洛克菲勒大学-一朵白蔷薇

第3讲 竖式数字谜(一)
这一讲主要讲加、减法竖式的数字谜问题。解加、减法 数字谜问题的基本功，
在于掌握好上一讲中介绍的运算规则(1)(2)及其推演的变形规则，另外还要 掌握
数的加、减的“拆分”。关键是通过综合观察、分析，找出解题的“突破口”。
题目不同， 分析的方法不同，其“突破口”也就不同。这需要通过不断的“学”
和“练”，逐步积累知识和经验，总 结提高解题能力。
例1 在右边的竖式中，A，B，C，D各代表什么数字？
解：显然，C=5，D=1(因两个数
字之和只能进一位)。
由于A＋4 ＋1即A＋5的个位数为3，且必进一位(因为4＞3)，所以A＋5=13，
从而A＝13-5=8。
同理，由7＋B＋1=12，即B＋8＝12，得到B＝
12-8＝4。
故所求的A=8，B=4，C=5，D=1。
例2 求下面各竖式中两个加数的各个数位上的数字之和：
分析与解：(1)由于和的个位数字是9，两个加 数的个位数字之和不大于9＋9＝
18，所以两个加数的个位上的两个方框里的数字之和只能是9。(这 是“突破口”)
再由两个加数的个位数之和未进位，因而两个加数的十位数字之和就是14。
故这两个加数的四个数字之和是9＋14=23。
(2)由于和的最高两位数是19，而 任何两个一位数相加的和都不超过18，因此，
两个加数的个位数相加后必进一位。(这是“突破口”， 与(1)不同)
这样，两个加数的个位数字相加之和是15，十位数字相加之和是18。
所求的两个加数的四个数字之和是15＋18＝33。
注意：(1)(2)两题虽然 题型相同，但两题的“突破口”不同。(1)是从和的
个位着手分析，(2)是从和的最高两位着手分析 。
例3 在下面的竖式中，A，B，C，D，E各代表什么数？
分析与解：解减法竖式数字谜，与解加法竖式数字谜的分析方法一样，所不同的
是“减法”。
首先，从个位减起(因已知差的个位是5)。4＜5，要使差的个位为5，必须
退位，于是 ，由14-D＝5知，D=14-5＝9。(这是“突破口”)
再考察十位数字相减：由B-1- 0＜9知，也要在百位上退位，于是有10＋B-1-0
＝9，从而B＝0。
百位减法中，显然E=9。
千位减法中，由10＋A-1-3＝7知，A＝1。
万位减法中，由9-1-C＝0知，C＝8。
所以，A＝1，B＝0，C＝8，D＝9，E＝9。
例4 在下面的竖式中，“车”、“马”、“炮”各代表一个不同的数字。请把
这个文字式写成 符合题意的数字式。
分析与解：例3是从个位着手分析，而这里就只能从首位着手分析。
由一个四位数减去一个三位数的差是三位数知，“炮”＝1。
被减数与减数的百位数相同，其相减又是退位相减，所以，“马”＝9。至
此，我们已得到下式：
由上式知，个位上的运算也是退位减法，由11-“车”=9得到“车”＝2。
因此，符合题意的数字式为：

例5 在右边的竖式中，“巧，填，式，谜”分别代表不同的数字，它们各等于
多少？
解：由(4×谜)的个位数是0知，“谜”＝0或5。
当“谜”＝0时，(3×式)的个位数是0，推知“式”＝0，与“谜”≠“式”
矛盾。
当“谜”＝5时，个位向十位进2。
由(3×式+2)的个位数是0知，“式”＝6，且十位要向百位进2。
由(2×填+2)的个位数是0，且不能向千位进2知，“填”＝4。
最后推知，“巧”＝1。
所以“巧”＝1，“填”＝4，“式”=6，“谜”＝5。
练习3
1.在下列各竖式的□中填上适当的数字，使竖式成立：
2.下列各竖式中，□里的数字被遮盖住了，求各竖式中被盖住的各数字的和：
3.在下列各竖式的□中填入合适的数字，使竖式成立：
4.下式中不同的汉字代表1～9中 不同的数字，相同的汉字代表相同的数字。这
个竖式的和是多少？
5.在下列各竖式的□中填入合适的数字，使竖式成立：
答案与提示练习3
1. (1) 764＋265=1029；(2) 981＋959=1940；(3) 99＋ 903＝1002； (4) 98
＋97＋ 923＝1118。
2.(1) 28；(2) 75。
3.(1) 23004-18501＝4503；(2) 1056-989＝67；(3) 24883-16789=8094；
(4) 9123-7684=1439。
4.987654321。
5.提示：先解上层数谜，再解下层数谜。

