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四年级奥数举一反三数学开放题
盈亏问题
专题简析：
在日常生活 中常有这样的问题：一定数量的物品分给一定数量
的人，每人多一些，物品就不够；每人少一些，物品就 有余。盈亏
问题就是在已知盈亏的情况下来确定物品总数和参加分配的人数。
解答盈亏问题的关键是弄清盈、亏与两次分得差的关系。
盈亏问题的数量关系是：
（1）（盈＋亏）÷两次分配差=份数
（大盈－小盈）÷两次分配差=份数
（大亏－小亏）÷两次分配差=份数
（2）每次分得的数量×份数＋盈=总数量
每次分得的数量×份数－亏=总数量

例1：一个植树小组植树。如果每 人栽5棵，还剩14棵；如果每
人栽7棵，就缺4棵。这个植树小组有多少人？一共有多少棵树？ 思路导航：植树的人数和树的棵数是不变的。比较两种分配方
案，结果相差14＋4=18棵，即第 一种方案的结果比第二种多18
棵。这是因为两种分配方案每人植树的棵数相差7－5=2棵。所以
1

植树小组有18÷2=9人，一共有5×9＋14=59棵树。




练 习 一
1，幼儿园把一些积木分给小朋友， 如果每人分2个，则剩下
20个；如果每人分3个，则差40个。幼儿园有多少个小朋友？一
共 有多少个积木？




2，某校安排宿舍，如果每间6人，则1 6人没有床位；如果
每间8人，则多出10个床位。问宿舍多少间？学生多少人？





2

3，有一个班的同学去划船，他们算了一 下，如果增加一条船，
正好每条船坐6人；如果减少一条船，正好每条船坐9人。问：这
个班共 有多少学生？


例2：学校将一批铅笔奖给三好学生。如果每人奖9支，则缺45
支；如果每人奖7支，则缺7支。三好学生有多少人？铅笔有多少
支？
分析与解答： 这是两亏的问题。由题意可知：三好学生人数和
铅笔支数是不变的。比较两种分配方案，结果相差45－ 7=38支。
这是因为两种分配方案每人得到的铅笔相差9－7=2支。所以，三
好学生有38 ÷2=19人，铅笔有9×19－45=126支。

练 习 二
1，将月季花插 入一些花瓶中。如果每瓶插8朵，则缺少15
朵；如果每瓶改为插6朵，则缺少1朵。求花瓶的只数和月 季花的
朵数。



3

2， 王老师给美术兴趣小组的同学分发图画纸。如果每人发5
张，则少32张；如果每人发3张，则少2张。 美术兴趣小组有多
少名同学？王老师一共有多少张图画纸？


3，老师将 一些练习本发给班上的学生。如果每人发10本，
则有两个学生没分到；如果每人发8本，则正好发完。 有多少个学
生？多少本练习本？




例3：有一些少 先队员到山上去种一批树。如果每人种16棵，还
有24棵没种；如果每人种19棵，还有6棵没有种。 问有多少名
少先队员？有多少棵树？
分析与解答：这是两盈的问题。由题意可知：少先队员的 人数
和树的棵数是不变的。比较两种分配方案，结果相差24－6=18
棵，这是因为两种分配 方案每人种的树相差19－16=3棵。所以，

4

少先队员有18÷3=6名，树有16×6＋24=120棵。

练 习 三
1，小虎在敌人窗外听里边在分子弹：一人说每人背45发还
多260发；另一人说每 人背50发还多200发。有多少敌人？多少
发子弹？
2，杨老师将一叠练习本分给第一小组 的同学。如果每人分7
本，还多7本；如果每人分8本则正好分完。请算一算，第一小组
有几个 学生？这叠练习本一共有多少本？




3，崔老师给美术兴趣 小组的同学分若干支彩色笔。如果每人
分5支则多12支；如果每人分8支还多3支。请问每人分多少支
刚好把彩色笔分完？




5

例4：学校给一批新入学的学生分配宿舍。如果每个房间住12人，
则34人没有位置；如果每个房间住14人，则空出4个房间。求
学生宿舍有多少间？住宿学生有多少人 ？
分析与解答：把“每间住14人，则空出4个房间”转化为“每
间住14人，则少14×4 =56人”。比较两种分配方案，结果相差
34＋56=90人，而每个房间相差14－12=2人。所 房间数为90÷
2=45间，学生人数为12×45＋34=574人。

