吉林农大教务处-凉面的制作方法

第二讲 加法与乘法原理
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加法原理：做一件事情，完成它 有n类办法，在第一类办法中有M
1
种不
．．
同的方法，在第二类办法中有m
2
种不同的方法，……，在第n类办法中有m
n
种不同的方法，那么完成这件 事情共有m
1
+m
2
+……+m
n
种不同的方法。
运用加法原理计数，关键在于合理分类，不重不漏。要求每一类中的每一种
方法都可以独立地完成此任 务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类
不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类 (即分类不漏)。合理分类也
是运用加法原理解决问题的难点，不同的问题，分类的标准往往不同，需要 积累
一定的解题经验。
乘法原理：完成一件工作共需N个步骤：完成第一个步骤有m
1
种方法，完成第
二个步骤有m
2
种方法，…，完成第N个步骤有m
n
种方法，那么，完成这件工作
共有m
1
×m
2
×…×m< br>n
种方法。
运用乘法原理计数，关键在于合理分步。完成这件工作的N个步骤，各个步
骤之间是相互联系的，任何一步的一种方法都不能完成此工作，必须连续完成这
N步才能完成此 工作；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则
对应的完成此工作的方法也不同。 精典例题例1：
从天津到上海的火车，上午、下午各发一列；也可以乘飞机，有
3个不同的 航班，还有一艘轮船直达上海。那么从天津到上海共有多少种不同的走法？

思路点拨

我们把坐火车看成第一类走法，有2种不同的选法；乘飞机是第二类走法，有3种不同
的选法； 坐轮船为第三类走法，只有1种选法。无论哪一种选法，都可以直接完成这件事。
．．

模仿练习
从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽 车，还可以乘轮船。一天中火车有
4班，汽车有3班，轮船有2班。问：一天中乘坐这些交通工具从甲地 到乙地，
共有多少种不同走法？





例2：
用1角、2角和5角的三种人民币（每种的张数没有限制）组成1
元钱，有多少 种方法？

思路点拨
运用加法原理，把组成方法分成三大类：
①只取一种人民币组成1元，有3种方法：10张1角；5张2角；2张5角。
②取两种人民 币组成1元，有5种方法：1张5角和5张1角；一张2角和8张1角；
2张2角和6张1角；3张2角 和4张1角；4张2角和2张1角。
③取三种人民币组成1元，有2种方法：1张5角、1张2角和3 张1角的；1张5角、
2张2角和1张1角的。



模仿练习
小明用天平称物体时要用砝码，他在有1克、2克、4克、8克的砝码各一个，
最多能称几种不 同重量的物体？（要求砝码只放在一个托盘中）

例3：
用数字0，3，8，9能组成多少个数字不重复的三位数？
思路点拨
运用乘法原理，把组数过程分为三个步骤：
第一步：确定三位数百位上数字 ，有3种选法（最高位不能为0）。第二步：确定十位上数
字，有3种选法。第三步：确定个位上数字， 有……种选法


模仿练习
用数字2，1，0，3,9能组成多少个数字不重复的四位数？






例4：
用五种颜色给右图的五个 区域染色，每个区域染一种颜色，相邻
的区域染不同的颜色。问：共有多少种不同的染色方法？
思路点拨
（1）当区域A与区域E颜色相同时，A有5种颜色可选；B有
4种颜色可 选；C有3种颜色可选；D也有3种颜色可选。根据乘法
原理，此时不同的染色方法有……
（2）当区域A与区域E颜色不同时，A有5种颜色可选；E有4种颜色可选；B有3种
颜色可选；C有 2种颜色可选；D有2种颜色可选。根据乘法原理，此时不同的染色方法有……



模仿练习
用5种颜色给图1的五个区域染色，相邻的区域染不
同的颜 色，每个区域染一种颜色。问：共有多少种不同的
染色方法？

铜牌练习
1.
学校图书馆有100本不同的童话书、50 本不同的科技书、120本不同的
连环画，小红想从中借一本书回家，她有多少种不同的选法？




2.
如下图，请问：①下左图中，共有多少条不同的线段？
②下右图中，共有多少个不同的角？





3.
如下图，从甲地到乙地有4条路可走，从乙地到丙地有2条路可走，从甲地
到丙 地有3条路可走．那么，从甲地到丙地共有多少种走法？





4.
某校举行单循环赛，有12个队参加。问：共需要进行多少场比赛？



5.
各数位的数字之和是24的三位数共有多少个？

6.
由数字0,1,2,3,4可以组成多少个三位整数？(各位上的数字允许重复)



银牌练习
7.
下图中共有16个方格，要把A，B,C,D四 个不同的棋子放在方格里，并
使每行每列只能出现一个棋子，问共有多少种不同的放法？





8.
找出图2中从A点出发，经过C点和D点到B点的最短路线，共有多少
条？

9.
如下图，用红、绿 、蓝、黄四种颜色涂编号为1，2，3，4的长方形，
使任何相邻的两个长方形的颜色都不同。一共有多 少种不同的涂法？





金牌练习
10.
一把钥匙只能开一把锁，现在有10把钥匙和10把锁全部都搞乱了 ，
最多要试验多少次才能全部配好锁和相应的钥匙？