恃强凌弱-小年祝福

第一章 最大与最小

【专题导航】在日常生活中，人们常常会遇到“路程 最近”、“费用最省”、“面积最大”、“损耗最少”
等问题，这些寻求极端结果或讨论怎样实现这些极 端情形的问题，最终都可以归结成为：在一定范围内求
最大值或最小值的问题，我们称这些问题为“最大 最小问题”。
解答最大最小问题通常要用下面的方法：
1，枚举比较法。当题中给定的范围较小时，我们可以将可能出现的情形一一举出再比较；
2，着眼于极端情形，即充分运动已有知识和生活常识，一下子从“极端”情形入手，缩短解题过程。
在数学竞赛中经常出现最大与最小问题，这种问题是培养和锻炼学生利用学过的知识解决生活中实际问题的能力，激发学生学习数学的兴趣。
【例题精萃】
【例1】 用一段22厘米长的 铁丝围成一个边长都是整数的长方形或正方形，怎样才能使它的面积最大最
大面积是多少平方厘米 思路分析：长方形或正方形面积的大小是由它的边长决定的，本题中可知它的长与宽的和是不变的。长与宽的和为22÷2＝11（厘米）。依次列举可知：10×1＝10；9×2＝18；8×3＝24；7×4 ＝28；6×5＝30。
只有当长和宽的差最小时面积最大。
具体列式：
22÷2＝11（厘米） （11＋1）÷2＝6（厘米） 6－1＝5（厘米）6×5＝30（平方厘米）
答：围成长是6厘米，宽为5厘米的长方形时面积最大，最大面积是30平方厘米。
方法点评：两个数的和不变，两数的差最小时，乘积最大。
【实践体验】
（1）用 一段20米长的篱笆围成一个边长都是整数的长方形或正方形鸡场围墙，怎样才能使它的面积最大
最大面 积是多少平方米
（2）把34分成两个自然数的和，使得到的乘积尽可能大，这个最大的乘积是多少
（3）要砌一个面积是72平方米的长方形猪圈，长方形的边长都是自然数，这个猪圈的围墙总长最少是 多
少米
【例2】用1、2、3、4、5这五个数字，组成一个两位数和一个三位数，使两个数 的乘积最大，这两个数
乘积最大是多少
思路分析：首先组成两个两位数使乘积最大。5、4要 放在这两个数的十位上。3、2要放在这两个数的个
位上，根据两个数的和不变，两数的差最小时，乘积 最大，组成的两个两位数是52×43，1放在三位数个
位上。三位数大于两位数，要使差最小，1要放 在较小的数的后面，可组成的三位数是431，两位数是52。
具体列式：52×431＝22412
方法点评：先组成两个两位数，根据和不变时，决定两个数乘积的最大的关键是两数差最小，再确定三位
数，在较小数的后面加上剩余数字，组成三位数。
【实践体验】
（4）用6、7、 8、9这四个数字，组成两个两位数，使两个数的乘积最大，这两个数乘积最大是多少最小
是多少 （5）用1、2、3、4、5这五个数字，组成一个两位数和一个三位数，使两个数的乘积最小和最大，这两
个数各是多少
（6）把2、3、5、8、9填入○内，○○○○÷○商是整数，最大是多少商最小是多少
【例3】 把14拆成若干个自然数的和，要求这些自然数乘积尽量大，应如何拆分
思路分析：（1） 要把14拆分成的自然数的乘积最大，所拆分成的个数要尽可能的多，但1不能出现 ，因
为1与任何数的乘积都是原数。
（2）拆出的加数不能超过4，因为5还可能拆分成2和3，2×3

5。
（3）拆出的加数可以不出现4，因为4＝2＋2，又4＝2×2。

（4）拆分出的加数2的个数不能超过2个。因为2×2×2

3×3
所以把14拆分成3、3、3、3、2时乘积最大。乘积为3×3×3×3×2＝162
具体列式：14＝3×4＋2 3×3×3×3×2＝162
方法点评：解决本题时要注意变化规律，理清思路。其特征是：多用3，少用2，不用1。
【实践体验】
（7）把13拆成若干个自然数的和，要求这些自然数乘积尽量大，最大的乘积是多少
（8）把24拆成若干个自然数的和，要求这些自然数乘积尽量大，应如何拆分
（9） 边长是8厘米的正方形ABCD中，在AD上AE＝3厘米，在AB上AF＝4厘米，在正方形的四边上任
选一点P，连接EFP组成一个最大的三角形。这个三角形的面积是多少平方厘米。


【例4】某公共汽车线路上共有15个车站（包括起点站和终点站），公共汽车从起点站到终 点站的行驶过
程中，每一站（包括起点站）上车的人中恰好在以后的各站都各有1个人下车。要使汽车在 行驶中乘
客都有座位，那么车上至少要有多少个座位
思路分析：在第K站开出时，前面K站中 ，每站上车的人中留有（15－K）个人在以后各站下车，其余的
人都已经下车，所以车上共有（15－ K）个人（K＝1，2，,14），不难验证1×14,2×13，…14×1中7×8
＝8×7＝56 最大。可知车上最少要有56个座位。
具体列式： 7×8＝56（人）
答：车上至少要有56个座位。
方法点评：在进行归纳推理时，要逐个思考在每站车上人数情况，因而可以得出结论。
【实践体验】
（10）某公共汽车线路上共有10个车站（包括起点站和终点站），公共汽车 从起点站到终点站的行驶过程
中，每一站（包括起点站）上车的人中恰好在以后的各站都各有1个人下车 。要使汽车在行驶中乘
客都有座位，那么车上至少要有多少个座位
（11）某公共汽车线路上 共有13个车站（包括起点站和终点站），公共汽车从起点站到终点站的行驶过程
中，每一站（包括起点 站）上车的人中恰好在以后的各站都各有1个人下车。要使汽车在行驶中乘
客都有座位，那么车上至少要 有多少个座位
（12）比较下面两个积的大小：
A＝1×9，
B＝2×8.
【例5】一个数乘以13后，乘积的最后三位数是123，那么这样的整数中最小的是多少
思路分析：
解法一：123除以13，余数是6，又1001能被13整除，所以6000＋ 6＝6006也能被13整除，那么符合
条件最小的数就是6123。 6123÷13＝471。
方法点评：根据1001是13的倍数.1001×K也是13的倍数，在乘积的千位上加
n< br>，就是加
n
×1000，余
数是6，那么
n
则等于6。
解法二：可用乘法算式谜的方法。
积的个位数字是3，可知
a
是1。因为
b
为1，
则
c
为7。因为
d
是7，所以
e
为4。
方法点评：数谜可以依次确定另一个因数的情况。就可以求出乘积。

