国庆主题-寒假里的一件趣事

“启航”奥数初级教程
第1讲
▍
数字规律
知识要点
按 照一定次序排列起来的一列数，叫做数列。如自然数列：1.2.3.4，……双数列：
2.4，6，8 ，……我们研究数列，目的就是为了发现数列中数排列的规律，并依据这个
规律来填写空缺的数。 按照一定的顺序排列的一列数，只要从连续的几个数中找到规律，那么就可以知道
其余所有的数。寻 找数列的排列规律，除了从相邻两数的和、差考虑，有时还要从积、
商考虑。善于发现数列的规律是填数 的关键。
精讲精练
【例题1】在括号内填上合适的数。
（1）3，6，9，12，（ ），（ ）
（2）1，2，4，7，11，（ ），（ ）
（3）2，6，18，54，（ ），（ ）
【练习1】在括号内填上合适的数。
（1）2，4，6，8，10，（ ），（ ）
（2）1，2，5，10，17，（ ），（ ）
（3）2，8，32，128，（ ），（ ）
（4）1，5，25，125，（ ），（ ）
（5）12，1，10，1，8，1，（ ），（ ）
【例题2】先找出规律，再在括号里填上合适的数。
（1）15，2，12，2，9，2，（ ），（ ）
（2）21，4，18，5，15，6，（ ），（ ）
【练习2】按规律填数。
（1）2，1，4，1，6，1，（ ），（ ）
（2）3，2，9，2，27，2，（ ），（ ）
（3）18，3，15，4，12，5，（ ），（ ）
（4）1，15，3，13，5，11，（ ），（ ）
（5）1，2，5，14，（ ），（ ）
【例题3】先找出规律，再在括号里填上合适的数。
（1）2，5，14，41，（ ） （2）252，124，60，28，（ ）
（3）1，2，5，13，34，（ ） （4）1，4，9，16，25，36，（ ）
【练习3】按规律填数。
（1）2，3，5，9，17，（ ），（ ） （2）2，4，10，28，82，（ ），（ ）
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（3）94，46，22，10，（ ），（ ） （4）2，3，7，18，47，（ ），（ ）
【例题4】先找规律，再填数
123456789×9=111111111
123456789×18=222222222
123456789×27=333333333
123456789×（ ）=444444444
123456789×（ ）=555555555
【练习4】
（1）先观察下面各算式，找出规律，然后填数。
21×9=189
321×9=2889
4321×9=38889
54321×9=（ ）
7654321×9=（ ）
（2）先找规律后填数
9×9+19=100
99×99+199=10000
999×999+1999=1000000
9999×9999+19999=（ ）
（3）找规律解答
10÷3=3······1
200÷3=66······2
1000÷3=333······1
20000÷3=6666······2
·····
依次类推第9个算式是什么？这9个算式的余数的和是多少？


依次类推第12个算式是什么？

【例题5】根据前面图形里的数的排列规律，填入适当的数。
（1）

5 10 7 12 9 14
9 14 11 16 13


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(2)

4
79

8
16
2
8
14
443

（3）
9 3 27
12 4 36

36 12


【练习5】找出排列规律，在空缺处填上适当的数。
（1）
3 7 8 12 12 16

5 9 10 14 14



(2)
794


8
28
6
27
8
（3）
8 4 16 5 15 12

16 8 32 7 21 18

32 16 9 27


【例题6】按规律填数。
（1）187，286，385，（ ），（ ）
（2）
23 31 41 23 35 24

2541 4643
【练习6】

根据规律，在空格内填数。



（1）198，297，396，（ ），（ ）

（2）
32 54 21 45 32 57

3864 2665


（3）
37 25 23 45 34 25

3895 2775

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第2讲 ▍时间问题
知识要点
在日常生活中，我们常会遇到一些带有趣味性和智慧 性的数学问题，比如坐船过河问
题、喝汽水问题、蜗牛爬树问题等等。我们把这些问题统称为“智力趣题 ”。解决这类问
题，一般不需要复杂的计算，而要认真审题，理解题目中的条件。
精讲精练
【铺垫1】
1.（ ）秒=1分钟；240秒=（ ）分钟。
2.小明看了2小时书，一共看了（ ）分钟。
3.一节课的时间是40（ ）；小明每天在校6（ ）；
小华跑60米用了18（ ）；小红吃饭大约用了20（ ）。

★首先必须了解时分秒三个时间单位之间的进率关系，感受到时分秒大约的时间长短。
【例题1】钟面上，分针转动了2圈，时针转了多少？

[小提示]钟面上，分针转 一圈正好是60分钟，也就是1小时，而时针只转动1大格。分
针转动2圈就是2小时，所以时针转动2 大格。

【思维导航】答：时针转动了2大格。

【练习1】1、钟面上时针转动了3大格，分针转了几圈？

2、秒针走一小格的时间是1（ ），走一大格的时间是（ ），走一圈的时间是
（ ）。
3、小红用60秒解出了一道题，小芳用2分钟 解出了同样一道题，谁的解题速度快？
快多少时间？


【铺垫2】
1.在（ ）里面填上“<”、“>”或“=”。
9分钟（ ）90秒 600秒（ ）6分钟
2.星期日上午，小明看书2小时，小红看书55分钟，她们俩（ ）看的时间长。
3.参加60米跑，小红用了26秒，小明用了20秒。（ ）跑的快。