第4讲 竖式数字谜(二)
本讲只限于乘数、除数是一位数的乘、除法竖式数字谜问题。
掌握好乘、除法的基本运算规则(第 2讲的公式(3)(4)及推演出的变形式子)
是解乘、除法竖式谜的基础。根据题目结构形式，通过综 合观察、分析，找出“突
破口”是解题的关键。
例1 在左下乘法竖式的□中填入合适的数字，使竖式成立。

分析与解：由于积的 个位数是5，所以在乘数和被乘数的个位数中，一个是5，
另一个是奇数。因为乘积大于被乘数的7倍， 所以乘数是大于7的奇数，即只能
是9(这是问题的“突破口”)，被乘数的个位数是5。
因为7×9＜70＜8×9，所以，被乘数的百位数字只能是7。至此，求出被乘
数是785，乘数是9 (见右上式)。
例2 在右边乘法竖式的□里填入合适的数字，使竖式成立。
分析与解：由于乘积的数字不全，特别是不知道乘积的个位数，我们只能从最高
位入手分析。
乘积的最高两位数是2□，被乘数的最高位是3，由

可以确定乘数的大致范围，乘数只可能是6，7，8，9。到底是哪一个呢？
我们只能逐一进行试算：
(1)若乘数为6，则积的个位填2，并向十位进4，此时，乘数6与被乘数的十位
上的数字相 乘之积的个位数只能是5(因4+5=9)。这样一来，被乘数的十位上就
无数可填了。这说明乘数不能 是6。
(2)若乘数为7，则积的个位填9，并向十位进4。与(1)分析相同，为使积的十
位是9，被乘数的十位只能填5，从而积的百位填4。得到符合题意的填法如右
式。

(3)若乘数为8，则积的个位填6，并向十位进5。为使积的十位是9，被乘数的
十位只能填3或8 。
当被乘数的十位填3时，得到符合题意的填法如右式。当被乘数的十位填8
时，积的最 高两位为3，不合题意。

(4)若乘数为9，则积的个位填3，并向十位进6。为使积的十 位是9，被乘数的
十位只能填7。而此时，积的最高两位是3，不合题意。
综上知，符合题意的填法有上面两种。
除法竖式数字谜问题的解法与乘法情形类似。
例3 在左下边除法竖式的□中填入适当的数，使竖式成立。

分析与解：由48÷ 8=6即8×6=48知，商的百位填6，且被除数的千位、百位分
别填4，8。又显然，被除数的十位 填1。由

1□=商的个位×8
知，两位数1□能被8除尽，只有1 6÷8=2，推知被除数的个位填6，商的
个位填2。填法如右上式。
例3是从最高位数入手分析而得出解的。
例4 在右边除法竖式的□中填入合适的数字。使竖式成立。
分析与解：从已知的几个数入手分析。
首先，由于余数是5，推知除数＞5，且被除数个位填5。

由于商4时是 除尽了的，所以，被除数的十位应填2，且由于3×4=12，8
×4=32，推知，除数必为3或8。 由于已经知道除数＞5，故除数=8。(这是关键！)
从8×4=32知，被除数的百位应填3，且商的百位应填0。
从除数为8，第一步除法又出现了 4，8×8=64，8×3=24，这说明商的千位
只能填8或3。试算知，8和3都可以。所以，此题 有下面两种填法。

练习4
1.在下列各竖式的□里填上合适的数：

2.在右式中，“我”、“爱”、“数”、“学”分别代表什么数时，乘法竖
式成立？

3.“我”、“们”、“爱”、“祖”、“国”各代表一个不同的数字，它
们各等于多少时，右边的乘法竖式成立？

4.在下列各除法竖式的□里填上合适的数，使竖式成立：

5.在下式的□里填上合适的数。

答案与提示 练习4
1.(1) 7865×7＝55055；
(2)2379 × 8= 19032或 7379 × 8= 59032。
2.“我”＝5，“爱”=1，“数”=7，“学”=2。
3.“我”、“们”、“爱”、“祖”、“国”分别代表8，7，9，1，2。
4.(1) 5607×7=801；(2) 822÷3=274。
5.

