番禺职业技术学院-寒旱所

四年级奥数知识点：定义新运算
我们学过的常用运算有：+、-、、等.
如：2+3=5
23=6
都是2和3，为什么运算结果不同呢?主要是运算方式不 同，
实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个
数的一种对应方法，对应法则不 同就是不同的运算.当然，这
个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯
一确定 的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是
不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运 算形式，它
们与我们常用的+，-，，运算不相同.
我们先通过具体的运算来了解和熟悉定义新运算.
例1 设a、b都表示数，规定a△b=3a2b，
①求 3△2， 2△3;
②这个运算△有交换律吗?
③求(17△6)△2，17△(6△2);
④这个运算△有结合律吗?
⑤如果已知4△b=2，求b.
分析解定义新运算这类 题的关键是抓住定义的本质，本题规
定的运算的本质是：用运算符号前面的数的3倍减去符号后
面的数的2倍.解：① 3△2= 33-22=9-4= 5
2△3=32-23=6-6=0.
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②由①的例子可知△没有交换律.
③要计算(17△6)△2，先计算括号内的数，有：17△6=317-2
再计算第二步
39△2=3 39-22=113，
所以(17△6)△2=113.
对于17△(6△2)，同样先计算括号内的数，6△2=36-22=14，
其次
17△14=317-214=23，
所以17△(6△2)=23.
④由③的例 子可知△也没有结合律.⑤因为
4△b=34-2b=12-2b，那么12-2b=2，解出b=5.
例2 定义运算※为a※b=ab-(a+b)，①求5※7，7※5;
②求12※(3※4)，(12※3)※4;
③这个运算※有交换律、结合律吗?④如果3※(5※x)=3，求
x.
解：① 5※7=57-(5+7)=35-12=23，7※ 5= 75-(7+5)=35-12=23.
②要计算12※(3※4)，先计算括号内的数，有：
3※4=34-(3+4)=5，再计算第二步 12※5=125-(12+5)=43，
所以 12※(3※4)=43.
对于(12※ 3)※4，同样先计算括号内的数，
12※3=123-(12+3)=21，其次
21※4=214-(21+4)=59，所以(12※ 3)※4=59.③由于
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a※b=ab-(a+b);
b※a=ba-(b+a)
=ab-(a+b)(普通加法、乘法交换律)
所以有a※b=b※a，因此※有交换律.
由②的例子可知，运算※没有结合律.
④5※x=5x-(5+x)=4x-5;
3※(5※x)=3※(4x-5)
=3(4x-5)-(3+4x-5)
=12x-15-(4x-2)
= 8x- 13
那么 8x-13=3
解出x=2.
③这个运算有交换律和结合律吗?
副标题#e#
的观察，找到规律：
例5 x、y表示两个数，规定新运算*及△如下：x*y=mx+ny，
x△y=kxy，其中 m、n、k均为自然数，已知 1*2=5，
(2*3)△4=64，求(1△2)*3的值.
分析 我们采用分析法，从要求的问题入手，题目要求
1△2)*3的值，首先我们要计算1△ 2，根据△的定义：
1△2=k12=2k，由于k的值不知道，所以首先要计算出k的
值.k 值求出后，l△2的值也就计算出来了，我们设1△2=a.
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(1△2)*3=a*3，按*的定义： a*3=ma+3n，在只有求出m、n
时，我们才能计算a*3的值.因此要计算(1△2)* 3的值，我们
就要先求出 k、m、n的值.通过1*2 =5可以求出m、n的值，
通过(2*3)△4=64求出 k的值.
解：因为1*2=m1+n2=m+2n，所以有m+2n
=5.又因为m、n均为自然数，所以解出：
①当m=1，n=2时：
(2*3)△4=(12+23)△4
=8△4=k84=32k
有32k=64，解出k=2.
②当m=3，n=1时：
(2*3)△4=(32+13)△4
=9△4=k94=36k
所以m=l，n=2，k=2.
(1△2)*3=(212)*3
=4*3
=14+23
=10.
宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“ 教
谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士
之师称“教习”。到清末，学堂 兴起，各科教师仍沿用“教习”
一称。其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的
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教育生员。而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学
正” 。“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。于民间，
特别是汉代以后，对于在“校”或“学 ”中传授经学者也称为“经
师”。在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为
“院长 、西席、讲席”等。
要练说，得练听。听是说的前提，听得准确，才有条件正确
模仿，才能不 断地掌握高一级水平的语言。我在教学中，注
意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我特别重视教师
的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，高低起伏，抑扬有
致，富有吸引力，这样能引起幼儿的 注意。当我发现有的幼
儿不专心听别人发言时，就随时表扬那些静听的幼儿，或是
让他重复别人 说过的内容，抓住教育时机，要求他们专心听，
用心记。平时我还通过各种趣味活动，培养幼儿边听边记 ，
边听边想，边听边说的能力，如听词对词，听词句说意思，
听句子辩正误，听故事讲述故事， 听谜语猜谜底，听智力故
事，动脑筋，出主意，听儿歌上句，接儿歌下句等，这样幼
儿学得生动 活泼，轻松愉快，既训练了听的能力，强化了记
忆，又发展了思维，为说打下了基础。
唐宋或 更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，
其相应传授者称为“博士”，这与当今“ 博士”含义已经相去甚
远。而对那些特别讲授“武事”或讲解“经籍”者，又称“讲师”。
“教 授”和“助教”均原为学官称谓。前者始于宋，乃“宗学”“律
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学”“医学”“武学”等科目的讲授者；而后者则于西晋武帝时代
即已设立了，主要协助国子、博士培养 生徒。“助教”在古代
不仅要作入流的学问，其教书育人的职责也十分明晰。唐代
国子学、太学 等所设之“助教”一席，也是当朝打眼的学官。
至明清两代，只设国子监（国子学）一科的“助教”，其 身价
不谓显赫，也称得上朝廷要员。至此，无论是“博士”“讲师”，
还是“教授”“助教”， 其今日教师应具有的基本概念都具有了。
在上面这一类定义新运算的问题中，关键的一条是：抓住定义这一点不放，在计算时，严格遵照规定的法则代入数值.
还有一个值得注意的问题是：定义一个新 运算，这个新运算
常常不满足加法、乘法所满足的运算定律，因此在没有确定
新运算是否有这些 规则之前，不能应用这些运算律来解题。
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