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第十六讲 体育比赛中的数学






一．体育比赛中的数学
对于体育比赛形式的逻辑推理题，注意“一队的 胜、负、平”必然对应着“另一队的负、胜、
平”。有时综合性的逻辑推理题需要将比赛情况用点以及连 接这些点的线来表示，从整体考
虑，通过数量比较、整数分解等方式寻找解题的突破口。


一．学会分析题，比赛的中的切入点是比赛规则
二．胜，负，平，单循环赛，复赛，冠军赛的公式掌握


1.一场比赛中一共有六个队参赛，如果每两个队之间都进行一场比赛，一共要比赛多少场？

解析：每队赛的场数×参赛队数÷2=单循环总场数．要比赛6×5÷2=15场．
答案：15场．

2.市里举行足球联赛，有
5
个区参加比赛，每 个区出
2
个代表队．每个队都要与其他队赛一

场，这些比赛分别在5
个区的体育场进行，那么平均每个体育场都要举行多少场比赛？

解析：2×5×（10-1）除以2=45场45除以5=9场
答案：9场
3.学校进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共进行了
78
场
比赛，有人参加了选拔赛．
解析：根据“每个参赛选手都要和其他所有选手赛一场，一共进 行了78场比赛，”知道有
几个人参加比赛，就需要赛几乘几减一场，但每两个人只赛一场，所以这里有 一半是重
复的，所以实际除以2才是78场，由此列式解答即可．解：设x个人参加比赛，每个参
赛选手都要和其他选手赛一场，则每个选手赛（x-1）场，x个人赛（x-1）×x场，但每
两个人 只赛一场，所以这里有一半是重复的，所以实际应赛：x×（x-1）÷2=78，即 x
×（x-1）=156；
因为，13×12=156，所以x=13；
答案：13人


4.学校六年级8个班举行篮球单循环比赛，即每个班都 要与其他班比赛一场，那么一共要进
行多少场比赛？

解析：举行篮球单循环比赛， 是每个班级都要和其它7个班进行比赛，要进行7场比赛，所
以8个班一共进行：7×8=56（场）， 又因为每两个班重复计算了一次，所以实际全
年级一共要进行了56÷2=28（场）．解：要进行的比 赛场数为：7×8÷2=28（场）．
答案：28场

5.有
8
个选手进行乒乓球单循环赛，结果每人获胜局数各不相同，那么冠军胜了几局？

解析：冠军胜了7局，其他人分别胜6，5，4，3，2，1，0局。
答案：7场
6.参加世界杯足球赛的国家共有
32
个（称
32
强），每四个国家编入一个 小组，在第一轮单
循环赛中，每个国家都必须而且只能分别和本小组的其他各国进行一场比赛，赛出16
强
后，进入淘汰赛，每两个国家用一场比赛定胜负，产生
8
强、4
强、
2
强，最后决出冠军、
亚军、第三名，第四名．至此，本届世界杯 的所有比赛结束．
根据以上信息，算一算，世界杯的足球赛全程共有几场？

解析：单循环赛中，有 32 ×4 = 8（个）组。每组 4 个队。 每组四个队中，每个队要与
其他 3队都比赛1场，每个队就比 3场。因为每场比赛要 2 个队。所以1组里有
4×3÷ 2 = 6 （场）。有8个组，单循环赛就有 8× 6 = 48 （场）。进入淘汰赛，
有16 个队，淘汰赛每比1场就淘汰1个队，最后决出冠军1个队，就比了16－1 =
15 场，还要决出第三名，第四名，又多了1场。淘汰赛就有15 + 1 = 16 场。世
界杯的足球赛全程共有 48 + 16 = 64 （场）。
答案：64场








A档
1.甲、乙、丙、丁和小强五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘．到现在为止，甲已
经赛了四 盘，乙赛了三盘，丙赛了两盘，丁赛了一盘．小强已赛了多少盘？