★做这类题要注意：（1）不要被数据所迷惑；（2）单位一定要统一；（3）赛跑的时候
时间越短表示 速度越快。
【例题2】
把下面三个带有单位的数，从大到小排列？
44分钟 120秒 1小时
[小提示]可以用估计的方法：120秒只有2分钟，远不到44分钟，1小时大于44分钟。
【思维导航】答：1小时>44分钟>120秒。
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【练习2】
1、把下面三个带有单位的数，从小到大排一排。
300秒 20分钟 9小时


2、商场里的摆钟2时敲2下用了2秒，6时敲6下用了多少秒？


< br>3、星期天，沙子力和妈妈去子长威尼斯国际影城看电影，妈妈去看《战狼2》，海报
时间安排是 10:30—12:36。沙子力选择去看了《熊出没之奇幻空间》，共用了98分钟。问：
那部电影的 时间长？长多少时间？



【铺垫3】
1.小明下午3:10从学校出发，4:10到达书店。小明用了（ ）小时。
2.电影上午11:45开始，下午1:15,放了（ ）小时（ ）分钟。
3.一部动画片30分钟，从上午10:45开始播放，到（ ）结束 。

★结束时间-开始时间=经过时间，开始时间+经过时间=结束时间，结束时间- 经过时
间=开始时间。统一为12计时法或24计时法才可以计算。
【例题3】
一列火车本应11:50到达，现在要晚点30分钟。它什么时候到？

【思维导航】11:50+30分钟=12:20
答：火车12:20到达。

【练习3】
1、小刚、小李两人约好早上9:00去历史博物馆，可小刚早去了10分钟，小 李却迟
到了20分钟。那谁先到，要等多少分钟？



2、演唱 会8:40开始，小明从家到会场需要50分钟，那小明最晚必须在几时几分出
发才能准时到达会场？



3、蜗牛站在墙下，准备爬过这面墙，墙高21米，蜗牛每爬5米用2 小时，然后再睡
上1小时，醒来后一看掉下去1米。蜗牛这样爬，要几小时才能爬过这面墙？





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第2讲 水平测试
（每题10分，测试时间：30分钟）

1、图书馆每天的开放时间是上 午7:30—11:00，下午12:30—16:20。问图书馆每天
共开放多少时间？


2、1人唱歌要2分钟，18个人合唱要多长时间？


3、联欢会在晚上7:30开始，演出2小时30后结束，结束的时间是几点？


4、石昊岳星期天从上午9:45—11：15看课外书，李昱贤星期六晚上共看了85分钟
课 外书，他们谁看的时间长？长多少分钟？


5、足球比赛分上下两个半场，上半场 45分钟，下半场跟上半场的时间一样，中间休
息15分钟，全场比赛需要多少时间？


6、笑笑的手表慢5分钟，在5分钟前是5时，现在正确的时间是几时几分?


