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第9讲
立体图形的体积



1. 掌握立体图形的体积计算常用公式．
2. 掌握求不规则立体图形体积的常用方法．



本讲立体图形的体积计算，与第七讲的立体图形的表面积，是姐妹篇．对于小学几 何而言，立体图形
的体积计算，既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以具体考查学生在公式应用 中处理相关数据的
能力，所以，很多重要考试(比如仁华的入学考试，几乎每年必考)都很重视对立体图 形的考查．其中，尤
其要以“不规则立体图形的体积”为考查重点．






立体图形的体积计算常用公式：
立体图形 示例 体积公式 相关要素
三要素：
a
、
b
、
h

二要素：
S
、
h

长方体

正方体


圆柱体

Vabh

VSh

Va
3

VSh

一要素：
a

二要素：
S
、
h

V=Sh
二要素：S(或r
、
d
、
C)
和h

圆锥体


V=
1
Sh
3
二要素：S
、
h
不规则形体的体积常用方法：
一、
二、
三、
四、
五、

化虚为实法
切片转化法
先补后去法
实际操作法
画图建模法

【例 1】 (第五届《小数报》数学竞赛决赛)一个长方体的宽和高相等，并且都等于长的一半(如图 )．将这
个长方体切成12个小长方体，这些小长方体的表面之和为600平方分米．求这个大长方体的 体
积．
规则立体图形体积的计算


【分析】 设大长方体的宽( 高)为
a
分米，则长为
2a
，右(左)面积为
a
2
，其余面的面积为
2a
2
，根据题意，

22a
2
8a
2
62a
2
600
所以
a
2
25
，
a5
．
大长方体的体积
2555250
(立方分米)．

［铺垫］ ( 第十五届“迎春杯”决赛)把一根长
2.4
米的长方体木料锯成5段(如图)，表面积比原来增 加了
96平方厘米．这根木料原来的体积是_____立方厘米．
2.4米

［分析］
96812
(平方厘米)，
122402880
(立方厘米)．
所以这根木料原来的体积为2880立方厘米．
3
3
33

4
【例 2】 (第九届“祖冲之杯”数学邀请赛)有一个长方体的盒子，
从里面量长 40厘米，宽12厘米，高7厘米，在这个盒子
3
里放长5厘米，宽4厘米，高3厘米的长方体 木块．最多
可放 块．
444
【分析】 下图表明
34
的长方形可以填满
712
的长方形．
于是
534
的长方体可以填满
40712
的长方体，即盒
子中最多可放 这种长方体
40712(534)56
(个)．

［巩固］ (第九届“迎春杯”数学竞赛决赛)把1个棱长是3厘米的正方体分割成若干个小的正方体，这些
小正方 体的棱长必须是整厘米数．如果这些小正方体的体积不要求都相等，那么最少可分割
成 个小正方体．
［分析］ 因为小正方体的棱长只可能是2厘米或1厘米．必须分割出棱长是2厘米的小 正方体才能使数量

减少．显然，棱长是3厘米的正方体只能切割出一个棱长为2厘米的小 正方体，剩余部分再切割
出
33322227819
个棱长是1厘米 的小正方体，这样总共可以分割成
11920
(个)
小正方体．



现有一张长40厘米、宽20厘米的
长方形铁皮，请你用它做一只深是
5厘米的长方体无盖铁皮盒(焊接处
及铁皮厚度不计，容积越大越好)，
你做出的铁皮盒容积是多少立方厘
米?



10


30




























【分析】 如图，在
4020
的长方形铁皮的四角截去边
长5厘米的正方形铁皮，然后焊接成长方形无盖
铁皮盒．这个铁皮盒的长
405530
(厘米)．
宽
205510
(厘米)，高
5
(厘米)．
体积
301051500
(立方厘米)．



焊上
10

焊上
35

如图，在
4020
长方形铁皮的左侧两角上割下
边长5厘米的正方形(二块)，紧密焊接
到右侧的中间部分，这样做成的无盖铁皮盒的
长
40535
(厘米)，宽
205510
(厘米)，
高
5
(厘米)，
体积
351051750
(立方厘米)．


焊上




焊上

20

如图，在
4020
的长方形铁皮的左右两侧各割
下一条宽为5厘米的长方形铁皮(共二块)，分
别焊到上、下的中间部分，这样做成的无盖铁
皮盒的长
40555520
(厘米)，
宽
20
(厘米)，高
5
(厘米)，
体积
202052000
(立方厘米)．
因此，最后一种容积最大．


