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第35讲 容斥原理
一、专题简析： 容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理,也叫容斥原理。即当两
个计数部分有重复包含时 ,为了不重复计数,应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n个事物,如果采用不同的分类标准 ,按性质a分类与性质b
分类（如图）,那么具有性质a或性质b的事物的个数=N
a
＋N
b
－N
ab
。
Na
Nab
Nb

二、精讲精练：
例1：一个班有48人,班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！” 有
37人举手。又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。最后问：“谁
语文、数学 作业都没有做完？”没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成
的人数。



练 习 一
1、五年级有122名学生参加语文、数学考试,每人至少有一门 功课取得优秀成
绩。其中语文成绩优秀的有65人,数学优秀的有87人。语文、数学都优秀的有
多少人？

1

2、四年级一班有54人,订阅《小学生优秀作文》和 《数学大世界》两种读物的
有13人,订《小学生优秀作文》的有45人,每人至少订一种读物,订《数 学大世
界》的有多少人？





例2：某班 有36个同学在一项测试中,答对第一题的有25人,答对第二题的有
23人,两题都答对的有15人。 问多少个同学两题都答得不对？



练 习 二
1、五（ 1）班有40个学生,其中25人参加数学小组,23人参加科技小组,有19
人两个小组都参加了。那 么,有多少人两个小组都没有参加？







2

2、一个班有55名学生,订阅《小学生数学报》的有 32人,订阅《中国少年报》
的有29人,两种报纸都订阅的有25人。两种报纸都没有订阅的有多少人 ？




例3：某班有56人,参加语文竞赛的有28人,参加 数学竞赛的有27人,如果两科
都没有参加的有25人,那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？




练 习 三
1、一个旅行社有36人,其中 会英语的有24人,会法语的有18人,两样都不会的
有4人。两样都会的有多少人？



2、一个俱乐部有103人,其中会下中国象棋的有69人,会下国际象棋的有5 2人,
这两种棋都不会下的有12人。问这两种棋都会下的有多少人？



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例4：在1到100的自然数中,既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？



练 习 四
1、在1到200的全部自然数中,既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个？




2、在1到130的全部自然数中,既不是6的倍数又不是5的倍数的数有多少个？



例5：光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作< br>品,其中有24幅不是五年级的,有22幅不是六年级的,五、六年级参展的书法作
品共有10幅 ,其他年级参展的书法作品共有多少幅？






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练 习 五
1、科技节那天,学校的科 技室里展出了每个年级学生的科技作品,其中有110件
不是一年级的,有100件不是二年级的,一、 二年级参展的作品共有32件。其他
年级参展的作品共有多少件？




2、六（1）儿童节那天,学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品,其中有
2 5幅画不是三年级的,有19幅画不是四年级的,三、四两个年级参展的画共有8
幅。其他年级参展的画 共有多少幅？




三、课后作业
1、学校文艺组每 人至少会演奏一种乐器,已知会拉手风琴的有24人,会弹电子
琴的有17人,其中两种乐器都会演奏的 有8人。这个文艺组一共有多少人？





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2、某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛, 结果3人两项比赛都获奖了,
有27人两项比赛都没有获奖。已知作文比赛获奖的有14人,问数学比赛 获奖的
有多少人？



3、三年级一班参加合唱队的有40人, 参加舞蹈队的有20人,既参加合唱队又参
加舞蹈队的有14人。这两队都没有参加的有10人。请算一 算,这个班共有多少
人？



4、五（1）班做广播操,全班排 成4行,每行的人数相等。小华排的位置是：从
前面数第5个,从后面数第8个。这个班共有多少个学生 ？



5、实验小学举办学生书法展,学校的橱窗里展出每个年级学生的 书法作品,其中
有28幅不是五年级的,有24幅不是六年级的,五、六年级参展的书法作品共有
20幅。一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展作品的总数少4幅。一、
二年级参展的书法作品 共有多少幅？
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专题简析：
容斥问题涉及到一个重要原理— —包含与排除原理,也叫容斥原理。即当两个计数部分
有重复包含时,为了不重复计数,应从它们的和中 排除重复部分。
容斥原理：对n个事物,如果采用不同的分类标准,按性质a分类与性质b分类（如图 ）,
那么具有性质a或性质b的事物的个数=N
a
＋N
b
－N
ab
。
Na
Nab
Nb