7、客车每隔7分钟发出一趟车，小雪想乘11:15的那趟车回家，当她走到始发站时，< br>已经是11:16，刚好开走了一辆车，她要等到什么时候才能乘上车回家？



8、小峰去老师家看望老师。如果往返都骑自行车，那么在路上要用1小时20分。如
果去时骑自行车，回来时步行，那么一共要用2时30分。小峰步行回来用多少时间？



9、陈叔叔乘船从宁波去大连，轮船7月5日10:25从宁波出发，7月6日21:45到 达
大连。问：陈叔叔乘船共花了多少时间？



10、大刚19 :00开始做作业，做语文作业用去了作业时间的一半，做数学作业用去剩
下时间的一半，最后15分钟 读英语。问：大刚是几时几分完成全部作业的？




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第3讲 ▍ 有余除法
知识要点
把一些书平均分给几个小 朋友，要使每个小朋友分得的本数最多，这些书分到最后
会出现什么情况呢？一种是全部分完，还有一种 是有剩余，并且剩余的本数必须比小朋
友的人数少，否则还可以继续分下去。每次除得的余数必须比除数 小，这就是有余数除
法计算中特别要注意的。
解这类题的关键是要先确定余数，如果余数已知 ，就可以确定除数，然后再根据被
除数与除数、商和余数的关系求出被除数。
在有余数的除法中，要记住：（1）余数必须小于除数；（2）被除数＝商×除数＋余
数。
精讲精练
【例题1】 [ ]÷6＝8……[ ]，根据余数写出被除数最大是几？最小是几？
【思维导航】除数是____，根据________ ____，余数可填_____________.根据
____________，又已知商、除数、 余数，可求出最大的被除数为6×8＋5＝53.最小的被除
数为______________。列式 如下：________________________________________
答：被除数最大是 ，最小是______。
【练习1】
(1)下面题中被除数最大可填________，最小可填_______。[ ]÷8＝3……[ ]
(2)下面题中被除数最大可填________，最小可填_______。[ ]÷4＝7……[ ]
(3)下题中要使除数最小，被除数应为________。 [ ]÷[ ]＝12……4
【例题2】算式[ ]÷[ ]＝8……［ ］中，被除数最小是几？
【思维导航】题中只告诉我们商是8，要使被除数最小，那么只要除数和余数 小就行。
余数最小为______，那么除数则为______。
根据这些，我们就可求出被除数最小为：8×______＋______＝_______。
【练习2】
(1)下面算式中，被除数最小是几？
①[ ]÷[ ]＝4……［ ］ ②[ ]÷[ ]＝7……［ ］
③[ ]÷[ ]＝9……［ ］
(2)下面算式中商和余数相等，被除数最小是几？
①[ ]÷[ ]＝3……［ ］ ②[ ]÷[ ]＝6……［ ］
(3)算式[ ]÷8＝[ ]……［ ］中，商和余数都相等，那么被除数最大是几？
【例题3】算式28÷[ ]＝[ ]……4中，除数和商分别是______和______。
【思维导航】根据“被除数＝商×除数＋余数”，可以得知“商×除数＝被除数－余数”，
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所以本题中商×除数＝28－4＝24。这两个数可能 是1和24，____和____，____和____，
____和____，又因为余数为4，因此 除数可以是24,12,8,6,商分别为____，____，____，
____。 __ __________________________________________________ _____________
答：除数和商分别是24，1；____，____；____，____；____，____。
【练习3】
(1)下面算式中，除数和商各是几？
①22÷[ ]＝[ ]……4 ②65÷[ ]＝[ ]……2
③37÷[ ]＝[ ]……7 ④48÷[ ]＝[ ]……6
(2)149除以一个两位数，余数是5,请写出所有这样的两位数。
__________ __________________________________________________ ______________
(3)算式[ ]÷4＝[ ]……[ ]中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？
_________________________ _________________________________________________
【例题4】算式[ ]÷7＝[ ]……[ ]中，商和余数相等，被除数可以是哪些
数？
【思维导航】题目中告诉我们除数是7，商和余 数相等，因为余数必须比除数小，所
以余数和商可为1,2,3,4,5,6,这样被除数就可以求出来 了。
7×1＋1＝8 7×2＋2＝16 7×3＋3＝24
7×4＋4＝32 7×5＋5＝40 7×6＋6＝48
答：被除数可以是8,16,24,32,40,48。
【练习4】
(1) 下列算式中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？
①[ ]÷6＝[ ]……[ ] ②[ ]÷5＝[ ]……[ ]
③[ ]÷4＝[ ]……[ ] ④[ ]÷3＝[ ]……[ ]
(2)一个三位数除以15，商和余数相等，请你写出五个这样的除法算式。

(3) 算式[ ]÷9＝[ ]……[ ]中，商和余数相等，被除数最大是____。
【例题5】算式[ ]÷[ ]＝[ ]……4中，除数和商相等，被除数最小是几？
【思维导航】题目中告诉我们余数是4,除数和商相等 ，因为余数必须比除数小，所以
除数必须比4大，但其中要求最小的被除数，因而除数应填______ _，商也是______。由
算式____________________，所以被除数最小是__ ________。
【练习5】下面算式中，除数和商相等，被除数最小是几？
(1)[ ]÷[ ]＝[ ]……6 (2)[ ]÷[ ]＝[ ]……8
(3)[ ]÷[ ]＝[ ]……3 (4)[ ]÷[ ]＝[ ]……9
(5)[ ]÷[ ]＝[ ]……7
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第4讲 ▍ 配对求和

知识要点
被人称为“数学 王子”的高斯在年仅8岁时，就以一种非常巧妙的方法又快又好地
算出了1+2+3+4+……+99+ 100的结果。小高斯是用什么办法算得这么快呢？原来，他用
了一种简便的方法：先配对再求和。 < br>数列的第一个数（第一项）叫首项，最后一个数（最后一项）叫末项，如果一个数
列从第二项起， 每一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列，这个
不变的数则称为这个数列的公差。
计算等差数列的和，可以用以下关系式：
等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2
末项＝首项＋公差×（项数－1）
项数＝（末项－首项）÷公差＋1
精讲精练
【例题1】你有好办法算一算吗？
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝（ ）

【练习1】速算。
(1) 1+2+3+4+5+……+20 (2) 1+2+3+4+……+99+100


(3) 21+22+23+24+……+100


【例题2】计算。
(1) 21+23+25+27+29+31 (2) 312+315+318+321+324


【练习2】计算。
(1) 48+50+52+54+56+58+60+62 (2) 108+128+148+168+188


【例题3】有一堆木材叠堆在一起， 一共是10层，第1层有16根，第2层有17根，……
下面每层比上层多一根，这堆木材共有多少根？
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【练习3】
(1)体育馆的东区共有30排 座位，呈梯形，第1排有10个座位，第2排有11个座位，……
这个体育馆东区共有多少个座位？