练 习 四
1，某校有若干个学生寄宿宿舍，若每一间宿舍住6人，则多
出34人；若每间宿舍住7人 ，则多出4间宿舍。问宿舍有多少间？
寄宿学生有多少人？





2，育才小学学生乘汽车去春游。如果每车坐65人，则有15

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人不能乘车；如果每车多坐5人，恰好多余了一辆车。问一共有几
辆汽车？有多少学 生？




3，学校分配学生宿舍。如果每个房间住6人，则少 2间宿舍；
如果每个房间住9人，则空出2个房间。问学生宿舍有多少间？住
宿学生有多少人？




例5：少先队员去植树，如果每人挖5个树坑，还有3个坑 没人挖；
如果其中2人各挖4个，其余的人各挖6个树坑，就恰好挖完所
有树坑。少先队员一共 挖多少树坑？
分析与解答：如果每人都挖6个树坑，那么少（6－4）×2=4
个树坑，两次 相差4＋3=7个树坑。这是因为两种分配方案每人挖
的相差6－5=1个树坑。所以，少先队员一共有 7÷1=7人，一共

7

挖5×7＋3=38个树坑。

练 习 五
1，老师给幼儿园的小朋友分苹果。如果每个小朋友分2个，
还多30个 ；如果其中的12个小朋友每人分3个，剩下的每人分4
个，则正好分完。一共有多少个苹果？
2，在一次大扫除中，老师分配若干人擦玻璃。如果其中2人
各擦4块，其余每人擦5块，则余22块 ；如果每人擦7块，则正
好擦完。求擦玻璃的人数和玻璃的块数。





3，小红家买来一篮橘子分给全家人。如果其中二人每人分4
只，其余每 人分2只，则多出4只；如果其中一人分6只，其余
每人分4只，则又缺12只。小红家买来多少只橘子 ？小红家一共
有多少人？


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第四十周 数学开放题

专题简析：
数学开放题是 相对于传统的封闭题而言的一种题型。由于客观
世界复杂多变，数学问题也必然复杂多变，往往不可能得 到唯一答

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案。
一般而言，数学开放题具有以下三个特征：
1，条件不足或多余；
2，没有确定的结论或结论不唯一；
3，解题的策略、思路多种多样。
解答数学开 放题，需要我们从不同角度分析和思考问题，紧密
联系实际，具体问题具体分析。我们一般可以从以下几 方面考虑：
1，以问题为指向，对现有条件进行筛选、补充和组合，促进
问题的顺利解决；
2，根据知识之间的不同联系途径对给定的条件进行不同的组
合，采用不同的方法求解；
3，避免“答案唯一”的僵化思维模式，联系实际考虑可能出
现的多种情况，得出不同的答案。

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例1：A、B都是自然数，且A＋B=10，那么A×B的积 可能是多
少？其中最大的值是多少？
分析与解答：由条件“A、B都是自然数，且A＋B=10”，可
知A的取值范围是0 ~ 10，B的取值范围的10 ~ 0。不妨将符合
题意的情形一一列举出来：
0×10=0 1×9=9 2×8=16 3×7=21 4×6=24 5×5=25
A×B的积可能是 0、9、16、21、24、25。当A=B=5时，A×B
的积的最大值是25。
从以上过程发现，当两个数的和一定时，两个数的差越小，积越大。
练 习 一
1．甲、乙两数都是自然数，且甲＋乙=32，那么，甲×乙的积
的最大值是多少？
2．A、B两个自然数的积是24，当A和B各等于多少时，它
们的和最小？
3．A 、B、C三个数都是自然数，且A＋B＋C=18，那么A×
B×C的积的最大值是多少？

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例2：把1 ~ 5五个数分别填 图中的五个圆圈内，使每条直线上
三个圆圈内各数的和是9。

分析与解答：每条直线上三个圆圈内各数的和是9，两条直线
上数的和等于9×2=18（其中 中间圈内的数重复加了一次）。而1、
2、3、4、5的和为15，18－15=3。所以，中间圈内应 填3。这
样，两条直线上的圆圈中可以分别填1、3、5与2、3、4。
这个解我们也叫做基本解，由这个基本解很容易得出其余的七
个解。
练 习 二
1，把1 ~ 5五个数分别填入图中的五个圆圈内，使每条直线
上三个圆圈内各数的和是10。