解析：甲、乙、丙、丁五 位同学一起比赛象棋，每2人都要比一盘，即每个人都要和其它4
人赛一盘，共赛4盘．由于甲赛了4盘 ，则甲分别和乙、丙、丁、小强各赛了一盘；
由于丁此时只赛了一盘，即这一盘是和甲赛的，除了甲之外 丁再没和其它人赛．而乙
已赛了3盘，所以乙这三盘一定是和甲、丙、小强赛的；此时丙共赛两盘，则一 定是
和甲、乙赛的；所以此时小强共赛两盘，是和甲、乙赛的．
解：甲甲赛了4盘，则甲分别 和乙、丙、丁、小强各赛了一盘；丁此时只赛了一盘，
即这一盘是和甲赛的．而乙已赛了3盘，所以乙这 三盘一定是和甲、丙、小强赛的；
此时丙共赛两盘，则一定是和甲、乙赛的；所以此时小强共赛2盘，是 和甲、乙赛的．
答案：2盘

2.八一队、北京队、江苏队、山东队、广东队五队 进行象棋友谊赛，每两个队都要赛一场，
一个月过后，八一队赛了
4
场，北京队赛了< br>3
场，江苏队赛了
2
场，山东队赛了
1
场．那
么广东 队赛了几场？
解析：广东赛2场，利用单循环赛的比赛规则
答案：2场

3.东东、西西、南南、北北四人进行乒乓球单循环赛，结果有三人获胜的场 数相同．问另一
个人胜了几场？
解析： 东东、西西、南南、北北四人进行单循环赛，则每人都赛3场，共赛6 (场)．如
果其中有三人都胜3 场，则至少进行9场比赛，这是不可能的；如果其中有三人都
胜2场，那么6场比赛中的获胜者都在这三 个人中，每人胜了2场，另一个人胜0
场；如果其中有三人都胜1场，那么6场比赛中的3场这三人各胜 1场，另外3
场的胜者必是第四个人，故另一个人胜3场；三个人都胜0场也是不可能的．因此，
如果有 人获胜的场数相同，那么另一个人可能胜0场，也可能胜3场．
答案：另一个人可能胜0场，也可能胜3场



4.四个足球队 踢单循环赛，三分制，比赛结果四队得分是四个连续数，问：每队的胜负情况
如何？
解析：应 先求出场数：4×3÷2=6场，这样才能求出总积分的范围应在6×2=12分和6×3=18
分之间 。这时应把总分范围缩小，以便最后确定符合条件的总分。
总分不能为12，因为总分为最低分是因为 比赛都是平局，这样四个队就没有比分差异
了。总分不能为18，因为总分为最高分是因为比赛没有平局 ，每支队每场比赛得分为
3或0，那最后积累下来只能为3的倍数，四支队的比分无法组成四个连续数。 所以
范围缩小到13~17经试验，只有2+3+4+5=14分在范围内。所以四支队比分为2、3、 4、
5分，接下来用列表法确定各队赛况。

答案：由于只有B队有多种可能，所以 最后确定，当其他队的平局场数都确定了，根据总平
局数应为偶数的特点，可确定B平3场。那么胜0负 0。

5.四（一）班的同学在周末举行象棋比赛，规定赢1局得3分，输1局倒扣1分，平 1局各
得1分．小晴共参加了6局比赛，结果胜了3局，平了1局，那么小晴的最后得分是多少？

解析：胜3局得到：3×3=9（分），平1局得到1（分），输了6-3- 1=2局，扣了2（分）．最
后得分是9+1-2=8（分）
答案：8 分

B档
1.8个选手进行象棋比赛，每2个选手之间都进行一场比赛，胜者得2分，负者得0分 ，如
果和棋各得1分，比赛全部结束后．共进行了场比赛，每一位选手得分之和是分．

