入伍报名-调查报告格式及范文

目录
第一讲 加减速算与巧算······2
第二讲 乘法速算与巧算······9
第三讲 乘除法速算与巧算······14
第四讲 找规律填数······21
第五讲 应用题（一）······26
第六讲 错中求解······33
第七讲 数数图形······40
第八讲 数列求和······46
第九讲 和倍问题······55
第十讲 差倍问题······63
第十一讲 和差问题······70
第十二讲 消去法解题······77
第十三讲 还原问题······84
第十四讲 图形面积计算······91
第一讲 加减速算与巧算
人生一世离不开计算：日常生活买这买那离不开；学习活动中求解问题离不开；科学研究和统筹 设计
离不开……。为了加快我们的生活节奏，提高我们的工作效率，人们总想着算得快些，再快些。为此 ，人
们总结了不少精彩的速算方法和技巧。
速算和巧算也一直是数学学习中的一个重 要内容，同学们也一定希望自己在计算时，算得正确，迅速
又合理灵活吧！那么怎样才能做到这些呢？
首先必须掌握一些计算法则、定理、性质和拆、并等一些技巧性方法。其次是要整体观察题目， 找出
数据特点及它们之间的联系。三是联想一些相关的运算定律和性质，选择最佳的算法，从而使较复杂 的计
算题能很快地计算结果。
在加减法的运算中，同学们熟知的加法交换律和加法结合律是运算的基础，请同学们回忆一下：a＋b
﹦ ；a＋b＋c﹦
还有一些比较重要的性质是我们在学习过程中需要掌握的。
⑴“带符号搬家”：在连减或加、减法的混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时可以带 着运算
符号“搬家”。即数字与它前面的符号可同时在运算中移动位置，不影响运算的结果。
例如：a－b－c﹦a－c－b a＋b－c﹦a－c＋b

⑵“添括号法 则”：在加、减法混合运算中，添括号时，如果添加的括号前面是“＋”号，那么括号
内的数的原运算符 号不变；如果添加的括号前面是“－”号，那么括号内的数的原运算符号要改变。即
“＋”变“－”，“ －”变“＋”。
例如：a＋b－c﹦a＋(b－c), a－b－c﹦a－(b＋c)
⑶“去括号法则”：在加、减法混合运算中，去括号时，如果括号前面是“＋”号，那么去掉括号 后，
括号内的数的运算符号不变；如果括号前面的是“－”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号 改变。
即“＋”变“－”，“－”变“＋”。
例如：a＋(b－c)﹦a＋b－c a－(b－c)﹦a－b＋c
例1、计算 5678＋426＋2468＋574＋7532＋4322
试一试1、 2345＋6789＋1359＋3211＋8641＋7655
例2、4567－2357＋3864＋5433－7643－2864
试一试2、 3842－1438＋2864－562－842＋7136
例3、199999＋19999＋1999＋199＋19
试一试3、 199999＋29999＋3999＋499＋59
例4、997＋9979＋124
试一试4、 998＋3＋99＋9998＋3＋9
例5、82＋84＋79＋78＋80＋83
试一试5、 101＋102＋103＋99＋104＋96＋106＋103＋98＋97
例6、1－2＋3－4＋5－6＋……＋1991－1992＋1993
试一试6、1000 ＋999－998－997＋996＋995－994－993＋…＋108＋107－106－105＋104 ＋103－102－101
综练：
1、234＋7816＋527＋3766＋5473＋184
2、9456－3128－4527＋5527－6872＋544
3、99999＋9999＋999＋99＋9
4、8＋98＋998＋9998＋99998
5、某班10个同学的身高为：148㎝、1 63㎝、152㎝、147㎝、158㎝、165㎝、139㎝、148㎝、149㎝、
141㎝。求这 10个同学的平均身高。
6、2004－2003＋2002－2001＋……＋2－1
7 、

123454680187362



8765 55319912638


8、

19



210



311



412



816



917



1018


考练：
1、9＋98＋997＋9996＋99995
2、799998＋79997＋7996＋797＋78
3、47＋51＋49＋50＋52＋55＋41＋54＋40
4、2134－1568－45－55＋568
5、1＋2－3－4＋5＋6－7－8＋9＋ 10……＋1986－1987－1988＋1989＋1990
6、500－99－1－98－2－97－3－96－4－95－5
7、
723< br>
12374



2677


8、
612375275

388286


本讲总结笔记
第二讲 乘法速算与巧算

数学课上老师在黑板上出了这样一道计算题：83 ×87﹦，老师刚一写完，李刚马上就报出了得数，83×87
﹦7221。同学们搞不清李刚的答案对 不对，纷纷低下头算起来，没过多久，大家忽然为李刚鼓起掌来，因
为他的答案是对的。老师笑眯眯地说 ：“同学们，你们不但要会算，还要像李刚那样会巧算，这样脑子才会
越用越聪明，学习才会越来越好。 ”
那么，李刚究竟是用什么方法巧妙、快速地算出这道题的结果呢？下面就让我们来揭开谜底吧。
例1、你能很快算出576×5的结果吗？2573×5呢？
试一试1、89×5 5×679 4032×5
例2、你能迅速算出下面各题的结果吗？
（1）28×15 （2）362×15 （3）4526×15
试一试2、34×15 264×15 2562×15
例3、你能迅速算出下面各题的结果吗？
28×9 34×99 267×999 2567×9999
试一试3、58×9 36×99 154×999 6812×9999
例4、计算26×86 72×32
试一试4、65×45 38×78 97×17
例5、计算83×87 41×49 18×12
试一试5、73×77 89×81 28×22
例6、你有好办法计算下面各题吗？
⑴25×73×4 ⑵8×20×125×5 ⑶625×4×3×16
试一试6、4×85×25 5×16×625×2 4×19×25×5
例7、用简便方法计算下面各题。
⑴48×25 ⑵25×32×125 ⑶625×32×5×7
试一试7、25×16 16×25×25 32×125×25×9
综练：
1、46×5 371×5 869×5
2、58×15 388×15 3776×15
3、9×72 99×65 2202×999 1548×9999
4、82×22 51×51 73×33 69×49
5、85×85 61×69 16×14 28×22
6、27×125×8 25×125×8×4 25×3×125×4×8
7、625×48 125×16×5 25×3×64×125
考练：
1、5×38 852×50 8750×5
2、15×96 15×892 15×8144
3、74×76 17×97 125×125
4、9999＋9999×9999 1001×1001－1001
5、76×32×125×25 48×99×25
6、54×56 99×91 21×29
7、998×999＋1998 999999×777778

本讲总结笔记
第三讲 乘除法速算与巧算
在前面几章里，小朋友已经学会运用一些运算定律和性质来进行巧算。在这一章中，我们一起研究关
于乘 、除法的速算和巧算。主要思想：利用公式，转化原式，从而凑整进行计算。
相关公式如下：

（1）a×b﹦b×a
（2）（a×b）×c﹦a×(b×c)
（3）（a＋b）×c﹦a×c＋b×c
（4）（a＋b）÷c﹦a÷c＋b÷c（c不等于0）
（5）a÷b﹦(a×n) ÷(b×n) ﹦(a÷m) ÷(b÷m)(m、n不等于0)
（6）a÷b÷c﹦a÷c÷b﹦a÷(b×c)
（7）a×b÷c﹦a÷c×b﹦b÷c×a
（8）a×（b÷c）﹦a×b÷c﹦a÷c×b
（9）a÷（b÷c）﹦a÷b×c﹦a×c÷b
例1、（1）567×424＋576×567 （2）426×424－426＋577×426
试一试1、465×123＋877×465 46×18＋18×55－18
例2、（1）（13×4×5×6）÷（4×5×6） （2）241×345÷678÷345×678÷241
（3）100000÷32÷125÷25 （4）12600÷25
试一试2、（12×5×7×13×7）÷（7×7×13） 465÷123×798÷465÷798×123
45000÷8÷125 1037000÷125
例3、240÷5 1600÷25 3500÷125
试一试3、2360÷5 4600÷25 22000÷125
例4、6237÷63 4635÷45
试一试4、7425÷75 5814÷57
例5、1064÷28＋1736÷28 7538÷56－1938÷56
试一试5、2572÷48＋2228÷48 7328÷47－2628÷47
例6、6666×6666 999×222＋333×334
试一试6、666×666 9999×2222＋3333×3334
例7、37×18＋27×4 999×999＋1999 2652÷26
试一试7、28×36＋48×54 19999＋9999×9999 1976÷19
综练：
1、37×37＋37×63 73×121＋73×29－73×50
2、362÷251×834÷362÷834×251 （24×5×6×7）÷（5×6×7）
77000÷121×11 42800÷25 48×99×25
3、12800÷4÷25 95000÷（1000÷8）
3690÷205÷9 665÷7÷5
4、564÷8＋789÷8＋87÷8 35÷9＋47÷9－7÷9－12÷9
5、3332÷34 5684÷58＋7344÷72
6、9999×1111＋3333×6667 998×999＋1998 4794÷47
考练：1、76×32×125×25 125×23×72÷9
11×9×11＋11×11 72×24＋15×28＋9×28
2、444×728÷182 48×29÷87
（17×12×3）÷（3×2×6） 3264000÷125
3、325÷25 （720＋96）÷24
6342÷21 8÷7＋9÷7＋11÷7
4、28×29×30－28×29×5－25×28×19
354×442－353×443 1994×1994－1993×1993

