西安二本-多伦多大学排名

第五讲 一笔画问题
一天，小明做完作业正在休息，收音机中播放着轻松、悦耳的 音乐.
他拿了支笔，信手在纸上写了“中”、“日”、“田”几个字.突然，他
脑子里闪出一个 念头，这几个字都能一笔写出来吗？他试着写了写，“中”
和“日”可以一笔写成（没有重复的笔划）， 但写到“田”字，试来试去
也没有成功.下面是他写的字样.（见下图）

这可 真有意思！由此他又联想到一些简单的图形，哪个能一笔画成，
哪个不能一笔画成呢？下面是他试着画的 图样.（见下图）


经过反复试画，小明得到了初步结论：图中的（1）、 （3）、（5）
能一笔画成；（2）、（4）、（6）不能一笔画成.真奇怪！小明发现，简
单 的笔画少的图不一定能一笔画得出来.而复杂的笔画多的图有时反倒能
够一笔画出来，这其中隐藏着什么 奥秘呢？小明进一步又提出了如下问
题：
如果说一个图形是否能一笔画出不决定于图的复杂程度，那么这事又
决定于什么呢？
能不 能找到一条判定法则，依据这条法则，对于一个图形，不论复杂
与否，也不用试画，就能知道是不是能一 笔画成？

先从最简单的图形进行考察.一些平面图形是由点和线构成的.这里所说的“线”，可以是直线段，也可以是一段曲线.而且为了明显起见，
图中所有线的端点或是几条 线的交点都用较大的黑点“●”表示出来了.
首先不难发现，每个图中的每一个点都有线与它相连 ；有的点与一条
线相连，有的点与两条线相连，有的点与3条线相连等等.
其次从前面的 试画过程中已经发现，一个图能否一笔画成不在于图形
是否复杂，也就是说不在于这个图包含多少个点和 多少条线，而在于点和
线的连接情况如何——一个点在图中究竟和几条线相连.看来，这是需要
仔细考察的.第一组（见下图）
（1）两个点，一条线.

每个点都只与一条线相连.
（2）三个点.

两个端点都只与一条线相连，中间点与两条线连.
第一组的两个图都能一笔画出来.
（但注意第（2）个图必须从一个端点画起）第二组（见下图）
（1）五个点，五条线.
A点与一条线相连，B点与三条线相连，其他的点都各与两条线相连.

（2）六个点，七条线.（“日”字图）

A点与B点各与三条线相连，其他点都各与两条线相连.

第二组的两个图也都能一笔画 出来，如箭头所示那样画.即起点必需
是A点（或B点），而终点则定是B点（或A点）.
第三组（见下图）

（1）四个点，三条线.

三个端点各与一条线相连，中间点与三条线相连.
（2）四个点，六条线.
每个点都与三条线相连.
（3）五个点，八条线.
点O与四条线相连，其他四个顶点各与三条线相连.
第三组的三个图形都不能一笔画出来.
第四组（见下图）

（1）这个图通常叫五角星.

五个角的顶点各与两条线相连，其他各点都各与四条线相连.
（2）由一个圆及一个内接三角形构成.
三个交点，每个点都与四条线相连（这四条线是两条线段和两条弧
线）.
（3）一个正方形和一个内切圆构成.
正方形的四个顶点各与两条线相连，四个交点各与四条线相连.
（四条线是两条线段和两条弧线）.
第四组的三个图虽然比较复杂，但每一个图都可以一笔画成， 而且画
的时候从任何一点开始画都可以.第五组（见下图）

（1）这是“品”字图形，它由三个正方形构成，它们之间没有线相
连.
（2）这是古代的钱币图形，它是由一个圆形和中间的正方形方孔组
成.圆和正方形之间没有线相连.
第五组的两个图形叫不连通图，显然不能一笔把这样的不连通图画出
来.
进 行总结、归纳，看能否找出可以一笔画成的图形的共同特点，为方
便起见，把点分为两种，并分别定名：
把和一条、三条、五条等奇数条线相连的点叫做奇点；把和两条、四
条、六条等偶数条线相 连的点叫偶点，这样图中的要么是奇点，要么是偶
点.
提出猜想：一个图能不能一笔画成可能与它包含的奇点个数有关，对
此列表详查：

