小学三年级奥数 18整除
朴茨茅斯-会计实习报告心得
小学三年级奥数 18整除
本教程共30讲
第18讲 能被2，5整除的数的特征
同学们都知道，自然数和0统称为(非负)整数。
同学们还知道，两个
整数相加，和仍是整数；两个整数相乘，乘积也是整数；两个整数相减，
当
被减数不小于减数时，差还是整数。两个整数相除时，情况就不那么简
单了。如果被除数除以除数，商是
整数，我们就说这个被除数能被这个除
数整除；否则，就是不能整除。例如，
84能被2
，3，4整除，因为84÷2=42，84÷3=28，84÷4=21，42，
28，21都是整数。
而84不能被5整除，因为84÷5=16„„4，有余数4。也不能被13
整除，因为8
4÷13=6„„6，有余数6。
因为0除以任何自然数，商都是0，所以0能被任何自然数整除。
这一讲的内容是能被2和5整除的数的特征，也就是讨论什么样的数
能被2或5整除。
1.能被2整除的数的特征
因为任何整数乘以2，所得乘数的个位数只有0，2，4，6，8五种
情
况，所以，能被2整除的数的个位数一定是0，2，4，6或8。也就是说，
凡是个位数是0
，2，4，6，8的整数一定能被2整除，凡是个位数是1，
3，5，7，9的整数一定不能被2整除。
例如，38，172，960等都能被2整除，67，881，235等都不能被2
整除。
能被2整除的整数称为偶数，不能被2整除的整数称为奇数。
0，2，4，6，8，10，12，14，„就是全体偶数。
1，3，5，7，9，11，13，15，„就是全体奇数。
偶数和奇数有如下运算性质：
偶数±偶数=偶数，
奇数±奇数=偶数，
偶数±奇数=奇数，
奇数±偶数=奇数，
偶数×偶数=偶数，
偶数×奇数=偶数，
奇数×奇数=奇数。
例1在1～199中，有多少个奇数？有多少个偶数？其中奇数之和与偶数
之和谁大？大多少？
分析与解：由于1，2，3，4，„，197，198，199是奇、偶数交替排列的，
从小到
大两两配对：
(1，2)，(3，4)，„，(197，198)，
还剩一个199。共有198÷2=99(对)，还剩一个奇数199。所以
奇数的个数=198÷2+1=100(个)，
偶数的个数=198÷2=99(个)。
因为每对中的偶数比奇数大1，99对共大99，而199-99=100，所以
奇数之和
比偶数之和大，大100。
如果按从大到小两两配对：
(199，198)，(197，196)，„，(3，2)，那么怎样解呢？
例2(1)不算出结果，判断数(524+42-429)是偶数还是奇数？
(2)数(42□+30-147)能被2整除，那么，□里可填什么数？
(3)下面的连乘积是偶数还是奇数？
1×3×5×7×9×11×13×14×15。
解：根据奇偶数的运算性质：
(1)因为524，42是偶数，所以(524+42)是偶数
。又因为429是奇数，所
以(524+42-429)是奇数。
(2)数(42□+30-147)能被2整除，则它一定是偶数。因为147是奇数，所
以数
(42□+30)必是奇数。又因为其中的30是偶数，所以，数42□必为
奇数。于是，□里只能填奇
数1，3，5，7，9。
(3)1，3，5，7，9，11，13，15都是奇数，由1×3为奇数，
推知1×3
×5为奇数„„推知
1×3×5×7×9×11×13×15
为奇数。因为14为偶数，所以
(1×3×5×7×9×11×13×15)×14为偶数，即
1×3×5×7×9×11×13×14×15为偶数。
由例2得出：
(
1)在全部是加、减法的运算中，若参加运算的奇数的个数是偶数，则结
果是偶数；若参加运算的奇数的
个数是奇数，则结果是奇数。
(2)在连乘运算中，只要有一个因数是偶数，则整个乘积一定是偶数。