本讲总结笔记

第四讲 找规律填数

我们生活在一个五彩缤 纷、千变万化的世界里。为了更美好的明天。我们必须去研究这千变万化的世
界，认识它的变化规律，并 利用这些规律为我们服务。
同学们从小认识一些简单的规律，并利用这些规律来解决问题，能使我们养 成爱动脑、勤动手的良好
习惯。使我们变得越来越聪明，有助于我们长大后去发现更复杂、更高深的规律 ，对人类做出更大的贡献。
数学中，到处都是规律、定律、法则、公式等，就是这些规律的结晶。在我 们的奥林匹克数学中，不
少知识都涉及到“找规律、用规律”这一基本的、重要的思想方法。
寻找规律一般分为寻找数列的规律，数组的规律，图形的变化规律和计算中的规律等几种情况。
对于数列中的规律，我们一般情况下是观察后两个数的变化情况，也可以联系第几个数的“几”去观察
规律。
对于数组中的规律，我们往往是寻找这一组中几个数之间的变化规律。
图形的变化规律往往比较复杂，同学们要从大小、方向、位置等几个方面去观察图形。
例题1、找出下面数列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。
（1）1，5，9，13，17，（ ），（ ），……
（2）18，19，21，24，28，（ ），……
（3）2，4，8，16，（ ），……
试一试1、找出下面数列中的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。
（1）2，4，6，8，10，（ ），（ ），……
（2）1，4，8，13，19，（ ），……
（3）3，6，24，48，（ ），……
例题2、先找出下面数列中的规律，并根据规律在括号内填上合适的数。
（1）12，2，10，2，8，2，（ ），（ ）
（2）6，1，8，3，10，5，12，7，（ ），（ ）
试一试2、先找出下面数列中的规律，并根据规律在括号中填上合适的数。
（1）23，1，20，1，17，1，（ ），（ ）
（2）3，10，5，20，7，30，（ ），（ ）
例题3、数列1，1，2，3，5，8，13，21，（ ），（ ）…… 中，括号里应该填什么数？
试一试3、数列3，4，7，11，18，（ ），（ ）中，括号里应填什么数？
例题4、根据下面各数列的规律，在括号里填上合适的数。
（1）2，3，5，9，17，（ ）
（2）99，36，15，（ ）
试一试4、根据下面各列数的规律，在括号里填上合适的数。
（1）3，8，18，38，（ ）
（2）126，45，18，9，（ ）
例题5、根据前面图形里数之间关系，想一想第三个图形的括号里应填什么数？
（1）
（2）
试一试5、

（1）
（2）
20
14
例题6、下面的图形是按一定规律排列的，请你仔细观察，画出第四幅图。
5
试一试6、下面的图形是按一定规律排列的，请你按这个规律画出第四幅图形。
( )
4
5 7
练习：
8 4
1、根据规律，在括号内填上适当
的数。
（1）6，12，18，24，（ ），
（ ）
（2）9，11，15，21，29，（ ），51
2、找出规律，在括号内填上适当的数。
（1）3，4，5，8，7，16，9，32，（ ），（ ）
（2）1，4，1，6，1，8，（ ），（ ）
3、按规律在括号内填上适当的数。
（1）3，7，15，31，63，（ ），（ ）
（2）33，17，9，5，3，（ ）
4、数列2，2，4，6，10，16，（ ），（ ），……中，括号里应填什么数？
5、根据前面图形里数之间的关系，想一想第三个图形的括号里应填什么数？
（1）
（2）
6、下图是按
请按这个规
图形。
7、找出规律，想一想第10行第
……
考练：
1、按规律填数。
（1）3，29，4，28，6，26，9，23，（ ），（ ）
（2）128，64，32，（ ），8，（ ），2
2、找出规律，在括号内填上合适的数。
（1）4，9，14，（ ），24，29
（2）5，25，125，625，（ ）
3、数列21，13，8，5，3，（ ），（ ）中，括号里应填什么数？
4、下面括号里两个数按一定规律组合，在横线上填上适当的数。
（1）（8，7），（6，9），（10，5），（ ，13）
（2）（4，5），（5，7），（7，10），（10， ）
5、根据规律，在下面空格中填上合适的数。
一定的规律排列起来的，
律在“？”处画出适当的
2个数是多少？

6、下图是按一定的规律排列的，请按这个规律在“？”处画上适当的图形。
7、在括号里填上合适的数。
2，4，8，16，32，（ ），……，（ ）。
第10个数
8、仔细观察下列算式的规律，再计算。
123454321
× =
1234
……
9910099
……
432 1

本节笔记总结

第五讲 应用题（一）
学习数学的目的之一，就是会运用它的思想、方法和结论来解决我们遇 到的各种实际问题，应用题就
是其中的一种。
一个完整的应用题应包括已知条件，要解答的问 题以及相关的一些情节，它的问题与条件是密切相关
的，条件决定着问题的解答。
解答应用题 的基本步骤是：（1）认识题，弄清题中的条件有几项，问题是什么；（2）分析题，就是要
找出条件与 条件之间，条件与问题之间有什么联系，确定解题的突破口及解答过程，先算什么，后算什么
要心中有数 ；（3）列式解答，解出问题；（4）检验，看答案是否正确，是否符合题意，是否符合实际；（5）
写 出答语，明确回答出问题的解。
例题1、一桶油连桶重200千克，用去一半油后，连桶还有110千克，问原来油和桶各重多少千克？
试一试1、一袋米，连袋重100千克，用去一半后，连袋还有51千克，问米和袋原来各有多少千克？
例题2、某玩具厂把630件玩具分别装在5个塑料箱和6个纸箱里。一个塑料箱与三个纸箱装的玩具同 样
多，每个塑料箱和纸箱各装多少件玩具？
试一试2、幼儿园买了2张桌子和9把椅子共付款 195元，一张桌子的价钱正好与三把椅子的价钱相等，
每张桌子和每把椅子各多少元？
例题 3、四年级（1）班有54人参加语文、数学期末考试，语文成绩在90分以上的有34人，数学成绩在
90分以上的有37人，每人至少有一门功课在90分以上，问两门功课在90分以上的有多少人？
试 一试3、四（2）班有48人，班主任问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手，又问：“谁做完数学< br>作业，请举手！”有42人举手，最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手，求这个班语文 、
数学作业都完成的人数。
例题4、有5筐苹果，每筐苹果个数相等，如果从每筐里拿出30 个，5筐苹果剩下个数的总和等于原来2
筐苹果的个数。原来每筐有多少个？
试一试4、有5 盒茶叶，如果从每盒中取出200克，那么5盒剩下的茶叶正好等于原来4盒的重量，原来
每盒茶叶有多 少克？
例题5、李明参加达标测试，五项平均成绩是86分，如果投掷成绩不算在内，平均成绩是85 分，李明投
掷得了多少分？
试一试5、李明、陈平、林玲、张华四人的平均身高是162厘米 。李明、陈平、张华三人的平均身高是160
厘米，林玲身高多少厘米？
例题6、图书室有两 个书架，存有图书若干本，若从甲书架取120本书放到乙书架，则两个书架的图书本
数相等；如果从乙 书架取120本书放到甲书架上，那么甲书架的图书本数正好是乙书架的2倍，甲、乙两
个书架原来各有 多少本书？
试一试6、甲、乙两个仓库存有大米，从甲仓运70袋到乙仓，则两仓大米袋数相等；若从 乙仓运70袋到
甲仓，则甲仓大米的袋数是乙仓的2倍，原来两个仓库各有大米多少袋？
综练：
1、一筐苹果连筐重26千克，卖出一半后，连筐还有14千克，这筐苹果原来重多少千克？
2、城南小学买4张办公桌和9把椅子共用去252元，1张办公桌和3把椅子的价钱正好相等，办公桌和椅子的单价各是多少元？

