高考撕书-关于幸福的名人名言

第八讲
数阵图与数字谜

教学目标

1. 熟悉数阵图与数字谜的题目特点；
2. 掌握数阵图与数字谜的解题思路。

精讲讲练

数阵图


数阵图是把一些数按照一定规则填在某一特定图形的规定位置上而来的图形，有时简称数
阵。

【例1】 （
2007
年“希望杯”第二试）在右图所示○内填入不同的< br>数，使得三条边上的三个数的和都是
12
，若
A
、
B
、
C
的
A
B
和为
18
，则三个顶点的三个数的和是 __________。

C
【分析】 由于每条边上的三个数的和都是
1 2
，所以把这三条边上的
三个数的和都加起来，总和应为
12336
，在 其中，
A
、
B
、
C
各算了一次，三个
顶点的三个数 各算了两次，所以三个顶点的三个数的和为
(3618)29
。


【例2】 （
2007
年天津“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛）将
1:1 2
这十二个自然数分别填入右图的
12
个圆圈内，使得每条直线上
的四个数之 和都相等，这个相等的和为__________。

【分析】 由于每条直线上的四个数之 和都相等，设这个相等的和为
S
，
把所有
6
条直线上的四个数之和相 加，得到总和为
6S
；另一方面，在这样相加中，由
于每个数都恰好在两条直线上，所 以每个数都被计算了两遍。所以，
6S(123L12)2
，得到
S2 6
，即所求的相等的和为
26
。

【例3】 （
2007
年“走进美妙的数学花园”决赛）如右图所示，
A
，
B
，
C
，
D
，
E
，
F
，
G
，
H
，
I
，
J
表示
1:10
这
10
个 各不相同的数字。表中的数为所在行与列的对应字母的
和，例如“
GC14
”。请 将表中其它的数全部填好。


+AB
C
D
E
+AB
C
D
E

F5141187
F514

G81714
1110
G14


7
H
110743
H
I4
教师版
I
竞赛班
131076
65
76
第八讲 四升五 Page
J
J716
13
10
9

【分析】 由于
AF5
，
BF14
，所以
BA1459
，所以
A
和
B
只能是
0
和
9
。因此
可以推出：
A0
，
B9
，
C6
，
D3
，
E2
，
F5，
G8
，
H1
，
I4
，
J7
。
可得右下图。


【例4】 （
2007
年“走进美妙 的数学花园”初赛）从
1
、
2
、
3
…
20
这
20
个数中选出
9
个不同
的数放入
33
的方格 表中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等。这
9
个数中最多有_______ ___个质数。

【分析】
1:20
中的质数有
2
、< br>3
、
5
、
7
、
11
、
13
、
17
、
19
，共
8
个。
9195
如果这
8
个质数都用上，无论另外一个数是奇数还是偶数，根据
71115
奇偶性分 析，都无法满足题目的要求。所以
8
个质数不可能都用
17
313
上 ，最多只能用
7
个。若用
7
个，只有用
3
、
5、
7
、
11
、
13
、
17
、
19
这
7
个奇数，再加上两个奇数
9
和
15
时，恰 好是
9
个连续奇数，方格表可以填出，
如右图。故这
9
个数中最多有
7
个质数。

9
[前铺] 在右图的每个空格中填入一个数字， 使得每行、每列及每条对角线
6
上的三个数之和都等于
24
。

[分析] 我们知道
1:9
填图的幻方每行、每列及每条对角线上的三个数之和114
9
都等于
15
，而本题中的幻方每行、每列及每条对角线上的三个 数之
6
810
和都等于
24
，比
1:9
填图的幻方 大了
24159
，相当于每个数都
7
12
5
大了
933
，所以只需要把
1:9
填图的幻方中的每个数都加
3
就 可
以了。








[前铺] 将
1
、
3
、
5
、
7
、
9
、
11
、
13
、
15
、
17
填入
33
的方格内，使其构成一个幻方。

[分析] （法< br>1
）：中心数为
9
，然后将其余
8
个数分为
4
组，每组两个数的
7173
和是
18
，把它们分别填入图中关于中心格对称 的格子内，实验可
5
9
13
得结果，如右图。答案不唯一，仅供参考。 15
111
（法
2
）：其实会学习的小朋友知道利用已经学习过的一些典 型题
目的结果加以变形得到新题的答案。事实上我们可以把本题中的幻
方看作是
1:9
填图的幻方相应位置的数字乘以
2
再减
1
得来的。推广开来可以知道 等差
数列填图的三阶幻方几乎都具有相似的形式。
四升五 竞赛班 第八讲 教师版 Page 66