2


9


13


［铺垫］ (第三届“华杯赛”复 赛)如图从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长2厘
米的正方形，然后，沿虚线折 叠成长方体容器．这个容器的体积是多少立方厘米？
［分析］ 容器的底面积是

(134)(94)45
(平方厘米)，
高为2厘米，所以容器的体积是，

45290
(立方厘米)．
D
1

C
1

【例 3】 (第七届“华杯赛”决赛)用大小相等的无色透明玻璃小 正方体和
A
1
B
1
红色玻璃小正方体拼成一个大正方体
AB CDA
1
B
1
C
1
D
1
(如图)，大< br>正方体内的对角线
AC
1
，
BD
1
，
CA< br>1
，
DB
1
所穿的小正方体都是红
C
D
色玻 璃小正方体，其它部分都是无色透明玻璃小正方体，小红正
方体共用了401个，问：无色透明小正方体 用了多少个?
AB
【分析】
AC
1
、
BD
1< br>，
CA
1
，
DB
1
，四条对角线都穿过在正中央的那 个小正
方体．除此而外，每条对角线穿过相同的小正方体，所以每条对角
线穿过
401 1
1101
个小正方体
4
这就表明大正方体的每条 边由101个小正方体组成．因此大正方体由
101
3
个小正方体组成，其中
无色透明的小正方体有
101
3
40110303014011029900
．
即用了1029900个无色透明的小正方体．

【例 4】 小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如下图左,从上 面看
如下图右．那么这个几何体至少用了 块木块．
不规则立体图形体积的计算


【分析】 这道题很多同学认为答案是26块．这是受思维定势的影响，认为右图中每一格都要至少放一 块．其
实，有些格不放，看起来也是这样的．
如右图，带阴影的3块不放时，小正方体块数最少，为23块．

［拓展］ 右图是 由22个小正方体组成的立体图形，其中共有多少个大大小小的正
方体？由两个小正方体组成的长方体有 多少个？
［分析］ 正方体只可能有两种：
由1个小正方体构成的正方体，有22个；
由8个小正方体构成的
222
的正方体，有4个．
所以共有正方体
22426
(个)．
由两个小正方体组成的长方体，根 据摆放的方向可分为下图所示的上下位、左右位、前后位三种，
其中上下位有13个，左右位有13个， 前后位有14个，共有
13131440
(个)．




【例 5】 有黑白两种颜色的正方体积木，把它摆成右图所示的形状，已知相
邻( 有公共面)的积木颜色不同，标
A
的为黑色，图中共有黑色积木
多少块？
【分析】 分层来看，如下图(切面平行于纸面)共有黑色积木17块.
A


［拓展］ 这个图形，是否能够由
112
的长方体搭构而成？
［分析］ 每一个
112
的长方体无论怎么放，都包含了一个黑色正方体和一个白 色正方体，而黑色积木有
17块，白色积木有15块，所以该图形不能够由
112
的长方体搭构而成.

【例 6】 一个酒瓶里面深
30cm
，底面内直径是
10cm
，瓶里酒深
15c m
．把酒瓶塞紧后使其瓶口向下倒立
这时酒深
25cm
．酒瓶的容积是多少？ (
π
取3)
30
15
25
【分析】 观察前后，酒瓶中酒的总量没变，即瓶中液体体积不变．
当酒瓶倒过来时酒深
25cm
，因为酒瓶深
30cm
，这样所剩空间为高
5cm
的圆柱，再加上原来15cm
高的酒即为酒瓶的容积．
1010
酒的体积：
15π375π

22
1010
瓶中剩余空间的体积
(3025)π125π

22
酒瓶容积：
375π125π500π1500(ml)


［巩固］ 输液100毫升，每分钟输2.5毫升．如图，请你观察第12分钟时图
中的数据，问：整个吊瓶的容积是多少毫升？
［分析］ 100毫升的吊瓶在正放时，液体在100毫 升线下方，上方是空的，容
积是多少不好算．但倒过来后，变成圆柱体，根据标示的格子就可以
算出来．
由于每分钟输2.5毫升，12分钟已输液
2.51230
(毫升)， 因此开
始输液时液面应与50毫升的格线平齐，上面空的部分是50毫升的容
积．所以整个吊瓶 的容积是
10050150
(毫升)．

