 与谁“过招”

分析：由题意知，C不与Y、Z相遇，则C只能与X相遇；Y不与A、C相 遇，则Y只能与B
相遇，所以A只能与Z相遇.


甲、乙、丙每人有两个 外号，人们有时以“数学博士”、“短跑健将”、“跳高冠军”、“小画家”、“大作
家”和“歌唱家” 称呼他们．此外：（1）数学博士夸跳高冠军跳得高；（2）跳高冠军和大作家常与甲一起去
看电影；（ 3）短跑健将请小画家画贺年卡；（4）数学博士和小画家很要好；（5）乙向大作家借过书；（6）
丙 下象棋常赢乙和小画家．你知道甲、乙、丙各有哪两个外号吗

分析：由（2）知，甲不是跳 高冠军和大作家；由（5）知，乙不是大作家；由（6）知，丙、乙都不是小画家．由
此可得到下表：

因为甲是小画家，所以由（3）（4）知甲不是短跑健将和数学博士，推知甲是歌唱家． 因为丙是大作家，
所以由（2）知丙不是跳高冠军，推知乙是跳高冠军．因为乙是跳高冠军，所以由（1 ）知乙不是数学博士．将
上面的结论依次填入上表，便得到下表：

所以，甲是小画家和歌唱家，乙是短跑健将和跳高冠军，丙是数学博士和大作家．







甲乙丙三人中只有一人会开汽车.甲说：“我会开.”乙说：“我不会开.”丙说：“甲不会开.” 三人中只有一
人说真话.请问谁会开车
大显身手

分析： 如果甲说真话，那么乙也说真话，矛盾.如果乙说真话，那么甲说假话，丙说真话，矛盾.所以只能是丙
说真话，只有乙会开车.


甲乙丙三人参加完田径比赛的100米跑后，甲说：“ 我第一.”乙说：“我第二.”丙说：“我不是第一.”已知
三人中有一人说假话.请问谁第一谁第二谁 第三

分析：如果丙说的是假话，丙应该第一，那么甲说自己第一就矛盾.所以丙不可能说假 话，那么丙肯定不是第一，
显然乙不是第一，所以甲第一，乙说假话.所以甲第一、丙第二、乙第三.


甲乙丙丁四人，乙的身高不是最高，但比甲、丁高，甲比丁高.请你按从高到矮排列.
分析：乙不是最高，但比甲、丁高，甲乙也不可能是最高，所以丙是最高.乙比甲丁高，其次是乙，又已知甲 比
丁高，所以再次是甲，因此从高到矮是丙、乙、甲、丁.





智者说：“如何才能在工作上获得100％的成功”
我们使用26个字母来玩一个游戏．
A=1分，B＝2分，依此类推，Z=26分．
有人说：“知识应该可以吧”而KNOWLEDGE这个词加起来只有96分．
又有人说：“辛劳的工作可以吗”但HARDWORK这个词加起来也只有98分．
那么大地怎么才能达到100％的成功呢
答案是：ATTITUDE（态度）．





成长故事

第十五讲 期末测试
填空题(每题5分,共8题)
1. 一个数先加3，再除以3，然后减去5，再乘以4，结果是56，这个数是几

分析：54 ．


2. 暑假期间，小强每天都坚持游泳，并对所游的距离作了记录．如果他在 暑假的最后一天游670米，则平均每
天游495米；如果最后一天游778米，则平均每天游498米 ；如果他想平均每天游500米，那么最后一天应游
几米

分析：（778-670 ）÷（498-495）=108÷3=36（天），说明小强一共游了36天要想平均游500米的话，他最后
一天应该游：670+36×（500-495）=670+180=850（米）.


3. 父亲15年前的年龄相当于儿子12年后的年龄．当父亲的年龄是儿子的4倍时，父亲多少岁

分析：父亲比儿子大15+12=27岁．儿子是27÷(4—1)=9岁．父亲是9×4=36(岁)．


4. 甲、乙两列火车从相距144千米的两地相向而行，甲车每小时行28千米 ，乙车每小时行22千米，乙车先出
发2小时后，甲车才出发．甲车行几小时后与乙车相遇

分析：甲、乙两车出发时间有先有后，乙车先出发2小时，这段时间甲车没有行驶，那么乙车这2小时所 行的
路程不是甲、乙两车同时相对而行的路程，所以要先求出甲、乙两车同时相对而行的路程，再除以速 度和，才
是甲、乙两车同时相对而行的时间．乙车先行驶路程：22×2=44(千米)， 甲、乙两车 同时相对而行路程：
144-44=100(千米)，甲、乙两车速度和：28+22=50(千米)， 甲车行的时间：100÷50=2(小时).