3、四（1）班有43人，订阅《中国少年报》的有31人 ，订阅《童话报》的有27人，每人至少订阅其中一
份报纸，四（1）班有多少人既订阅《中国少年报》 又订阅《童话报》？
4、有5箱饼干，如果从每个箱子里取出6千克，那么5个箱子里剩下的饼干正好 等于原来4箱饼干的重量，
原来每个箱子里装多少千克饼干？
5、李红三门功课考试平均成绩 是94分，语文和英语的平均成绩比三门功课的平均成绩低2分，李红的数
学考了多少分？
6 、有甲、乙两盒图钉，如果从甲盒取30只图钉放入乙盒，则两盒图钉个数相等。如果从乙盒拿30只图钉
放入甲盒，则甲盒图钉的个数是乙盒的2倍，甲、乙两盒原来各有图钉多少只？
7、某班有学生40 人，一次数学测验有3位同学因病未考，这时班级的平均分是75分，后来这三位同学补
考后，分别取得 95分、82分、88分，现在班级的数学平均分是多少？
考练：
1、一只油桶里有一些油 ，如果把油加到原来的3倍，这时连桶重28千克，如果把油加到原来的4倍，这
时连桶重36千克，原 来油桶内有多少千克油？
2、王阿姨买了3千克桔子和5千克栗子共付59.8元，后来王阿姨把2千 克栗子正好换成了4千克桔子。
求桔子和栗子的单价各是多少元？
3、期中考试后，班主任问 班上同学：“语文、数学两门成绩都在90分以上的请举手”，有26人举手，又问：
“数学成绩在90 分以上的请举手”，有38人举手。再问：“语文成绩在90分以上的请举手”，有34人举手。
最后问 ：“语、数成绩都在90以下的请举手”，5人举手。请问这个班共有多少名学生？
4、有8盒茶叶， 如果把每盒中再加入200克茶叶，那么这时8盒茶叶的重量相当于原来12盒茶叶的重量，
原来每盒茶 叶重多少克？
5、小华参加三次数学竞赛，前两次的平均成绩是94分，三次的平均成绩是96分，小 华第三次竞赛得多少分？
6、甲、乙两人各有邮票若干张，若甲给乙45张，则甲、乙两人的邮票相等 ，若乙给甲30张，则乙的邮票
张数是甲的一半，甲、乙两人原来各有邮票多少张？
7、有5 个数，平均数是9，如果把其中一个数改为1，那么这五个数的平均数是8，这个改动的数原来是多少？
8、小华、小军、小刚三人拿同样多的钱合买了一筐苹果，分苹果时，小华和小军都比小刚多分6千克，因此，每人要给小刚9.6元，问每千克苹果多少元？
本节笔记总结
第六讲 错中求解
小 明是个非常聪明的学生，可就是有粗心大意的毛病。今天，小明在做除法计算时，又犯了粗心的毛
病，他 把除数540末的尾“0”漏写了，结果得到商是60。
李老师把小明喊到面前，告诉他又犯 了粗心的毛病，接着又问小明：“不用竖式计算，你能知道正确的
商应该是多少吗？”小明看了看自己的 作业，又眨了眨眼，很快地报出答案是6。李老师忙问：“你怎么算的？”
小明说：“我把除数540末 尾的0漏掉了，除数就被我缩小了10倍，那我得到的商就比正确的商扩大了10
倍，所以正确的商应该 是6。”
像这样，根据错误的算式及错误原因，来寻求正确答案的问题就是“错中求解”。
解答这样的题目，我们要熟悉加、减、乘、除各部分间的关系：
一个加数＝和－另一个加数 减数＝被减数－差
被减数＝减数＋差 一个因数＝积÷另一个因数
除数＝被除数÷商 被除数＝商×除数
在有余数的除法里还有：
被除数＝商×除数＋余数 除数＝（被除数－余数）÷商
例题1、小明做题时，由于粗心大意把被减数个位上的8写成了3，把十 位上的0写成了6，这样算得的差
是299，正确的差是多少？
试一试1、小军做题时，由于 粗心把被减数个位上的3写成了5，把十位上的9写成了6，这样算得的差是

157，正 确的差是多少？
例题2、一个数乘4，李华把乘号当成了加号，得到的结果是36，正确的积是多少？
试一试2、一个数除以4，李玲计算时把除号看成了减号，得到的结果是28，正确的商是多少？ 例题3、小晶在计算除法时，错把除数65写成56，结果得到商是13，余数是52，正确的商应该是多少 ？
试一试3、小华在计算除法时，把除数87错写成78，结果得到商是5，余数是45，正确的商应 是多少？
例题4、一位同学做两位数乘两位数的乘法时，把一个因数的个位数1误写成7，结果得64 6，这道题正确
的积应是418，这两个因数各是多少？
试一试4、张鹏做两位数乘两位数的 题时把一个因数个位上的4误写成1，乘得的结果是525，实际应为600，
这两个因数各是多少？
例题5、东东和亮亮做同一道乘法试题，东东误将被乘数增加14，计算的积增加了84，亮亮误将乘数 增加
了14，计算的积增加了210，那么正确的积是多少？
试一试5、甲、乙两人在计算同 一道乘法试题时，甲将一个因数增加了12，计算结果增加了60；乙将另一
个因数增加12，计算的结 果增加了72，正确的积应是多少？
例题6、两个数的和是78，小晶在计算时将其中一个加数个位上 的“0”漏掉了，结果算出的和是33，这两个
加数各是多少？
试一试6、两个数的和是12 8，一位学生在计算时将其中一个加数个位上的“0”漏掉了，结果算出的和是56，
这两个加数是多少 ？
综练：
1、小军做题时，由于粗心大意，把被减数个位上的3写成8，把十位上的0写成 6，这样计算得的差是187，
正确的差是多少？
2、一个数加14，小红在计算时把加号当成了乘号，得到的结果是266，正确的结果是多少？ 3、一位学生在计算除法时，错把被除数360当成630，结果得到的商是26，余数是6，正确的商是多 少？
4、一个学生做两位数乘两位数乘法时，把一个因数的个位数5误写成3，得到的乘积是516， 正确的积应
为540，这两个因数分别是多少？
5、两个数相乘，如果被乘数增加2，乘数不 变，积就增加36，如果乘数减少5，被乘数不变，积就减少120，
原来的积是多少？
6、 甲、乙两数的和是256，小刚在计算时把其中一个加数个位上的0漏掉了，算出的结果是148，甲、乙
两数分别是多少？
7、芳芳在计算5×（
□
＋9）错看成5×
□
＋9，她得到的结果与正确结果相差多少？
考练：
1、小明在计算两个数相加时，把一个加 数个位上的1错误地当作7，把另一个加数十位上的8错误的当作
3，所得的和是196，原来两数相加 的正确答案是多少？
2、一个数乘以6再除以5，亮亮在计算时错误地看成除以6再乘以5，结果得数 是75，正确的结果是多少？
3、东东在计算除法时，错把除数47当成74，结果得到商是20，余数是24，正确的商是多少？
4、两个学生在做同一道乘法计算试题时，其中一个同学把乘数个位上的3误写成5，得到的乘积是45 0，
另一个同学把这个3误写成8，得到的乘积是504，正确的乘积应是多少？
5、甲、乙 两名同学同做一道乘法试题，甲把被乘数增加了6，计算出的积增加162，乙把乘数个位的7看
成了1 ，计算出的结果减少了108，正确的积应是多少？
6、两数之差为172，小红在计算时把减数末尾的0漏掉了，结果求出的差是244，被减数是多少？
7、某同学在计算一道两位数的除法时，由于漏写了除数个位上的6结果得到的商比正确的商扩大了12 倍，
除数应为多少？
8、小欣在计算有余数的除法时，把被除数171错写成118，结果商 比原来少3，余数比原来少2，这道题
正确的商和余数各是多少？
第七讲 数数图形