【例 7】 一只装有水的 圆柱形玻璃杯，底面积是80平方厘米，高是
15
厘米，
水深
10
厘 米．现将一个底面积是16平方厘米，高为
12
厘米的长方
体铁块竖放在水中后．现在 水深多少厘米?
【分析】
8010(8016)12.5
，因为
12.512
，所以此时水已淹没过铁块，
8010(8016)1232
，
32800.4
，所以现在水深为
120.412.4
厘米

［铺垫］ 一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是80平方厘米，高是
15
厘米，水深8厘米．现将一个底面
积是16平方厘米，高为
12
厘米的长方体铁块竖放 在水中后．现在水深多少厘米?
［分析］ 根据等积变化原理：用水的体积除以水的底面积就是水的高度．
(法1)：
808(8016)6406410
(厘米)；
( 法2)：设水面上升了
x
厘米．根据上升部分的体积=浸入水中铁块的体积列方程为：
80x16(8x)
，解得：
x2
，
8210
(厘米)．
(提问“圆柱高是
15
厘米”，和“高为
12
厘米的长方体铁块”这 两个条件给的是否多余？)

［拓展］ 一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是80平方厘米 ，高是
15
厘米，水深
13
厘米．现将一个底面
积是16平方厘米， 高为
12
厘米的长方体铁块竖放在水中后．现在水深多少厘米?
【分析】 玻璃杯剩 余部分的体积为
80(1513)160
立方厘米，铁块体积为
16121 92
立方厘米，因为
160192
，所以水会溢出玻璃杯，所以现在水深就为玻璃杯 的高度
15
厘米
总结铁块放入玻璃杯会出现三种情况①放入铁块后，水深不及铁块高 .②放入铁块后，水深比铁
块高但未溢出玻璃杯，③水有溢出玻璃杯.

小故事 教师可以在此穿插一个关于阿基米德测量黄金头冠的体积的故事．
一天国王让工匠做了一顶黄金的头冠，不知道工匠有没有掺假，必须知道黄金头冠的体积是
< /p>

多少，可是又没有办法来测量．(如果知道体积，就可以称一下纯黄金相应体积的重量，再 称一
下黄金头冠的重量，就能知道是否掺假的结果了)于是，国王就把测量头冠体积的任务交给他的大臣阿基米德．(小朋友们，你们能帮阿基米德解决难题吗？)
阿基米德苦思冥想不得其解，就连晚上沐浴时还在思考这个问题．
当他坐进水桶里，看到水在 往外满溢时，突然灵感迸发，大叫一声：“我找到方法了……”，就急
忙跑出去告诉别人，大家看到了一 个还光着身子的阿基米德．
他的方法是：把水桶装满水，当把黄金头冠放进水桶，浸没在水中时，所收 集的溢出来的水
的体积正是头冠的体积．


【例 8】 (武汉明心杯数 学挑战赛)如图所示，一个
555
的立方体，在一个方向上开有
115
的孔，在
另一个方向上开有
215
的孔，在第三个方向上开有
31 5
的孔，剩余
部分的体积是多少？表面积为多少？
【分析】 求体积：
开 了
315
的孔，挖去
31515
，开了
115
的孔，
挖去
11514
；开了
215
的孔，
挖去
215(22)6
，
剩余部分的体积是：
555(1546)100
．
(另解)将整个图形切片，如果切面平行于纸面，那么五个切片分别如图：

得到总体积为：
22412100
．
求表面积：
表面积可以看成外部和内部两部分．外部的表面积为
55612138
，内部的面积可 以分为前
后、左右、上下三个方向，面积分别为
2

251 51213

20
、

2

1535131

32
、
2

15 15112

14
，所以总的表面积为

138203214204
．
(另解)运用类似于三视图的方法，记录每一方向上的不同位置上的裸露正方形个数：
前后方向：
32

上下方向：
30
左右方向：
40

1
1
2
1
1
1
1
2
1
12
22
2
2
2
2
11
2
1
1
1
1
2
1
1
12< br>1
2
1
1
2
2
2
1
1
1< br>1
1
1
2
1
1
1
2
2
2< br>1
12
2
2
22
12
2
1
2
2
2
1
1
2
2
2
1

