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倍数问题

教学目标

1. 学会分析题意并且熟练的利用线段图法能够分析和倍问题
2. 掌握寻找和倍的方法解决问题．
知识点拨
知识点说明：

和倍问题就是已知两个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题．
解 答此类应用题时要根据题目中所给的条件和问题，画出线段图，使数量关系一目了然，从而找出解
题规律 ，正确迅速地列式解答。
和倍问题的特点是已知两个数的和与大数是小数的几倍，要求两个数，一般是 把较小数看作
1
倍数，
大数就是几倍数，这样就可知总和相当于小数的几倍了，可求出 小数，再求大数.和倍问题的数量关系式
是：
和÷(倍数+
1
)=小数
小数×倍数=大数 或 和一小数=大数
如果要求两个数的差，要先求
1
份数：

l
份数×(倍数－
1
)=两数差.
解决和倍问题，关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系。
例题精讲

【例 1】 根据线段图列式：


【解析】 列式：
28(31)7
（米）

【巩固】 小华和爷爷今年共
72
岁，爷爷的岁数是小华的
7
倍.爷爷比小华大多少岁？
【解析】 小华：
72(17)9
（岁），
爷爷：
97 63
（岁），
63954
（岁）或
9(71)54
（岁） .

【巩固】 实验小学三、四年级的同学们一共制作了
318
件航模，四 年级同学制作的航模件数是三年级的
2

倍，三、四年级的同学各制作了多少件航模？
【解析】 已知四年级同学制作的航模件数是三年级的
2
倍，可以想到三年级同学制作 的航模件数是
1
倍
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数．两 个年级共制作了
318
件，这
318
件就相当于
123
倍，这样就可以求得
1
倍数——三年级
同学的制作件数是：
318310 6
(件)．再根据四年级同学和三年级同学制作航模件数的倍数关
系，求出四年级同学制作航 模的件数是：
1062212
(件)或
318106212
(件)。

【巩固】 果园里有梨树和苹果树共
54
棵，苹果树的棵数是梨树的
5
倍，苹果树比梨树多多少棵？
【解析】 把梨树的棵数看作
l
份数，苹 果树的棵数就是
5
份数，
54
棵就相当于(
5+1)
份数， 分别求出梨树
和苹果树的棵数，再把苹果树的棵数减去梨树的棵数，就是苹果树比梨树多的棵数.这道题 还可
以这样想，先求出
1
份数，再求苹果树比梨树多几份，就可直接求出苹果树比梨树 多多少棵了.
（法１）梨树：
54(51) 9
(棵)，苹果树：
9 545
(棵)，苹果树比梨树多：
45936
(棵)
（ 法２）梨树：
54(51)9
(棵)，苹果树比梨树多：
9(51)36
(棵)

【巩固】 学校买来一些乒乓球和羽毛球共
40
个，乒乓 球的个数是羽毛球的
4
倍.买来的乒乓球和羽毛球各
多少个？
【解析】 先引导学生认识一倍量和它的几倍量，并带领学生画线段图，借助图形来解决实际问题．
根据题意和线 段图可知，羽毛球的个数看作
1
份数，乒乓球的个数就是
4
份数，
4 0
个就相当于
(4+1)
份数，这样就可求出
1
份数，也就是羽毛 球的个数，把羽毛球的个数乘
4
就是乒乓球的个
数.
羽毛球有 ：
40(41)4058(个)
，乒乓球有：
8432
(个) ．

【巩固】 5箱苹果和5箱葡萄共重75千克，每箱苹果是每箱葡萄重量的2倍。每箱苹 果和每箱葡萄各重
多少千克？
【解析】 5箱苹果和5箱葡萄共重75千克，平均分成5份， 1箱苹果与1箱葡萄重量和为：75÷5=15（千
克）。
把1箱葡萄的重量看作一份，重量为：15÷（2+1）=5（千克）；
每箱苹果重量为：5×2=10（千克）。

【例 2】 爷爷家养的鸭比鹅多18
只，鸭的只数是鹅的
3
倍，你知道爷爷家养的鸭和鹅各有多少只吗？

【分析】 引导学生画图，但是 一定要强调差所对应的份数，这样我们就可以求一份量（一倍量），从而解
决题目．与
18只相对应，这样就可以求出一倍数也就是鹅的只数，求出了鹅的只数，鸭的只数就
容易求出来了．鸭 与鹅只数的倍数差是
312
（倍），鹅有
1829
(只)，鸭有
9327
(只).

