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第三讲 余数问题
一、知识概要
（1） 被除数÷除数＝商……余数（余数 一定要小于除数）被除数＝除数×商＋余数，
或（被除数－余数）÷商＝除数。
（2） 一个 数被9除的余数叫做这个数的“九余数”（或“弃九数”）。求一个数的九余
数，就是求这个数各个数位 上数字之和的九余数。
例如：求345÷9的余数，就用（3＋4＋5）÷9＝12÷9＝1……3，
可知345÷9的余数是3。
（3） 如果整数a和b被几除，得到的余数是相同的，那么， 我们僦称a和b“同余”。
同余性质有：⑴若a和b同余，c和d同余，则a±c和b±d同余；⑵若a 和b
同余，c 和d同余，则a×c和b×d同余。
二、典型例题精讲
1、 △□□□□□△□□□□□△□□……这列图形的第310个图是什么图形？
识题技巧：这个图形的排列规律是：“△□□□□□”6个为一组依次循环。
求出310的余数，找到排列在第“余数”位的那个图形即是。
解：310÷6＝51（组）……4（个）
答：这个图形的第310个图是□。
2、 哪些数除以7结果的商和余数都相同？
识题技巧：把原题写成□÷7＝□……□的形式，因为“余一定小于除数”，
所以，余数有（7-1）种可能。（根据“知识概要”<1>可解答）
解：如表所示。
答：这些数是8、16、24、32、40、48。
33





3、
3
< br>


3

3积的个位是数字几？
199个
识题技巧：3＝3 （1个3）
3×3＝9 （2个3）
3×3×3＝27 （3个3）
3×3×3×3＝81 （4个3）
3×3×3×3×3＝243 （5个3）
3×3×3×3×3×3＝729 （6个3）
………………… < /p>

从以上算式不难看出它们的规律：积的个位数字随“×3”个数的增加而按“3、9、7、
1”依次循环。因此，这个题是个“余数问题”。
解：199÷4＝49（组）…………3（个），（3个3相乘积的个位为7）。
答：积的个位数字是7。
4、去年（200年）的“元旦”是星期二，那么今年（2003年）的“元旦节”是星期？
识题技巧：<1>“元旦”即1月1日，从2002年元月1日到2003年元月1日共有
（365＋1 ）天，即366天。
<2>星期是7天为一个周期。<3>按本题的意思，星期的排列规律是：
星期二、星期三…………星期一。
解：366÷7＝52（个周期）…………2（天）（排在第2的是星期三）
答：2003年的“元旦节”是期三。
5、计算2731596÷7284，并用“九余数”法验算。
识题技巧：“九余数”就是把 某一个数的各个数位上的数字加起来，所得的和再除
以9而得到的余数。［也可以这样做：把各个数位上 的数加起来之后，
如果和仍然还是两位以上的数，那么再继续把和的各个数位的数字加
起来，直 到和是一位数，这个“一位数”即是“九余数”。］
解： 验算：
375

2731596÷7284＝375……96
6、 幼儿园老师给四个小朋友依次发水果糖，当第三个小朋友拿到老师已发
15
33(和)
7颗糖时，
21 15
7284
2731596

6
了多少颗糖？
21852

6(余数) 3 × 6
18
54639

识题技巧：第三个小朋友拿到了7颗，这说明老师循环发了6次多3人（或7次少
50988

9
36516

1人）。
0
36420

解：6×4＋3＝27（颗）[或7×4－1＝28－1＝27（颗）]
96

6 ＝ 0 ＋ 6
答：老师已经发了27颗糖。
三、练习巩固与拓展
1、 小英同学有一串五彩珠子，是按“红、黄、蓝、绿、紫”的次序排 列的，问：<1>
第58颗是什么颜色的？<2>第8颗蓝珠子是从头数起的第几颗？<3>第9颗紫珠 子
与第13颗丝珠子之间有多少颗珠子？
2、 2003年的“六·一”儿童节是星期日 ，这一年的10月1日国庆节是星期几？2004
年的“元旦节”是星期？
3、 □÷8＝□……□，余数可能是几？