解析：（1）8×（8-1）÷2，8×7÷2，=56÷2，=28（分）；
（2）28×2=56（分）；
答案：共进行了28场比赛，每一位选手得分之和是56分

2.10名同学参加乒乓球比赛，如果每两名同学之间都进行一场比赛，一共要比赛（ ）
场．
解析：（10×9）÷2，
=90÷2=45（场）；
答案：一共要进行45场比赛
3.某班8名同学进行乒乓球比赛- 每两名同学之间都要进行一场比赛，一共要比赛场．

解析：8×（8-1）÷2，8×7÷2，28（场）；
答案：一共要赛28场．

4.参加足球比赛的共有64支球队，如果比赛采用淘汰制，那么要产生冠军一共要进行（ ）
场比赛．

解析：64-1=63（场）要产生冠军一共要进行63场比赛．
答案：63场

5.在学校最近进行的乒乓球比赛中，每两个同学之间都要进行一场 比赛，共进行了66场比
赛，那么这次比赛一共有（ ）同学参加．

解析：设共有参赛同学 x人，由题意得：
x（x-1）÷2=66，
x×（x-1）=66×2，
x×（x-1）=132，
因为12×11=132，所以一共有12个同学参加．
答案：12个

C档
1.4支球队，每2支球队之间都进行一场比赛．整个小组共赛（ ）场．

解析：每2支球队之间都进行一场比赛，那么每支球队就要和其它的3支球队进行比赛， 比
赛3场；那么4支球队就要比赛3×4场比赛；但是这样计算每场比赛就算了2次，
再除以2 即可。4×3÷2，
=12÷2=6（场）；
答案：6场
2.2006年世界杯 足球赛在德国举行．共有32支球队参加，平均分成8个小组．每个小组内
进行循环赛（即每支球队都要 同另外3支球队进行一场比赛），小组积分前两名进入16
强；这16强进行淘汰赛（即一场比赛决胜负 ，胜者进入下一轮比赛，负者被淘汰），决
出8强；再进行淘汰赛，产生四强；四强仍进行淘汰赛，两支 负队争夺第三名；获胜的两
支球队进入决赛，进行大决战，最终获胜的球队将捧起世界杯足球赛的金杯 --大力神杯．本
届世界杯一共要举行多少场比赛？
解析：每组6场前两名进16强：6×8=48（场）；
16强进8强是一场定输赢要8场 8进4又要4场 4进2要2场之后冠亚军1场.3.4
名一场，
48+8+4+2+1+1=64（场）；
答案：64场

3.学校六年级举行乒乓球单打比赛，共有32名同学参加．
（1）如果采用单循环赛，每人都要和其他人各赛一场，总共要赛多少场？
（2）如果采用淘汰赛，每场比赛打输的人不再参加下一轮比赛，总共要赛多少场？

解析：（1）每人都要和其他人各赛一场，每个人就要和其它的31赛一场，一共要赛32×
31场， 由于比赛是在两个人之间进行的，所以再除以2即可求解；
（2）淘汰赛每赛一场就要淘汰1个队，而 且只能1个队．即淘汰掉多少个队就恰好
进行了多少场比赛，由此分情况算出结果即可
1）32×（32-1）÷2
=32×31÷2=496（场）
2）32名同学进 行掰手腕比赛，最后决出冠军只有1个人，淘汰32-1=31支队，就一
共需要进行31场比赛．
答案：496场，31场

4.20名羽毛球运动员参加单打比赛，两两配对进行单循环赛，那么冠军一共要比赛多少
场，一共要进行多少场比赛？

解析：单循环赛中，每个参赛运动员都要和除自己之 外的运动员比赛，都要比20-1=19场冠
军也是。 如果问一共进行多少场比赛，才是19×20÷2=190
答案：190场