【巩固】 两个书架，甲书架存书相当于乙书架存 书量的
5
倍，甲书架比乙书架存书多
120
本，则乙书架存
书多少本 ？
【解析】 多的
120
本相当于乙书架的
4
倍，则乙书架的书为 ：
120430
（本）．

【巩固】 甲班的图书本数比乙班多80本，甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？
【解析】 乙班的本数： 80÷（3-1）=40（本）
甲班的本数： 40×3=120（本）或40＋80=120（本）。

【例 3】 小敏有
14
元，小花有
10
元，小花给小敏几元，小敏的钱数就是小花的
2
倍？
【解析】 小花现在的钱数：
(1410)(12)8
（元），小花给小敏：
1082
（元）

【巩固】 某镇上有东西两个公交车站，东站有客车84辆，西站有客车56辆，每天从东站到西站有
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7辆车，从西站到东站有11辆车，几天后，东站车辆是西站的4倍？
【解析】 “每天从东 站到西站有7辆车，从西站到东站有11辆车”，则每天东站增加（11-7=）4辆
车，西站减少4辆 车，但两站车辆总数不变为：84+56=140（辆）。要使东站车辆是西站车
辆的4倍，西站只能有 车辆：140÷（4+1）=28（辆）。用西站需要减少的总车辆数除以每
天减少的车辆数，可以得出 所求天数：（56-28）÷4=7（天）。所以，7天后，东站车辆是
西站的4倍。

【巩固】 二⑴班的图书角里有故事书和连环画共
47
本，如果故事书拿走
7
本后，故事书的本数就是
连环画的
4
倍.原有连环画和故事书各有多少本？

【解析】 从线段图可以看出，如果故事书拿走
7
本以后，则正好是连环画 的
4
倍.这时故事书与连环画总数
应减少
7
本，列式成
47 740
(本)，正好是连环画本数的(
1+4
)倍.
⑴如果故事书拿走
7
本，总本数为：
47740
(本)
⑵现在连环画与故事书的倍数和为：
4+1=5

⑶连环画有：
4058
(本)
⑷故事书有：
84739
(本)

【例 4】 师、徒两人共加工< br>105
个零件，师傅加工的个数比徒弟的
3
倍还多
5
个，师傅 和徒弟各加工零件
多少个？

【解析】 引导学生画图时，一定要注意“多5个”的画图方法，并找和与份数之间的关系．
【详解】 从线段图 上可以看出，把徒弟加工的个数看作
1
份数，师傅加工的个数就比
3
份数还多
5
个，如果
师傅少加工
5
个，两人加工的总数就少
5
个，总数变为
(1055)
个，这样这道题就转化为例
5
类
型的 题目，就可以求出师傅和徒弟各加工多少个了.列式：如果师傅少做
5
个，师、徒共做：
1055100
(个)， 徒弟做了：
100(31)25
(个),师 傅做了：
253580
(个)．

【巩固】 实验小学共有学生956
人，男生比女生
2
倍少
4
人.问：实验小学男学生和女学 生各有多少人？
【解析】 女生：
(9564)3320
（人），男生：956320636
（人）或
32024636
（人）


【巩固】 光明小学有学生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多少人？
【巩固】 把女生 人数看作一份，由于男生人数比女生人数的3倍还少40人，如果用男、女生人数总和760
人再加上4 0人，就等于女生人数的4倍（见下图）。
女生人数：（760＋40）÷（3＋1）=200（人）
男生人数：200×3-40=560（人）或 760-200=560（人）
验算：560＋200=760（人）（560+40）÷200=3（倍）。
答：男生有560人，女生有200人。
【例 5】 有两盘苹果，如果从第一盘中拿2个放 到第二个盘里，那么两盘的苹果数相同(条件A)；
如果从第二个盘中拿2个放到第一盘里，那么第一盘 的苹果数是第二盘的2倍(条件B).
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第一盘有苹果多少个?
【解析】 本题的数量关系更为隐蔽．首先须理解条件表述语中隐含的数量关系．
条件A的数量关系为：第一盘中 的苹果数比第二盘多2+2=4(个).从条件B可知，如果从第二个盘
中拿2个放到第一盘里，那么第 一盘就比第二盘多4+(2+2)=8(个)；此时，第一盘的苹果数是第
二盘的2倍．
(1)原来第一盘比第二盘多：2+2=4(个)或2×2=4(个)
(2)从第二盘拿2个到第一盘里，第一盘就比第二盘多：4+(2+2)=8(个)或4+2×2=8(个)
(3)第二盘拿走2个后剩下的苹果：8÷(2-1)= 8(个)
(4)第一盘原有苹果：8×2-2=14(个)
答：第一盘有苹果14个．