总表面积为
2

323040

204
．


［巩固］ 一个由125个同样的小正方体组成的大正方体，从这个大正方体中抽 出若干
个小正方体，把大正方体中相对的两面打通，右图就是抽空的状态．右图中
剩下的小正方 体有多少个？
［分析］ 解法一：(用“容斥原理”来解)由正面图形抽出的小正方体有
5 525
个，
由侧面图形抽出的小正方体有
5525
个，由底面图形抽出 的小正方体有
4520
个，正面图形和侧面图形重合抽出的小正方体有
122 1228
个，正面图形和底面图形重合抽出的小正方体有
13227
个，底面图形和侧面图形重合抽出的小正方体有
1211227
个，三个面的图形共同重合抽出的小正方体有4个．根据容斥原理，
252520877452< br>，所以共抽
出了52个小正方体．
1255273
，所以右图中剩下的小正 方体有73个．
注意这里的三者共同抽出的小正方体是4个，必须知道是哪4块，这是最让人头疼的事．
但你可以先构造空的两个方向上共同部分的模型，再由第三个方向来穿过“花墙”．

这里，化虚为实的思想方法很重要．
解法二：(用“切片法”来解)
可以从上到下切五层，得：
（1） 从上到下五层，如图：

（2） 或者，从右到左五片，如图：







请注意这里的挖空的技巧是：先认一种方向．
比如：从上到下的每一层，首先都应该有第一层的空四块的情况，即——
如果挖第二层：第(1)步，把中间这些位置的四块挖走如图：





第(2)步，把从右向左的两块成线地挖走．(请注意挖通的效果就是成线挖去)，如图：

第(3)步，把从前向后的一块(请注意跟第二层有关的只是一块！)挖成线！如图：



【例10】 如图,已知
A
、
B
、
C
分别是相邻的三条棱的中点．沿三个中点连成一个
正三角形，把原来的立方体切掉一角．如果 原来的立方体棱长为8，求：
⑴切掉的小部分的体积是多少？
⑵剩下的大部分的体积是多少？
【分析】 本题应用相关体积公式．
1112⑴
V
锥
Sh4
2
410

3323

总结一下“切片法”： 全面打洞(例如本题，五层一样)
挖块成线(例如本题，在前一次的基层上，一条线一条线地挖)．
这里体现的思想方法是：化整为零，有序思考！
A
C
B

1
⑵
V
剩
8
3
V
锥
501
3

⑴教师可以沿三个不相邻的顶点再切一下，求小的图形与大的图形的体积各是多少？
1112
小的是：
8
2
885
;大的是：
426
.
3233
⑵教师可以提问：去掉一个角上的部分后，它的体积是原立方体体积的几分之几？

【例11】 如图，是一个正方体，将正方体的
A
、
C
、
B

、
D

四个顶点两两连接就构成一个正四面体，已知正方体的边长为3，求正四面体的体积.
A
C
A′
B′
B
D



【分析】 这个正四面体可以看作由正方体切掉
A
、
C
、
B
、
D
四个角后得到的，如图所示：

AA
C
A′
D′
D′
B′
A
A
B
D′C′
D
C
B′
B′
B′
D′
D′
C ′

1

1

所以正四面体的体积
 3334

333

27189
.
2

3

【例12】 如图是一个四棱锥的展开图，该展开图由正三 角形和正方形构成，其中正方形的面积为8平方厘
米，那么该四棱锥的体积为多少？

【分析】 知道四棱锥的底面面积，只要知道四棱锥的高就能求得四棱锥的体积．将四棱锥沿对角线和顶 点
构成的平面剖开，剖面是一个三角形.该三角形的斜边等于正方形的对角线，直角边等于正方形
和等边三角形的边长，所以三角形是一个等腰直角三角形，它的高等于对角线的一半，根据对称
性，这 条高也等于四棱锥的高.
本题，我们要想知道四棱锥的高，如果仅仅通过操作法，可能无法准确得知．
我们隆重推出“画图建模法”，比如：

请注意在一个正方体中如何 作等边三角形，这一经验，会让我们“类比联想”到，如何让四个等
边三角形围绕一个正方形，得到四棱 锥．
另外，这个四棱锥的高正好等于原正方体棱长的一半．
根据小正方形面积是8推得，大正方形面积是小正方形的2倍，
所以大正方形面积是16，所以大正方体的边长是4．
所以小正方体的棱长为2．
即四棱锥的高度为2．
16
四棱锥的体积为
823
立方厘米．
3







1.