数学题中常出现这样的题目：
（1） 图中共有几条线段？
（2） 图中共有几个长方形？
我们知道 ，在图（1）中长短不同的线段共有3＋2＋1=6（条），在图（2）中，共有大小不同的长方形
9个 。
要正确解答这类问题，最起码的要求是做到数图形是不重复不遗漏。既不能把同一个图形数两次，也
不能把有的图形漏掉不数，这就需要我们按照一定的顺序去数，并找出它的规律，巧妙地数出图形的个数 。
数的方法一般有两种：按顺序数和分类数。
数线段的方法是：线段的总数都等于从1开始的 几个连续自然数的和，而且最大的数正好比线段的总
端点数小1。算式应该是：（n -1）＋……＋3＋2＋1（n为线段的总端点数）。
数长方形的个数可以用公式：长边的线段数×宽边的线段数=长方形的个数。
数正方形的个数可以用：1×1＋2×2＋3×3＋……＋n×n（n为正方形一边的小格数）
例题1、数出下图中有多少条线段？
试一试1、数出下图中有多少条线段？
例题2、数一数下图中各有多少个三角形？
试一试2、数出下图中有多少个三角形？

例题3、数出下列图形中正方形的个数：
试一试3、下图中有多少个正方形？



















图（2） 图（3）

图（1）

例题4、数出下列图形中长方形的个数分别是多少？
试一试4、数一数一共有多少个长方形？
例题5、从广州到北京的某次快车中途要停靠8个大站。铁路局要为这次快车
准备多少种不同的 车票？这些车票又有多少种不同的票价？
试一试5、从上海至青岛的某次快车，中途停靠6个大站，这 次列车要准备多
少种不同的车票？这些车票又有多少种不同的票价？
例题6、数一数下图中有多少个长方形？
试一试6、数一数下图中共有多少个长方形？
综练：
1、下图中有多少条线段？
2、下图中各有多少个三角形？
3、下图中有多少个正方形？
4、图中有多少个长方形？
5、乒乓球男子团体比赛 ，共有10个队参加单循环赛（每个队都与其它队比赛1场），由此决出冠军，共要
比赛多少场？
6、数一数图中共有多少个长方形？
7、下图中有多少个三角形？
考练：
1、图中有几个角？
2、图中有几个三角形？
3、数一数图中有几个正方形？

4、数一数有几个长方形？
5、20个同学聚会，每人都和参加聚会的人握一次手。问参加聚会
的人一共握了几次手？
6、数一数图中有几个三角形？
7、数一数有几个正方形？
8、下图中有多少个三角形？
第
数列求和
八讲
同学们一定都很熟悉德国着名数学家高斯的故事。他幼年时代就 聪颖过
人，上小学时就能很快地计算1＋2＋3＋4＋……＋99＋100的结果。其实这并不难，只要 认识一些数排列
的规律，掌握巧妙的计算方法，你也能很快地计算出这类题目。
我们都知道， 排队时，总要按照一定的顺序来排，例如从高到矮，或从矮到高，有时则中间高两头矮
等等。在数学中， 为了便于研究事物的某些性质和规律，也常常把一些数按照一定的顺序排列起来，这样
的一列数叫做数列 。如：
（1）、1，2，3，4，5，……，99，100
（2）、1，3，5，7，9，11，……

（3）、1，2，4，7，11，16，22，……

上面这些数列中的每一个数称为 数列的一项，第一个数叫做首项，最后一个数叫做末项，数的个数叫
做项数。如果数列（1）的首项是1 ，末项是100，项数是100。
观察这些数列，不难发现，（1）和（2）有共同的规律：每相邻两 个数之间的差相等，这个差我们称为
公差，这样的数列叫等差数列。第（3）个数列没有这样的规律，不 是等差数列。
只有等差数列才能用高斯求和的方法计算。等差数列求和时，经常要用到下面的三个公式：
① 项数=（末项－首项）÷ 公差＋1
② 末项=首项＋（项数－1）× 公差
③ 总和=（首项＋末项）× 项数÷2
例题1、有一等差数列：4，10，16，22，……，580，这个等差数列共有多少项？
试一试1、已知等差数列：1，3，5，7，……，99，这个等差数列共有多少项？
例题2、有一等差数列：1，4，7，10，13，……，这个等差数列的第100项是多少？
试一试2、求等差数列：3，7，11，15，……的第99项。
例题3、有这样一个数列： 1，2，3，4，5，……，199，200。请你求出这个数列各项相加的和。
试一试3、请你求出等差数列1，2，3，4，……，49，50中各项相加的和。
例题4、 张师傅做一批零件，第一天做了20个，以后每天都比前一天多做2个，第30天做了78个，正好做完。
这批零件共有多少个？
想一想：如果把条件“第30天做了78个”改成“最后一天做了78个”，该如何解答？
试 一试4、儿童剧院有30排座位，第一排30个，后面每一排都比前一排多2个座位，最后一排有88个座位。< br>这个剧院共有多少个座位？
例题5、在一根长木条的两端及中间插上木板，第一块木板与第二块 之间放一个球，第二块与第三块之间放3
个球，每个木板间隔都比前一个多放2个球，现在最后一个间隔 里放了41个球，问一共有几块木板？一共有
几个球？
试一试5、有一堆粗细均匀的圆木，最 上面有4根，每一层都比上一层多1根，最下层有33根。这堆圆木
共有几层？一共有多少根？
例题6、新星幼儿园304个小朋友围成若干圈（一圈套一圈）做游戏，已知内圈24人，最外圈52人，如< br>果相邻两圈相差的人数相等，那么相邻两圈相差多少人？
试一试6、小明练习写毛笔字，第一天 写了4个，以后每天比前一天多写相同数量的大字，最后一天写了

34个，共写了589 个大字。问：小明每天比前一天多写几个大字？
例题7、5个连续自然数的和是225，求第一个数是多少？
试一试7、7个连续自然数的和是147，求这7个数。
例题8、在一条东西走向的大街上， 单号门牌的住户在南边，双号门牌的住户在北边，已知这条街上所有
门牌号码的总和是1770，求这条 街上共有多少门牌号码？单号门牌号码有几个？双号门牌号码有几个？
试一试8、在一条南北走向的大 街上，单号门牌的住户在东边，双号门牌的住户在西边，这条街上所有门
牌号码的总和是17955。这 条街上共有多少个门牌号？单号门牌号码有多少个？双号门牌号码有多少个？
综练：
1、已知等差数列200，198，196，……，100，这个等差数列共有多少项？
2、求数列3，5，7，9，……，这个等差数列的第20项是多少？197是这列数列的第几项？
3、求和：
① 5＋10＋15＋20＋……＋100 ② 101＋98＋95＋……＋17＋14＋11
③ 2001－36－39－42－……－99
4、晓诚读一本书第一天读了10页，以后每天都比前一天多读2页，第10天读28页刚好读完。这本 书共多少页？
5、丹丹学英语单词，第一天学会了6个单词，以后每天都比前一天多学会1个，最后一 天学会了26个。丹丹
在这些天中共学会了多少个单词？
6、欣欣电影院共有座位630个， 已知第一排有座位18个，最后一排有52个，而且每相邻两排相差的人数相
等，那么相邻的两排相差多 少个座位？
7、20个连续偶数的和是460，其中最小的一个偶数是多少？
8、在一条东 西走向的大街上，单号门牌的住户在南边，双号门牌的住户在北边，已知这条街上所有门牌号码
的总和是 3160，这条街上共有多少个门牌号码？单号门牌号码有几个？双号门牌号码有几个？
9、如图，一个堆放铅笔的V型架上一共放有210枝铅笔，则最上层有多少支铅笔？
考练：
1、等差数列中，首项=7，末项=119，公差=4，它的项数是多少？
2、求等差数列5，8，11，14……的第50项。
3、学校进行乒乓球选拔赛，每个参赛 选手都要和其他所有选手各赛一场。如果有
25人参赛，一共要进行多少场比赛？
4、求自然数中所有两位数的和。
5、养鸡场第一个笼里有4只鸡，第二个笼里有7只鸡，第 三个笼里有10只鸡，每个鸡笼总比前一个多放3只
鸡，最后一个鸡笼里有40只鸡。问：一共有几个鸡 笼？共有多少只鸡？
6、用1320张纸由少到多地装订不同规格的练习本。已知第一本18页，最后 一本102页，而且前后两本纸张
的相差页数相等，那么相邻的前后两本相差多少页？
7、1 00个连续自然数的和是8250，去掉这100个数中的第奇数个数（第1个，第3个，第5个，……，第99
个），剩下的50个数相加的和是多少？
8、莎莎练习口算，她按照自然数的顺序从1开始求 和，当计算到某个数时，和是60，但她重复计算了其中一
个数字。问：莎莎重复计算了哪个数字？
第九讲 和倍问题
已知两个数的和及 它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的应用题叫做和倍应用题，简称和倍问题。
首先我们要弄清几 个问题：两个数相比，以被比的数为标准，这个被比的数称为一倍数，比的数里有几个这样
的—倍数，就 是几倍数，我们就说一个数是另一个数的几倍。它们之间的数量关系是：
一倍数×倍数=几倍数
几倍数÷一倍数=倍数
几倍数÷倍数=一倍数
在解决和倍问题时，先要确定一个数 为标准（通常以较小数为标准），即一倍数，再根据较大的数与较小
的数之间的倍数关系，确定总和相当 于一倍数（较小的数）的多少倍，然后求出一倍数（较小的数），再算出

