弘扬民族精神演讲稿-毕业答辩问题

四年级奥数详解答案 第6讲

第六讲 面积的计算

一、知识概要
1. 面积：面积是围成的平面图形的大小。
2. 各种图形的计算公式
1. 三角形 面积=底×高÷2 用字母表示为：S=ah÷2
(注：高，就是从三角形的顶点向它的对边所做的那条垂线段)
2. 长方形 面积长宽 用字母表示 为： Sab
是特殊的平行四边形

3. .正方形 面积边长边长 用字母表示 为： Sa
2

4. 平行四边形 面积=底×高 用字母表示为：S=ah
5. 梯形 面积=(上底+下底)×高÷2 用字母表示为：S=
（ab)h

2
{注： 解梯形应用题常用到梯形的中位线。中位线就两腰的中立的连线。中位
线等 于两底边之和的一半，即，中位线=(a+b)÷2}}

二、典型题目精讲
1. 用同样大小的长方形纸片摆成下图，已知每张小纸片的宽是4厘米，阴影部分的面积
是多少平方厘米？

分析：(如图)5个长方形的长等于3个长十3个宽即5a=3a+3b,则2a=3b,a=3 ×4÷2=6(cm)
图中阴影部分是三个相等的小正方形，其一个正方形的边长为 长-宽，即6-4=2(cm),
这样，全部阴影部分面积就是(2×2×3)cm
2
了。
解：①3×4÷2=6(cm)②6-4=2(cm)③2×2×3=12(cm
2
)
答：阴影部分的面积是12 cm
2
。

2. 下图是一个边长为20厘米的正方形和一个长方形的组合图形，求阴影部分的面积。

分析：作二条辅助线，交于正点使EF=20cm，EG=10 cm(如图)则阴影面积=上、 下两个
长方形面积之和-

ABC的面积-

ADE的面积
解：①S

ABC=(20+10+4)×14÷2=238(cm
2
) ② S

ADE=(20+10)×(20+14)÷
2=510(cm
2
) ③34×14+30×20=1076(cm
2
) ④1076-(238+510)=328(cm
2
)

答：阴影部分的面积等于328cm
2
。
(答：此题另有其他方法，如图作辅助线AE请尝试)
3. 如图所示，在梯形ABCD中，AC、B D交于0点，

ABO的面积是90平方厘米，AC
是AO长的4倍，求梯形ABCD 的面积。

分析：(如图)①


ABD与

ADC等底等高， 且共同包含

AOD



ABO
=

DCO=90
②


ADO和

DOC等高，且OC=3AO

S

DCO=3S

AOD

S

ADO=90
÷3=30(cm
2
) ③< br>
ABO与

BOC等高，且OC=3AO，

S

BOC=3

ABO

S

BOC=3×90=270(cm
2
)
解：梯形面积=S

ABO+ S

ADO+ S

DCO+ S

BOC
=90+30+90+270
=480(cm
2
)
答：梯形ABCD的面积是480cm
2
。

4. 如图所示，四边形ABCD与DFGE都是平行四边形，证明它们的面积相等。

分析：①作辅助线AF垂直于BC，则AF既是

ADF的高，又是平行四边形 ABCD的高。
②作辅助线AH垂直于FD，则AH既是

AFD的高，又是平行四边 形DEFG的高。
③平行四边形DEFG和ABCD同时都和

ADF等底等高，
两个平行四边形彼此等
底等高，故面积相等。
证明：
S
□
ABCD=2S

AFD，S
□
DEFG=2S< br>
AFD

S
□
ABCD= S
□
DEFG

5. 如图所示，一个正方形的水池的周围，环绕着一条 宽5米的小路，小路面积为300平方
米，那么，正方形水池的面积是多少？

2
分析： ①将小路面积4等份(如图)，则一等份为300÷4=75(m)
②75÷5=15(m)即为小长方形的长
③正方形边长=15-5=10(m)
解：①300÷4=75(m
2
) ②75÷5=15(m) ③15-5=10(m) ④10×10=100(m
2
)
答：正方形水池的面积为100m
2
。

(注：此题另有其解法—先求出4只小角面积。请尝试。)

6. 求图中阴影部分的面积(单位：厘米)。




分析：①求出空白图形(梯形)的面积 ②求出整个图形(长方形)的面积 ③长方形面积-梯
形面积
解：①S
梯
=(5+15)×8÷2=80 (cm
2
) ②S
长
=15×8=120(cm
2
) ③120-8=40(cm
2
)