(第十一 届“迎春杯”)有一个长方体，长是宽的2倍，宽是高的3倍；长的
1
与高的
1
之和比宽
2
3
多1厘米．这个长方体的体积是 立方厘米．
【分析】 长的
1
即宽，所以高的
1
就是1厘米，高是3厘米，宽是
339
厘米，长是
9218
厘米，体
2
3
积是
3918486
(立方厘米)．

2. (第六届“华杯赛”决 赛口试)某工人用薄木板钉成一个长
方体的邮件包装箱，并用尼龙编织条(如图所示)在三个方向
高
上的加固．所用尼龙编织条分别为365厘米，405厘米，485
厘米．若每个尼龙加固 时接头重叠都是5厘米．问这个长方
体包装箱的体积是多少立方米?
宽
【分析】 长方体中
长
高

宽

1
(3655)180
， ⑴
2
高

长

1
(4055)200
， ⑵
2
长

宽

1
(4855)240
， ⑶
2
⑵

⑴：长

宽
20
， ⑷
⑷

⑶：长
130
，从而宽
110
，
代入⑴得高
70
．
所以长方体体积为
70110130 1001000
(立方厘米)
1.001
(立方米)

3. 有 三个大小一样的正方体，将接触的面用胶粘接在一起成图示的形状，表面积比原来减少了16
平方厘米. 求所成形体的体积.
【分析】 三个小正方体拼接成图中的样子，减少了小正方体的4个侧面正方形的
面积，表面积减少了16平方厘米，每个正方形侧面为
1644
平方厘
米 ，每个正方体棱长为
2
厘米，三个小正方体体积(即所成形体的体积)

是
32
3
24
立方厘米.
4.

一个盖 着瓶盖的瓶子里面装着一些水，瓶底面积为
10
平方厘米，(如下图所示)，请你根据图中标< br>明的数据，计算瓶子的容积是＿＿＿＿＿＿．
7cm
4cm
5cm

【分析】 由已知条件知，第二个图上部空白部分的高为
752cm
，从而水与空 着的部分的比为
4:22:1
，
由图1知水的体积为
104
，所 以总的容积为
402

21

60
立方厘米．

5. 有许多相同的立方体，每个立方体的六个面上都写着同一个数字(不同的立方体可以写 相同的数
字)先将写着2的立方体与写着1的立方体的三个面相邻，再将写着3的立方体写着2的立方体
相邻(见左下图)．依这样构成右下图所示的立方体，它的六个面上的所有数字之和是多少?
3
23
32
3
2
3
1
1
3
22
3
1
23
1
1
1

【分析】 第一层如下图，第二层、第三层依次比上面一层每格都多1(见下图)．
5
4
34
3
2
3
2
1
6
5
4
54
3
4
3
2
7
6
5
6
54
5
4
3
第一层第二层
第三层
6.
上面的9 个数之和是27，由对称性知，上面、前面、右面的所有数之和都是27．同理，下面的9
个数之和是4 5，下面、左面、后面的所有数之和都是45．所以六个面上所有数之和是
(2745)3216
．
把一个长方体形状的木料分割成3小块，使这3小块的体积相等．已知这长方体的长为15 厘米，
宽为12厘米，高为9厘米．分割时要求只能锯两次，如图1就是一种分割线的图．除这种分割< br>的方法外，还可有其他不同的分割方法，请把分割线分别画在图2的各图中．

图1

图2
【分析】 分割方法很多，如图3，给出以下9种分割方法：

图3

低地的价值

加州海岸的一座城市中 ，所有适合建筑的土地在不断的开发中都已经被开
发，并予以利用，城市的地皮不断飙升着。面对城市一 边满是陡峭小山，和另一
边因为地势太低而每天都要被倒流的海水淹没一次的土地，一些开发商常常无奈
地连连感慨。
一天，一名叫杰克的普通职员到这个海岸来度假，他欣喜若狂地立刻预 购了
那些因为山势太陡而无法使用，以及那些因为地势太低每天都要被海水淹没一次
而无法使用 的低地。因为这些土地都被认为并没有太大的价值，他的预购价值很
低。然后，杰克用了几吨炸药，把那 些陡峭的小山炸成松土，再利用几台推土机
把泥土推平，原来的山坡地就成了很漂亮的建筑用地。同时， 他又雇用了一些车
子，把多余的泥土倒在那些低地上，使低地超过水平面，那些低地也变成了漂亮的建筑用地……很快，建筑商蜂拥而至，争相抢购这些建筑用地。当这些建筑用
地都出售后，杰克从 一名普通职员变成了富翁。
把想象的春天铺开，是成功的秘诀。
有的人总 是坐在原地等待着机会主动降临。其实，人生的机会是自己创造的。
创造机会并不难，只要懂得把泥土从 不需要的地方移到需要的地方。但在移动之
前，先要打破思维的定式。墨守成规的人是永远不可能做出很 大成就的。