(2)有一串数，第1个数是10，以后每个数比前一个数大4,最后一个数是9 0，这串数
连加的和是多少？


(3)有一个钟，一点钟敲1下，两点钟 敲2下，……十二点钟敲12下，分钟指向6敲
1下，这个钟一昼夜敲多少下？


【例题4】计算992+993+994+995+996+997+998+999。


【练习4】计算。
(1) 95+96+97+98+99 (2) 2006+2007+2008+2009


(3) 9997+9998+9999 (4) 100-1-3-5-7-9-11-13-15-17-19


【例题5】计算 1000-11-89-12-88-13-87-14-86-15-85-16-84-17-83-18- 82-19-81


【练习5】计算。
(1) 1000-1-9-2-8-3-7-4-6-5-5-6-4-7-3-8-2-9-1

(2) 1000-81-11-82-12-83-13-84-14-85-15-86-16-8 7-17-88-18-89-19


(3) 2001-1+2-3+4-5+6-7+8-9+10-11+12-13+14-15+16
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第5讲 ▍ 加减巧算
知识要点
在进行加减运算时， 为了又快又好，除了要熟练地掌握计算法则外，还需要掌握一
些巧算的方法。加减法的巧算主要是运用“ 凑整”的方法，把接近整十、整百、整千的
数看做所接近的数进行简算。
进行加减巧算时，凑 整之后，对于原数与整十、整百、整千……相差的数，要根据
“多加要减去，少加要再加，多减要加上， 少减要再减”的原则进行处理。另外，可以
结合加法交换律、结合律以及减法的性质进行凑整，从而达到 简算的目的。
精讲精练
【例题1】你有好办法迅速算出结果吗？
(1) 502+799-298-98 (2) 9999+999+99+9


【练习1】计算。
(1) 308+203-399-97 (2) 99999+9999+999+99+9


(3) 1999+199+19 (4) 375+483+525+617


【例题2】计算。
(1) 487+321+113+279 (2) 736-567+264


(3) 877+345-677 (4) 528-248-152


【练习2】计算。
(1) 321+127+73+279 (2) 235-125+365


(3) 987-733-167 (4) 487+(413-89)

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【例题3】计算下面各题。
(1) 962-(284+262) (2) 432-(154-168)


【练习3】计算。
(1) 421+(279-125) (2) 812+(168-112)


(3) 823-(175+323) (4) 538-(283-162)


【例题4】2000-111-89-1 12-88-113-87-114-86-115-85-116-84



【练习4】计算。
(1) 800-99-1-98-2-97-3-96-4-95-5 (2) 1000-10-20-30-40-50-60-70-80-90



【例题5】计算: 98+97-96-95+94+93-92-91+90+89-88-87……-4-3+2+1




【练习5】计算。
(1) 2009+1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+13+14……+2006



(2) 1+2-3+4+5-6+7+8-9……+97+98-99
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第6讲 ▍ 巧添符号
知识要点

根 据题目给定的条件和要求，添运算符号和括号，使等式成立，这是一种很有趣的
游戏。这种游戏需要动脑 筋找规律，讲究方法，一旦掌握方法，就有取得成功的把握。
添运算符号问题，通常采用尝试探索法。 主要尝试方法有两种：1．如果题目中的
数字比较简单，可以从等式的结果入手，推想哪些算式能得到这 个结果，然后拼凑出所
求的式子；2．如果题目中的数字多，结果也较大，可以考虑先用几个数字凑出比 较接
近于等式结果的数，然后再进行调整，使等式成立。通常情况下，要根据题目的特点，
选择 方法，有时将以上两种方法组合起来使用，更有助于问题的解决。
【例题1】在下面各题中添上＋、－、×、÷、（ ），使等式成立。
1 2 3 4 5 = 10 1 2 3 4 5 = 10
1 2 3 4 5 = 10 1 2 3 4 5 = 10
【思维导 航】对于这种问题，我们也可以用倒推法来分析。从结果10想起，最后一个
数是5，可以从下面几种情 况中想：□＋5=10，□－5=10，□×5=10，□÷5=10。
（1）从□＋5=10考虑，□=5，前4个数必须组成得数是5的算式有：
（1＋2）÷3＋4＋5=10 （1＋2）×3－4＋5=10
（2）从□－5=10考虑，□=15，前4个数必须组成得数是15的算式有：
1＋2＋3×4－5=10
（3）从□×5=10考虑，□=2.前4个数必须组成得数是2的算式有：
（1×2×3－4）×5=10 （1＋2＋3－4）×5=10
（4）从□÷5=1 0考虑，□=50，前面4个数必须组成得数是50的算式，而前面4个
数无法组成得数是50的算式。
【练习1】
1．你能在下面的各数中添上运算符号，使算式成立吗？
（1）4 1 2 5 = 10 （2）4 1 2 5 = 10
2．在下面各数中添上适当的运算符号，使等式成立。
（1）3 4 5 6 8 = 8 （2）3 4 5 6 8 = 8
3．巧添运算符号，使等式成立。
（1）3 3 3 3 =1 （2）3 3 3 3 =2 （3）3 3 3 3 =3
【例题2】拿出都是8的四张牌，添上＋、－、×、÷或（ ），使等式成立。你能试
一试吗？ 8 8 8 8 = 0 8 8 8 8 = 1 8 8 8 8 = 2 8 8 8 8 = 3
【思维导航】这道题除了可以用倒推法来分析，还可以这样想：
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（1）等于0的思考方法：假设最后一步运算是减法， 那么这四个数可以分成两组，这
两组的和、差、积、商应该相等，有：
8＋8－（8＋8）=0 8×8－8×8=0 8－8－（8－8）=0 8÷8－8÷8=0
（2）等于1的思考方法：假设最后一步是除法，那么四个数分成两组，这两组的 和、
积、商分别相等，相同的数相除也可得到1.有：
（8＋8）÷（8＋8）=1 8×8÷（8×8）=1 8÷8÷（8÷8）=1
8×8÷8÷8=1 8÷8×8÷8=1 8÷（8×8÷8）=1
（3）等于2的思考方法：假设最后一步是加法，那么两组数各为1.有：
8÷8＋8÷8=2
（4）等于3的思考方法：假设最后一步是除法，那么前三个数凑为3个8，有：
（8＋8＋8）÷8=3
【练习2】
1.在各数中添上＋、－、×、÷或（ ），使算式相等。
4 4 4 4 = 0 4 4 4 4 = 1 4 4 4 4 = 2
4 4 4 4 = 3 4 4 4 4 = 4 4 4 4 4 = 5
2.巧添各种运算符号和括号，使等式成立。
5 5 5 5 5 = 0 5 5 5 5 5 = 1
5 5 5 5 5 = 2 5 5 5 5 5 = 3
3.用8个8组成5个数，再添上适当的运算符号，使它们的和是1000。
8 8 8 8 8 8 8 8 = 1000
【例题3】在4个4之间添上＋、－、×、÷或括号，使组成的得数是8。
4 4 4 4 = 8
【思维导航】这类问题，我们可以用倒推方法来分析。这道题最后得数是8，而最后
一个数是4，我们可以想□＋4=8，□－4=8，□×4=8，□÷4=8，然后再进行解答。
（1）从□＋4=8考虑，□=4，前面3个4必须组成得数是4的算式有：
4＋4－4＋4=8 4－4＋4＋4=8 4－（4－4）＋4=8
（2）从□－4=8考虑，□=12.前3个4必须组成得数是12的算式有：
4＋4＋4－4=8 4×4－4－4=8
（3）从□×4=8考虑，□=2.前面3个4必须组成得数是2的算式有：（4＋4）÷4×4=8
（4）从□÷4=8考虑，□=32.前3个4必须组成得数是32的算式有：
（4＋4）×4÷4=8 4×（4＋4）÷4=8
【练习3】
1．你能在下面数中填上＋、－、×、÷，使结果等于已知数吗？答
（1）9 9 9 9 = 18 （2）5 5 5 5 = 10
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2．在下面数中填上＋、－、×、÷或（ ），使算式成立。答
（1）4 4 4 4 4 = 8 （2）3 3 3 3 3 = 9
3．在下面几个数中填上＋、－、×、÷或（ ），使等式成立。答
（1）2 3 5 6 = 6 （2）2 3 5 6 = 6
【例题4】在下面12个5之间添上＋、－、×、÷，使算式成立。
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 = 1000
【思维导航】这道题的结果比 较大，那我们就要尽量想出一些大的数来，使它与1000
比较接近，如：555＋555=1110这 个数比1000大了110，然后我们在剩下的6个5中凑出
110减掉就可以了。 555＋555－55－55＋5－5=1000
【练习4】
1.用12个3组成8个数，它们的结果等于2000。
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 = 2000
2.在9个2之间添上运算符号，使结果等于1000。
2 2 2 2 2 2 2 2 2 = 1000
3.用7个6组成4个数，使下面的算式成立。
6 6 6 6 6 6 6 = 600