【例5】 在右图所示立方体的八个顶点上标出
1:9
中的八个，使得每
个面上四个顶点所标数字之和都等于
k
，并且k
不能被未标出
的数整除。

【分析】 标出的八个数之和是每面四个 数之和的
2
倍，是偶数，
1:9
的
和为
45
，因 此未标出的数是一个奇数，只能是
1
、
3
、
5
、
7
、
9
中的一个，并使余下八个数之和的一半不能被这个数整除，
由于
1
、
3
、
5
、
9
都不满足这一条件，依此可知未标 出的数
是
7
。
下面用余下的
8
个数填图，每面四个数之和 为：
(457)219
。如果已知某一面上四个数的和为
19
，那么与
其平行的面上的四数之和也必为
19
。因此我们只考虑有公共顶
点的三个面即 可。下面我们考虑以
9
为公共顶点的三个面，由
于
8
，
9< br>不共面，因此
8
在顶点
9
的对顶点上，有公共点
9
的 三
个面上，每面其余三个数之和为
10
，且每两个面有一个公共顶
点，由此试 验易得三个面上的数分别为：
(6,3,1)
，
(5,4,1)
，
( 3,2,5)
，填图如右下图。
1
9
4
6
5
3
8
2


数字谜

数字谜，顾名思义就是猜数字，它是与数字有关的一类有趣的数学问题。

【例6】 （湖北省“创新杯”初赛）如右图，加法算式中，
七个方格中的数字之和等于__________。
+

【分析】 由加法算式中的百位要向千位进位知百位的数字和
为
19
，但两个加数的百位之和最大为
9918
，由
于十位最多向百位进< br>1
，这说明两个加数的百位数字都是
9
。同理可知两个加数的十
位数字 都是
9
，且个位之和向十位进
1
，所以这两个加数的个位数字之和为
14
。所以
七个方格中的数字之和为
1941451
。
【例7】 （“我爱数学夏令营”）右图加法算式中相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示
不同的数字，那么汉字“我爱夏令营”表示的
5
位数是
我爱夏
令
营
__________。
+数学夏令营


数学夏令营好
【分析】 两个五位数相加得到一个六位数，由于这两个五位数均小
于< br>100000
，所以它们的和小于
200000
，所以图中的“数”小于
2
，故“数”
1
。由
于“我爱夏令营”

“数学夏令营 好”

“数学夏令营”
9
“数学夏令营”

“好”，< br>所以“我”
9
。而图中加法算式的千位最多向万位进
1
，所以“学” 只能为
1
或
0
。
由于“学”与“数”不同，所以“学”不能为
1
，只能是
0
。图中算式可简化为“爱
夏令营”

“夏令 营”

“夏令营好”，即
1000
“爱”

“夏令营”< br>
“夏令营”
10
“夏令营”

“好”。得
10 00
“爱”
8
“夏令营”

“好”，所以“好”是
8
的倍
9
94
四升五 竞赛班 第八讲 教师版 Page 67

数。由于 “好”不能是
0
，所以“好”
8
，“夏令营”
125
“爱”
1
。由于“爱”、
“夏”、“令”、“营”均不能为
0
、< br>1
、
8
、
9
，经试验只有当“爱”
5
时， “夏令营”

624
符合条件。所以“我爱夏令营”表示的
5
位数 是
95624
。

[前铺] （“走进美妙的数学花园”决赛）如右图所示 ，相同的汉字代
美妙
表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。“美妙数学花园”
数 学
代表的
6
位数最小为__________。
+
花园

好
好
好好
[分析] 本题中
4
个数的和是一个各个数位上 的数字都相同的四位数，
由于加法算式中百位上没有进位，所以和的千位上只能是
2
， 因此“好”
2
。要使“美
妙数学花园”代表的
6
位数最小，则“美 ”、“妙”都要尽可能小。“美妙”

“数学”

“花园”
222 22007215
，由于“数学”

