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奥数：容斥原理
教学目标：1、理解容斥原理，会画图分析其中关系，正确的找出答案。
2、培养学生的逻辑思维和数学思考能力。
3、培养学生良好的书写习惯。

一、教学内容
（一）知识介绍
容斥问题 涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。即当
两个计数部分有重复包含时，为了不重复 计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分 类与性质b
分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=N
a
＋N
b
－N
ab
。


（二）例题精讲
例1、一个 班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37
人举手。又问：“谁做完数学作 业？请举手！”有42人举手。最后问：“谁语文、
数学作业都没有做完？”没有人举手。求这个班语文 、数学作业都完成的人数。
【思路导航】完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有 37＋
42=79人，多于全班人数。这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语
文作 业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就
多算了一次。所以，这个班语文 、数作业都完成的有：79－48=31人。

例2、某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有

1
Na
Nab
Nb

23人，两题都答对的有15人。问多少个同学两题都答得不对？
【分析与解答】已知答对第 一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出
只答对第一题的有25－15=10人。又已知答对 第二题的有23人，用只答对第一
题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10 ＋23=33人。
所以，两题都答得不对的有36－33=3人。

例3、某班有5 6人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果
两科都没有参加的有25人，那么同时 参加语文、数学两科竞赛的有多少人？
【分析与解答】要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参 加一科竞赛的
人数：56－25=31人，再求两科竞赛同时参加的人数：28＋27－31=24人。


例4、1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？
【分析与解答】从1到100的自然数中，减去5或6的倍数的个数。从1到100
的自然数中 ，5的倍数有100÷5=20个，6的倍数有16个（100÷6=16……4），
其中既是5的倍数 又是6的倍数（即5和6的公倍数）的数有3个（100÷30=3……
10）。因此，是6或5的倍数 的个数是16＋20－3=33个，既不是5的倍数又不
是6的倍数的数的个数是：100－33=67 个。

例5、光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作
品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书
法作品共有10幅，其 他年级参展的书法作品共有多少幅？
【分析与解答】由题意知，24幅作品是一、二、三、四、六年级 参展作品的总
数，22幅是一、二、三、四、五年级参展作品的总数。24＋22=46幅，这是一
2

个五、六年级和两个一、二、三、四年级参展的作品数， 从其中去掉五、六两
个年级共参展的10幅作品，即得到两个一、二、三、四年级参展作品的总数，再除以2，即可求出其他年级参展作品的总数。（24＋22－10）÷2=18幅。



三、教学练习
1、五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功 课取得优秀成
绩。其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。语文、数学都优秀的
有 多少人？





2、五（1）班有40个学生，其中 25人参加数学小组，23人参加科技小组，有
19人两个小组都参加了。那么，有多少人两个小组都没 有参加？





3、一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不

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会的有4人。两样都会的有多少人？






4、在1到200的全部自然数中，既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个？




5、科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其 中有110
件不是一年级的，有100件不是二年级的，一、二年级参展的作品共有32件。
其 他年级参展的作品共有多少件？




四、教学小结





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六、课后练习

1、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人 ，会弹电
子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人。这个文艺组一共有多少人？





2、某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛，结果 3人两项比赛都获奖
了，有27人两项比赛都没有获奖。已知作文比赛获奖的有14人，问数学比赛获奖的有多少人？





3、三年级一班参加合 唱队的有40人，参加舞蹈队的有20人，既参加合唱队又
参加舞蹈队的有14人。这两队都没有参加的 有10人。请算一算，这个班共有
多少人？




5

4、在1到130的全部自然数中，既不是6的倍数又不是5的倍数的数有多少个？





5、六（1）儿童节那天，学校的画廊里展出了每个年级学 生的图画作品，其中
有25幅画不是三年级的，有19幅画不是四年级的，三、四两个年级参展的画共有8幅。其他年级参展的画共有多少幅？


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