5.

如图所示，图中共有几个三角形
分析：15个.



6. 四个人进行象棋循环赛，规定胜者得2分，负者得0分，和棋双方各得1分，比赛结束后统计发现 ，四个人
的得分和是几分

分析：四个人循环比赛总共比赛六场，每场无论分出胜负 还是打平两人的得分和一定是2分，因此最终四个人
的得分加起来一定是2×6=12分.




7. 用24块边长都是1分米的木块，拼成的长方形中，最小的周长是多少分米

分析：面积一定，长方形的长与宽越接近，周长越小．因此拼成的长方形中，长为6厘米，宽为4厘米时，周长最小．周长为：(6+4)×2=20(分米).


8. 现有1克，2克，4克的砝码各一个，在天平上能称出几种不同重量的物体

分析：可以称出1、2、1+2、4、1+4 、2+4、1+2+4共7种不同重量的物体都可以称出．


解答题(每题12分,共5题)
1. 小明有4块糖，每天吃若干块，每天至少吃一块，也可以一下全吃完，问小明把糖吃完有多少种不同的方法

分析：1）分4天吃完
4=1+1+1+1 1种
2）分3天吃完
4=1+1+2 4=1+2+1 4=2+1+1 3种
3）分2天吃完
4=1+3=2+2=3+1 3种
4)1天吃完 1种
因此一共有1+3+3+1=8种不同的方法．


2. 一批小朋友去买 东西，若每人出10元则多8元；若每人出7元则少4元．问：有多少个小朋友东西的价格
是多少

分析：两种购物方案的盈亏总额是8＋4＝12（元），两次分配数之差是10-7＝3（元 ）．由公式得到小朋友的
人数（8＋4）÷（10-7）＝4（人），东西的价格是10×4-8＝32 （元）．


3.一个房间里有9个人，平均年龄是25岁；另一个房间里有11个 人，平均年龄是45岁．两个房间的人合在一
起，他们的平均年龄是几岁

分析：（25×9+45×11）÷（9+11）=36（岁）.


4. 有同样大小的红、黄、蓝三种灯共160个，按2个红，3个黄，2个蓝的顺序排列成一串．三种颜色灯各有多少个

分析：按2个红，3个黄，2个蓝的顺序排列，每2+3+2=7(个)灯为一 个周期．160个灯包含有160÷7=22(个)……6(个)，
我们先求出22个周期中红、黄、蓝 灯的个数，再分析余下6个灯的排列情况是：2个红、3个黄、1个蓝，这
样就可以分别求出三种颜色灯 的个数了．
(1)160里含有多少个周期
160÷(2+3+2)
=160÷7
=22(个)……6(个)
(2)红灯的个数：

2×22+2=46(个)
(3)黄灯的个数：
3×22+3=69(个) ．
(4)蓝灯的个数：
2×22+1=45(个)


5.李明和王亮同时 分别从两地骑车相向而行，李明每小时行18千米，王亮每小时行16千米，两人相遇时距全
程中点3千 米．问全程长多少千米

分析：根据题意，画个草图，能帮助我们找出数量关系．
依题意作行程草图如下：

李明走了全程的一半多3千米，王亮走了全程的 一半少3千米，李明比王亮实际多走了3×2=6(千米)．由
已知李明每小时比王亮多走18—16= 2(千米)，那么多少小时李明比王亮多行6千米呢需要6+2=3(小时)，这就是
两人的相遇时间， 有了相遇时间，全程就容易求出了．相遇时李明比王亮多行的路程：3×2=6(千米)，李明比
王亮每 小时多行的路程：18-16=2(千米)，两人相遇时间：6+2=3(小时)，全程：(18+16)×3= 102(千米)，所以全程
长102千米．


三、附加题（20分） < br>甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两地相对开出，甲车每小时行42千米，乙车每小时行45千米．甲、乙 两车
第一次相遇后继续前进，甲、乙两车各自到达B、A两地后，立即按原路原速返回．两车从开始到第 二次相遇
共用6小时．则A、B两地的距离是多少千米

分析：甲、乙两车从出发到 第一次相遇共同行完一个AB间的路程，第一次相遇后继续前进，各自到B、A两地
后，又共同行完一个 AB间的路程．当甲、乙两车第二次相遇时，又共同行完一个AB间的路程．因此，甲、乙
两车从开始到 第二次相遇共行3个AB间的路程．甲、乙速度和：42+45=87(千米)，3个AB间路程：87×6=5 22(千
米)，A、B相距：522÷3=174(千米).