“花园”最大只能为
90807 6183
，
所以“美妙”不小于
21518332
。但是“妙”不能 与“好”和“美”相同，所以“美
妙”最小为
34
，此时“数学”最小为
85
，“花园”为
96
，所以这个六位数最小为
348596
。


【例8】 （“走进美妙的数学花园”初赛）请在右图每个方框中填入一个数字，使乘法竖式成立。














0W
，【分析】 设被乘数为
abc
，，乘数为
de2
。由于
abc2W
所以
b5
，且
c4（这是因为
c2
200
7
最多向十位进
1
，而
0
是一个偶数，从而
c2
不向十位进位）。
7W
且
c 4
知
d
为奇数又由
a5cdW
（若
d
为偶数 ，那么
cd
的十位数字为
7
，但
c4
，
这是不 可能的），那么
cd
向十位进
2
，所以
d
最小为
5
，又显然
d
小于
7
（若
d
大于等
a只能为
1
。于
7
，那么
a5cd
将是四位数），于是
d5
。这时
c
只能为
4
，所以
abc154< br>。
0W
知
e
只能为
2
。再由
154e W
所以这个乘法算式的被
2
乘
数与乘数分别为
154
和522
，乘法竖式如图所示。


【例9】 （香港圣公会数学竞赛）在右图中的除法算式中，只知
四升五 竞赛班 第八讲 教师版 Page 68
0

道
2
、
0
两个数字，其余残缺的数字都用□表示。补上残缺的数字后，那么 被除数是
__________。

【分析】 这个除法算式从相除的过程可以看出 ，商数的十位和千位均为
0
；除数的
2
倍是一个三
位数，而除数与商 的万位相乘，积为两位数，可知万位数字为
1
，同样可知商的个位数
字也为
1
，即商为
10201
；又一个两位数的两倍必小于
200
，故第一次 剩余（即被除数
的前三位与除数之差）为
1
。而一个三位数与一个两位数之差为
1
，只能是
100991
，
故被除数前三位为“
100
”，而除数为
99
，由此可知，被除数为
99102011009899
。


【例10】 （北京“数学解题能力展示”读者评选活动决赛）将数字1:9
填入下面方框，每个数
字恰用一次，使得下列等式成立：

现在 “
2
”、“
4
”已经填入，当把其他数字都填入后，算式中唯一的减数（●处 ）是
__________。

【分析】 首先可以估算四位数的取值范围。四位数 不大于
(2007913)428010
，不小于
(2007198) 427638
，所以四位数的首位数字只能是
7
。
再由四位数与2
的和能被
4
整除，可以确定四位数的个位数字一定是偶数，只能是
6< br>或
8
。
若为
6
，那么四位数与
2
的和的个位 数字为
8
，所以十位数字必须为偶数，只能是
8
。这
个四位数要大于
7638
，只能是
7986
，而
(79862)41997< br>，与
2007
相差
10
。但此时
剩下的三个数字为
1
、
3
、
5
，无法用这三个数字凑出
10
。所以四位 数的个位数字不能
是
6
。四位数的个位数字是
8
时，十位数字为奇数 ，只能是
1
、
3
、
5
或
9
。
当 四位数的十位数字为
1
时，四位数只能是
7918
，而
(7918 2)41980
，与
2007
相差
27
。但剩下的三个数字3
、
5
、
6
不能凑出
27
；
当四位数的十位数字为
3
时，四位数只能是
7938
，而
(79 382)41985
，与
2007
相差
22
。但剩下的三个数 字
1
、
5
、
6
不能凑出
22
；
当四位数的十位数字为
5
时，四位数可能是
7658
或
7958。若为
7958
，则由
(79582)41990
，与
2 007
相差
17
，但剩下的三个数字
1
、
3
、6
不能凑出
17
；若为
7658
，有
(76582) 49312007
；
当四位数的十位数字为
9
时，四位数只能是< br>7698
，而
(76982)41925
，与
2007
相差
82
。但剩下的三个数字
1
、
3
、
5
不能凑出
82
。
综上可知本题只有唯一答案
(76582)493 12007
。算式中唯一的减数是
1
。


【例11】
(ABC)
n
表示
n
进制中的一个三位数，请解决如右所示
n
进制
中的数字谜（不同的字母表示不同的数）。请确定
A
,
B,
C
,
D
,
n
的值，并带入下式进行计算：
（注：此时的结果请写成十进
ABCDn
__________。
制的）。