从此表来看，猜想是对的.下面试提出几点初步结论：
①不连通的图形必定不能一笔画；能够一笔画成的图形必定是连通图
形.
②有0个奇点（ 即全部是偶点）的连通图能够一笔画成.（画时可以
任一点为起点，最后又将回到该点）.
③只有两个奇点的连通图也能一笔画成（画时必须以一个奇点为起
点，而另一个奇点为终点）；
④奇点个数超过两个的连通图形不能一笔画成.最后，综合成一条判
定法则：
有0个或2个奇点的连通图能够一笔画成，否则不能一笔画成.
能够一笔画成的图形，叫做“一笔画”.
用这条判定法则看一个图形是不是一笔画时，只要找出这 个图形的奇
点的个数来就能行了，根本不必用笔试着画来画去.
看看下面的图可能会加深你对这条法则的理解.

从画图的过程来看 ：笔总是先从起点出发，然后进入下一个点，再出
去，然后再进出另外一些点，一直到最后进入终点不再 出来为止.由此可
见：
①笔经过的中间各点是有进有出的，若经过一次，该点就与两条线 相
连，若经过两次则就与四条线相连等等，所以中间点必为偶点.
②再看起点和终点，可 分为两种情况：如果笔无重复地画完整个图形
时最后回到起点，终点和起点就重合了，那么这个重合点必 成为偶点，这
样一来整个图形的所有点必将都是偶点，或者说有0个奇点；如果笔画完
整个图形 时最后回不到起点，就是终点和起点不重合，那么起点和终点必
定都是奇点，因而该图必有2个奇点，可 见有0个或2个奇点的连通图能
够一笔画成.
习题五
1.下面的各个小图形都是由点和线组成的.请你仔细观察后回答：

①与一条线相连的有哪些点？
②与二条线相连的有哪些点？
③与三条线相连的有哪些点？
④与四条线或四条以上的线相连的有哪些点？

2.若把与奇数条线相连的点叫做奇点，把与偶数条线相连的点叫偶
点，那么请你回答：
①有0个奇点（即全部是偶点）的图形有哪些？
②有2个奇点的图形有哪些？
③有4个或4个以上奇点的图形有哪些？
④连通图形有哪些？不连通图形有哪些？
3.如果笔在纸上连续不断、又不重复地一笔画成的图形叫一笔画，自
己动笔实际画画看，然后回答：
①哪些图形能够一笔画成？
②哪些图形不能一笔画成？
4.把以上各向联系起来看，进行归纳，找出规律然后回答：
①如果把各部分连结在一起的图形叫 做连通图形，那么能一笔画出的
图形必定是连通图形；而不是连通图形必定不能一笔画出.这句话说得对
吗？
②有0个奇点（即全部是偶点）的连通图形一定可以一笔画出来（画
时可以 以任一点为起点，最后必能回到该点），这句话对吗？
③只有两个奇点的连通图形也能一笔画出来 ，但要注意画时必须以一
个奇点为起点，而以另一个奇点为终点，这句话对吗？

④奇点个数超过两个的图形不能一笔画出来.这句话对吗？
5.从画图过程的角度，进一步理解所发现的一些规律.
习题五解答
1.解：见下图
①与一条线相连的点有：（在图中画成黑点，下同.）

②与两条线相连的点有：

③与三条线相连的点有：

④与四条及四条以上的线相连的点有：

2.解：①有0个奇点（即全部是偶点）的图形是：（1）、（5）、（10）；
②有2个奇点的图形是：
（2）、（3）、（6）、（7）；
③有4个奇点的图形是：（4）、（9）
有6个奇点的图形是：（8）.
④（1）～（10）是连通图形，（11）不是连通图形.
3.解：①一笔画有：
（1）、（5）、（10）、（2）、（3）、（6）、（7）.
②不能一笔画出的图形是：
（4）、（8）、（9）、（11）.
4.解：①对；②对；③对；④对.
5.解：（略）.