例3在黑板上先写出三个自然数3，然后任意擦去其中的一个，换成所剩
两个数的和。照这样进
行100次后，黑板上留下的三个自然数的奇偶性如
何？它们的乘积是奇数还是偶数？为什么？
解：根据奇偶数的运算性质知：
第一次擦后，改写得到的三个数是6，3，3，是“二奇一偶”；
第二次擦后，改写得到的三个数是6，3，3或6，9，3或6，3，9，
都是“二奇一偶”。
以后若擦去的是偶数，则改写得到的数为二奇数之和，是偶数；若擦
去的是奇数，则改写得
到的数为一奇一偶之和，是奇数。总之，黑板上仍
保持“二奇一偶”。
所以，无论进行多少次擦去与改写，黑板上的三个数始终为“二奇一
偶”。它们的乘积
奇数×奇数×偶数=偶数。
故进行100次后，所得的三个自然数的奇偶性为二奇数、一偶数，它
们的乘积一定是偶数。
2.能被5整除的数的特征
由0×5=0，2×5=10，4×5=20，6×5=30，8×5=
40，„可以推想任
何一个偶数乘以5，所得乘积的个位数都是0。
由1×5=5，3×5=15，5×5=25，7×5=35，9×5=
45，„可以推想，
任何一个奇数乘以5，所得乘积的个位数都是5。
因此，能被5整除
的数的个位数一定是0或5。也就是说，凡是个位
数是0或5的整数一定能被5整除；凡是个位数不是0
或5的整数一定不
能被5整除。例如，870，6275，1234567890等都能被5整除，26
4，3588
等都不能被5整除。
例4由0，3，5写成的没有重复数字的三位数中，有哪些能被5整除？
解：因为个位数为0
或5的数才能被5整除，所以由0，3，5写成的没有
重复数字的三位数中，只有350，530，30
5三个数能被5整除。
例5下面的连乘积中，末尾有多少个0？
1×2×3ׄ×29×30。
解：因为2×5=10，所以在连乘积中，有一个因子2和一个因子5
，末尾
就有一个0。连乘积中末尾的0的个数，等于1～30中因子2的个数与因
子5的个数中
较少的一个。而在连乘积中，因子2的个数比因子5的个数
多(如4含两个因子2，8含三个因子2)，
所以，连乘积末尾0的个数与
连乘积中因子5的个数相同。连乘积中含因子5的数有5，10，15，2
0，
25，30，这些数中共含有七个因子
5(其中25含有两个因子5)。所以，1
×2×3ׄ×29×30的积中，末尾有七个0。
练习18
1.在20～200的整数中，有多少个偶数？有多少个奇数？偶数之和与
奇数之和谁大？大多少？
2.不算出结果，直接判断下列各式的结果是奇数还是偶数：
(1)1＋2＋3＋4＋5；
(2)1＋2＋3＋4＋5＋6＋7；
(3)1＋2＋3＋„＋9＋10；
(4)1＋3＋5＋„＋21＋23；
(5)13-12＋11-10＋„＋3-2＋1。
3.由4，5，6三张数字卡片能组成多少个能被2整除的三位数？
4.两个质数之和是13，这两个质数之积是多少？
5.下面的连乘积中，末尾有多少个0？
20×21×22ׄ×49×50。
6.用0，1，2，3，4，5这六个数码组
成的没有重复数字的两位数中，
能被5整除的有几个？能被2整除的有几个？能被10整除的有几个？
答案与提示 练习18
1.解：偶数有(200-20)÷2＋1=91(个)，
奇数有(200-20)÷2＝90(个)，偶数之和比奇数之和大1×90＋
20=110。
2.(1)奇数；(2)偶数；(3)奇数；
(4)偶数；(5)奇数。
3.6个。
提示：卡片6可以看成9，能被2整除的有
564，654，594，954，456，546。
4.22。
解：13为奇数，它
必是一奇一偶之和。因为质数中唯一的偶数是2，所以
这两个质数中的偶数是2，奇数是13-2＝11
，乘积为2×11=22。
5.9个0。
6.有9个能被5整除；有13个能被2整除；有5个能被10整除。