(注：此题另有一解法—利用两个三角形等底等高特点求解，请尝试。)

三、练习巩固与拓展
1. 如图，大小两个正方形部分重合，两块没有重合的阴影部分面积是多少？(单位：厘米)

22
2. 一个长方形的面积为54dm，靠一边裁出一个面积为36dm的正方形(如图) 。那么，原
长方形的周长是多少分米？剩下的小长方形的面积是多少平方分米？

3. 每边是20厘米的正方形纸片，正中间挖去了一个正方形的洞，成为宽度为2厘米瓣方
框。把五个这样的方框放在桌面上，桌面上这些方框盖住的面积是多少？

4. 用四个相同的长方形拼成一个面积为4平方分米的大正方形(如图)，每个长方形的周长
是多少厘米？

5. 长方形ABCD的周长是14厘米，在它的每条边上各画一个以该边为边长的正方形(如
图)，已知这四个正方形的面积之和是50平方厘米，那么，长方形ABCD的面积是多
少平方厘米？

6. 一个长、宽是自然数的长方形，周长是38厘米，那么，这个长方形的面积最大是多少
平方厘米？
7. 有两个完全相同的长方形，如果把它们的长连在一起拼成一个新的长方形，周长比原一
个长方形增加10厘米；如果宽连在一起拼成一个新长方形，周长比原一个长方形增加
16厘米。原来每 个长方形的面积是多少平方厘米？
8. 如图，求阴影部分面积。

9. 如图，长方形和8厘米，宽4厘米，阴影面积之和是11平方厘米，求四边形ABCD的
面积。

10. 如图.梯形ABCD的面积是36平方厘米，点E在BC上，且

ADE的面 积是

ABE面
积的3倍，EC的长度是BE长度的2倍。求

DE C的面积。

11. 如图.大正方形的面积是16平方厘米，小方形的面积是4平方厘米，求A、C的面积和
是多少？

12. 如图，AD=4，BC=10，求四边形ABCD的面积(单位：厘米)


13. 如图.有9个小长方形，按其编号1，2，3，4，5号的面积分别是2m
2
、4m
2
、5m
2
、8m
2
、
12m
2< br>，那么，6号长方形的面积是多少cm
2
？

14. 如图.大正方形中有一个小正方形，两正方形的周长差是8厘米，面积差是20平方厘米，大正方形的边长是多少厘米？

第六讲 <练习巩固与拓展>答案
1. 40 cm
2

①7×7=49(cm
2
) (大) ②3×3=9(cm
2
) ③两块没有重合的阴影部分面积的差= (大正方形
面积- 空白部分面积)-(小正方形面积-空白部分面积)=大正方形- 小正方形
=49-9=40(cm
2
)
2. 30分米；18dm
2
；周长=(6+9)×2=30(dm)； 面积=(9-6)×6=18(cm
2
) .
3. 688(cm
2
)
① 20×20-(20-2×2)×(20-2×2)=400-256=144(cm
2
)
② 144×5=720(cm
2
)
③ 2×2×8=32(cm
2
)
④ 720-32=688(cm
2
)
4. 40厘米

2×2=4

大正方形的边长为2分米。2分米=20厘米。又

大正方形边长=
长方形长与宽的和，

每个长方形周长为20×2=40cm。
5. 在图形的左 上角补上一个长方形，形成一个大正方形，大正方形边长为14÷2=7(cm)，
面积为7×7=49 (cm
2
) 因为四个正方形面积为50，所以，ABCD面积为49-50÷2=24(cm
2
)
24÷2=12(cm
2
).