4、 □÷□＝□………7，除数最小是几？
5、 □÷7＝16………□，要使余数最大，被除数是几？
6、
3

3




3





3，积的末位数字是几？
187个
7、
2


几？



2

2


2，积的末位数字应该是
300个
1、 在下面的乘法中，A、B表示不同的数字，
试问：A、B各代表哪一个数字？
　　AB　　

　BA
2

0
3　36
3640
9、钟面上现在是整点，分钟再转100圈，正好是四点整，钟面上现在是几点钟？
10、有红、白 、黑球具2000个，按“红4个、白3个、黑2个”的顺序循环排列（如
下图），最后一个是什么颜色 的球？
11、星期四，再过25天，第26天是星期几？
12、假设所有的自然数排列起来（如下图），120应位于哪一个字母下面？
A B C D E F G
1 2 3 4
7 6 5
8 9 10 11
14 13 12
15 16 …………
13、在下列这串分数中：
14、张江同学计算一个奥数题，由于粗心，把某数除以23等8 7余12，余数写多于正
确答案10。你说“某数”是多少？
15、某边防部队不分昼夜地轮 流站岗，前5天由五个战士每隔2小时依次轮换一次。以
第一个战士开始手，100小时该由第几个战士 上班？
16、紧接着2063的后面写一串数字，每个数字都是它前面两个数字之积的个位数字，这串数是这样的：……你算：这串数从头数起第2063个数字是几？
17、杨军在外婆家玩了9 天，回家后，将这9天的日历撕下来，他惊奇地发现：这9
天日历上的数相加刚好是81。你想：杨军是 几号回家，几号去外婆的？他为什么
感到“惊奇”？
第三讲 练习题答案
1、（1）58÷5＝11……3（排在第3位的是“蓝”）
故：第58颗是蓝色。
（2）5×8－2＝38（颗）
故：第8颗蓝珠子是第38颗。

2、（1）123÷7＝17……4 （排在第4位的是星期三）
故：国庆节那天是星期三。
（2）225÷7＝30……5（余数为5，按星期规律排在第五是星期四）
故：2004元旦是星期四。
3、余数可能是7、6、5、4、3、2、1、0这八种情况。
4、除数最小是8。
5、当余数为6时，被除数是16×7＋6＝118。
6、187÷4＝46……3（第3个重复出现的是“7”）故：积的末位数字是7。
7、300÷4＝75（余数为0，是排在第四位的重复出现数“6”）
故：积的末位数字是6
8、A代表5；B 代表6。
9、<1>100÷12＝8……4（小时）<2>4－4=0(即12点)（运用倒推法）
故：钟面上现在是12点。
10、2000÷9＝222……2（个）（第2个是“红”）
故：最后一个是红球。
11、26÷7＝3（周）……5（天），（第5循环数是“1”）
故：第26天是星期一。
12、（提示：循环规律是：7个数为一组依次重复出现在A－G七个字母下 面）120÷7
＝17……1（第一个字母是A）
故：120位于A下面。
1 3、（提示：分母和分数的出现规律是：分母是1，有分数1个；分母是2，有分数3
个；分母是3，有 分数5个……分数个数成一个等差数列1、3、5、7、9……。分
母为6，相对应的分数有11个，< br>6
排在分母为6这一组中的第6个。）
6
6
是第31个分母数。
6
<1>（9＋1）×5÷2＋6＝31（个） 故：
<2> ∵分数的个数与分母有这样的关系（如下表）
∴第29个分数应该是分母是6这一组中的第四个，即< br>14、∵□÷23＝87……12中的“12”多3 10，
∴□＝23×87＋（12－10）＝2003
故：“某数”是2003
15、∵A B C D E （5个战士）
4
。
6

1－2 3－4 5－6 7－8 9－10 （时间）
11－12 13－14 15－16 17－18 19－20
………………………………………（每隔10小时1循环）
∴100÷10＝10（余数为0或9都是轮为“E”）
故：100小时时该由第五个战士上班。
16、（提示：这串数从11位开始，每6个为一个周期循环 出现，而且每一位上的数字与
余数的对应关系是：）
∵2063÷6＝343………5
故：这串数从头数起第2063个数字是8
17、设杨军去的那天是K号，则第二天就是 （K＋1）号，第三天就是
K+K+1+K+2+K+3+K+………+K+8=81
9K＋（1＋8）×8÷2＝81
9K＝45
K＝5
K＋8＝13
故：杨军是5号去外婆家的，13号回家。杨军之所的感 到惊奇，是因为他发现9天连
续日期的和等于9×9；不仅9天这样，凡是3、5、7、11、13…… …奇数天连续日
期的和等于那个奇数和本身的乘积。（注意：不是任意奇数天连续日期的和都这样，而是特定的从某天开始。如本题必须是从5号（从6号就不一定了）开始，到13
号这九天日期才是 81。）