其它各数量。和 倍问题的数量关系式是：
和÷（倍数＋1）= 较小的数（一倍数）
和－较小的数=较大的数
较小的数×倍数=较大的数
例题1、甲、乙两车间共有工 人664人。甲车间的人数是乙车间的3倍，甲、乙两车间各有工人多少人？
试一试1、华强和建军共有图书84本，华强的图书本数是建军的3倍。华强和建军各有图书多少本？
例题2、果园里有梨树、苹果树、桃树共207棵，其中梨树的棵数是苹果树的3倍，苹果树的棵数是桃 树的2
倍。三种果树各有多少棵？
试一试2、一所小学共有学生868人，中年级的学生人数 是高年级的2倍，低年级的人数是中年级的2倍。这
所学校高、中、低年级各有学生多少人？
例题3、两箱茶叶共重88千克，如果从甲箱取出15千克到乙箱，那么乙箱的千克数是甲箱的3倍，两箱原有< br>茶叶各多少千克？
试一试3、小明、小玲两人共有糖果63块，如果小明给小玲9块糖果，小玲 的块数就是小明的2倍。他们两人
原有糖果各多少块？
例题4、有两袋大米，第一袋97千克 ，第二袋44千克。从第一袋中取出多少千克大米放入第二袋，就能使第
一袋大米的重量是第二袋的2倍 ？
试一试4、一个两层书架，上层有书85本，下层有书32本，要从上层拿几本书到下层，上层书的 本数就正好
是下层的2倍？
例题5、某畜牧场有山羊、绵羊共670只，如果绵羊减少30只 ，山羊增加200只，则山羊的只数就是绵羊的3
倍，求原来山羊、绵羊各多少只？
试一试5 、有两堆棋子共49个，如果第一堆增加15个，第二堆减少4个，则第二堆的个数是第一堆的2倍。
求 两堆棋子原来分别有多少个？
例题6、两数相除商3余2，已知被除数、除数、商与余数的和为115，求被除数是多少？
试一试6、两数相除商为4，余数是9，被除数、除数、商和余数的和是177，求被除数是多少？ < br>例题7、商店运来桔子、苹果、香蕉共53千克，桔子的重量是苹果的3倍少3千克，香蕉的重量是苹果的 2倍
多2千克，桔子重多少千克？
试一试7、有三堆煤，甲堆比乙堆的3倍多30千克，丙堆 比乙堆少15千克，三堆煤共重240千克，那么甲堆
煤重多少千克？
综练：
1、 城北小学买来足球和排球共36个，其中足球的个数是排球的3倍。城北小学买来足球和排球各多少个？
2、四、五年级共有学生165人，四年级学生比五年级学生人数的2倍还少6人，四、五年级学生各有多少人 ？
3、庆祝元旦，四（1）班同学共做红、黄、绿花共279朵，红花的朵数是黄花的3倍，黄花的朵 数是绿花的2
倍。三种花各做了多少朵？
4、甲、乙、丙三个数的和是108，甲数是乙数的 3倍，乙数是丙数的2倍，甲、乙、丙三数各是多少？
5、兄弟两个人去钓鱼，共钓了27条，若哥哥 取4条给弟弟，那么哥哥钓的条数就正好是弟弟的2倍。问兄弟
俩各钓了多少条鱼？
6、甲部 队有52名士兵，乙部队有23名士兵，从乙部队调多少名士兵到甲部队，甲的人数就是乙的4倍？
7、弟弟有课外书20本，哥哥有课外书25本，哥哥给弟弟多少本后，弟弟的书是哥哥的2倍？ 8、书架上、下层共有书169本，如果把新买的15本放入上层，从下层中取出9本，则上层的本数是下层 的4
倍。求上、下两层原来各有书多少本？
9、两数相除商8余1，已知被除数、除数、商与余数的和是118，求被除数和除数分别是多少？ < br>10、小明、小红、小玲共有73块糖。如果小玲吃掉了3块，那么小红与小玲的糖就一样多；如果小红给 小明2
块糖，那么小明的糖就是小红的2倍，问三人原来各有多少块糖？
考练：
1 、一所小学共有学生810人，其它年级的学生是六年级学生人数的5倍，六年级有学生多少人？其它年级有学生多少人？

2、人民路小学共有篮球、足球和排球95个，又知排球的个数是篮 球的2倍，足球比排球少5个。求篮球、足
球和排球各多少个？
3、小英、小红两人共有气球 20只，若小英给小红3只，则小英气球的只数就正好是小红的4倍。问小英、小
红原来各有气球多少只 ？
4、大、小两船，大船载客110人，小船载客58人。从小船上调几人到大船，大船上的人数就是 小船的3倍？
5、四（3）班有学生50人，若女生增加14人，男生增加2人，女生人数就是男生人 数的2倍。求四（3）班
男、女生原来各有多少人？
6、两数相除，商和余数均为5，被除数、除数、商、余数的和为129。被除数、除数分别是多少？
7、一个正方形铁丝框周长为48厘米。若把这根铁丝重新折成一个长方形，长正好是宽的2倍（接缝处 长度忽
略不计）。问这个长方形的长比原来正方形的边长增加了多少厘米？
8、甲、乙、丙、 丁四个人一起做了370个零件，如果把甲做的个数减去3，乙的个数乘以2，丙的个数除以2，
丁的个 数加上2，则四人做的零件个数正好相等。问四个人分别做了多少个零件？
9、某工厂三个车间共有1 80人，第二车间人数是第一车间人数的3倍还多1人，第三车间人数是第一车间人
数的一半少1人。三 个车间各有多少人？

本讲总结笔记
第十讲 差倍问题
前面我们学习了用画线段图的方法来解答和倍 问题，这种画线段图的方法能使问题具体化、形象化，
从而容易找到解题的思路。通过学习，我们尝到了 线段图带给我们的乐趣。下面，我们再来学习与和倍问
题有相似之处的差倍问题。
什么是差倍 问题呢？已知两数的差以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的应用题就叫做差
倍问题。
差倍应用题的解题规律是：
两数之差÷（倍数－1）= 一倍数（即较小的数）
较小的数×倍数 = 较大的数
较小的数＋差 = 较大的数
解题关键是确定“一倍数”和“差”是多少。对于一些较复杂的差倍问题 ，我们可以借助线段图来进
行分析。
例题1、小明买了一枝钢笔和一枝圆珠笔。已知钢笔比圆 珠笔贵4元，且钢笔的价格正好是圆珠笔的4倍，
求每枝钢笔和每枝圆珠笔各多少元？
试一试 1、四年级参加踢毽子比赛的女生人数是男生人数的3倍，已知女生比男生多38人，求参加踢毽子
比赛 的男生和女生各有多少人？
例题2、两根同样长的铁丝，第一根剪去180厘米，第二根剪去260厘 米，余下的部分第一根是第二根的3
倍。原来两根铁丝各长多少厘米？
试一试2、甲班和乙班 的人数同样多。如果从甲班调出20人，从乙班调出38人去大扫除，甲班剩下的人
数正好是乙班的2倍 。原来两班各有多少人？
例题3、四年级学生参加课外活动，做游戏的人数比打球的人数3倍多8人， 已知做游戏的比打球的多64
人，打球的和做游戏的各有多少人？
试一试3、果园里种了一批 苹果树和杏树。已知苹果树比杏树多1800棵，苹果树的棵数比杏树的3倍多200
棵。苹果树和杏树 各有多少棵？
例题4、小张有存款5400元，小王有存款3800元。两人各取出同样多的钱后，小 张的存款是小王的3倍。
问：取款后两人各有存款多少元？
试一试4、甲箱有苹果45个，乙 箱有苹果25个。从两箱取出同样多的苹果后，甲箱的苹果是乙箱的5倍。
求后来两箱各有多少苹果？
例题5、有两筐桔子，如果从甲筐拿出18个放进乙筐，两筐的桔子就同样多；如果从乙筐拿出13个放 进