6. 90(cm
2
)
提示：长方形的周长是38厘米，长与宽的和是 38÷2=19(cm)，当两个数的和一定，两
数差越小，乘积越大，长和宽都是自然数，当长是10 cm，宽是9cm时，长与宽
的差最小，面积最大。38÷2=19，19=10+9，10×9=90 (cm
2
) 。
7. 40(cm
2
)
提示：根据题意可以得到将两个长方形的长连在 一起拼成的长方形(如图)，
这时周长较原一个长方形周长增加10厘米，即原长方形的
两个宽 边和为10厘米，可得原长方形的宽为10÷2=5(厘米)。同样，将两个长
方形的宽连在一起，得到 的长方形是。这时周长增加16
厘米，即原长方形两个边和为16，可得原长方形的长为16÷2=8( cm)，于是原
长方形面积为：(10÷2)×(16÷2)=40(cm
2
)
8. 7.5(cm
2
)
①2×3÷2=3(cm
2
) ②3×3÷2=4.5(cm
2
) ③3+4.5=7.5(cm
2
)

9. 3(cm
2
) 思路是：S

ECH-(

ABE+

ADH)= S
□
ABCD
① S

ECH=8×(4÷2)÷2=8(cm
2
)
② (S

ABE+S

ADH)= S
□
EFGH- S

AFG)-11=8×4－8×4÷2-11=5(cm
2
)
③ 8-5=3(cm
2
)
10. 12(cm
2
) 思路是(如图)：设S

ABE为a，依题意有，S

AED=3a，且
ABE

EC=2BE，
和

ECD等高，

S

ECD=2a，则6a=36,a=6,2a=6×2=12(cm
2
)

2
11. 6(cm)
(提示：A、C两个梯形的高之和为4-2=2(cm)

面积和=(上底+下底)×高(和)÷2=(2+4)
×2÷2=6(cm
2
)
12. 42(cm
2
)
(提示：延长AB、CD交 于E点，得出一个等腰直角三角形，则

AED也为等腰直角
三角形，S
< br>BEC- S

AED的差即为所求。)

13. 利用对角线两个长方形面积的乘积相等解题。
图中a的面积：2×8÷4=4(m
2
)
图中b的面积：5×8÷4=10(m
2
)
图中c的面积：12×10÷8=15(m
2
)
(附：对角线相等，如箭头所示，2×8=4×(a),

a=2×8÷4=4


14. 6(cm)
将图 中小正方形的方向和位置加以调整，然后解题，两正方形的周长差8cm，说明大
正方形的边长比小正方 形边长长8÷4=2(cm),如图可知①与②的面积相等 ③的面积为：
2×2=4(cm
2
) ①或②的面积是：(20-4)÷4=8(cm
2
) 大正方形的边长为：8÷2+2=6(cm)

四年级奥数详解答案 第6讲

第六讲 面积的计算

一、知识概要
1. 面积：面积是围成的平面图形的大小。
2. 各种图形的计算公式
1. 三角形 面积=底×高÷2 用字母表示为：S=ah÷2
(注：高，就是从三角形的顶点向它的对边所做的那条垂线段)
2. 长方形 面积长宽 用字母表示 为： Sab
是特殊的平行四边形

3. .正方形 面积边长边长 用字母表示 为： Sa
2

4. 平行四边形 面积=底×高 用字母表示为：S=ah
5. 梯形 面积=(上底+下底)×高÷2 用字母表示为：S=
（ab)h

2
{注： 解梯形应用题常用 到梯形的中位线。中位线就两腰的中立的连线。中位
线等于两底边之和的一半，即，中位线=(a+b) ÷2}}

二、典型题目精讲
1. 用同样大小的长方形纸片摆成下图，已知每张小纸片的宽是4厘米，阴影部分的面积
是多少平方厘米？

分析：(如图)5个长方形的长等于3个长十3个宽即5a=3a+3b,则2a=3b,a=3 ×4÷2=6(cm)
图中阴影部分是三个相等的小正方形，其一个正方形的边长为 长-宽，即6-4=2(cm),
这样，全部阴影部分面积就是(2×2×3)cm
2
了。
解：①3×4÷2=6(cm)②6-4=2(cm)③2×2×3=12(cm
2
)
答：阴影部分的面积是12 cm
2
。

2. 下图是一个边长为20厘米的正方形和一个长方形的组合图形，求阴影部分的面积。

分析：作二条辅助线，交于正点使EF=20cm，EG=10 cm(如图)则阴影面积=上、 下两个
长方形面积之和-

ABC的面积-

ADE的面积
解：①S

ABC=(20+10+4)×14÷2=238(cm
2
) ② S

ADE=(20+10)×(20+14)÷
2=510(cm
2
) ③34×14+30×20=1076(cm
2
) ④1076-(238+510)=328(cm
2
)