例1：一个班有48人,班主 任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。又
问：“谁做完数学作业？请举手！”有 42人举手。最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”
没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成 的人数。
分析 完成语文作业的有37人,完成数学作业的有42人,一共有37＋42=79人, 多于全
班人数。这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次,在统计做完数学作业的人数时又算了一次,这样就多算了一次。所以,这个班语文、数作业都完成
的有： 79－48=31人。
练 习 一
1,五年级有122名学生参加语文、数学考试,每 人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语
文成绩优秀的有65人,数学优秀的有87人。语文、数学都优 秀的有多少人？
2,四年级一班有54人,订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有1 3人,
订《小学生优秀作文》的有45人,每人至少订一种读物,订《数学大世界》的有多少人？ 3,学校文艺组每人至少会演奏一种乐器,已知会拉手风琴的有24人,会弹电子琴的有17
人,其 中两种乐器都会演奏的有8人。这个文艺组一共有多少人？
【答案】1.65+87-122=30（人）
2.54-45+13=22（人）
3.24-8+17=33（人）
例2：某班有36个同学在一项测试中,答对第一题的有2 5人,答对第二题的有23人,两题都
答对的有15人。问多少个同学两题都答得不对？
分析与解答：已知答对第一题的有25人,两题都答对的有15人,可以求出只答对第一题
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的有25－15=10人。又已知答对第二题的有23 人,用只答对第一题的人数,加上答对第二题的
人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人 。所以,两题都答得不对的有36－33=3人。
练 习 二
1,五（1）班有40个 学生,其中25人参加数学小组,23人参加科技小组,有19人两个小
组都参加了。那么,有多少人两 个小组都没有参加？
2,一个班有55名学生,订阅《小学生数学报》的有32人,订阅《中国少年报 》的有29人,
两种报纸都订阅的有25人。两种报纸都没有订阅的有多少人？
3,某校选出 50名学生参加区作文比赛和数学比赛,结果3人两项比赛都获奖了,有27人
两项比赛都没有获奖。已 知作文比赛获奖的有14人,问数学比赛获奖的有多少人？
【答案】1.40-（23+25-19）=11（人）
2.55-（32+29-25）=19（人）
3.（50-27）+3-14=12（人）
例3：某班有56人,参加语文竞赛的有28人,参加数学竞赛的有27人,如果两科都没有参加
的有25人,那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？
分析与解答：要求两科竞赛同时参加的 人数,应先求出至少参加一科竞赛的人数：56－
25=31人,再求两科竞赛同时参加的人数：28＋ 27－31=24人。
练 习 三
1,一个旅行社有36人,其中会英语的有24人, 会法语的有18人,两样都不会的有4人。
两样都会的有多少人？
2,一个俱乐部有103人 ,其中会下中国象棋的有69人,会下国际象棋的有52人,这两种棋
都不会下的有12人。问这两种棋 都会下的有多少人？
3,三年级一班参加合唱队的有40人,参加舞蹈队的有20人,既参加合唱队又 参加舞蹈队
的有14人。这两队都没有参加的有10人。请算一算,这个班共有多少人？
【答案】1.24+18-（36-4）=10（人）
2.69+52-（103-12）=30（人）
3.40+20-14+10=56（人）
例4：在1到100的自然数中,既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？
分析与解答 ：从1到100的自然数中,减去5或6的倍数的个数。从1到100的自然数
中,5的倍数有100÷ 5=20个,6的倍数有16个（100÷6=16……4）,其中既是5的倍数又是6
的倍数（即5和 6的公倍数）的数有3个（100÷30=3……10）。因此,是6或5的倍数的个
数是16＋20－ 3=33个,既不是5的倍数又不是6的倍数的数的个数是：100－33=67个。
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练 习 四
1,在1到200的全部自然数中,既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个？
2,在1到130的全部自然数中,既不是6的倍数又不是5的倍数的数有多少个？
3,五（ 1）班做广播操,全班排成4行,每行的人数相等。小华排的位置是：从前面数第5
个,从后面数第8个 。这个班共有多少个学生？
【答案】1.140个 2.87个
3.（5+8-1）×4=48（人）
例5：光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出 了每个年级学生的书法作品,其中有24
幅
不是五年级的,有22幅不是六年级的,五、六年 级参展的书法作品共有10幅,其他年级参展的
书法作品共有多少幅？
分析与解答：由题意知 ,24幅作品是一、二、三、四、六年级参展作品的总数,22幅是
一、二、三、四、五年级参展作品的 总数。24＋22=46幅,这是一个五、六年级和两个一、二、
三、四年级参展的作品数,从其中去掉 五、六两个年级共参展的10幅作品,即得到两个一、二、
三、四年级参展作品的总数,再除以2,即可 求出其他年级参展作品的总数。（24＋22－10）
÷2=18幅。
练 习 五 1,科技节那天,学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品,其中有110件不是一年
级的, 有100件不是二年级的,一、二年级参展的作品共有32件。其他年级参展的作品共有多
少件？ 2,六（1）儿童节那天,学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品,其中有25幅画不
是三年 级的,有19幅画不是四年级的,三、四两个年级参展的画共有8幅。其他年级参展的画
共有多少幅？
3,实验小学举办学生书法展,学校的橱窗里展出每个年级学生的书法作品,其中有28幅
不是 五年级的,有24幅不是六年级的,五、六年级参展的书法作品共有20幅。一、二年级参
展的作品总数 比三、四年级参展作品的总数少4幅。一、二年级参展的书法作品共有多少幅？
【答案】1.89件 2.18幅
3.[（28+24-20）÷2-4]÷2=6（幅）

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