5.1 0个队进行循环赛，胜队得2分，负队得1分，无平局．其中有两队并列第一，两队并
列第三，有两个队 并列第五，以后无并列情况．请计算出各队的得分．
场

解析： 10个队进行循环赛，每队打9场，共赛45场．每场3分，共45×3=135分；有两个
第一名，所 以最高为17分，最低得分至少为9分，然后假设第一名得17分，第二名
是16分，第三名得15分， 其它为12，11，10，9分进行计算，然后根据总和是135
分进行推算10×（10-9）÷2= 45（场） 总分：45×3=135（分）
因为有两个第一名，最高得分最多为17分，最低得 分至少为9分，如果按两个17
分，两个16分，两个15分，其余分别为9、10、11、12分计算 ，
17×2+16×2+15×2+12+11+10+9=138（分）；
138＞135，多了3分
将第二名改为15分，第三名改为14分，第七名改为13分，
则17×2+15×2+14×2+13+11+10+9=135；
当然也可能是16×2+15×2+14×2+13+12+11+9=135；
答案：
9，11，12，13，14，14，15，15，16，16；
9，10，11，13，14，14，15，15，17，17

1.甲、乙、丙、 丁、戊5个队进行3人篮球赛单循环赛（每两队赛一场），到现在为止，甲
队已经打了4场，乙队打了3 场，丙队打了2场，丁队打了1场，戊队打了（ ）场．

解析：每人最多赛4场；甲已经赛了4场，说明它和另外的四人都赛了一场，包括丁和戊；
丁赛了1场，说明他只和甲进行了比赛，没有和其它选手比赛；
乙赛了3场，他没有和丁比赛，是和另外另外的三人进行了比赛，包括丙和戊；
丙赛了2场，是和甲、乙进行的比赛，没有和戊比赛；
所以戊只和甲、乙进行了比赛，一共是2场．
答案：2场
2.4名同学进行乒乓球比赛，每2人之间要比赛一场，每人要比赛．（ ）

解 析：如果每两个同学之间都进行一场比赛，每个同学都要和其他的三人进行一场比赛，每
个同学打3场， 共有3×4=12场比赛；由于每两个人之间重复计算了一次，实际只需
打12÷2=6场即可．（4- 1）×4÷2=12÷2=6（场）；
答案：一共要进行6场比赛．

3.201 0年世界杯足球赛A组一共有四支球队，每两支球队要踢一场球，这个小组一共要踢
场球．

解析：由于每个队都要和另外的3个队赛一场，一共要赛：3×4=12（场）；又因为两个队
只赛一场，去掉重复计算的情况，实际只赛：12÷2=6（场），据此解答．（4-1）×
4÷2，= 12÷2，=6（场）；

答案：6（场）
4.参加足球比赛的共有64支球队，如果比赛采用淘汰制，那么要产生冠军一共要进行（ ）
场比赛．

解析：根据“比赛采用淘汰制”，知道淘汰赛参赛队-1=决出冠军需 要的场次，由此即可得
出答案64-1=63（场）
答案：要产生冠军一共要进行63场比赛

5.甲、乙、丙、丁和小明五个人一起下围棋，循环比赛，已知甲下了4盘，乙下了3盘，丙
下了2盘，丁下了1盘，问小明下了（ ）盘

解析：甲下了4盘，甲和其他4人 各下了一盘，包括丁和小明；而丁下了一盘，说明丁只和
甲下了一盘，没和其他人下；乙下了3盘，他没 和丁下，就是和甲，丙，小明三人下
了；丙是下了2盘，那么他只和甲、乙下了，没和小明下；由此可知 ：小明只和甲、
乙下了棋，下了2盘．
答案：2盘






1.5个足球队进行比赛，每个球队都与其他球队各比一场，胜方得3分，负方得0分，平局
各得1分．最后四个队分别得1分、2分、5分和7分，那么第五个队得分．
解析：后四队从积分来看成绩为： 2胜1平1负，1胜2平1负，2平2负，1平3负。 负
场比胜场少4场，因此第一名是4连胜，12分
答案：12分

2.甲 、乙、丙、丁四个足球队进行单循环赛，就是每两个队之间都要比一场，胜者得3分，
负者得0分，平者 各得1分．比赛结束后，甲队共得6分，乙队共得4分，丙队共得2