小学三年级奥数 18整除
本教程共30讲
第18讲 能被2，5整除的数的特征
同学们都知道，自然数和0统称为(非负)整数。
同学们还知道，两个
整数相加，和仍是整数；两个整数相乘，乘积也是整数；两个整数相减，
当
被减数不小于减数时，差还是整数。两个整数相除时，情况就不那么简
单了。如果被除数除以除数，商是
整数，我们就说这个被除数能被这个除
数整除；否则，就是不能整除。例如，
84能被2
，3，4整除，因为84÷2=42，84÷3=28，84÷4=21，42，
28，21都是整数。
而84不能被5整除，因为84÷5=16„„4，有余数4。也不能被13
整除，因为8
4÷13=6„„6，有余数6。
因为0除以任何自然数，商都是0，所以0能被任何自然数整除。
这一讲的内容是能被2和5整除的数的特征，也就是讨论什么样的数
能被2或5整除。
1.能被2整除的数的特征
因为任何整数乘以2，所得乘数的个位数只有0，2，4，6，8五种
情
况，所以，能被2整除的数的个位数一定是0，2，4，6或8。也就是说，
凡是个位数是0
，2，4，6，8的整数一定能被2整除，凡是个位数是1，
3，5，7，9的整数一定不能被2整除。
例如，38，172，960等都能被2整除，67，881，235等都不能被2
整除。
能被2整除的整数称为偶数，不能被2整除的整数称为奇数。
0，2，4，6，8，10，12，14，„就是全体偶数。
1，3，5，7，9，11，13，15，„就是全体奇数。
偶数和奇数有如下运算性质：
偶数±偶数=偶数，
奇数±奇数=偶数，
偶数±奇数=奇数，
奇数±偶数=奇数，
偶数×偶数=偶数，
偶数×奇数=偶数，
奇数×奇数=奇数。
例1在1～199中，有多少个奇数？有多少个偶数？其中奇数之和与偶数
之和谁大？大多少？
分析与解：由于1，2，3，4，„，197，198，199是奇、偶数交替排列的，
从小到
大两两配对：
(1，2)，(3，4)，„，(197，198)，
还剩一个199。共有198÷2=99(对)，还剩一个奇数199。所以
奇数的个数=198÷2+1=100(个)，
偶数的个数=198÷2=99(个)。
因为每对中的偶数比奇数大1，99对共大99，而199-99=100，所以
奇数之和
比偶数之和大，大100。
如果按从大到小两两配对：
(199，198)，(197，196)，„，(3，2)，那么怎样解呢？
例2(1)不算出结果，判断数(524+42-429)是偶数还是奇数？
(2)数(42□+30-147)能被2整除，那么，□里可填什么数？
(3)下面的连乘积是偶数还是奇数？
1×3×5×7×9×11×13×14×15。
解：根据奇偶数的运算性质：
(1)因为524，42是偶数，所以(524+42)是偶数
。又因为429是奇数，所
以(524+42-429)是奇数。
(2)数(42□+30-147)能被2整除，则它一定是偶数。因为147是奇数，所
以数
(42□+30)必是奇数。又因为其中的30是偶数，所以，数42□必为
奇数。于是，□里只能填奇
数1，3，5，7，9。
(3)1，3，5，7，9，11，13，15都是奇数，由1×3为奇数，
推知1×3
×5为奇数„„推知
1×3×5×7×9×11×13×15
为奇数。因为14为偶数，所以
(1×3×5×7×9×11×13×15)×14为偶数，即
1×3×5×7×9×11×13×14×15为偶数。
由例2得出：
(
1)在全部是加、减法的运算中，若参加运算的奇数的个数是偶数，则结
果是偶数；若参加运算的奇数的
个数是奇数，则结果是奇数。
(2)在连乘运算中，只要有一个因数是偶数，则整个乘积一定是偶数。