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2，把3 ~ 7五个数分别填入图中的五个圆圈内，使每条直线
上三个圆圈内各数的和相等而且最大。


3，把1 ~ 7七个数分别填入图中的七个圆圈内，使每条直线
上三个圆圈内各数之和相等。


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例3：把1 ~ 6六个数分别填入图中的六个圆圈中，使每条边上三
个数的和都等于9。

分析与解答：每边上三个数的和都等于9，三条边上数的和等
于9×3=27，27－（1＋2 ＋3＋4＋5＋6）=6。所以，三个顶点处
被重复加了一次的三个数的和为6。在1 ~ 6，只有1 ＋2＋3=6，
故三个顶点只能填1、2、3。这样就得到一组解：1、5、3；1、6、
2； 3、4、2。
练 习 三
1，把1 ~ 6六个数分别填入图中的六个圆圈中，使每条边上
三个数的和都等于12。



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2，把1 ~ 8八个数分别填入图中的八个圆圈中，使每个圆圈
上五个数的和都等于21。

3，把1 ~ 9这九个数分别填入图中的九个圆圈中，使每条边
上四个数的和相等而且最小。


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例4：在 一次羽毛球比赛中，8名运动员进行淘汰赛，最后决出冠
军。共打了多少场比赛？（两名运动员之间比赛 一次称为一场）
分析与解答：8名运动员进行淘汰赛，第一轮赛4场后，剩下
4名运动员；第 二轮赛2场后，剩下2名运动员；第三轮只需再赛
1场，就能决出冠军。所以，共打了4＋2＋1=7场 球。
还可以这样想：8名运动员进行淘汰赛，每淘汰1名运动员，
需要进行1场比赛，整个比 赛共需要淘汰8－1=7名运动员，所以
共打了7场比赛。
练 习 四
1，在一次乒乓球比赛中，32名运动员进行淘汰赛，最后决出
冠军，共打了多少场球？ 2，在一次足球比赛中，采取淘汰制，共打了11场球，最后
决出冠军。共有多少支足球队参加了这 次比赛？
3，有13个队参加篮球赛，比赛分两个组。第一组7个队，
第二组6个队。各组先 进行单循环赛（即每队都要与其他各队比赛
一场），然后由各组的前两名共4个队再分成两组进行淘汰赛 ，最
后决出冠、亚军。共需比赛多少场？

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例5：一 个学生从家到学校，如果以每分钟50米的速度行走，就
要迟到8分钟；如果以每分钟60米的速度前进 ，就可以提前5分
钟到校。这个学生出发时离上学时间有多少分？
分析与解答：解答这道题， 可以以不同的时间为标准，选择的
标准不同，解答方法也有所不同。例如，如果直接以这个学生出发时离上学的时间为标准。可这样分析：由“每分钟行50米，要迟
到8分钟”，可知学校上课时，这 个学生还离学校50×8=400米；
由“每分钟行60米，可以提前5分钟到校”，可知距学校上课时 ，
他还可走60×5=300米。两种不同的速度，在相同的时间内路程
相差400＋300= 700米，而两种速度每分钟相差60－50=10米。
因此，这个学生出发时离上课时间为：700÷ 10=70分钟。
解法一：（50×8＋60×5）÷（60－50）=70分；
解法二：60×（5＋8）÷（60－50）－8=70分；
解法三：50×（8＋5）÷（60－50）＋5=70分。
练 习 五
1， 李老师从家到学校上班，出发时他看看表，发现如果步行，
每分钟80米，他将迟到5分钟；如果骑自行 车，每分钟行200米，
他可以提前7分钟到校。李老师出发时离上班时间有多少分？
2，一位小学生从家到学校，如果以每分50米的速度行走，

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就迟到3分钟；如果以每分70米的速度行走，就可以提前5分到
校。求他家到学校的距离。
3，一个学生从家到学校上课，先用每分钟80米的速度走了3
分钟，发现这样走下去将迟到3 分钟；于是他就改用每分钟110
米的速度前进，结果比上课提前了3分钟。这个学生家离学校有多远？


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