分，那么丁队共得分 ．

解析：由问题可以推出，第一名胜了一场。则推出第一名得5分。也就是一胜两平。则连 续
自然数就是5，4，3，2。由分数看，第二名和第四名都必须有平局，而第三名则是
一胜两 负，没有平局。则第一名在对阵第二和第四的时候都是平局，而赢了第三名。
则输给第一名的是第三名，分数是2分
答案：2分

3.某小学五年级四个班进行拔河比赛，如果进行单循环赛需要进行 场比赛；如果进行淘
汰赛需要进行场比赛．
解析：1）由于每两个队都要赛一场，所以每个队 都要和其它1个队赛一场，这样所有队参
赛的场数为4×3=12场，由于比赛是在两队之间进行的，所 以一共要赛12÷2=6
场．
（2）淘汰赛每赛一场就要淘汰1个队，而且只能1个队．即淘 汰掉多少个队就恰好进
行了多少场比赛，由此分情况算出结果即可．（1）4×（4-1）÷2=12÷ 2=26（场）；
（2）最后决出冠军只有1个人，淘汰4-1=3支队，就一共需要进行3场比赛．
答案：6，3．

4.四位乒乓球选手比赛，如果每两名同学之间都要进行一场比赛，一共要比赛（ ）
< br>解析：如果每两个同学之间都进行一场比赛，每个同学都要和其他的三人进行一场比赛，每
个同学 打3场，共有3×4=12场比赛；由于每两个人之间重复计算了一次，实际只需
打12÷2=6场即可 ．（4-1）×4÷2=12÷2=6（场）；
答案：6场
5.某班8名同学进行乒乓球比赛-每两名同学之间都要进行一场比赛，一共要比赛场．
< br>解析：8名同学进行乒乓球比赛，每两名同学之间都要进行一场比赛即进行单循环比赛．则
每位同 学都要和其它的7位同学赛一场，所以所有同学参赛的场数为8×7=56场．由
于比赛是在每两个人之 间进行的，所以一共要赛56÷2=28场．8×（8-1）÷2=8×7
÷2=28（场）；
答案：28．
6.在一次数学竞赛的领奖台上，有5名同学上台领奖，他们每两人都相互握了 一次手．问他
们共握了（ ）次手．

解析：每个人都和别外4个人握手，那么每 人要握4次，5个人就要握5×4次，因为是两
两握手，这样计算就多算了2倍，再除以2即可．

5×（5-1）÷2=5×4÷2=10（次）．
答案：10次

7.三个球队进行单循环赛，总的比赛场数是场，四个球队进行单循环比赛的总场数是场，若
m 个球队场．

解析：（1）由于每个队都要和另外的2个队赛一场，一共要赛：3×2=6（ 场）；又因为两
个队只赛一场，去掉重复计算的情况，实际只赛：6÷2=3（场）；
同理， （2）由于每个队都要和另外的4个队赛一场，一共要赛：3×4=12（场）；
又因为两个队只赛一场 ，去掉重复计算的情况，实际只赛：12÷2=6（场）；
（3）由于每个队都要和另外的m-1个队 赛一场，一共要赛：m×（m-1）场；又因为
两个队只赛一场，去掉重复计算的情况，实际只赛：m× （m-1）÷2场；据此解答．
（1）（3-1）×3÷2=6÷2=3（场）；
（2）（4-1）×4÷2=12÷2=6（场）；
（3）（m-1）×m÷2场；
答案：3，6，（m-1）×m÷2
8.在一次数学竞赛的领奖台上，有5名同学上台领奖， 他们每两人都相互握了一次手．问他
们共握了（ ）次手．

解析：每个人都和别 外4个人握手，那么每人要握4次，5个人就要握5×4次，因为是两
两握手，这样计算就多算了2倍， 再除以2即可．5×（5-1）÷2=5×4÷2=10（次）．
答案：10（次）








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