【例题5】在下面式子中适当的地方添上＋、－号，使等式成立。
9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 21
【思维导航】这题左边的数字比较多，等号右边的得数是21.可以考虑在 等号左边最
后两个数字2、1前添＋，这时我们必须使前面几个数字的结果为0，然后再用倒推的方法< br>可以得出：9－8＋7－6＋5－4－3=0 9－8＋7－6＋5－4－3＋21=21
【练习5】
1．在下面算式中适当的地方添上＋、－号，使等式成立。

9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 23

2．在下面式子的适当地方添上＋、－、×号，使等式成立。

1 2 3 4 5 6 7 8 = 1

3．在下面算式中适当的地方添上＋、－号，使等式成立。
1 2 3 4 5 6 7 8 = 14

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第7讲 ▍ 图形个数
知识要点
同学们，你想学会数图形的方法吗？要想不重复也不遗漏地数出线段、角 、三角形、
长方形……那就必须要有次序、有条理地数，从中发现规律，以便得到正确的结果。
要正确数出图形的个数，关键是要从基本图形入手。首先要弄清图形中包含的基本
图形是什么，有多少 个，然后再数出由基本图形组成的新的图形，并求出它们的和。
精讲精练
【例题1】数出下图中有多少条线段？

ABCD
【思维导航】方法一：我 们可以采用以线段左端点分类数的方法。以A点为左端点的
线段有：AB、AC、AD 3条；以B点为左端点的线段有：BC、BD 2条；以C点为左端点的
线段有：CD 1条。所以，图中共有线段3+2+1=6（条）。
方法二：把图中线段 AB、BC、CD看做基本线段来数，那么，由1条基本线段构成的
线段有：AB、BC、CD 3条；由2条基本线段构成的线段有:AC、BD 2条；由3条基本线段
构成的线段有：AD 1条。所以，图中一共有3+2+1=6（条）线段。
【练习1】
（1）数出下图中有多少条线段？ （2）数出下图中有几个长方形？



ABCDE
A
B
C
D
【例题2】数出图中有几个角？
O
【思维导航】数角的个数可以采用与数线段相同的方法来数。
方法一：以OA为一边的角有：∠AOB、∠AOC、∠AOD 3个；以OB为一边的角还有：
∠BOC、∠BOD 2个；以OC为一边的角还有：∠COD 1个。所以，图中共有角3+2+1=6（个）。
方法二：把图中∠AOB、∠BOC、∠COD看做 基本角来数，那么，由1个基本角构成的
角有：∠AOB、∠BOC、∠COD 3个；由2个基本角构成的角有: ∠AOC、∠BOD 2个；由3
个基本角构成的角有：∠AOD 1个。所以，图中一共有3+2+1=6（个）角。
【练习2】数出图中有几个角？
（1） （2）
A