甲筐，甲筐里的桔子就是乙筐的3倍，甲、乙两筐原来各有桔子多少个？
试 一试5、甲、乙两仓都存有货物。若从甲仓取31吨放入乙仓，则两仓存货同样多；若从乙仓取出14吨
放入甲仓，则甲仓货物是乙仓的4倍。原来两仓各存货物多少吨？
例题6、学校体育器械室里的红皮球 是黄皮球的5倍。如果红皮球和黄皮球各购进4个，那么红皮球的个
数是黄皮球的4倍。原来红皮球和黄 皮球各有多少个？
试一试6、学校有彩色粉笔和白粉笔若干盒，白粉笔的盒数是彩色粉笔的7倍，如果 这两种粉笔各买进12
盒，那么白粉笔的盒数就是彩色粉笔的3倍。原来学校里两种粉笔各有多少盒？
例题7、有黑白棋子一堆，黑子数是白子数的2倍，现在从这堆棋子中每次取出黑子4个，白子3个，取
出若干次后，白子取尽，而黑子还剩16个，求这堆棋子有多少个？
试一试7、箱子里有红、 白两种玻璃球，红球数是白球数的3倍多2只，每次从箱子里取出7只白球，15
只红球。如果经过若干 次以后，箱子里剩下3只白球，53只红球。那么箱子里原有红球、白球各多少只？
综练：
1、新华书店运进一批新书，其中《数学奥林匹克》的本数是《新华字典》的6倍，比《新华字典》多2000< br>本。两种书各进了多少本？
2、甲、乙两仓库存的水泥同样多，从甲仓运出65吨，从乙仓运出 9吨水泥后，乙仓的水泥是甲仓的3倍。
两仓原来共存水泥多少吨？
3、一台彩色电视机比一 台黑白电视机贵1900元，一台彩色电视机的价钱比黑白电视机的5倍少100元。
每台彩色电视机多 少元？
4、食堂里原有大米560千克，面粉340千克。吃掉同样多的大米和面粉后，大米是面粉的 3倍。现在食堂
里还有大米、面粉各多少千克？
5、兄弟二人各有存款若干元，若哥哥给弟弟 45元，二人的钱就同样多；若弟弟给哥哥45元，则哥哥的钱
正好是弟弟的2倍。兄弟两人各有存款多 少元？
6、师徒二人生产一批零件，前3天师傅生产的个数是徒弟的4倍。后来师徒二人各自又生产了 18个，这
时师傅生产的正好是徒弟的2倍，师徒前3天各生产了多少个零件？
7、某小队队 员提着一篮苹果和梨去敬老院慰问老人。每次从篮里取2个梨、5个苹果给老人，最后梨正好
分完，苹果 还剩下11个。这时他们才想起原来苹果的个数是梨的3倍。问：他们把水果分给了几位老人？
苹果和梨 各有多少个？
8、甲、乙两人卖苹果，已知甲比乙苹果多125千克。如果甲卖出130千克，乙卖出 65千克后，甲剩下的
苹果是乙剩下的4倍，那么甲、乙两人原有多少苹果？
考练：
1、兄弟两人各有若干元钱，已知哥哥比弟弟多240元，并且哥哥的钱正好是弟弟的5倍。兄弟两人各有多< br>少元钱？
2、一筐苹果和一筐梨的个数相同，卖掉40个苹果和15个梨后，剩下的梨是苹果的 6倍。原来每筐水果有
多少个？
3、用大、小两辆车装货，大车装的比小车的3倍少2吨，大 车比小车多装12吨。两辆车各装了几吨货物？
4、四（1）班有男生28人，女生32人。选出同样 多的男生和女生排练节目后，剩下的女生是男生人数的
2倍。还剩下多少个同学没有参加排练节目？ < br>5、学校组织夏令营活动，如果参加的女生名额给5个男生，则男、女生人数同样多；若参加的男生名额给
4个女生，则男生人数是女生人数的一半。原定夏令营中男、女各多少人？
6、今年，爸爸的年龄是小明的6倍，再过4年，爸爸的年龄恰好是小明的4倍。今年小明多少岁？ < br>7、小华做一道加法算术题，由于粗心把一个加数个位上的零漏掉了，结果比正确答案少了225。这个加 数
应该是多少？
8、饲养场的白兔是黑兔的5倍。后来卖掉了10只黑兔，买回来20只白兔 ，现在的白兔是黑兔的7倍。饲
养场原来有白兔和黑兔各多少只？
9、一班与二班共有92人 ，一班人数的7倍与二班人数的6倍的和是600人。求一班、二班各有多少人？

本讲总结笔记

第十一讲 和差问题
和差应用题是指已知大小两个数的和与他们的差，求这两个数各是多少的应用题，简称和差问题。 由于和差问题中的两个数不相同，我们可以用假设的方法使两个数变成相等的数。首先，我们可以先
根据题意判断应该怎样假设，一般可假设要求的两个或几个未知数相等，然后根据所作的假设，注意数量
关系发生了什么变化，怎样从所给的条件与变化了的数量关系的比较中做出适当的调整，从而求出正确的
答案。
和差问题中大小两数的关系可以用下图表示：
较大的数 =（和＋差）÷ 2 较小的数 =（和－差）÷ 2
例题1、养鸡场养了540只鸡，其中母鸡比公鸡多50只。养鸡场养的公鸡和母鸡各有多少只？
试一试1、果园里有苹果树和梨树共420棵，苹果树比梨树多36棵，两种树各有多少棵？
例题2、老师把140块糖分给了大班和中班的小朋友。如果从大班拿12块糖给中班，两个班分得的糖就同样多。求大班和中班各分得多少块糖？
试一试2、两个班共有学生92人,如果从一班调2人到二 班,则两班人数同样多。两个班各有多少个同学？
例题3、一个书架分上、下两层,共放有图书100 本。如果从上层取出5本放入下层,那么上层比下层还多6
本。问原来上、下两层各有图书多少本? < br>试一试3、两箱零件共102个。从甲箱拿24个放入乙箱后,甲箱还比乙箱多4个。原来两箱各放有多少 个零
件?
例题4、李明每天早晨沿着长和宽相差50米的长方形小路跑步。已知他每天跑4圈 ,共跑了1200米。问这
条长方形小路的长和宽各是多少米?
试一试4、王师傅和李师傅4 小时共做纸箱180只。王师傅比李师傅每小时少做5只。他们每小时各做多
少只纸箱?
例题 5、食堂共有三种蔬菜，其中茄子、辣椒共重50千克，辣椒、黄瓜共重70千克，茄子、黄瓜共重60
千克，请你算一算三种蔬菜各有多少千克？
试一试5、小华参加了3门功课的考试,已知语文、数学共 186分，数学、英语共188分,语文、英语共182
分。求三门功课分别得了多少分?
例 题6、学校三个运动队共有队员80人。已知田径队人数比足球队和篮球队人数的和还多8人，足球队人
数又比篮球队多4人。三个队各有多少人？
试一试6、红花、绿花和黄花共有78朵，红花和绿花的总 朵数比黄花多6朵，红花比绿花多6朵。三种花
各有多少朵？
例题7、一个三层书架共放书1 08本，上层比中层多11本，下层比中层少5本，上、中、下三层各放多少本？
试一试7、某工厂将 5000元奖金分给三名优秀工人，第一名比第二名多800元，第二名比第三名多600元，
三名工人 各得多少元？
例题8、水果店运来桔子、苹果、梨和西瓜共280千克，其中梨38千克，它与苹果重 量的和比桔子与西瓜
的重量和多50千克，苹果多少千克？
试一试8、六年级4个班学生共有 216人，其中一班51人，它与三班人数和比二班、四班的人数和少8人，
三班有多少人？
综练：
1、学校买回故事书和科技书共106本，其中故事书比科技书多24本。两种书各买了多少本？ 2、两个车队共有54辆汽车，若从一队调3辆车到二队后，两队的汽车就同样多。求两个车队各有几辆汽< br>车？
3、甲、乙两筐水果共重40千克。从甲筐取6千克放到乙筐后，甲筐里的水果比乙筐多2 千克。求两筐原
有水果多少千克？
4、甲、乙两个工程队6天合修了一条长480米的公路， 已知甲队比乙队每天少修18米，求两队每天各修
多少米？
5、有三种水果，已知苹果和梨共 95千克，苹果和桔子共重80千克，梨和桔子共重75千克。问：三种水

