让我看着你-美尔顿

第8讲
立体图形的表面积


1. 掌握一些求不规则立体图形的表面积的方法.
2. 理解立体图形在分割和拼接过程中表面积的变化



本讲着重介绍求立体图形的表面积的方法,其中之一是三视图法,并介 绍了立体图形在粘贴、分割过程
中表面积的变化规律，要引导学生做好总结．




如右图，长方体共有六个面（每个面都是长方形），八个顶点，十二条棱．
1．在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等．
G
（叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．）
H

2．长方体的表面积和体积的计算公式是：
EF
长方体的表面积：
S
长方体的体积：
V
长方体
；

2（ab

bc

ac）
D
a
C
c
B
b
长方体< br>
abc．
A

3．正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形．
如果它的棱长为a，那么：
S

正方体

6a
2< br>，
V
正方体

a
3
．
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1

分割后立体图形的表面积


【例 1】 如右图，有一个边长是5的立方 体，如果它的左上方截去一个边分别是5，3，2的长方体，那么
它的表面积减少了多少?

【分析】 原来正方体的表面积为5

5

6

1 50．现在立体图形的表面积减少了前后两个面中的部分面，它
们的面积为(3

2)

2

12，所以减少的面积就是12．

［拓展］ 如 右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3，高为2的小长方体，那么新的
几何体的表 面积是多少？

［分析］ 我们从三个方向（前后、左右、上下）考虑，新几何体的表面积仍 为原立方体的表面积：
10

10

6

600．


【例 2】 如图，有一个边长为20厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、 面
上各挖掉一个大小相同的小立方体后，表面积变为2454平方厘米，那
么挖掉的小立方体的 边长是多少厘米？
【分析】 大立方体的表面积是20

20

6

2400平方厘米．在角上挖掉一个小正
方体后，外面少了3个面，但里面又多 出3个面；在棱上挖掉一个小
正方体后，外面少了2个面，但里面多出4个面；在面上挖掉一个小
正方体后，外面少了1个面，但里面多出5个面．所以，最后的情况
是挖掉了三个小正方体，反而多出 了6个面，可以计算出每个面的面积：（2454

2400）

6

9
平方厘米，说明小正方体的棱长是3厘米．

［巩固］ 右图是一个 边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l
厘米的正方体，做成一 种玩具．它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、右面、上面
挖去的正方体）
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2

［分析］ 原正方体的表面积是4

4

6

96(平方厘米)．每一个面被挖去一个边长是1厘米的正方形，同
时又增加了5个边长是1厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分．总的来看，每一个面都增
加了4个边长是1厘米的正方形．
从而，它的表面积是：96

4

6

120平方厘米．

【例 3】 如右图，一个边长为3a厘米的正 方体，分别在它的前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个
截口是边长为a厘米的正方形的长方体（都 和对面打通）．如果这个镂空的物体的表面积为2592
平方厘米，试求正方形截口a的边长．

【分析】 原来正方体的表面积为：6

3a

3a
6

9a
2
（平方厘米），
六个边长为a的小正方 形的面积为（减少部分）：6

a

a

6a
2< br>（平方厘米）；
挖成的每个长方体空洞增加的侧面积为：a

a

4

2

8a
2
（平方厘米）；
根据题意可得：54a
2

6a
2

3

8a
2

2592，解得a
2

36 （平方厘米），故a

6厘米．

［巩固］ 下图是一个棱长为2厘米的正 方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方
1
体小洞，接着在小洞的底面正 中向下挖一个棱长为厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖
2
1
法和前两个相同为 厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？
4

［分析］ 我们 仍然从3个方向考虑．平行于上下表面的各面面积之和：2

2

2

8（平方厘米）；左右方
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3

向、前后方向：2

2< br>
4

16（平方厘米），1

1

4
4（平方厘米），
11
，

4

1（平方 厘米）
22
11111
，这个立体图形的表面积为：
816
4

1


29
（平方厘米）.

4

（平方厘米）
44444

【例 4】 （《小学生数学报》邀请赛）从一个棱长为10厘米的正方形木块中挖去一个长10厘米、宽2厘
米、高 2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？(写出符合要求的全部答案)
【分析】 按图1所示沿一条棱挖，为592平方厘米；
按图2所示在某一面上挖，为632平方厘米；
按图3所示在某面上斜着挖，为648平方厘米；
按图4所示挖通两个对面，为672平方厘米．

图1 图2 图3 图4
【例 5】 如右图，一个正方体形状的木 块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每
条又锯成5小块，共得到大大小小的长 方体60块．那么，这60块长方体表面积的和是多少平方
米?