【巩固】 爸爸和冬冬一起搬砖，原计划爸爸搬其中的一些，冬冬搬剩余的砖头．父子二人发现，如果爸爸帮冬冬搬10块，那么爸爸所搬的砖头数是冬冬的5倍；如果冬冬帮爸爸搬10块，
那么爸爸 所搬的砖头数是冬冬的2倍．请问：原计划爸爸搬多少块砖，冬冬搬多少块砖？
【详解】 由题意，如 果爸爸多搬10块，冬冬少搬10块那么爸爸搬的砖头数是冬冬的5倍；如果爸爸少搬
10块，冬冬多搬 10块，那么爸爸搬的砖头块数是冬冬的2倍．对于前一种情况，如果让爸爸再
多搬100块，冬冬再多 搬20块，那么爸爸搬的砖头块数仍然是冬冬的5倍，也就是说如果爸爸
多搬110块，冬冬多搬10块 ，爸爸搬的砖头块数是冬冬的5倍．由以上的关系可以列式求出爸
爸原计划搬的块数为：
，
(11010)(52)21090
（块）
冬冬原计划搬的块数为：
．
(9010)51030
（块）

【巩固】 甲、乙各 有若干本书,若甲给乙
45
本,则二人的书相等,若乙给甲
45
本则甲的本数 是乙的
4
倍,
甲、乙各有书多少本？
【解析】 乙给甲
45
本书后剩下的书：
(452452)(41)60
（本），乙原有书：
6045105
（本），
甲原有书：
105452195
（本）．

【巩固】 小青和小红每人都有一些水彩笔，如果小青给小红1支，两人就一样多，如果小红 给小青1支，
小青的水彩笔就是小红的2倍，那么小青和小红各有多少支水彩笔？
【解析】 “小青给小红1支，两人就一样多”说明小青原来比小红多
112
(支)，“如果小红给小 青1支，
小青的水彩笔就是小红的2倍”则小红给小青1支后，小青就比小红多
2114
(支)，这与倍
数差
211
（倍）相对应，这样就可以求到小红的水彩笔 现在是
414
(支)，她原来就是
415
(支)，小青原来是：527
(支).

【例 6】 一个长方形的周长是36厘米，长是宽的2倍，这个长方形的面积是多少平方厘米？
【解析】 先求出 长方形长和宽的和：36÷2=18（厘米）把长方形的宽看作1份，长就是2份，长和宽的和
对应的就 是3份，所以长方形的宽是：18÷（2+1）=6（厘米）
长是：6×2=12（厘米）这个长方形的面积是：12×6=72（平方厘米）

【例 7】 实验一小、实验二小两校共有学生2346人，如果实验一小增加146人，实验二小减少 88人，
两校的学生人数就相等，你知道两校实际各有多少人吗?
【解析】 已知两校的人数 和是2346人，而两校人数的差没有直接
告诉我们．只要求出两校人数的差，就能解决问题了．差是多少呢?从图上可以看出，实验一小增加146人，实验
二小减少88人，两校的学生人数就相等 ．在实验一小人
数没有增加，实验二小人数没有减少之前，两校的人数相
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差：146＋88＝234 (人)，利用(和＋差)÷2＝大数，就可以求出实验二小实际的人数：
(2346＋146＋88)÷2＝1290(人)………………实验二小
2346－1290＝1056(人)………………………实验一小
本题也可以用和倍方法解

【巩固】 某小学原来参加室外活动的人数比参加室活动的人数多
480
人 ，现在把室活动的
50
人改为室外
活动，这样室外活动的人数正好是室人数的
5
倍，则参加室、室外活动的共有多少人?
【解析】 原来室外、室活动人数相差
4 80
人，现把室的
50
人改为室外活动，这样室外活动人数比室人数多
这时室 外活动人数正好是室人数的
5
倍，
580
人相当于现在室活动人数的
480502580
(人)，
514
(倍)，这样可先求出现在室活动人数 为
5804145
，再求出室、外人数之和：
145(51)870
人．


【巩固】 有两根同样长的绳子，第一根截去12米，第二根接上14米 ，这时第二根长度是第一根长的3
倍，两根绳子原来各长多少米？
【解析】 如上图，两根绳 子原来的长度一样长，但是从第一根截去12米，第二根绳子又接上14米后，第
二根的长度是第一根的 3倍.应该把变化后的第一根长度看作1倍，而12+14=26（米），正好相当
于第一根绳子剩下的 长度的2倍.所以，当从第一根截去12米后剩下的长度可以求出来了，那么
第一根、第二根原有长度也 就可以求出来了。
第一根截去12米剩下的长度：（12+14）÷（3-1）＝13（米）
两根绳子原来的长度：13＋12＝25（米）