答：阴影部分的面积等于328cm
2
。
(答：此题另有其他方法，如图作辅助线AE请尝试)
3. 如图所示，在梯形ABCD中，AC、B D交于0点，

ABO的面积是90平方厘米，AC
是AO长的4倍，求梯形ABCD 的面积。

分析：(如图)①


ABD与

ADC等底等高， 且共同包含

AOD



ABO
=

DCO=90
②


ADO和

DOC等高，且OC=3AO

S

DCO=3S

AOD

S

ADO=90
÷3=30(cm
2
) ③< br>
ABO与

BOC等高，且OC=3AO，

S

BOC=3

ABO

S

BOC=3×90=270(cm
2
)
解：梯形面积=S

ABO+ S

ADO+ S

DCO+ S

BOC
=90+30+90+270
=480(cm
2
)
答：梯形ABCD的面积是480cm
2
。

4. 如图所示，四边形ABCD与DFGE都是平行四边形，证明它们的面积相等。

分析：①作辅助线AF垂直于BC，则AF既是

ADF的高，又是平行四边形 ABCD的高。
②作辅助线AH垂直于FD，则AH既是

AFD的高，又是平行四边 形DEFG的高。
③平行四边形DEFG和ABCD同时都和

ADF等底等高，
两个平行四边形彼此等
底等高，故面积相等。
证明：
S
□
ABCD=2S

AFD，S
□
DEFG=2S< br>
AFD

S
□
ABCD= S
□
DEFG

5. 如图所示，一个正方形的水池的周围，环绕着一条 宽5米的小路，小路面积为300平方
米，那么，正方形水池的面积是多少？

2
分析： ①将小路面积4等份(如图)，则一等份为300÷4=75(m)
②75÷5=15(m)即为小长方形的长
③正方形边长=15-5=10(m)
解：①300÷4=75(m
2
) ②75÷5=15(m) ③15-5=10(m) ④10×10=100(m
2
)
答：正方形水池的面积为100m
2
。

(注：此题另有其解法—先求出4只小角面积。请尝试。)

6. 求图中阴影部分的面积(单位：厘米)。




分析：①求出空白图形(梯形)的面积 ②求出整个图形(长方形)的面积 ③长方形面积-梯
形面积
解：①S
梯
=(5+15)×8÷2=80 (cm
2
) ②S
长
=15×8=120(cm
2
) ③120-8=40(cm
2
)

(注：此题另有一解法—利用两个三角形等底等高特点求解，请尝试。)

三、练习巩固与拓展
1. 如图，大小两个正方形部分重合，两块没有重合的阴影部分面积是多少？(单位：厘米)

22
2. 一个长方形的面积为54dm，靠一边裁出一个面积为36dm的正方形(如图) 。那么，原
长方形的周长是多少分米？剩下的小长方形的面积是多少平方分米？

3. 每边是20厘米的正方形纸片，正中间挖去了一个正方形的洞，成为宽度为2厘米瓣方
框。把五个这样的方框放在桌面上，桌面上这些方框盖住的面积是多少？

4. 用四个相同的长方形拼成一个面积为4平方分米的大正方形(如图)，每个长方形的周长
是多少厘米？

5. 长方形ABCD的周长是14厘米，在它的每条边上各画一个以该边为边长的正方形(如
图)，已知这四个正方形的面积之和是50平方厘米，那么，长方形ABCD的面积是多
少平方厘米？

6. 一个长、宽是自然数的长方形，周长是38厘米，那么，这个长方形的面积最大是多少
平方厘米？
7. 有两个完全相同的长方形，如果把它们的长连在一起拼成一个新的长方形，周长比原一
个长方形增加10厘米；如果宽连在一起拼成一个新长方形，周长比原一个长方形增加
16厘米。原来每 个长方形的面积是多少平方厘米？
8. 如图，求阴影部分面积。

9. 如图，长方形和8厘米，宽4厘米，阴影面积之和是11平方厘米，求四边形ABCD的
面积。

10. 如图.梯形ABCD的面积是36平方厘米，点E在BC上，且

ADE的面 积是

ABE面
积的3倍，EC的长度是BE长度的2倍。求

DE C的面积。

11. 如图.大正方形的面积是16平方厘米，小方形的面积是4平方厘米，求A、C的面积和
是多少？

12. 如图，AD=4，BC=10，求四边形ABCD的面积(单位：厘米)