【分析】 我们知 道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的2个面的面积．现在一共切了
(3

1)

(4

1)

(5

1)
< br>9刀，而原正方体一个面的面积1

l

1(平方米)，所以表面积增 加了
9

2

1

18(平方米)．原来正方体的 表面积为6

1

6(平方米)，所以现在的这些小长方体的表
积之 和为6

18=24(平方米)．

［巩固］ 右图是一个表面被涂上红色 的棱长为10厘米的正方体木块，如果把它沿虚线切成8个正方体，
这些小正方体中没有被涂上红色的所 有表面的面积和是多少平方厘米？

［分析］ 10

10

6

600(平方厘米)．

【例 6】 右图是由27块小正方体构成的 3

3

3的正方体 ．如果将其表面涂成红色，则在角上的8个小
正方体有三面是红色的，最中央的小方块则一点红色也没有 ，其余18块小方块中，有12个两面
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4

是红的，6个一面是红的．这样两面有红色 的小方块的数量是一面有红色的小方块的两倍，三面
有红色的小方块的数量是一点红色也没有的小方块的 八倍．问：由多少块小正方体构成的正方体，
表面涂成红色后会出现相反的情况，即一面有红色的小方块 的数量是两面有红色的小方块的两
倍，一点红色也没有的小方块是三面有红色的小方块的八倍？

3
【分析】 对于由n块小正方体构成的n

n

n正方体，三面涂有红色的有8块，两面涂有红色的有12

（n

2）块，一面涂有红色的有6

(n2)
2
块，没有涂色的有< br>(n2)
3
块．由题设条件，一点红色
也没有的小方块是三面涂有红色的小方 块的八倍，即
(n2)
3

8

8，解得n
< br>6．

［铺垫］ （05年清华附培训试题）将一个表面积涂有红色的长方体分割成若 干个棱长为1厘米的小正方
体，其中一面都没有红色的小正方形只有3个，求原来长方体的表面积是多少 平方厘米？
［分析］ 长：3

1

1

5厘米 ；宽：1

1

1

3厘米；高：1

1

1

3厘米；所以原长方体的表面积是：
（3

5

3

5

3

3）3
< br>2

78平方厘米．

组合立体图形的表面积


【例 7】 如右图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、2米、4米，要 在表
面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？

【分析】
44(112244)4100
(平方米)．

［巩固］ 如图，在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体，求这个立体图形的表
面积．
［分析］ 我们把上面的小正方体想象成是可以向下“压缩”的，“压缩”后我们发现：
小正方 体的上面与大正方体上面中的阴影部分合在一起，正好是大正方体的
上面.这样这个立体图形的表面积就 可以分成这样两部分：上下方向：大正方
体的两个底面；四周方向(左右、前后方向)：小正方体的四个 侧面，大正方
体的四个侧面．上下方向：
55250
(平方分米)；侧面：554100
(平
方分米)，
44464
(平方分米)．这 个立体图形的表面积为：
5010064214
(平方分米)．


【例 8】 边长为1厘米的正方体，如图这样层层重叠放置，那么当重叠到第5层时，这个立体图形的 表面
积是多少平方厘米？
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5

【分析】 这个图形的表面积是俯视面、左视面、正视面得到的图形面积的2倍. 该立体图形的上下、左右、
前后方向的表面面积都是15平方厘米，该图形的总表面积为90立方厘米．

［拓展］ 按照上题的堆法一直堆到
N
层(
N3
)，要 想使总表面积恰好是一个完全平方数，则
N
的最小值
是多少？
N(N1)
［分析］ 每增加一层，每一个“大面”就增加到个小面，总表面积是6个“大面 ”，所以就增加
2
到
3N(N1)
个小面，几何题变成数论题，问题转化为 “
3N(N1)
是一个完全平方数，
N
的最小
值是几
(N 3)
？”因为
N
和
N1
互质，所以
N
和
N1
必须有一个是完全平方数，一个是平方数
的3倍，但
N1
不能是平 方数的3倍，因为如果
N1
是平方数的3倍，设
N13n
2
,
N3n
2
1
此时
N
被3除余2，不可能是完全平方数， 所以
N
是平方数的3倍，
N1
是完全平方数，开始
试验：
当
N31
2
3
，不符合题意；
当
N3 2
2
12
，
N113
，不是完全平方数；
当
N33
2
27
，
N128
，不是完全平方数；
当
N34
2
48
，
N149
，是完全平方数， 所以
N
的最小值是48，即堆到第48层时，总表
面积是完全平方数，为
3 484984
2
.
【例 9】 把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按 右图中的方式拼成一个立体图形.，求这个立体图
形的表面积．