【例 8】 甲、乙两位学生原计 划每天自学时间相同．若甲每天增加自学时间半小时，乙每天减少自学时
间半小时，则乙自学
6
天的时间仅相当于甲自学
1
天的时间．问：甲、乙原定每天自学的时间是
多少 ？
【解析】 改变后，甲每天比乙多自学
1
小时，即
60
分钟．它 是乙现在五天自学的时间，即乙现在每天自学：
，原来每天自学的时间是：
123042< br>（分）．
60(61)12
（分）

【巩固】 有大小两个桶 原来水一样多，如果从小桶倒
8
千克水到大桶，则大桶中水是小桶的
3
倍，求 原来
大桶有水多少千克？
【详解】 现在大桶水比小桶水多：
8216
（千克），所以现在小桶中的水是：
16(31)8
（千克），而
原来大桶中有 水是：
8216
（千克）．

【巩固】 甲、乙俩人存款若干元，甲存 款是乙存款的3倍．如果甲取出80元，乙存入20元，甲、乙的
存款正好相等．问甲、乙俩人原来各存 款多少元？
【解析】 “甲存款数是乙存款数的3倍”，乙存款数就是l倍数，而甲存款数比乙存款数 多的倍数是
312

倍．因为“甲取出80元，乙存入20元，甲、乙的存款正好 相等”，可知甲的存款数比乙的存款
数多
8020100
(元)．利用差倍问题的 公式，可求出1倍数，即乙原来的存款数
100250

(元)，从而求出甲原来的存款数
503150
(元)．

【巩固】 三（1）班与三（2）班原有图书数一样多.后来，三（1）班又
买来新书74本， 三（2）班从本班原书中拿出96本送给一年级
小同学，这时，三（1）班图书是三（2）班的3倍，求 两班原
有图书各多少本？
【详解】 两个班原有图书一样多.后来三（1）班又买新书74本 ，即增加
了74本；三（2）班从本班原有图书中取出96本送给一年级同学，则图书减少了96本.结 果是
一个班增加，另一个班减少，这样两个班图书就相差96+74＝170（本），也就是三（1）班 比三（2）
班多了170本图书.又知三（1）班现有图书是三（2）班图书的3倍，可见这170本图 书就相当
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于三（2）班所剩图书的3-1= 2倍，三（2）班所剩图书本数就可以求出来了，随之原有图书本数
也就求出来了（见上图）。
后来三（1）班比三（2）班图书多多少本？74＋96=170（本）
三（2）班剩下的图书是多少本？170÷（3-1）=85（本）
三（2）班原有图书多少本？85＋96=181（本）（两个班原有图书一样多）
综合算式：（74＋96）÷（3-1）＋96＝170÷2+96＝85＋96=181（本）

【巩固】 小新家有大小两个书架，大书架上的书的本数是小书架的3倍，如果从大书架上取 走150
本放到小书架上，那么 两个书架上的书一样多，大小书架上原来各有多少本书?
【解析】 根据从大书架上取出150本书放人小书架，两个架上的书的本数相等，知大书架比小书架多 150
×2＝300本．这样就可以作为一道典型的“差倍问题”来进行解答了．

由于大书架上的书是小书架的3倍，把小书架上书的本数看做I倍量，大书架比小书架多300本
对应于小书架的(3－1)倍量．
大书架比小书架多的书数： 150×2＝300(本)，
两个书架相差几倍： 3－1＝2倍，
小书架原有书： 300÷2＝150(本)，
大书架原有书： 150×3＝450(本)．

【例 9】 有两根铁丝，第一根长
18
米，第二根长
10
米，两根铁丝用去同样长 的一段后，第一根剩下的长
度是第二根剩下长度的
3
倍，两根铁丝各剩下多少米？
【分析】 引导学生画图，并找出本题中数与份数之间的关系．以学生探索为主，教师指导为铺．用去同 样
长的一段后，两段长度差为：
18108
（米），且第一根比第二根多：
312
（倍），则第二根
剩下：
824
（米），第一根剩下：4312
（米）．

【巩固】 有两条纸带，一条长
21
厘米，一条长
13
厘米，两条纸带都剪下同样的一段后，长纸带剩下的长
度是短纸带剩 下的
3
倍，问剪下的一段有多长？
【解析】 长纸带剩下长度比短纸带剩下的长度长 ：
21138
（厘米），短纸带剩下：
8(31)4
（厘米），< br>剪下：
1349
（厘米）．

【巩固】 食堂里有94千克面粉 ，138千克大米，每天用掉面粉和大米各9千克，几天后剩下的大米是面
粉的3倍？
【解析】 因每天用掉的面粉和大米数量相等，不论经过多少天，面粉和大米的数量差都不变，仍然是：
138-94=44（千克）。
我们把几天后剩下的面粉重量看作1份，大米重量也就是3份 ，则几天后剩下面粉：44÷（3-1）=22（千
克）。用掉的面粉总量除以每天用面粉数量，可以得 出所求的天数：（94-22）÷9=8（天）。