例3在黑板上先写出三个自然数3，然后任意擦去其中的一个，换成所剩
两个数的和。照这样进
行100次后，黑板上留下的三个自然数的奇偶性如
何？它们的乘积是奇数还是偶数？为什么？
解：根据奇偶数的运算性质知：
第一次擦后，改写得到的三个数是6，3，3，是“二奇一偶”；
第二次擦后，改写得到的三个数是6，3，3或6，9，3或6，3，9，
都是“二奇一偶”。
以后若擦去的是偶数，则改写得到的数为二奇数之和，是偶数；若擦
去的是奇数，则改写得
到的数为一奇一偶之和，是奇数。总之，黑板上仍
保持“二奇一偶”。
所以，无论进行多少次擦去与改写，黑板上的三个数始终为“二奇一
偶”。它们的乘积
奇数×奇数×偶数=偶数。
故进行100次后，所得的三个自然数的奇偶性为二奇数、一偶数，它
们的乘积一定是偶数。
2.能被5整除的数的特征
由0×5=0，2×5=10，4×5=20，6×5=30，8×5=
40，„可以推想任
何一个偶数乘以5，所得乘积的个位数都是0。
由1×5=5，3×5=15，5×5=25，7×5=35，9×5=
45，„可以推想，
任何一个奇数乘以5，所得乘积的个位数都是5。
因此，能被5整除
的数的个位数一定是0或5。也就是说，凡是个位
数是0或5的整数一定能被5整除；凡是个位数不是0
或5的整数一定不
能被5整除。例如，870，6275，1234567890等都能被5整除，26
4，3588
等都不能被5整除。
例4由0，3，5写成的没有重复数字的三位数中，有哪些能被5整除？
解：因为个位数为0
或5的数才能被5整除，所以由0，3，5写成的没有
重复数字的三位数中，只有350，530，30
5三个数能被5整除。
例5下面的连乘积中，末尾有多少个0？
1×2×3ׄ×29×30。
解：因为2×5=10，所以在连乘积中，有一个因子2和一个因子5
，末尾
就有一个0。连乘积中末尾的0的个数，等于1～30中因子2的个数与因
子5的个数中
较少的一个。而在连乘积中，因子2的个数比因子5的个数
多(如4含两个因子2，8含三个因子2)，
所以，连乘积末尾0的个数与
连乘积中因子5的个数相同。连乘积中含因子5的数有5，10，15，2
0，
25，30，这些数中共含有七个因子
5(其中25含有两个因子5)。所以，1
×2×3ׄ×29×30的积中，末尾有七个0。
练习18
1.在20～200的整数中，有多少个偶数？有多少个奇数？偶数之和与
奇数之和谁大？大多少？
2.不算出结果，直接判断下列各式的结果是奇数还是偶数：
(1)1＋2＋3＋4＋5；
(2)1＋2＋3＋4＋5＋6＋7；
(3)1＋2＋3＋„＋9＋10；
(4)1＋3＋5＋„＋21＋23；
(5)13-12＋11-10＋„＋3-2＋1。
3.由4，5，6三张数字卡片能组成多少个能被2整除的三位数？
4.两个质数之和是13，这两个质数之积是多少？
5.下面的连乘积中，末尾有多少个0？
20×21×22ׄ×49×50。
6.用0，1，2，3，4，5这六个数码组
成的没有重复数字的两位数中，
能被5整除的有几个？能被2整除的有几个？能被10整除的有几个？
答案与提示 练习18
1.解：偶数有(200-20)÷2＋1=91(个)，
奇数有(200-20)÷2＝90(个)，偶数之和比奇数之和大1×90＋
20=110。
2.(1)奇数；(2)偶数；(3)奇数；
(4)偶数；(5)奇数。
3.6个。
提示：卡片6可以看成9，能被2整除的有
564，654，594，954，456，546。
4.22。
解：13为奇数，它
必是一奇一偶之和。因为质数中唯一的偶数是2，所以
这两个质数中的偶数是2，奇数是13-2＝11
，乘积为2×11=22。
5.9个0。
6.有9个能被5整除；有13个能被2整除；有5个能被10整除。