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A
B
O
C
D
E
B
O
C

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【例题3】数出右图中共有多少个三角形？



A
P
BC
D
【思维导航】方法一：我们可以采用按边分类数的方法。 以PA为边的三角形有：△PAB、
△PAC、△PAD、3个；以PB为边的三角形还有：△PBC、 △PBD 2个；以PC为边的三角形
还有：△PCD 1个。所以，图中共有三角形3+2+1=6（个）。方法二：把图中三角形 △PAB、
△PBC、△ PCD看做基本三角形来数，那么，由1个基本三角形构成的三角形有：△PAB、
△PBC、△PCD 3个；由2个基本三角形构成的三角形有: △PAC、△PBD 2个；由3个基
本三角形构成的三角形有：△PAD 1个。所以，图中一共有3+2+1=6（个）三 角形。方法
三：我们发现，要数出图中三角形的个数，只需数出线段 AD中包含几条线段就可以了，
即3+2+1=6（个）。所以图中共有6个三角形。
【练习3】数出图中共有多少个三角形？
（1） （2）






【例题4】数出下图中有多少个长方形？

C
D
A
BA
A
G
H
I
G
BCD
EF
K
BCD
EF
【思维导航】数图中有多少个长方形和数三角形的方法一样，长方形是由长、宽两对
线段围成，线段 CD上有3+2+1=6（条）线段，其中每一条与AC中一条线段对应，分别作为长方形的长和宽，这里共有6×1=6（个）长方形，而AC上共有2+1=3（条）线段也就
有 6×3=18（个）长方形。它的计算公式为：
长方形的总数=长边线段的总数×宽边线段的总数
（3+2+1）×（2+1）=18（个） 答：图中共有18个长方形。
【练习4】
（1）数出下图中有多少个长方形？ （2）数出下图中有多少个正方形？




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C
D
A
B

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【例题5】有5个同学，每两个人握手一次，一共要握手多少次？





【思维导航】这道题可以用数线段的方法来解答。根据题意，画出线段图，每一个 端
点代表一个同学。
1
23
45
从图上可以看出，第1个同学要与 其余4个同学握手共握手4次；第2个同学还要与
其余3个同学握手共握手3次，第3个同学要与其余2 个同学握手共握手2次；第4个同
学还要与最后1个同学握手共握手1次。所以，一共要握手4+3+2 +1=10（次）

【练习5】
（1）银海学校三年级有9个班，每两个班要比赛拔河一次，这样一共要拔河几次？






（2）有1，2，3，4，5，6，7，8等8个数字，能组成多少个不同的两位数？
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第8讲 ▍ 数学趣题
.
知识要点
在日常生 活中，常有一些妙趣横生、带有智力测试性质的问题，如：3个小朋友同
时唱一首歌要3分钟，100个 小朋友同时唱这首歌要几分钟？类似这样的问题一般不需
要较复杂的计算，也不能用常规方法来解决，而 常常需要用小朋友的灵感、技巧和机智
获得答案。
对于趣味问题，首先要读懂题意，然后要 经过充分的分析和思考，运用基础知识
以及自己的聪明才智巧妙地解决。
精讲精练
【例题1】如果每人步行的速度相同，2个人一起从学校到儿童乐园要3小时，那么6
个人一起从学校到儿童乐园要多少小时？

【思维导航】2个人一起从学校到儿童乐 园要3小时，也就是1个人从学校到儿童乐
园要3小时；6个人一起从学校到儿童乐园所用的时间与一个 人所用的时间相等，所以6
个人一起从学校到儿童乐园还是用3小时。
【练习1】
1.3个人同时唱3首歌用9分钟，9个人同时唱同样的3首歌用几分钟？


2.5只猫5天能捉5只老鼠，照这样计算，要在100天里捉100只老鼠要多少只猫？


3.6个人从甲地到乙地用4小时，如果每人的步行速度相同，那么3个人从甲地到乙
地要用几小时？


【例题2】一条毛毛早由幼虫长成成虫，每天长大一倍，30天能长到20厘米。问长
到
5厘米时要用多少天？


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【 思维导航】毛毛虫每天长大一倍，说明第二天的身长是第一天身长的2倍。这条毛
毛虫在第30天时，身 长为20厘米，那么在第29天时，这条毛毛虫的身长为20÷2=10厘
米；在第28天时，这条虫的 身长为10÷2=5厘米。
【练习2】
1.有一个池塘中的睡莲，每天长大一倍，经过10 天可以把整个池塘全部遮住。问睡
莲要遮住半个池塘需要多少天？


2. 一条小青虫由幼虫长成成虫，每天长大一倍，20天能长到36厘米。问长到9厘米
时要用几天？


3.一条毛毛虫由幼虫长成成虫，每天长大一倍，15天能长到4厘米。问要长到 32厘
米共要多少天？


【例题3】小猫要把15条鱼分成数量不相等的4堆，问最多的一堆中最多可放几条
鱼？

【思维导航】小猫要把15条鱼分成数量各不相等的4堆，要让最多的一堆中小鱼条
数尽量多，那么其余三堆小鱼的条数就要尽量少。所以，小猫可以在第一堆中放1条，在
第二堆中放2条 鱼，在第三堆中放3条鱼，这样第四堆就可放：
15－（1＋2＋3）=9（条）。
【练习3】
1.小明要把20颗珠子分成数量不等的5堆，问最多的一堆中最多可放几颗珠子？