果各有多少千 克？
6、学校四、五、六年级同学共植树80棵，已知六年级同学比另两个年级植树棵树的和少植8棵 ，四年级
同学比五年级同学少植4棵。三个年级同学各植树多少棵？
7、四年级三个班共有1 80人，如果把甲班的一名学生调到乙班，两班人数相等；如果把乙班一名学生调到
丙班，两班人数也相 等。乙班有学生多少人？
8、甲、乙、丙、丁4人共重202千克，其中甲53千克，他与乙的体重和 比丙、丁两人的体重和多20千克。
乙重多少千克？
9、两车站相距110千米，甲、乙两车 分别从两站同时出发，相向而行，经过1小时相遇。如果两车从其中
的一个站同时出发，同向而行，经过 11小时甲车追上乙车。求甲、乙两车的速度。
考练：
1、爷爷家养了100只山羊和绵羊，已知山羊比绵羊多64只，两种羊各养了多少只？
2、 一根电线长84米，把它截成了两段，如果从第一段上剪15米接到第二段上，这两段电线就一样长，求
这两段电线的长度。
3、两包茶叶共850克，从乙包中取15克放入甲包，则乙包里的茶叶比甲包里 的茶叶多6克。原来两包茶
叶各多少克？
4、快、慢两车同时从相距560千米的两地相向而 行，4小时相遇。已知快车每小时比慢车多行30千米，
求两车每小时各行多少千米？
5、工 地上运来三种建筑材料，已知水泥和黄沙共200吨，黄沙和石子共230吨，水泥和石子共270吨。求
工地运来水泥、黄沙、石子各多少吨？
6、某工厂的三个车间共有工人220人，其中，第二车间比 另两个车间的总人数少20人，第一车间又比第
三车间少16人。三个车间各有工人多少人？
7、四根彩带共长11米，第三根长2米，它与第四根的长度和比第一、第二两根的总长度少1米。第四根
彩带长多少米？
8、一套书有上、中、下三册，上册比中册贵3元，中册比下册贵6元，四套这样的 书共值300元。求上、
中、下每册书各多少元？
9、两个公司的产品正在展览。展品中有4 66件不是A公司的，有378件不是B公司的。这两个公司共有
展品498件。问两公司有展品多少件 ？
第十二讲 消去法解题
在一些较复杂的应用题中，有的是由两个或多个未知量的关系 构成的，解题时我们可以先把每组的数
量用等式表示，然后进行比较，将其中的一个量先消去，这样的思 考方法叫“消去法”。
本节中向大家介绍消去问题的几种常见题型和解题方法。消去是初中学习方程的基础。
例题1 、学校第一次买了3个水瓶和20个茶杯，共用去134元，第二次又买了同样的3个水瓶和16个茶
杯 ，共用去118元。水瓶和茶杯的单价各是多少元？
试一试1、哥哥买了4本练习本和3枝铅笔，一共 用了2元9角钱。姐姐买了同样的4本练习本和1枝铅
笔，一共用了2元3角。求每本练习本和每枝铅笔 的价钱？
例题2、买3个篮球和5个足球共用去480元，买同样的6个篮球和3个足球共用去519 元。篮球和足球
的单价各是多少元？
试一试2、光明小学买2张桌子和5把椅子，共付110 元，育才小学买同样的6张桌子和6把椅子，共付
240元。每张桌子和每把椅子各多少元？
例题3、4包科技书和6包故事书共560本，同样的3包科技书和5包故事书共450本，两种书每包各多少< br>本？

试一试3、3辆大卡车，4辆中卡车一次运货50吨；4辆大卡车和5辆中卡车 一次运货65吨。每种卡车一
辆一次运货多少吨？
例题4、9盆兰花和3盆茶花的价钱共66 元，5盆兰花比3盆茶花的价钱贵18元。每盆兰花和每盆茶花各

多少元？
试 一试4、5千克水果糖和2千克饼干共76元，同样的3千克水果糖比2千克饼干贵20元钱。每千克水果
糖和每千克饼干各多少元？
例题5、7头牛和5匹马每天吃草155千克，5头牛和7匹马每天吃草 145千克。每头牛和每匹马每天各吃
草多少千克？
试一试5、4台手扶拖拉机和5台脱粒机 总价17000元，5台手扶拖拉机和4台脱粒机总价19000元。一台
手扶拖拉机多少元？一台脱粒 机是多少元？
例题6、学校体育室一次购买篮球、足球和排球各两只共用去340元，第二次买4只篮 球，3只足球和2只
排球共用去495元，第三次购买了5只篮球，4只足球和2只排球共用去605元 。篮球，足球和排球每只
各多少元？
试一试6、王老师第一次购买了3只画夹，3盒颜料和3 枝画笔共用去195元，第二次买了3只画夹，4盒
颜料和3枝画笔共用去213元，第三次买了4只画 夹，5盒颜料和3枝画笔共用去266元。画夹、颜料和
画笔的单价各多少元？
例题7、周阿 姨在百货大楼买了一件大衣，一条裤子和一双皮鞋共花了904元。已知大衣的价钱比裤子贵
312元， 大衣和裤子一共比皮鞋贵392元。你知道周阿姨买的大衣、裤子和皮鞋各花了多少钱吗？
试一试7、 小明在新华文具店花了44元钱买了一个文具盒、一枝钢笔和一盒水彩笔。已知文具盒比水彩笔
贵6元， 文具盒和水彩笔一共比钢笔贵16元。你知道文具盒、钢笔和水彩笔的单价各是多少吗？
综练：1、第 一次买3千克茶叶和5千克糖，一共用去420元，第二次买同样的5千克茶叶和5千克糖，比
第一次多 用220元。每千克茶叶和每千克糖各多少元？
2、某商店一天共卖出苹果和桔子660千克。已知上 午卖了3箱苹果和2箱桔子，共180千克；下午卖了4
箱苹果和8箱桔子。每箱苹果和每箱桔子各重多 少千克？
3、3件上衣和7条裤子共430元，同样的7件上衣和3条裤子共470元，每件上衣和每 条裤子各多少元?
4、同学们去公园划船，4条大船和3条小船共坐29人，4条大船比3条小船多坐 11人，求1条大船和1
条小船各能坐多少人？
5、食堂第一次运进大米5袋，面粉7袋共1 350千克；第二次运进大米7袋，面粉5袋，共1650千克。每
袋大米和每袋面粉各重多少千克？
6、一群小伙伴去划船，已知2只小船，3只中船，1只大船共坐23人；3只小船，4只中船，2只大 船共
坐35人；1只小船，2只中船，3只大船共坐26人。问：每只小、中、大船各坐多少人？ 7、小王花了58元买了一些梨、苹果和香蕉去看望老师，已知三种水果共重2290克，梨比香蕉少180 克，
梨和香蕉一共比苹果重770克。小王买的梨、苹果和香蕉分别重多少克？
考练： < br>1、四年级发奖品，一班用39元买了2枝钢笔，5枝圆珠笔，二班用48元买了同样的3枝钢笔，4枝圆 珠
笔。一枝钢笔比一枝圆珠笔贵多少元钱？
2、3头牛和6只羊一天共吃草93千克，6头牛 和5只羊一天共吃草130千克。每头牛每天比每只羊每天多
吃多少千克草？
3、甲有5盒糖 ，乙有4盒糕，共值44元，如果甲、乙两人对换一盒，则每人所有物品的价值相等。一盒
糖、一盒糕各 值多少元？
4、3条毛巾和2条床单共154元，同样的3条毛巾比3条床单少171元。一条毛巾多 少元？1条床单多少
元？
5、王老师到商店买奖品，买12枝钢笔，15个文具盒共需付3 00元，王老师买成同样的钢笔15枝，文具
盒12个，结果多付了21元。每枝钢笔和每个文具盒多少 元？
6、小明买了2枝钢笔，一枝圆珠笔和2枝自动笔共用了26元，小华买了同样的一枝钢笔，3枝 圆珠笔和4
枝自动笔也用了26元，已知1枝圆珠笔的价钱正好是4枝自动笔的价钱。钢笔、圆珠笔和自 动笔每枝各多
少元?
7、妈妈在超市买了两瓶“海飞丝”洗发露和三块“力士”香皂共需48 元，付钱时，妈妈又把两块香皂换
成同样一瓶洗发露，收银员让她再付10元。请算一算“海飞丝”洗发 露和“力士”香皂的单价各是多少元？