四升五 竞赛班 第八讲 教师版 Page 69
(
A
BC
)
n
+
(
BD
C)
n
BDCD

【分析】 在
n
进制中 ，由于个位的
CC
最多向十位进
1
，十位的
B
,
D
互不相同，它们最大分
别为
n－1
和
n－2
，所以
BD1n1n21p2n
，所以十位最多向百位进
1
，同
理 可知百位最多向千位进
1
，所以
B
只能为
1
。由于
A
最大为
n－1
，则
AB1n111n1
，即百位 向千位进
1
后最多还剩下
1
，即
D
最大为
1
，又因
为不同的字母表示不同的数，
D
不能
B
与相同，所以
D
只能为
0
。而
C
不能为
0
、
1
，
所以
CCn
，
101C
，即
C2
，
n4
，
An13
，所以
ABCDn3120410
。


附加题目

2

0
【附1】 （北京“数学解题能力展示”读者评选活动初赛 ）在
0
右图除法竖式的每个方格中填入适当的数字使竖式成
7
立，并使商尽量 大。那么，商的最小值是__________。

0
【分析】 如果商的个位数字 为
1
，那么除数为
700
多。由于除数
乘以商的千位数字得到一个四 位数，且这个四位数的百位数字为
2
，所以商的千位数至
少是
3
才可 满足这一条件（如果是
1
，那么乘积为
3
位数；如果是
2
， 那么乘积在
1400
与
。
1600
之间，百位数字不可能是
2
）
如果商的个位数字为
2
，则除数不小于
350
，不大 于
399
，同上分析可知，商的千位数
至少是
6
才可满足式中条件。
如果商的个位数字大于等于
3
，由于除数与商的千位数字之积是一个四位数，比除数与
商的个位数字之积（
700
多）要大，所以商的千位数字大于个位数字，所以此时商的 千
位数字至少为
4
。
由以上分析可知，当商的个位数字为
1
时，商的千位数字可以为
3
，此时商的千位数字
最小，故商也最小。
当商 的千位数字为
3
时，由于十位数字为
0
，个位数字为
1
，此 时除数为
700
多，商的百
位数字与除数的乘积也是四位数，而且这个四位数的百位数 字为
0
，所以商的百位数字
不能是
0
、
1
、
2
、
3
，至少为
4
才能满足式中条件。所以商的最小值不小于3401
。
另外，
25541517513401
满足式中条件， 所以商的最小值为
3401
。


2
【附2】 （首届全 国数学资优生思维能力测试）在右图的除法算式
0
中，只知道
2
、
0
、
0
、
6
四个数字，补上残缺的数字后，
那么被除数是__ ________。
0

6
【分析】 设商的百位数字为
A
，十位为
B
。由于
A
与除数之积的十
位为
0
，所 以
A
只可能为
2
、
4
、
7
、
9< br>；由于
B
与除数
之积的个位为
6
，所以
B
只 可能为
3
、
8
。
0
取
A
为
2< br>时，除数只能为
52
。若取
B
为
8
，竖式谜中第五< br>行数为
416
，那么竖式的第四行与第五行的十位数字之差只可能为
8
或
9
（第四行的十
位数字需向百位数字借位），这样第七行的百位数字为
8< br>或
9
，而除数
52
与一位数的乘
积的百位数字最大只能为4
。矛盾。所以此时
B
不能为
8
。若
B
为3
，则竖式的第五行
为
156
，此时竖式的第四行与第五行的十位数字之 差至少为
4
，所以商的个位数只能为
8
四升五 竞赛班 第八讲 教师版 Page 70