2.老师为共有18人的舞蹈队设计队形，要求分成人数不等的5队，问最多的一队最
多可排几人？


3.兔妈妈拿来1盘萝卜共25个，分给4只小兔，要使每只小 兔分得的个数都不同。
问分得最多的一只小兔至多分得几个？

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【例题4】把100只桃子分装在7个篮子里，要求每个篮子里装的 桃子的只数都带有
6字。想一想，该怎样分？
【思维导航】因为6×6=36只，这样就可以 在每个篮子里装6只桃，共装6个篮子，
还有一个篮子里装100－36=64只桃。64这个数，正好 也含有数字6，符号题目要求。
【练习4】
1.把100个鸡蛋分装在6个盒里，要求每个 盒里装的鸡蛋的数目都带有6字，想想看，
应该怎样分？


2.有人认为 8是个吉祥数字，他们得到的东西的数量都要含有数字8。现在有200块
糖要分给一些人，请你帮助设 计一个吉祥的分糖方案。


3.7只箱子分别放有1个、2个、4个、8个、16 个、32个、64个苹果，现在要从这
7只箱子里取出87个苹果，但每只箱子内的苹果要么全部取走， 要么不取。你看该怎么取？


【例题5】舒舒和思思到书店去买书，两人都想买《 动脑筋》这本书，但钱都不够。
舒舒缺2元8角，思思缺1分钱，用两个人合起来的钱买一本，仍然不够 。这本书多少钱？


【思维导航】思思买这本书缺1分钱，两个人合起来的钱买一 本书仍然不够，这说明
舒舒根本没有钱，所以这本书的价钱是2元8角。
【练习5】
1.小华和娟娟到商店买文具盒，两人看中同一个文具盒，但钱都不够。小华缺9元4
角，娟娟缺1分 ，两人合起来买一个仍然不够。这个文具盒多少钱？


2.李华和张洁到商店买同 一种练本，但发现钱都没带够，李华缺6角，张洁缺2分钱，
但两人合起来买一本仍不够。这种本子一本 多少钱？


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3.王阿姨和李阿 姨到商场买电视机，两人都看中同一种电视机，但王阿姨缺600元，
李阿姨缺900元，用两人带的钱 合起来买这一台电视机正好。这台电视机多少钱？


第9讲 ▍ 火柴游戏
知识要点
用火柴棒做游戏，小朋友们感兴趣吗？火柴棒游戏中有很多窍门，让我们共同了解火柴棒中的数学，了解数学的其妙，使小朋友们在有趣的数学游戏中变得更加聪明。
用 火柴棒摆成的算式，可以根据算式中给的数的特点，移动火柴棒使它变成另一
个数，或改变一个运算符号 ，使等式成立，如果是图形，可以直接拿掉或移动多余的
几根火柴棒，还要考虑让火柴棒重复使用，这样 可增加图形的个数

【例题1】下面是用火柴棒摆成的两道算式，但都不能成立，请你只移动 一根火柴棒，使
算式成立。

（1）

（2）


【思维导航】
移动火柴棒时，要保证火柴棒的根数没有变化。如“
“”与“”之间都可以相互转化。
”与“”、“”与“”、
第（1）题中，等号左边的计算结果是21，而右边只是1，所以应通过移动 火柴棒，
使左边减小右边增大。把左边的“+”变成“－”，左边移动一根火柴棒到右边，使“1”变成“7”，等式成立。
第（2）题中，观察算式两边。等号左边的计算结果是641，右边的计 算结果是141，
所以应从等号左边移一根火柴棒到右边，把等号左边的减数121变成21，则左边的 计算结
果是741。等号右边141中，添上移过来的一根火柴棒，恰好变成741，于是等式成立。
解：（1）17－7＝7或4+7＝11
（2）741+21－21＝741或141+121－121＝141
【练习1】

1.下面的算式是用火柴棒摆成的，等号两边不相等，请移动其中一根使等式成立。
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（1） （2）


2.移动一根火柴棒使等式成立。
（1） （2）

3.只许移动一根火柴棒，使等式成立。
（1） （2）
【例题2】有一把椅子如图（1）所示，椅子翻倒还掉了一条腿。请移动2根火柴，使椅子
翻过来， 且看上去也不缺少腿。
（1）

（2）
【思维导航】要把椅子翻过来，就要使下面有四条腿，上面有靠背。移动后的结果如图（2）
所示， 虚线表示移走的火柴。
解：见图（2）

【练习2】
1.下面是用火柴棒摆成头朝上的龙虾，移动3根，使它头朝下。


2.移动3根火柴，使图中的鱼调头。

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3.先用14根火柴摆成如下图的房子。摆成的这座房子面向左，请你移动其中的2根火柴，
使 这座房子改为面向右。

【例题3】你能用7根火柴棒摆成三个相同的三角形吗？
【思维导航】用7根火柴棒摆成三个同样的三角形，需要我们动脑筋想一想。一个三角形
要3根火柴棒， 两个三角形就要6根火柴棒，7根火柴棒用去了6根。仅剩1根火柴棒，
就必须考虑重复使用至少两个边 ，也就是必须考虑有两个公用边，如下图：
(1)
(2)