【例 10】 (2008年第八届“春 蕾杯”小学数学邀请赛初赛)兄妹俩人去买文具，哥哥带的钱是妹妹的两倍，
哥哥用去180元，妹妹用 去30元，这时兄妹俩人剩下的钱正好相等，哥哥带了________元钱，
妹妹带了_______ _元钱．
【解析】 由题目的条件“哥哥带的钱是妹妹的两倍”知：哥哥的钱比妹妹的钱多一倍，又由 “哥哥用去180
元，妹妹用去30元，这时兄妹俩人剩下的钱正好相等，知：哥哥比妹妹多
1 8030150
（元），
则知妹妹带了150元，哥哥带了300元．

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【巩固】 有甲、乙两艘货船，甲船所载货 物是乙船的3倍．若甲船增加货物1200吨，乙船增加货物
900吨，则甲船所载货物是乙船的2倍． 甲船原载货物多少吨?
【解析】 甲船所载货物是乙船所载货物的3倍，乙船增加900吨，甲船就应 增加900×3＝2700(吨)，实际
少增加2700－1200＝1500(吨)．少增加的重量等 于乙船现有货物的3－2＝1(倍)，所以甲船原载
货物(1500－900)×3＝1800(吨)．

【巩固】 菜站运来的白菜是萝卜的3倍，卖出白菜1800千克，萝卜300千克，剩下的 两种蔬菜的重量相
等，菜站运来的白菜和萝卜各是多少千克？
【解析】 这样想：根据“菜站 运来的白莱是萝卜的3倍”应把运来的萝卜的重量看作1倍；“卖出白菜1800
千克，萝卜300千克 后，剩下两种蔬菜的重量正好相等”，说明运来的白菜比萝卜多
18003001500
( 千克).这个重量相当于萝卜重量的
312
(倍)，这样就可以先求出运来的萝
卜 是多少千克，再求运来的白菜是多少千克.所以运来萝卜：
(1800300)(31)750
(千克)，
运来白菜：
75032250
(千克)．

【巩固】 两个筐中各有苹果若干千克，第一个筐中的苹果是第二筐中的苹果的4倍，如果从第一个筐中取出26千克苹果，从第二个筐中取出2千克苹果，则两筐苹果的重量相等．你知道这
两个筐中 原来各有苹果多少千克吗?
【解析】 从图中可以看出，第一个筐中的苹果是第二筐的4倍，则
第二筐的苹 果数是一倍数．如果第二筐中少 取出2千
克，剩下的重量就正好相当于1倍，那么两筐苹果的相差
数26－2＝24(千克)， 相当于第二筐原来重量的3倍．两筐苹果的差和倍差都知道了，就可以求
出两筐苹果原来的重量．两筐苹 果的倍数差是4－1＝3（倍），两筐苹果相差26－2＝24(千克)，
第二筐原来有苹果重量24÷ 3＝8(千克)，第一筐原来有苹果重量8×4＝32（千克）.

【巩固】 两块同样长的 花布，第一块卖出31米，第二块卖出19米后，第二块是第一块的4倍，求
每块花布原有多少米？
【解析】 已知两块花布同样长，由于第一块卖出的多，第二块卖出的
少，因此第一块剩下的少 ，第二块剩下的多.所剩的布第二
块比第一块多31-19=12（米）.又知第二块所剩下的布是第< br>一块的4倍，那么第二块比第一块多出的12米正好相当于
所剩布的（4-1）倍，这 样，第一块所剩布的长度即可求
出（见上图）。
第二块布比第一块布多剩多少米？31-19＝12（米）
第一块布剩下多少米？12÷（4-1）=4（米）
第一块布原有多少米？4+31=35（米）（两块布原有长度相等）
综合列式：（31-19）÷（4-1）+31=12÷3+31=4＋31=35（米）

【例 11】 一家三口人，三人年龄之和是
72
岁，妈妈和爸爸同岁，妈妈的年龄是 孩子的
4
倍，三人各是多
少岁？
【解析】 妈妈的年龄是孩子的
4
倍，爸爸和妈妈同岁，那么爸爸的年龄也是孩子的
4
倍，把孩子的年龄作
为< br>1
倍数，已知三口人年龄和是
72
岁，那么孩子的年龄为：
72(1 44）
妈妈的年龄是：
=8
(岁)，
8432
(岁)，爸爸 和妈妈同岁为
32
岁．