第3讲 竖式数字谜(一)
这一讲主要讲加、减法竖式的数字谜问题。解 加、减法数字谜问题的基本功，
在于掌握好上一讲中介绍的运算规则(1)(2)及其推演的变形规则， 另外还要掌握
数的加、减的“拆分”。关键是通过综合观察、分析，找出解题的“突破口”。
题 目不同，分析的方法不同，其“突破口”也就不同。这需要通过不断的“学”
和“练”，逐步积累知识和 经验，总结提高解题能力。
例1 在右边的竖式中，A，B，C，D各代表什么数字？
解：显然，C=5，D=1(因两个数
字之和只能进一位)。
由于A＋4 ＋1即A＋5的个位数为3，且必进一位(因为4＞3)，所以A＋5=13，
从而A＝13-5=8。
同理，由7＋B＋1=12，即B＋8＝12，得到B＝
12-8＝4。
故所求的A=8，B=4，C=5，D=1。
例2 求下面各竖式中两个加数的各个数位上的数字之和：
分析与解：(1)由于和的个位数字是9，两个加 数的个位数字之和不大于9＋9＝
18，所以两个加数的个位上的两个方框里的数字之和只能是9。(这 是“突破口”)
再由两个加数的个位数之和未进位，因而两个加数的十位数字之和就是14。
故这两个加数的四个数字之和是9＋14=23。
(2)由于和的最高两位数是19，而 任何两个一位数相加的和都不超过18，因此，
两个加数的个位数相加后必进一位。(这是“突破口”， 与(1)不同)
这样，两个加数的个位数字相加之和是15，十位数字相加之和是18。
所求的两个加数的四个数字之和是15＋18＝33。
注意：(1)(2)两题虽然 题型相同，但两题的“突破口”不同。(1)是从和的
个位着手分析，(2)是从和的最高两位着手分析 。
例3 在下面的竖式中，A，B，C，D，E各代表什么数？
分析与解：解减法竖式数字谜，与解加法竖式数字谜的分析方法一样，所不同的
是“减法”。
首先，从个位减起(因已知差的个位是5)。4＜5，要使差的个位为5，必须
退位，于是 ，由14-D＝5知，D=14-5＝9。(这是“突破口”)
再考察十位数字相减：由B-1- 0＜9知，也要在百位上退位，于是有10＋B-1-0
＝9，从而B＝0。
百位减法中，显然E=9。
千位减法中，由10＋A-1-3＝7知，A＝1。
万位减法中，由9-1-C＝0知，C＝8。
所以，A＝1，B＝0，C＝8，D＝9，E＝9。
例4 在下面的竖式中，“车”、“马”、“炮”各代表一个不同的数字。请把
这个文字式写成 符合题意的数字式。
分析与解：例3是从个位着手分析，而这里就只能从首位着手分析。
由一个四位数减去一个三位数的差是三位数知，“炮”＝1。
被减数与减数的百位数相同，其相减又是退位相减，所以，“马”＝9。至
此，我们已得到下式：
由上式知，个位上的运算也是退位减法，由11-“车”=9得到“车”＝2。
因此，符合题意的数字式为：

例5 在右边的竖式中，“巧，填，式，谜”分别代表不同的数字，它们各等于
多少？
解：由(4×谜)的个位数是0知，“谜”＝0或5。
当“谜”＝0时，(3×式)的个位数是0，推知“式”＝0，与“谜”≠“式”
矛盾。
当“谜”＝5时，个位向十位进2。
由(3×式+2)的个位数是0知，“式”＝6，且十位要向百位进2。
由(2×填+2)的个位数是0，且不能向千位进2知，“填”＝4。
最后推知，“巧”＝1。
所以“巧”＝1，“填”＝4，“式”=6，“谜”＝5。
练习3
1.在下列各竖式的□中填上适当的数字，使竖式成立：
2.下列各竖式中，□里的数字被遮盖住了，求各竖式中被盖住的各数字的和：
3.在下列各竖式的□中填入合适的数字，使竖式成立：
4.下式中不同的汉字代表1～9中 不同的数字，相同的汉字代表相同的数字。这
个竖式的和是多少？
5.在下列各竖式的□中填入合适的数字，使竖式成立：
答案与提示练习3
1. (1) 764＋265=1029；(2) 981＋959=1940；(3) 99＋ 903＝1002； (4) 98
＋97＋ 923＝1118。
2.(1) 28；(2) 75。
3.(1) 23004-18501＝4503；(2) 1056-989＝67；(3) 24883-16789=8094；
(4) 9123-7684=1439。
4.987654321。
5.提示：先解上层数谜，再解下层数谜。

