四年级奥数题：图形的计数(B)
昆明富民县-玩世不恭的意思
九 图形的计数（B）
年级 班
姓名 得分
一、填空题
1.
下图中长方形（包括正方形）总个数是_____.
2.
下图中有正方形_____个,三角形_____个,平行四边形_____个,梯形
_____个.
3. 下图中共出现了_____个长方形.
4.
先把正方形平均分成8个三角形.再数一数,它一共有_____个大小不同
的三角形.
5. 图形中有_____个三角形.
6．如下图,一个三角形分成36个
小三角形.把每个小三角形涂上红色或蓝色,
两个有公共边的小三角形要涂上不同的颜色,已知涂成红色
的三角形比涂成蓝色
的三角形多,那么多_____个.
7.
右图是由小立方体码放起来的,其中有一些小方体看不见.图中共有
_____个小立方体.
8. 下图中共有_____个正方形.
9. 有九张同样大小的圆形纸片,其中标有数码“1”的有1张；标
有数码“2”
的有2张；标有数码“3”的有3张，标有数码“4”的也有3张。把这九张圆形
纸片如下图所示放置在一起，但标有相同数码的纸片不许靠在一起，问：
如果M位上放置标有数码“3”的纸片，一共有_____种不同的放置方法.
M
10. 如下图,在2
×2方格中,画一条直线最多可穿过3个方格,在3×3方格
中,画一条直线最多可穿过5个方格.那么
10×10方格中,画一条直线最多可穿过
_____个方格.
二、解答题
11. 把一条长15cm的线段截为三段，使每条线段的长度是整数，用这三条
线段可以组成
多少个不同的三角形？（当且仅当两三角形的三条边可以对应相等
时，我们称这两个三角形是相同的.）
12. 有一批长度分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10和11厘米的细木条,它们的<
br>数量都足够多,从中适当选取3根木条作为三条边.可围成一个三角形,如果规定
底边是11厘米
长,你能围成多少个不同的三角形?
13. 下图中的正方形被分成9个相同的小正方形,它们一共有
16个顶点(共
同的顶点算一个),以其中不在一条直线上的3个点为顶点,可以构成三角形.在
这些三角形中,与阴影三角形有同样大小面积的有多少个?
14. 有同样大小的立方体27个,把它们竖3个,横3
个,高3个,紧密地没有
缝隙地搭成一个大的立方体(见图).如果用1根很直的细铁丝扎进这个大立方
体
的话,最多可以穿透几个小立方体?
———————————————答 案——————————————————————
1. 90
利用例1和例4公式可直接计算:
(5+4+3+2+1)×(3+2+1)
=15×6
=90(个)
[
注]注意,由长方形、正方形的意义可知，正方形一定是长方形，但反之不然.故求长
方形个数时,不必
把正方形分开考虑.
2. 3个正方形; 18个三角形; 6个平行四边形; 8个梯形.
3. 18
根据这个图形的特点,我们先数出下图(1)中长方形的个数为(2+1)×<
br>(2+1)=9个；然后在图(1)的内部添上一个长方形得到图(2).这时新产生的长方
形有
(2+1)×(2+1)=9个.至此已将图(1)还原为题图,同时题图中的长方形已全
部数完.因此
,原图中共有长方形.
(2+1)×(2+1)+ (2+1)×(2+1)=18(个).
(1)
(2)
4. 16
具体分法如下图所示.基中小三角形有8个,由两
个小三角形组成的三角形
有4个,由四个小三角形组成的三角形有4个,所以共有三角形8+4+4=1
6(个).
5. 72
把图中最小三角形作为基数,然后按含有几个基数的三角形分类进行解答.
含一个基数的三角
形,共有16个；含两个基数的三角形，共有24个；含四
个基数的三角形，共有20个；含八个基数的
三角形，共有8个；含十六个基数
的三角形，共有4个.因此,整个图形中共有
16+24+20+8+4=72(个)三角形.
6. 6
图中的三角形可分成
两种,一种是尖头向上的,一种是尖头向下的.从图上可
以看出,每种三角形必须涂成同一颜色.为了使
涂红色的三角形比涂蓝色的三角
形多,尖头向上的三角形要涂红色.
每一横排,尖头向上的三
角形要比尖头向下的三角形多一个,共有6排,因此,
涂红色的比涂蓝色的三角形多6个.
7. 38
将原立体图形从左至右分类计算,共有16+9+5+7+1=38个.
8. 105
2222
单独的一个4×4的方格中有1+
2+3+4=30个正方形,两个4×4的方格如原
图重叠后,重叠部分有5个正方形.所以原图中一共
有30×4-5×3=105个正方形.
9. 6
根据标有相同数码的纸片不许靠在一起
的条件，当M位置上放标有数码“3”
的纸片时，其余两个标有数码“3”的纸片，只能放置在下面左右
两边两个圆圈
内.如下图所示.
4 1
2 M
4
4 2 3
3
这样圆圈绕M圆紧接着M的六个圈旋转一周,回到初始状态,可知共有六种
不同的放置方法.
10. 19
如果直线与大正方形的两横边都有交点,则与所有的横边产生11个交点,与
竖边至多9个交点,共20个交点.
如果直线与大正方形的一横边和一竖边有交点,则与横边至多产生
10个交
点,与竖边至多产生10个交点,共20个交点.
20个交点,将直线分成21部分,其中在大正方形有内有19部分,故至多穿过
19个方格.
[注]穿过一个方格,在直线上截出一条线段,线段由直线上的交点决定,关键是求交点
个数.
对小学生来说,通常总是从简单情况入手,即由1×1方格,2×2方格,3×3方格等的情
况
,归纳出一般的规律,从而得出10×10方格的结果.请同学们用归纳法试一试!
11. 最大边
为7时,另两边之和为8,可构成4个(1+7,2+6,3+5,4+4)不同的
三角形；最大边为6
时，另两边之和为9，可构成2个（3+6，4+5）不同的三角
形;最大边为5时,可构成1个(5+
5)不同的三角形.所以一共可组成7个不同的三
角形.
12. 由三角形的一边为11厘
米,及其他边长必为1,2,.„，11厘米，根据
三角形两边之和大于第三边的性质，可知两边之和应
介于12厘米和22厘米之间
（包含12厘米和22厘米）.这样,共可围成36个不同的三角形.
12:(1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),(6,6)；
13:(2,11),(3,10),(4,9),(5,8),(6,7)；
14:(3,11),(4,10),(5,9),(6,8),(7,7)；
15:(4,11),(5,10),(6,9),(7,8)；
16:(5,11),(6,10),(7,9),(8,8)；
17:(6,11),(7,10),(8,9)；
18:(7,11),(8,10),(9,9)；
19:(8,11),(9,10)；
20:(9,11),(10,10)；
21:(10,11)；
22:(11,11)
所以，一共可以围成36个不同的三角形.
13. 为方便起见,不妨设原正方形的边长为3,则小正方形的边长是1,阴影
三角形的面
积是×2×3=3.所求的三角形可分两种情形:
2
1
(1)三角形的一边长为2,
这边上的高是3.这时,长为2的边只能在原正方形
的边上,这样的三角形有2×4×4=32(个)；
(2)三角形的一边长为3,这边上的高是2.这时长为3的边是原正方形的一边
或平行于一边
的分割线.其中与(1)重复的三角形不再算入,这样的三角形有8×
2=16(个).
因此,所求的三角形共32+16=48(个)(包括图中开始给的三角形.)
14.
最多可以穿透7个小立方体.提示:仿题10.