【实践体验】
（13）一个数乘以13后，乘积的最后三位数是321，那么这样的整数中最小的是多少
（14）一个数乘以17后，乘积的最后三位数是567，那么这样的整数中最小的是多少
（15）一个五位数，一个数字各不相同，且是13的倍数，则符合条件最小的数是多少
【例 6】用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字组成两个五位数，使这两个数的和是一个奇数，并< br>尽可能大，那么这两个五位数的和是多少
思路分析：要想使这个数的和尽可能大，就要使0～9 中较大的数字尽量在高位上；要想使这个数和是奇
数，只要使两个数个位分别是奇数、偶数即可。这两个 数中万位分别是9、8，万位分别,7、6，百位分别
是5、4，十位分别是3、2，个位分别是1、0 。因此这两个数的和可求。
具体列式：
（9＋8）×10000＋（7＋6）×1000＋ （5＋4）×100＋（3＋2）×10＋（1＋0）＝183951。
方法点评：我们虽然不知道这两个数具体是什么，但知道各个数位上的和，也能算出来。
【实践体验】
（16）用0～7这八个数字组成两个四位数，使这两个数的和是一个奇数，并 尽可能大，那么这两个四位
数的和是多少
（17）用1～8这八个数字组成两个四位数，使这 两个数的和是一个偶数，并尽可能大，那么这两个四位
数的和是多少
（18）用0～9这十个 数字组成两个五位数，使这两个数的和是一个偶数数，并尽可能小，那么这两个五
位数的和是多少
【画龙点睛】
当解决这类问题时，常常用到下面的规律：
1、 两个数的和一定时，两数的差越小，乘积越大；当两个数相等时，这两个数的乘积最大。
2、 若几个数的和一定时，当几个数相等时，它们的乘积最大。
3、 若两个数的积一定时，当两个数相等时它们的和最小。
4、将一个数分成若干个数的和，使它们的乘积最大时，要多用3、少用2、不用1。
必做作业题
（1）在五位数22576的某一位数字后面再插入一个该数码，能得到的五位数中最大的是几
（2）在六位数865473的某一位数字后面再插入一个该数码，能得到的六位数中最小的是几
（3）用1～8这八个数字组成两个四位数，要使这两个数的差尽可能小，这个差是几
（4） 在混合循环小数2．71828
1
的某一位上再添上一个表示循环的圆点，使新产生的循环小数 尽可能大，
请写出新的循环小数。
（5）比较下面两个乘积的大小：
a
＝×
b
＝×
（6）用3、5、6、8这四个数字分别组成两个两位数，使这两个两位数的乘积最大，最大乘积是多少
提高作业题
（1）商店里卖的电池有7节一盒和5节一盒两种包装，请找出一个尽可能小的数 ，凡购买的节数超过这
个数时，售货员就不必拆盒。
（2）四个连续自然数，它们从小到大顺 次是3的倍数、5的倍数、7的倍数、9的倍数，这四个连续自然
数的和最小是多少
（3）一 个长方体所有棱长的和是96厘米，当它的长、宽、高各是多少时，长方体的体积才最大，体积最
大是多 少
（4）从1、2、3、…1999这些自然数中最多取多少个数，使其中任意两个数的差都不等于5
（5）将前100个自然数依次无间隔地写成一个192位数：1213…9899100从中刬去17 0个数字，剩下的
•

数形成一个22位数，这个22位数最大是多少最小是多少
（6）有一类自然数，从第三个数字起，每个数字都是它前面两个数字的和，如358，1347等等， 这类自
然数中最大的自然数是几



答案
专题一：
（1）20÷4=5（米）5×5=25（平方米）（2）34÷2=17 17×17=289（3）72=8×9 (8＋9)×2=34（米）
（4）96×87=8352（5）最小：135×24=3240 最大：531×42=22302（6）9538÷2=4769 2358÷9=262
（7） 3×3×3×2×2=108 （8）24=3＋3＋3＋3＋3＋3＋3＋3
（9）P点与C 点重合。8×8－4×3÷2－（8－3）×8÷2－（8－4）×8÷2=22（平方厘米）
（10）5×5=25（座） （11）6×7=42（座）
（12）解： A＝1×9
＝1×（8＋1）
＝1×8＋1.
B＝2×8
＝（1＋1）×8
＝1×8＋8.
因为 1＞8，所以 A＞B.
（13）717×13=9321 （14）151×17=1567 （15）10257 （16）13951（17）16164（18）34056
必作作业题（1）225776（2）8 654473（3）247（4）
2.718281
（5）
a

b< br>（6）83×65=5395
提高作业题（1）23（2） 159＋160＋161＋162=642（3）96÷12=8（厘米） 8×8×8=512(立方厘米)
（4）1000（5）最大是：999…910（共20个9）最小是：1000……0（前面连续9个 0）
（6）
••