【分析】 从上下 、左右、前后观察到的的平面图形如下面三图表示．因此，这个立体图形的表面积为：2
个上面
2
个左面
2
个前面．上表面的面积为：9平方厘米，左表面的面积为：8平方厘米 ，前
表面的面积为：10平方厘米．因此，这个立体图形的总表面积为：
(9810)2 54
(平方厘米)．
上下面 左右面

【例10】 要把12件同样的长a、宽b、高h的长方体物品拼装成一件大的长方体，使打 包后表面积最小，
该如何打包？
⑴当 b

2h时，如何打包？
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6




前后面

⑵当 b

2h时，如何打包？
⑶当 b

2h时，如何打包？
【分析】 图2和图3正面的面积相同，侧面面积

正面周长

长方体长，所以正面的周长愈大表面积越大，
图2的正面周长是 8h

6b，图3的周长是12h

4b.两者的周长之差为2（b

2h）.
当b

2h时，图2和图3周长相等，可随意打包；当b

2h时，按图2打包；当b

2h时，按图
3打包.
a
h
b
图1
图2
图3


［巩固］ 用10块长5厘米，宽3厘米，高7厘米的长方体积木堆成一个长方体，这个长方体的表面积 最
小是多少?
［分析］ 教师可以先提问：这个长方体的表面积最大是多少?为使表面积最大 ，要尽量保证10

2个7

5
的面成为表面，想要做到这点很容易 ，只需将7

5面做底面，而后将10个长方体连排，衔接的
面选用3
5的面（衔接的面将不能成为表面积），这样得到的长方体表面积最大．
同样要想最小，可把7

5面做衔接的面，可得到10个长方体的 连排，但 此时我们还可以再
制造出衔接面，如图：此时增加了2个5

7的面，减少了10个3

7的面，总体来讲表面积减少
了．表面积是：2

(7

15

15

10

10

7)

650(平方厘米)，所以这就是最小的表面积．


［巩固］ 要把6件同样的长17、宽7、高3的长方体物品拼装成一件大的长方体，表面积最小是多少？
［分析］ 考虑所有的包装方法，因为6

1

2

3，所以一共有两种拼接方式：
第一种按长宽高1

1

6拼接 ，重叠面有三种选择，共3种包装方法.
第二种按长宽高1

2

3拼接，有3个长方体并列方向的重叠面有三种选择，有2个长方体并列
方向的重叠面剩下2种选择，一 共有6种包装方法.
其中表面积最小的包装方法如图所示，表面积为1034.
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7

【例11】 有一个棱长为
5cm
的正方体木块，从它的每个 面看都有一个穿透的完全相同的孔(右上图)，求
这个立体图形的内、外表面的总面积．

【分析】 将此带孔的正方体看做由八个
2228cm
3
的正方体(8 个顶点)和12个
1cm
3
的正方体(12条棱)
粘成的．每个正方体有两个 面粘接，减少表面积
4cm
2
，所以总的表面积为：
(46)861 2412216(cm
2
)
．

［拓展］ 如图，用455个棱长为1 的小正方体粘成一个大的长方体，若拆下沿棱的小正方体，则余下371
个 小正方体，问：所堆成的大长方体的棱长各是多少？拆下沿棱的小正方体后的多面体的表面积
是多少？

［分析］ 设长方体棱长为分别为
x、y、z
.，他们只能取正整数，则有：


xyz455


4(x2y2z2)84 55371

因为
4555713
方程组的无序正整数解只有(5， 7，13)，拆下沿棱的的小正方体后的多面体如
图所示，首先计算突出在外面的6个平面，面积是2(11511335)206
再计算24个宽都
是1的长条，面积是8(1135)152
，总面积为358.

【例12】 如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？
25块积木

【分析】 当小积木互相重合的面最多时表面积最小.
设想27块边长为1的正方形积木，当 拼成一个
333
的正方体时，表面积最小，现在要去掉2
块小积木，只有在两个角 上各去掉一块小积木，或在同一个角去掉两块相邻的积木时，表面积不
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8

会增加，该几何体表面积为54.


1.