13. 如图.有9个小长方形，按其编号1，2，3，4，5号的面积分别是2m
2
、4m
2
、5m
2
、8m
2
、
12m
2< br>，那么，6号长方形的面积是多少cm
2
？

14. 如图.大正方形中有一个小正方形，两正方形的周长差是8厘米，面积差是20平方厘米，大正方形的边长是多少厘米？

第六讲 <练习巩固与拓展>答案
1. 40 cm
2

①7×7=49(cm
2
) (大) ②3×3=9(cm
2
) ③两块没有重合的阴影部分面积的差= (大正方形
面积- 空白部分面积)-(小正方形面积-空白部分面积)=大正方形- 小正方形
=49-9=40(cm
2
)
2. 30分米；18dm
2
；周长=(6+9)×2=30(dm)； 面积=(9-6)×6=18(cm
2
) .
3. 688(cm
2
)
① 20×20-(20-2×2)×(20-2×2)=400-256=144(cm
2
)
② 144×5=720(cm
2
)
③ 2×2×8=32(cm
2
)
④ 720-32=688(cm
2
)
4. 40厘米

2×2=4

大正方形的边长为2分米。2分米=20厘米。又

大正方形边长=
长方形长与宽的和，

每个长方形周长为20×2=40cm。
5. 在图形的左 上角补上一个长方形，形成一个大正方形，大正方形边长为14÷2=7(cm)，
面积为7×7=49 (cm
2
) 因为四个正方形面积为50，所以，ABCD面积为49-50÷2=24(cm
2
)
24÷2=12(cm
2
).

6. 90(cm
2
)
提示：长方形的周长是38厘米，长与宽的和是 38÷2=19(cm)，当两个数的和一定，两
数差越小，乘积越大，长和宽都是自然数，当长是10 cm，宽是9cm时，长与宽
的差最小，面积最大。38÷2=19，19=10+9，10×9=90 (cm
2
) 。
7. 40(cm
2
)
提示：根据题意可以得到将两个长方形的长连在 一起拼成的长方形(如图)，
这时周长较原一个长方形周长增加10厘米，即原长方形的
两个宽 边和为10厘米，可得原长方形的宽为10÷2=5(厘米)。同样，将两个长
方形的宽连在一起，得到 的长方形是。这时周长增加16
厘米，即原长方形两个边和为16，可得原长方形的长为16÷2=8( cm)，于是原
长方形面积为：(10÷2)×(16÷2)=40(cm
2
)
8. 7.5(cm
2
)
①2×3÷2=3(cm
2
) ②3×3÷2=4.5(cm
2
) ③3+4.5=7.5(cm
2
)

9. 3(cm
2
) 思路是：S

ECH-(

ABE+

ADH)= S
□
ABCD
① S

ECH=8×(4÷2)÷2=8(cm
2
)
② (S

ABE+S

ADH)= S
□
EFGH- S

AFG)-11=8×4－8×4÷2-11=5(cm
2
)
③ 8-5=3(cm
2
)
10. 12(cm
2
) 思路是(如图)：设S

ABE为a，依题意有，S

AED=3a，且
ABE

EC=2BE，
和

ECD等高，

S

ECD=2a，则6a=36,a=6,2a=6×2=12(cm
2
)

2
11. 6(cm)
(提示：A、C两个梯形的高之和为4-2=2(cm)

面积和=(上底+下底)×高(和)÷2=(2+4)
×2÷2=6(cm
2
)
12. 42(cm
2
)
(提示：延长AB、CD交 于E点，得出一个等腰直角三角形，则

AED也为等腰直角
三角形，S
< br>BEC- S

AED的差即为所求。)

13. 利用对角线两个长方形面积的乘积相等解题。
图中a的面积：2×8÷4=4(m
2
)
图中b的面积：5×8÷4=10(m
2
)
图中c的面积：12×10÷8=15(m
2
)
(附：对角线相等，如箭头所示，2×8=4×(a),

a=2×8÷4=4


14. 6(cm)
将图 中小正方形的方向和位置加以调整，然后解题，两正方形的周长差8cm，说明大
正方形的边长比小正方 形边长长8÷4=2(cm),如图可知①与②的面积相等 ③的面积为：
2×2=4(cm
2
) ①或②的面积是：(20-4)÷4=8(cm
2
) 大正方形的边长为：8÷2+2=6(cm)