第4讲 竖式数字谜(二)
本讲只限于乘数、除数是一位数的乘、除法竖式数字谜问题。
掌握好乘、除法的基本运算规则(第 2讲的公式(3)(4)及推演出的变形式子)
是解乘、除法竖式谜的基础。根据题目结构形式，通过综 合观察、分析，找出“突
破口”是解题的关键。
例1 在左下乘法竖式的□中填入合适的数字，使竖式成立。

分析与解：由于积的 个位数是5，所以在乘数和被乘数的个位数中，一个是5，
另一个是奇数。因为乘积大于被乘数的7倍， 所以乘数是大于7的奇数，即只能
是9(这是问题的“突破口”)，被乘数的个位数是5。
因为7×9＜70＜8×9，所以，被乘数的百位数字只能是7。至此，求出被乘
数是785，乘数是9 (见右上式)。
例2 在右边乘法竖式的□里填入合适的数字，使竖式成立。
分析与解：由于乘积的数字不全，特别是不知道乘积的个位数，我们只能从最高
位入手分析。
乘积的最高两位数是2□，被乘数的最高位是3，由

可以确定乘数的大致范围，乘数只可能是6，7，8，9。到底是哪一个呢？
我们只能逐一进行试算：
(1)若乘数为6，则积的个位填2，并向十位进4，此时，乘数6与被乘数的十位
上的数字相 乘之积的个位数只能是5(因4+5=9)。这样一来，被乘数的十位上就
无数可填了。这说明乘数不能 是6。
(2)若乘数为7，则积的个位填9，并向十位进4。与(1)分析相同，为使积的十
位是9，被乘数的十位只能填5，从而积的百位填4。得到符合题意的填法如右
式。

(3)若乘数为8，则积的个位填6，并向十位进5。为使积的十位是9，被乘数的
十位只能填3或8 。
当被乘数的十位填3时，得到符合题意的填法如右式。当被乘数的十位填8
时，积的最 高两位为3，不合题意。

(4)若乘数为9，则积的个位填3，并向十位进6。为使积的十 位是9，被乘数的
十位只能填7。而此时，积的最高两位是3，不合题意。
综上知，符合题意的填法有上面两种。
除法竖式数字谜问题的解法与乘法情形类似。
例3 在左下边除法竖式的□中填入适当的数，使竖式成立。

分析与解：由48÷ 8=6即8×6=48知，商的百位填6，且被除数的千位、百位分
别填4，8。又显然，被除数的十位 填1。由

1□=商的个位×8
知，两位数1□能被8除尽，只有1 6÷8=2，推知被除数的个位填6，商的
个位填2。填法如右上式。
例3是从最高位数入手分析而得出解的。
例4 在右边除法竖式的□中填入合适的数字。使竖式成立。
分析与解：从已知的几个数入手分析。
首先，由于余数是5，推知除数＞5，且被除数个位填5。

由于商4时是 除尽了的，所以，被除数的十位应填2，且由于3×4=12，8
×4=32，推知，除数必为3或8。 由于已经知道除数＞5，故除数=8。(这是关键！)
从8×4=32知，被除数的百位应填3，且商的百位应填0。
从除数为8，第一步除法又出现了 4，8×8=64，8×3=24，这说明商的千位
只能填8或3。试算知，8和3都可以。所以，此题 有下面两种填法。

练习4
1.在下列各竖式的□里填上合适的数：

2.在右式中，“我”、“爱”、“数”、“学”分别代表什么数时，乘法竖
式成立？

3.“我”、“们”、“爱”、“祖”、“国”各代表一个不同的数字，它
们各等于多少时，右边的乘法竖式成立？

4.在下列各除法竖式的□里填上合适的数，使竖式成立：

5.在下式的□里填上合适的数。

答案与提示 练习4
1.(1) 7865×7＝55055；
(2)2379 × 8= 19032或 7379 × 8= 59032。
2.“我”＝5，“爱”=1，“数”=7，“学”=2。
3.“我”、“们”、“爱”、“祖”、“国”分别代表8，7，9，1，2。
4.(1) 5607×7=801；(2) 822÷3=274。
5.

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