【巩固】 红、黄、蓝三个纸盒里共有彩票56．其中红色纸盒里的彩票是黄色纸盒的2倍，蓝色纸盒
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里的彩票是红色纸盒的2倍，红、黄、蓝三个纸盒里各有多少彩票?
【解析】 以黄色纸盒的 彩票数为1倍数，红纸盒是这样的2倍，蓝纸盒是红纸盒的2倍，也就是黄纸盒的
4倍，一共就是(1+ 2+4)倍，这样就能建立起彩票总数与总倍数之间的对应关系，从而求出黄纸盒
里有几彩票．56÷( 1+2+4)=8()……黄纸盒里的彩票数；
8×2=16()……红纸盒里的彩票数 ；
16×2=32()……蓝纸盒里的彩票数。

【巩固】 甲、乙、丙三所小学学生 人数的总和为
1999
，已知甲校学生人数的
2
倍，乙校学生人数减
3
，丙
校学生人数加
4
都是相等的，问：甲、乙、丙各校的人数是多少？
【解析】 方法一：甲校学生人数为：，乙校学生人数为：
(199934)(12 2)400
（人）
40023803
（人），丙校学生人数为：
40 024796
（人）．甲、乙、丙三校的人数分别为
400
，
803< br>，
796
．
方法二：把甲校学生人数作为标准，画出线段图：
< br>把甲校人数看作1份，乙校人数就是2份多3，丙校就是2份少4。我们把乙校人数减去3，丙校
人数加上4，都凑成2份，则总人数变成：1999-3+4=2000（人）。
所以甲校人数为：2000÷（1+2+2）=400（人）；
乙校人数为：400×2+3=803（人）；丙校人数为：400×2-4=796（人）。

【巩固】 有100块糖，分给甲乙丙三位小朋友，甲比乙多分了3块，乙比丙多分了5块， 三位小朋
友各分得多少块糖?
【解析】 此题从两个数量扩展到三个数量．已知甲比乙多分了 3块，乙比丙多分了5块，从线段图上可以
清楚地看出：

甲比丙多分了3＋5＝8 (块)．如果甲少拿7块，乙少拿5块，那么糖的总数就要减少8＋5＝13(块)，
总共就是100－ 13＝87(块)．87块相当于丙所有的糖块数的3倍，由此可以算出甲乙丙三人各自
糖块的数量．
[100－(3＋5)－5]÷3＝29(块)……………………………………．丙
29＋5＝34(块)………………………………………………乙
34＋3＝37(块)………………………………………………甲

【例 12】 （200 8第四届“IMC国际数学邀请赛”（新加坡）四年级复赛）甲、乙、丙三个小朋友共有
73
块 巧克力，如果丙吃掉
3
块，那么乙和丙的巧克力就一样多；如果乙给甲
2
块巧 克力，那么甲的
巧克力就是乙的
2
倍，丙原有 块巧克力．
【解析】 方法一：由题意可知，丙比乙多
3
块，所以如果乙给甲两块巧克力，则丙比 乙多
5
块，此时乙的
巧克力数为
(735)(112)17
（块），丙原有
172322
（块）。
方法二：如果丙吃掉
3块，那么乙与并的糖就一样多，说明丙比乙多
3
块；如果乙给甲
2
块糖，
那么甲的糖就是乙的糖的
2
倍，即甲的糖加
2
是乙的糖减
2
后的
2
倍，说明甲的糖是丙的糖的
2
倍
少
22 26
块．所以，丙有
(7336)(112)19
块糖．

【巩固】 甲、乙、丙3数之和是183，乙比丙的2倍少4，甲比丙的3倍多7，求甲、乙、丙三数各
是多少？
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【解析】 我们把丙数看作一份，画出线段图如下：
假如我们给乙数添上4凑成2份，甲数减去7
凑成3份，则这时候三个数的总和为：
183+4-7=180，和对应的份数为：1+2+3=6。
所以，一份数即丙数为：180÷6=30；
乙数为：30×2-4=56；甲数为：30×3+7=97。

【巩固】 549 是甲、乙、丙、丁4个数的和.如果甲数加上2，乙数减少2，丙数乘以2，丁数除以2
以后，则4个数 相等.求4个数各是多少？
【解析】 上图可以看出，丙数最小.由于丙数乘以2和丁数
除以 2相等，也就是丙数的2倍和丁数的一半相等，
即丁数相当于丙数的4倍.乙减2之后是丙的2倍，甲加上2之后也是丙的2倍.根据这些倍数关系，
可以先求出丙数，以丙数为一份量，再分别求出其
他各数。
丙数是：（549＋2-2）÷（2＋2＋1＋4）=549÷9=61
甲数是：61×2-2=120
乙数是：61×2＋2=124
丁数是：61×4=244
验算：120+124＋61+244=549120＋2=122 124-2=12261×2＝122 244÷2＝122
答：甲、乙、丙、丁分别是120、124、61、244.

