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数的整除性

一、填空题
1. 四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____.
2. 在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内
应填_____.
3. 能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____.
4. 能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____.
5. 1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____.
6. 所有能被3整除的两位数的和是______.
7. 已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位数是_____.
8. 如果六位数1992□□能被105整除,那么它的最后两位数是_____.
9. 42□28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是_____.
10. 从左向右编号为1至1 991号的1991名同学排成一行,从左向右1至11
报数,报数为11的同学原地不动,其余同学出 列;然后留下的同学再从左向右1
至11报数,报数为11的留下,其余同学出列;留下的同学第三次从 左向右1至11
报数,报到11的同学留下,其余同学出列,那么最后留下的同学中,从左边数第一个人的最初编号是_____号.

二、解答题
11. 173□是个四位数字.数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字,
所得到的3个四位数,依次 可被9、11、6整除.”问：数学老师先后填入的3个
数字的和是多少？
12．在 1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、
5、11整除，这个七位数最小 值是多少？
13．在“改革”村的黑市上,人们只要有心,总是可以把两张任意的食品票换
成 3张其他票券,也可以反过来交换.试问,合作社成员瓦夏能否将100张黄油票
换成100张香肠票, 并且在整个交换过程中刚好出手了1991张票券？
14．试找出这样的最小自然数,它可被11整除,它的各位数字之和等于13.

———————————————答 案——————————————————————
1. 7
已知四位数3AA1正好是 9的倍数,则其各位数字之和3+A+A+1一定是9的
倍数,可能是9的1倍或2倍,可用试验法试之 .
设3+A+A+1=9,则A=2.5,不合题意.再设3+A+A+1=18,则A=7,符合题 意.事实
上,3771

9=419.
2. 1
这个数奇数位 上数字和与偶数位上数字和之差是0或是11的倍数,那么这个
数能被11整除.偶数位上数字和是5+ 7=12,因而,奇数位上数字和2+□+9应等于
12,□内应填12-2-9=1.
3. 990
要同时能被2和5整除,这个三位数的个位一定是0.要能被3整除,又要是
最大的三位数,这个数是990.
4. 99960
解法一: 能被2、5整除 ,个位数应为0,其余数位上尽量取9,用7去除999
□0,可知方框内应填6.所以,能同时被2、 5、7整除的最大五位数是99960.
解法二: 或者这样想,2,5,7的最小公倍数是70,而 能被70整除的最小六位
是100030.它减去70仍然是70的倍数,所以能被2,5,7整除的最 大五位数是
100030-70=99960.
5. 3367
先求出1~10 0这100个数的和,再求100以内所有能被3整除的数的和,以上
二和之差就是所有不能被3整除的 数的和.
(1+2+3+…+100)-（3+6+9+12+…+99）
=( 1+100)

2

100-(3+99)

2

33
=5050-1683
=3367
6. 1665
能被3整除的二位数中最小的是12,最大的是99,所有能被3整除的二位数
如下:
12,15,18,21,…，96，99
这一列数共30个数，其和为
12+15+18+…+96+99
=(12+99)

30

2
=1665
7. 96910或46915
五位数
A691B
能被55整除,即此五位数既能 被5整除,又能被11整除.所以
B=0或5.当B=0时,
A6910
能被11整除 ,所以(A+9+0)-(6+1)=A+2能被11整除,
因此A=9；当B=5时,同样可求出A= 4.所以,所求的五位数是96910或46915.
8. 90
因为105=3

5

7,根据数的整除性质,可知这个六位数能同时被3、5和7整
除。
根据能被5整除的数的特征，可知这个六位数的个位数只能是0或5两种，

再根 据能被3整除的数的特征，可知这个六位数有如下七个可能：
199200，199230，1992 60，199290，199215，199245，199275.
最后用7去试除知,199290能被7整除.
所以,199290能被105整除,它的最后两位数是90.
[注]此题也可以这样思考: 先把后面两个方框中填上0后的199200除以105,根据余数
的大小来决定最后两个方框内应填什 么.
199200

105=1897…15
105-15=90
如果199200再加上90，199290便可被105整除，故最后两位数是90.

9. 4316
因为99=9

11,所以42□28□既是9的倍数, 又是11的倍数.根据是9的倍
数的特点,这个数各位上数字的和是9的倍数.42□28□这个六位数 中已知的四
个数的和是4+2+2+8=16,因此空格中两个数字的和是2或11.我们把右起第一、
三、五位看做奇位，那么奇位上已知两个数字的和是2+2=4，而偶位上已知两个
数字的和是 4+8=12，再根据是11的倍数的特点，奇位上数字的和与偶位上数的
和之差是0或11的倍数，所 以填入空格的两个数应该相差3或相差8.从以上分
析可知填入的两个数字的和不可能是2,应该是11 .显然它们的差不可能是8,应
该是3,符合这两个条件的数字只有7和4.填入空格时要注意7填在偶 位上,4填
在奇位上,即原六位数是42 7 28 4 ，又427284

99=4316，所以所得的商是4316.
10. 1331
第一次报数后留下的同学最初编号都是11倍数;
第二次报数后留下的同学最初编号都是121 的倍数;
第三次报数后留下的同学最初编号都是1331的倍数.
所以最后留下的只有一位同学,他的最初编号是1331.
11. ∵能被9整除的四位数的各位数字之和能被9整除，
1+7+3+□=11+□
∴□内只能填7.
∵能被11整除的四位数的个位与百位 的数字和减去十位与千位的数字和所
得的差能被11整除.
∴ (7+□)-(1+3)=3+□ 能被11整除, ∴□内只能填8.
∵能被6整除的自然数是偶数,并且数字和能被3整除,
而1+7+3+□=11+□, ∴□内只能填4.
所以,所填三个数字之和是7+8+4=19.
12.
设补上的三个数字组成三位数
abc
,由这个七位数能被2,5整除,说明c=0;
由这个七位数能被3整除知1+9+9+2+a+b+c=21+a+b+c能被11整除，从而
a+b能被3整除;
由这个七位数又能被11整除，可知(1+9+a+c)-(9+2+b)=a-b-1能被11整除;
由所组成的七位数应该最小,因而取a+b=3,a-b=1,从而a=2,b=1.
所以这个最小七位数是1992210.
[注]小朋友通常的解法是:根据这个七位数分别能 被2,3,5,11整除的条件,这个七位数
必定是2,3,5,11的公倍数,而2,3,5,11的 最小公倍数是2

3

5

11=330.

这样,1992000

330=6036…120，因此符合题意的七位数应是( 6036+1)倍的数,即
1992000+(330-120)=1992210.
13. 不可能.由于瓦夏原有100张票,最后还有100张票,所以他作了多少次
“两换 三”,那么也就作了多少次“三换两”,因此他一共出手了2k+3k=5k张票,
而1991不是5的 倍数.
14. 显然,这样的自然数不可能为两位数,因为如果是两位数的话,则必然
具有 形式
xx
,但
xx2x
为偶数,与它的各位数字之和等于13矛盾.现设 求之数
为三位数
xyz
.于是由题意
xyz13
,且由被11 整除的判别法则知
xyz
是11的倍数.又由于所求之数为最小,故有
xyz
=11.两式相减得
y1
.于是
xz
12,由于
z 9,从而x3
.当
x3时,z9
.
所以,所求的最小自然数是319.