或
9
。试验可知
1242852239
满足条件。
用 上述方法类似分析其他情况，可知
2282852439
和
56448727 84
也满足式中条
件。


巩固练习






1. 在
1:13
这十三个自然数中选十 二个填在图中的空格内，使每横
行四数之和相等，每竖行三数之和相等。

【分析】 首先由和的整除性质，确定使用哪十二个数填图。由于每横行四
数之和相等，每竖行
三数之和 相等，知这十二个数之和既是
3
的倍数也是
4
的倍数，因此是
12< br>的倍数，而
123L1391
，
91127L7
，由此 可知不用填图的数字是
7
，所选十二个数之
和为：
91784
， 每横行四个数之和为：每竖行三个数之和为：
84328
，
84421
。
由于竖行和为
21
，因此可知
1
，
2
，
3
，
4
在不同竖行，而
5
只能跟
3
或
4
在同一竖行，
由此可确定竖行分组有如下两种情况：
(1,8,12)
，(2,9,10)
，
(3,5,13)
，
(4,6,11)
或< br>(1,9,11)
，
(2,6,13)
，
(3,8,10)
，
(4,5,12)
。再根据横行和为
28
，易得如下两种结果：
1
10
13
4
8
9
12
2
56
31 1
11310
4
968
5
1123
12


2. 图中
33
的正方形的每一个方格内的字母都代表一个数，已知其每行、每列以 及两条
对角线上三个数之和都相等。若
f19
，
g96
。那么< br>b
是多少？

【分析】 由于
gecghlbehcfl
，所以
2gechlbfehcl
，即
bf2g
，所以
b2gf173
。


3.
a
g
d
b
e
c
f
l
h
右图中不同的汉字代表
1:9
中不同的数字，当算式成立时，“中
国”这两个汉字所代表的两位数最大是多少?
+
中国
新北京
新奥运

【分析】 从图中可以看出，“新”
9
，因为要使“中国”尽量大，所以
可以假定“中”
8
。因为十 位相加(含个位的进位)等于
20
，所以“北

奥”在
1:7
中的取值有三种可能：
(7,5)
；
(7,4)
；
(6,5)。再考虑到“国

京

运”的个位数字是
8
，
经试算，只有“北”、 “奥”等于
7
、
5
时满足，此时“国”、“京”、“ 运”等于
1
、
3
、
4
，“国”取其中最大的
4，得到“中国”最大是
84
。

四升五 竞赛班 第八讲 教师版 Page 71
2008

4. 右面式中不同的汉字代表不同的数字，问：“数学好玩”表示的四位数是多少?







【分析】 由积的千位数知“数”
1
， 由积的十位数知“学”
0
，由积的百位数知“玩”
9
。
竖式化简 为下式。由于“
1
真”
9
“
10
好”，所以“真”2
，“好”
8
，“啊”
6
。
所以，“数学好玩”
1089
。







四升五 竞赛班 第八讲 教师版 Page 72

排球是一位名叫威廉·基· 摩根的体育干事于１８９５年在美国发明的。半个多世纪后的１
９６４年日本东京奥运会赛场上，男子排 球和女子排球比赛同时亮相奥运会赛场。
至２００４年雅典奥运会，奥运会排球比赛的规模已由最初的 １０支男队和６支女队发展到
男女各１２支队伍。迄今为止，共有７支男队（苏联、日本、波兰、美国、 巴西、荷兰、南斯拉
夫）和４支女队（日本、苏联、中国、古巴）荣膺过奥运会排球冠军的殊荣。 排球１９０５年进入中国，并在新中国生长壮大，中国女
排在１９８４年中国首次参加奥运会时便一 鸣惊人，夺得桂
冠，２０年后又在雅典重温奥运会冠军梦，将她们的世界冠
军头衔增加到７个。




一个富有却很吝啬的人不幸将自己装有50万现金的公文包 丢失了。他怎么找也找不见，着
急得要命，于是，只好报警，并声称谁要拾到公文包并交还给他，他将奖 给这个人5万元现金。
不久，便有人将公文包送到警察局，富人见到自己的公文包失而复得， 心中又生悔意，不想
付酬金给拾到公文包的人。因此便对警察谎称说：“包内应有55万现金，而现在只 有50万!”
警察见包外密码锁并没有被开启的现象，其他地方也没有被破坏的痕迹。便对失 主说：“你
真的确定你的包内是55万元现金?”
吝啬的富人毫不犹豫地答道：“的确是的。”
警察于是说道：“如此说来，这个包原来不是你 的，因为这里面只有50万。你还是先回去等
消息吧。按照规定，如果6个月内，这个包无人认领的话， 它就将归属于捡到它的那个人。”
1、失去诚信，就失去一切。
2、不要被金钱蒙蔽了双眼。



四升五 竞赛123班 第八讲 教师版 Page 73