【例 13】 某项 竞赛分一等奖、二等奖和三等奖，每个一等奖的奖金是每个二等奖奖金的
2
倍，每个二等
奖的奖金是每个三等奖奖金的
2
倍．如果评出一、二、三等奖各
2
人，那么 每个一等奖的奖金
是
308
元．如果评出
1
个一等奖，
2< br>个二等奖，
3
个三等奖，那么一等奖的奖金是多少元?
【巩固】 我们把每个 三等奖奖金看作
1
份，那么每个二等奖奖金是
2
份，每个一等奖奖金则是4
份．当一、
二、三等奖各评
2
人时，
2
个一等奖的奖 金之和是
(3082)
元，
2
个二等奖的奖金之和等于
1
个一
等奖的奖金
308
元，
2
个三等奖的奖金等于
1
个二等奖奖金
(3082)
元．所以奖金总额是：
3082308308 21078
元．当评
1
个一等奖，
2
个二等奖，
3
个三等奖时，
1
个一等奖奖金
看做
4
份，
2
个二 等奖奖金
224
（份），
3
个三等奖奖金的份数是
133< br>（份），总份数就是：
．这样，可以求出
1
份数为
1078119 8
元，一等奖奖金为：
984392
（元）．
44311
（份）

【例 14】 有
5
堆苹果，较 小的
3
堆平均有
18
个苹果．较大的
2
堆，苹果数之差为< br>5
个．又较大的
3
堆平均
有
26
个苹果，较小的2
堆苹果数之差为
7
个．最大堆与最小堆平均有
22
个苹果．问 ：每堆各有
多少个苹果?
【巩固】 最大堆与最小堆共
22244
个苹 果．较大的
2
堆与较小的
2
堆共
4427590
个 苹果．所以
中间的一堆有：
(18326390)221
个苹果；
较大的
2
堆有：
2632157
个苹果；
最大的一堆有：
(575)231
个苹果；
次大的一堆有：
573126
个苹果；
较小的
2
堆有：
1832133
个苹果；
次小的一堆有：
(337)220
个苹果；
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最小的一堆有：
20713
个苹果．

【例 15】 一家汽车销售店有若干部福特汽车和丰田汽车等待销售。福特汽车的数量是丰 田汽车的3倍，
如果每周销售2辆丰田汽车和4辆福特汽车，丰田汽车销售完时还剩下30辆福特汽车请 问：原
有丰田汽车和福特汽车各多少辆？
【解析】 假设福特汽车的数量是3份，丰田车的数 量是1份，根据福特车销售量是丰田车的两倍知道，销
售完一份丰田车肯定要销售完2份福特车，也就是 说当丰田车销售完的时候，福特车应该只剩下
1份，所以我们知道1份数量是30，那么原来的丰田车和 福特车就分别应有30辆和90辆。

【巩固】 超市运来一批水果糖和巧克力糖，其中水果 糖的颗数比巧克力糖的3倍还多10颗．售货员将这
些糖包装成相同的小袋，每袋装了3颗巧克力糖和7 颗水果糖．最后巧克力糖全部装完，水果
糖还剩下170颗．请问：这批糖果共有几颗水果糖，几颗巧克 力糖？
【解析】 由题意，如果每袋里装3颗巧克力糖和9颗水果糖，则只剩下10颗水果糖；现在每 袋里装了3
颗巧克力糖和7颗水果糖，结果剩下了170颗水果糖．由此可以算出总的袋数为：
，
(17010)(97)80
（袋）
因此水果糖总数为
807170730
（颗），巧克力糖总数为
803240
（颗）．

【例 16】 某迎春茶话会上，买来苹果
4
箱，已知每箱苹果取出
24
千克后，剩余的各箱苹果总和等于原来
一箱苹果的重量，问原来一箱苹果多重？
【分析】 此题目较难找出数量间的关系，但是一定还的让学生自己动脑想一想，之后，教师再引导学生 画
图，共同探讨分析．取出
24496
千克，即原来的比剩下的多
96< br>千克，原来有
4
箱，剩下一箱
的重量，即原来的是剩下的
4
倍 ，所以
96(41)32
（千克）为剩下的重量，即一箱的重量．

【例 17】 幼儿园大班每人发
17
画片，小班每人发
13
画片， 小班人数是大班人数的
2
倍，小班比大班多发
126
画片，那么小班有多少人 ？
【巩固】 小班每
2
个人就会发
13226
画片，那么，小 班的
2
个人比大班的
1
个人多发了
26179
画片，< br>总共多发了
126
，所以小班有
1269228
人．

【例 18】 实验小学一校区人数比实验小学二校区人数少540人，因为第三校区建成，从两个校区 各调走
200人，这时实验小学二校区人数恰好是实验小学一校区人数的4倍，那么实验小学一校区和< br>实验小学二校区原来各有多少人？
【解析】 两校区各调走200人之后还是相差540人，对 应的倍数是：
413
倍，实验小学一校区调走200
人后剩下的人数是：
540(41)180
(人)，实验小学一校区原有：
180200380
(人)，实验小
学二校区为：
380540920
(人).

