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最不利原则
在日常生活和生产中，我们常常会遇到求最大值或最小值的问题，解答 这类问题，
常常需要从最不利的情况出发分析问题，这就是最不利原则。
下面通过具体例子说明最不利原则以及它的应用。
例1口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种 颜色的小球各20个。问：一次最
少摸出几个球，才能保证至少有4个小球颜色相同？
分析与 解：如果碰巧一次取出的4个小球的颜色都相同，就回答是“4”，那么显然不对，
因为摸出的4个小球 的颜色也可能不相同。回答是“4”是从最“有利”的情况考虑的，但为了“保
证至少有4个小球颜色相 同”，就要从最“不利”的情况考虑。如果最不利的情况都满足题目
要求，那么其它情况必然也能满足题 目要求。
“最不利”的情况是什么呢？那就是我们摸出3个红球、3个黄球和3个蓝球，此时三种颜色的球都是3个，却无4个球同色。这样摸出的9个球是“最不利”的情形。这时再摸
出一个 球，无论是红、黄或蓝色，都能保证有4个小球颜色相同。所以回答应是最少摸出
10个球。
由例1看出，最不利原则就是从“极端糟糕”的情况考虑问题。如果例1的问题是“最
少摸出几个球就可 能有4个球颜色相同”，那么我们就可以根据最有利的情况回答“4个”。现
在的问题是“要保证有4个 小球的颜色相同”，这“保证”二字就要求我们必须从最不利的情况
分析问题。
例2口袋里有 同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共18个。其中红球3
个、黄球5个、蓝球10个。现 在一次从中任意取出n个，为保证这n个小球至少有5个同
色，n的最小值是多少？
分析与解 ：与例1类似，也要从“最不利”的情况考虑。最不利的情况是取了3个红球、
4个黄球和4个蓝球，共 11个。此时袋中只剩下黄球和蓝球，所以再取一个球，无论是黄
球还是蓝球，都可以保证有5个球颜色 相同。因此所求的最小值是12。
例3一排椅子只有15个座位，部分座位已有人就座，乐乐来后一看 ，他无论坐在哪个
座位，都将与已就座的人相邻。问：在乐乐之前已就座的最少有几人？
分析 与解：将15个座位顺次编为1～15号。如果2号位、5号位已有人就座，那么就
座1号位、3号位、 4号位、6号位的人就必然与2号位或5号位的人相邻。根据这一想法，
让2号位、5号位、8号位、1 1号位、14号位都有人就座，也就是说，预先让这5个座位
有人就座，那么乐乐无论坐在哪个座位，必 将与已就座的人相邻。因此所求的答案为5人。

例4一把钥匙只能开一把锁，现有10 把钥匙和10把锁，最少要试验多少次就一定能使
全部的钥匙和锁相匹配？
分析与解：从最不 利的情形考虑。用10把钥匙依次去试第一把锁，最不利的情况是试
验了9次，前8次都没打开，第9次 无论打开或没打开，都能确定与这把锁相匹配的钥匙
（若没打开，则第10把钥匙与这把锁相匹配）。同 理，第二把锁试验8次……第九把锁只
需试验1次，第十把锁不用再试（为什么？）。共要试验
9＋8＋7＋…＋2＋1＝45（次）。
所以，最少试验45次就一定能使全部的钥匙和锁相匹配。
例5在一副扑克牌中，最少要取出多少张，才能保证取出的牌中四种花色都有？
分析与解：一 副扑克牌有大、小王牌各1张，“红桃”、“黑桃”、“方块”、“梅花”四种花色
各13张，共计有5 4张牌。最不利的情形是：取出四种花色中的三种花色的牌各13张，再
加上2张王牌。这41张牌中没 有四种花色。剩下的正好是另一种花色的13张牌，再抽1
张，四种花色都有了。因此最少要拿出42张 牌，才能保证四种花色都有。
例6若干箱货物总重19.5吨，每箱重量不超过353千克，今有载重 量为1.5吨的汽车，
至少需要多少辆，才能确保这批货物一次全部运走？
分析与解：汽车的 载重量是1.5吨。如果每箱的重量是300千克（或1500的小于353
的约数），那么每辆汽车都 是满载，即运了1.5吨货物。这是最有利的情况，此时需要汽车
19.5÷1.5＝13（辆）。
如果装箱的情况不能使汽车满载，那么13辆汽车就不能把这批 货物一次运走。为
了确保把这批货物一次运走，需要从最不利的装箱情况来考虑。最不利的情况就是使每 辆车
运得尽量少，即空载最多。因为353×4＜1500，所以每辆车至少装4箱。每箱300千克，
每车能装5箱。如果每箱比300千克略多一点，比如301千克，那么每车就只能装4箱了。
此时，每车载重
301×4＝1204（千克），
空载1500-1204＝29 6（千克）。注意，这就是前面所说的“最不利的情况”。
19500÷1204＝16……236，也 就是说，19.5吨货物按最不利的情况，装16车后余236千
克，因为每辆车空载296千克，所以 余下的236千克可以装在任意一辆车中。
综上所述，16辆车可确保将这批货物一次运走。
练习28

1.口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小 球各20个。问：一次
最少摸出几个，才能保证至少有5个小球颜色相同？
2.口袋里有 同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共20个，其中红球4
个、黄球6个、蓝球10个。问 ：一次最少取出几个，才能保证至少有6个小球颜色相同？
3.一排椅子共有18个座位，部分座 位已有人就座，乐乐来后一看，他无论坐在哪
个座位，都将与已经就座的人相邻。问：在乐乐之前已就座 的最少有几人？
4.一张圆桌有12个座位，部分座位已有人就座，乐乐来后一看，他无论坐在哪 个
座位，都将与已经就座的人相邻。问：在乐乐之前已就座的最少有几人？
5.口袋里有三种颜色的筷子各10根。问：
（1）至少取几根才能保证三种颜色的筷子都取到？
（2）至少取几根才能保证有颜色不同的两双筷子？
（3）至少取几根才能保证有颜色相同的两双筷子？
6.一个布袋里有红色、黄色、黑色袜子各2 0只。问：最少要拿多少只袜子才能保
证其中至少有2双颜色不相同的袜子？
7.一把钥 匙只能开一把锁，现有10把锁和其中的9把钥匙，要保证这9把钥匙都
配上锁，至少需要试验多少次？
8.10吨货物分装若干箱，每只箱子重量不超过1吨。为了确保将这批货物一次运走，
最 少要准备几辆载重量为3吨的汽车？