本讲总结笔记
第十三讲 还原问题
已知某个数经过加、减、乘、除等运算后所得的结果，反求原数，这类问题叫做还原问题。通俗 地说，
还原就是恢复事物的原来面目。
还原问题又叫做逆运算问题。解答这类问题，通常利用 加与减，乘与除互为逆运算的道理，根据题意
的叙述顺序由后向前逆推运算。在计算过程中采用相反的运 算逐步逆推。
例如： 原数的运算顺序
原数 （ ）（ ）
逆推的运算顺序
85（ ）（ ）（ ）15
（ ）15
解答还原问题时，要根据题意从所给的结果出发，抓住逆运 算的关系由后向前一步步倒推，做相反的
运算。原来加的倒回去是减，原来是减倒回去是加，原来是乘的 倒回去是除，原来是除的倒回去是乘。这
样由结果出发逐步靠拢问题，直到问题的解决。
在解答还原问题时，如果列综合算式，要注意括号的正确使用。
例题1、小明问爷爷今年多少岁，爷爷 笑着说：“把我的年龄减去6，缩小2倍，再加上10，扩大2倍，恰
好是100岁。”你知道小明的爷 爷到底是多少岁吗？
试一试1、某数加上8，乘以8，减去8，再除以8，结果还是8。求这个数是多少？
例题2 、水果市场有一批水果，第一天卖出总数的一半多2吨，第二天卖出剩下的一半多5吨，这时还剩
下8吨 水果。水果市场原来有多少吨水果？
试一试2、一辆汽车从甲地开往乙地，第一小时行了全程的一半少 30千米，第二小时行余下路程的一半少
10千米，这时离乙地还有60千米。甲、乙两地相距多少千米 ？
例题3、袋子里有若干个球，小明每次拿出其中的一半再放回一个球，这样共操作了4次，袋中还有 5个
球。问袋中原来有多少个球？
试一试3、有一根电线，每次剪下其中的一半多1米，这样 共剪了5次，还剩下3米。这根电线原来长多
少米？
例题4、解放军某部参加抗洪救灾。从第 一队抽调一半人员支援第二队，抽调35人支援第三队，又抽调剩
下的一半支援第四队，后来又调进8人 ，这时第一队还有30人。求第一队原有多少人？
试一试4、小华有一些图书。他先把这些图书的一半 借给了小明，又借给小青4本，然后把剩下图书的一
半借给了小敏，后来妈妈又送给小华5本，这时小华 还有图书12本。求小华原来有图书多少本？
例题5、有26块砖，兄弟2人争着去挑，弟弟抢在前面 ，刚摆好砖哥哥就赶来了。哥哥看弟弟挑的太多，
就拿来一半给自己。弟弟觉得自己能行，又从哥哥那里 拿来一半。哥哥不让，弟弟只好给哥哥5块，这样
哥哥比弟弟多挑2块。问最初弟弟准备挑多少块？ < br>试一试5、植树节学校要栽36棵树，小强和小明二人争着去栽。小强先拿了若干棵树苗，小强见小明拿得
太多，就抢了10棵。小强觉得少，又从小明那里拿回来6棵，这时小强拿的树苗棵数是小明的2倍。问 最
初小强拿了多少棵树苗？
例题6、四个小朋友共有彩色玻璃弹子100粒。甲给乙3粒，乙 给丙5粒，丙给丁6粒，丁给甲7粒，这
样四个人弹子的粒数相等。四个小朋友原来各有弹子多少粒？
试一试6、四个小朋友共有铅笔100枝。甲给乙10枝，乙给丙6枝，丙给丁15枝，丁给甲7枝，这 时四
人铅笔枝数相等。求四个小朋友原来各有铅笔多少枝？
例题7、王亮和李强各有图片若干 张，如果王亮拿出和李强同样多的画片送给李强，李强再拿出和王亮同
样多的画片给王亮，这时两个人都 有24张。问王亮和李强原来各有画片多少张？
试一试7、甲、乙两桶油各有若干千克，如果从甲桶中 倒出和乙桶同样多的油放入乙桶，再从乙桶倒出和

甲桶同样多的油放入甲桶，这时两桶油 恰好是36千克。问两桶油原来各有多少千克？
例题8、猴妈妈摘来一筐桃，将它们3等分后还剩下2 个桃；取出其中2份，将它们3等分后还剩2个；
然后再取出其中2份，又将这2份3等分后还剩下2个 。猴妈妈至少摘了多少个桃？
试一试8、有一堆棋子，把它们5等分后还剩下4个；取出其中的3份再 5等分后还剩下3个；再取其中2
份5等分后还剩2个。这堆棋子最少有多少个？
综练：
1、一个数的4倍加上6，减去10，乘以2，得88。求这个数。
2、妈妈把每月工资的一 半多10元存入银行，又拿出剩下的一半多5元买日用品，剩下的240元买菜。妈
妈每月工资多少元？
3、有一筐桔子，每次拿出其中的一半，然后再放回一个，这样连续拿了5次，筐里的桔子还剩下4个， 原
来筐里有多少个桔子？
4、解放军某部阻击敌人，因情况发生变化，需要从一营抽调一半人 员去支援教导营，抽调54人去支援二
营，抽调剩下人数的一半去支援三营。后来团部4名通讯员调进了 一营，这时一营有38人。原来一营有多
少人？
5、两人一次搬运图书60本。李明抢先拿了 若干本，王平看见李明拿得太多，就抢走了一半。李明不肯，
王平就给了他10本，这时李明比王平多4 本。最初李明拿了多少本？
6、甲、乙两桶油各有若干千克，如果从甲桶倒出和乙桶同样多的油放入乙 桶，再从乙桶中倒出和甲桶同样
多的油放入甲桶，这时两桶恰好都是24千克。问原来两桶油各有多少千 克？
7、两棵树上共有麻雀25只，从第一颗树上飞到第二棵树上5只，又从第二棵上飞走7只，这时 第一颗树
上的麻雀是第二棵树上的2倍。原来每棵树上各有几只麻雀？
8、有一盒奶糖，把它 们4等分后还剩1粒，取走3份又1粒，剩下的再4等分又剩1粒，再取走其中的3
份又1粒；剩下的再 4等分后剩下1粒。这盒奶糖至少有多少粒？
考练：
1、一次数学竞赛，小青把自己的得分 减去6，缩小2倍，再加上10，扩大2倍，恰好是100分。小青这次
竞赛得了多少分？
2 、有一筐苹果，第一次取出全部的一半多2个，第二次取出余下的一半少2个，筐中还剩20个。原来筐
中有多少个苹果？
3、袋子里有若干个棋子，小明每次拿出其中的一半多2个，一共这样拿了5次，袋 中还有3个棋子，原来
袋中有多少个棋子？
4、王叔叔买了若干本书送给“希望小学”的同学 。先拿出一半送给高年级同学，又拿出52本送给中年级
同学，再拿出剩下的一半送给低年级同学。后来 王叔叔又买了20本，这时他共有书24本。王叔叔原来买
了多少本书？
5、四（1）班60 个同学乘坐两辆汽车去郊游，老师发现第一辆车上的同学太多，就调出一半到第二辆车，
结果第二辆车座 位不够，又调出4人到第一辆车，这时第二辆比第一辆车多坐4人。原来第一辆车上坐了
多少个同学？
6、甲、乙、丙三个小朋友各有贺年卡若干张。如果甲给乙11张，乙给丙20张，丙给甲5张，那么每 人正
好都有30张。问原来三人各有贺年卡多少张？
7、甲、乙、丙各有球若干个。甲先拿出 自己的球的一部分给乙、丙，使乙、丙每人的球各增加一倍；然后
乙也拿出自己球的一部分给甲、丙，使 甲、丙每人的球各增加一倍；最后丙也以同样的方式将自己的球给
了甲、乙，这时三人的球都是16个。 问：原来三人各有多少个球？
8、书架上分上中下三层，共放192本书。现从上层取出与中层同样多 的书放到中层。再从中层取出与下层
同样多的书放到下层，最后，从下层取出与上层剩下的同样多的书放 到上层，这时三层书架所放的书本数
相等，这个书架上中下层各层原来放多少本书？
9、有一 个财迷总想使自己的钱成倍增长。一天他在一座桥上碰见一位老人，老人对他说:“你只要走过这
座桥再 回来，我就把你身上的钱增加一倍，但作为报酬，你每走一个来回要给我32个铜板。”财迷觉得很
合算 ，就同意了。他走过桥又回来，身上的钱果然增加了一倍，他高兴地给了老人32个铜板。可是，当财