课后练习

练习1. 商店运来橘子、苹果、香蕉共53千克，橘子的重量是苹果的 3倍少3千克，香蕉的重量是苹果
的2倍多2千克，橘子重多少千克?
【解析】 我们可以把苹果的重量看作1份，如下图：
如果橘子重量增加3千克，正好是苹果重量的3倍，香蕉
的重量减少2千克，正好是苹果重量的2倍，这时三种水
果的总重量变为：53＋3－2＝54(千克)，正好是苹果重量
的(1＋3＋2)倍，苹果有 (53＋3－2)÷(1＋3＋2) ＝54÷
6＝9(千克)，橘子有9×3－3＝24(千克) .

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练习2. 某小学原来参加室外活动的人数比参加室 活动的人数多
480
人，现在把室活动的
50
人改为室外活
动，这样 室外活动的人数正好是室人数的
5
倍，则参加室、室外活动的共有多少人?
【解析】 原来室外、室活动人数相差
480
人，现把室的
50
人改为室外活动，这样室 外活动人数比室人数多
这时室外活动人数正好是室人数的
5
倍，
580
人相当于现在室活动人数的
480502580
(人)，
514
(倍)，这样可先求出现在室活动人数为
5804145
，再求出室、外人数之和：
145(51)870
人．

练习3. 小云比小雨少20本书，后来小云 丢了5本书，小雨新买了11本书，这时小雨的书比小云的书多
2倍.问：原来两人各有多少本书？
【解析】 小雨的书比小云的书多2倍”，即小雨的书是小云的书的3倍.这个“倍数”是变化后的，所 以“1
倍”数应是小云变化后的书(见下图).“差”是20＋5＋11＝36(本).
小云现有书：(20＋5＋11)÷(3-1)＝18(本)；小云原来有书18＋5＝23(本)，
小雨原来有书23＋20＝43(本).

练习4. 甲、乙两桶油重量相等，甲桶 取走
16
千克油，乙桶加入
14
千克油后，乙桶油的重量是甲桶油的
重量的
4
倍．甲桶原来有油多少千克？
【解析】 后来乙比甲多
1416 30
千克油，所以这时甲桶油的重量是：
30(41)10
(千克)，甲桶原 来
有油
101626
(千克) ．

月测备选


测试1、两组学生参加义务劳动，甲组学生人数是乙组的3倍，而乙组的学生人数比甲组的3 倍少
40人，求参加义务劳动的学生共有多少人？
【解析】 把乙组学生人数看作1份，画出线段图如下：

甲组学生人数是乙组学生人数的3倍，则甲组学生人数的3倍就是乙组人数的（3×3=）9倍。
所以，乙组人数为：40÷（9-1）=5（人）；
参加义务劳动的学生共有：5×（1+3）=20（人）。

测试2、四年级有甲、 乙、丙、丁四个班．不算甲班，其余三个班的总人数是131人；不算丁班，其余三
个班的总人数是13 4人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人．问：这四个班共有多少人？
【解析】 由题 意，乙、丙、丁三个班总人数为131人，甲、乙、丙三个班总人数为134人，于是可以看出，
甲班比 丁班多3个人．又因为乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人，也就是说乙、
丙两班总人数是 丁班的2倍还多2人．从而可以求出丁班的人数为：
．
(1312)343
（人）
因此这四个班的总人数为
13443177
（人）．

测试3、某校五年级比六年级人数少
154
人，若六年级学生再转来
46
人， 则六年级学生是五年级学生的
3
倍，
问五、六年级各有多少人？
【解析】 五年级人数为：
(15446)(31)100
（人），六年级的人数：
10 0154254
（人）．

测试4、两根绳，第一根长
64
米 ，第二根长
52
米，剪去同样长后，第一根是第二根的
3
倍，求每根绳减去< br>几米？
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【解析】 剪去同样长后，第一根比第二根长
(6452)
米，因此，第二根剩下的长为
(6452)(31)6
米，从而剪去的长度为
52646
米 ．
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