一个正方 体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成4
小块，共得到大大 小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？

【分析】 锯一次增加 两个面，锯的总次数转化为增加的面数的公式为：锯的总次数

2

增加的面 数．
原正方体表面积：1

1

6

6（平方米 ），一共锯了（2

1）

（3

1）

（4

1）

6次
6

1
1

2

6

18（平方米）．

2. 在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问< br>剩下的立体图形的表面积是多少？
【分析】 对于和长方体相关的立体图形表面积，一般从上 下、左右、前后3个方向考虑．变化前后的表面
积不变：50

50

6

15000（平方厘米）．

3. 右图是
456正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、
二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？
【分析】 三面涂红色的只有8个顶点处的8个立方体；
两面涂红色的在棱长处，共
(42)4(52)4(62)436
块；
一面涂红的表面中间部分：
(42)(52)2(42)(62)2( 52)(62)252
块．

4. 一个正方体的棱长为3厘米，在它的 前、后、左、右、上、下各面中心各挖去一个棱长为1厘米
的正方体做成一种玩具，求这个玩具的表面积 .
【分析】 挖去六个小正方体后，大正方体的中心部分即与其主体脱离，这时得到的新玩具是镂空 的.把这
个玩具分成20部分，8个“角”和12条“梁”，每个“角”为棱长1厘米的小正方体，它外 露部
2
分的面积为：
133
(平方厘米)，则8个“角”外露部分的面积 为：
3824
(平方厘米)．每
条“梁”为棱长1厘米的小正方体，它外露部分的 面积为：
1
2
44
(平方厘米)，则12条“梁”
外露部分的面 积为：
41248
(平方厘米)．这个玩具的表面积为：
244872
(平方厘米)．







5. 用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?
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9

【分析】 该图形的上、左、前三个方向的表面分别由9、7、7块正方形组成．
该图形的表面积等于
(977)246
个小正方形的面积，所以该图形表面积为46平 方厘米．

6. 用6块右图所示（单位：cm）的长方体木块拼成一个大长方体，有许多种 拼法，其中表面积最
小的是多少平方厘米？最大是多少平方厘米？
1
3
2

【分析】 要使表面积最小，需重叠的面积最大，如图⑴的 拼接方式新的长方体长为
5
，宽为
4
，高为
3
，
所 以表面积为
(343334)266(cm
2
)
；要使表面积 最大需重叠的面积最小，如图⑵所示，
长为
18
，宽为2，高为
1
， 所以最大的表面积为
(18118212)2112(cm
2
)

(1)


(2)

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10

父亲的遗嘱

从前，有一个老头，他临终时叫来五个儿子，对他们说：“孩子，我快 要死
了，临死前，我要给你们讲一个寓言，你们要用心听，听完后要解释给我听。”
儿子们不知道老头要讲什么，都恭敬地站好。老头用目光扫视了一下他们，
就开始讲了： “森林里有棵橡树，很高很粗，树枝上结满了果实。它的根很深，吸收着地
下的养分，暴风吹了它多 少次，也吹不倒。
“有一天，一个樵夫来到森林里，看中了这棵橡树，他卷起袖子，砍起树来 。
天快黑时，他砍倒了大树。他把树枝砍光，把树干拖到木匠作坊里，锯成木板，
装上大车，运 走了。回家后，他用木板做了一只木桶，套上箍，每天往桶里倒满
刚酿好的冒泡酒，然后卖给要办喜事的 农民。就这样，他过了很长一段日子。
“时间久了，有一天桶箍坏了，木桶板都松了，酒漏光 了，于是桶干裂了。
主人没有及时加上新的箍，木桶板都散开了。后来，孩子们抽走了桶箍，在街上滚圆环，女主人把木桶片和桶底当柴烧了。就这样，好好的一只桶，现在无影无
踪了！故事完了，现 在你们给我说明这个寓言的意义吧。”
五个兄弟你看看我，我看看你，想了好长时间也没弄明白父亲的意思。
“你们年纪还小，不明 白，那么我来告诉你们，你们听好：生长着大树的森
林是我们的国家，它是永久的；树木是人民，人民也 是永生的；桶是家庭，木桶
片是我们大家，桶箍则促使我们和睦、团结，而酒是快乐。家庭和睦时，生活 就
幸福。所以，要爱护桶箍，我的孩子啊!”
兄弟们一下都明白了，吻了吻父亲的手，说：“爸爸，我们感谢您的忠告，
我们一辈子不会忘记的。”
每一个人都需要家。家是父亲的王国，母亲的世界，孩子的乐园，在这里心
有所依，真 情融融，爱意无限。但是只要其中一个成员出了问题，必然会影响其
他的人。照顾好自己，同时关爱他人 ，是我们每一个人对家应尽的责任。家和万
事兴。




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11