解：见图（2）
【练习3】
1.你能用9根火柴棒摆成4个相同的三角形吗？




2.你能用10根火柴棒摆成3个相同的正方形吗？




3.你能用12根火柴棒摆成4个相同的正方形吗？




【例题4】移动4根火柴，把图（1）中的斧子变成三个完全相同的三角形。
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【思维导航】图（1）中摆斧子的火柴 棒共有9根，要用9根火柴摆出三个完全相同的三
角形，说明三个三角形没有公用的边，所以可摆成图（ 2），其中虚线表示移走的火柴。
解：见图（2）

【练习4】
1.下图是用16根火柴棒摆成的，移动其中的6根火柴棒，使它变成两个相等的正方形。
(1)

2.移动2根火柴棒，使它变成3个大小一样的正方形。

3.移动3根火柴棒，使下列用火柴棒摆成的图形成“田”字形。


【例 题5】如下图，是用15根火柴棒摆成的5个相等的正方形，请你拿走基中的3根火柴
棒，使它变成只有 3个正方形的图形，怎样拿？

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【思维 导航】一个正方形，由4根火柴棒摆成，只要去掉一根火柴棒，就不是正方形了。
所以把左上角的两根去 掉，再把正中最下面的一根去掉，就破坏掉2个正方形，只剩下3
个正方形了。

解：
【练习5】
1.下图是用18根火柴棒摆成的9个大小相同的三角形，拿走几 根火柴棒，就可以变成5
个三角形，怎样拿？





2.用12根火柴棒摆成6个大小一样的三角形，请你拿走3根，还剩下3个大小一样的三
角形 。



3.用16根火柴棒摆成4个相等的正方形，拿掉1根、2根、3 根、4根后，还可以摆成4
个相等的正方形，应该怎样做？期望数学岛







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第10讲 ▍ 填数游戏
知识要点
小朋友都喜爱做游戏。填数游戏不但非常有 趣，而且能促使你积极地思考问题、
分析问题、发展能力。但有时也有一定的难度，不过，只要你掌握了 填写方法，填起来
就很轻松了。
填数时，要仔细观察图形，确定图形中关键的位置应填几，一 般是图形的顶点及
中间位置。另外，要将所填的空与所提供的数字联系起来，一般要先计算所填数的总和
与所提供数字的和之差，从而确定关键位置应填几。关键位置的数确定好了，其他问题
就迎刃而 解了。
精讲精练
【例题1】 在下图中分别填入1——9，使两条直线上五个数的和相等，和是多少呢？

【思维导航】我 们可以这样想，把1——9中间的5填到中心的○内，剩下八个数，
一大一小，搭配成和都是10的四组 ，这样两条直线上五个数的和都是5＋10×2=25。
如果把1填在中心的○内，这样剩下的八个数 可以一大
一小搭配成和都是11的四组，这时两条直线上五个数的和是
1＋11×2=23。
想想：两条直线上五个数的和还可以是多少？
【练习1】
1.在下图（左下）中填入2——10，使横行、竖行中的五个数的和相同。和是多少呢？




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2.把1、4、7 、10、13、16、19七个数填入图（中上图）中7朵花里，使每条直线上
三个数的和相等。

3.把6、8、10、12、14、16、18七个数填在右上图的○中，使每排三个数及外 圆上
三个数的和都是32。
【例题2】 把数字1——8分别填入下图的小圆圈内，使每
个五边形上5个数的和都等于20。
【思维导航】题目中所给8个数字的和是1＋2＋3＋4 ＋5＋
6＋7＋8=36，题中要使每个五边形上五个数的和等于20，那么
两个五边形上数字 的总和是20×2=40。两个五边形上的数字总
和比8个数的和多40－36=4，多4的原因是图中 中间两个圆圈
的数字算了两次，多算了一次。1——8中只有1和3的和为4，
所以先确定关键 的中间两个圆圈中，一个填1.一个填3。20－（1＋3）=16，16可以分成
2＋6＋8和4＋5 ＋7，所以本题应该这样填：
【练习2】
1.将数字1——6填入下图（左下）中的小圆圈内，使每个大圆上4个数的和都是15。




2.把5、6、7、8、9、10这六个数填入右上图三角形三条 边的○内，使得每条边上的
三个数的和是21。
3.把1——8这八个数，分别填入下图的各 个□内，使得每一横
行、每一竖行的三个数的和是13。
【例题3】 在图中填入2——9，使每边3个数的和等于15。




【思 维导航】解这题的关键是填出图中的4个顶点，因为求和时这4个顶点各算了两
次，多算了一次，所以4 边数的和是15×4=60，所给的数的和是2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋
9=44，所以4个顶点数 的和是60－44=16。我们可选出3＋7＋4＋2=16填入4个顶点。
想一想，有没有其他填法？
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. 【练习3】
1.把1——8填入下图（下左）中，使每边3个数的和等于13。




2.将1——9这九个数填入中上图中，使三角形每条边上四个数的和等于19，且有一个顶点的数字为1。
3.把1——10这十个数填入右上图中，使每个正方形顶点圆圈内四个数之 和都相等，
而且最大。这个和是多少？
【例题4】 把1——8填入下图○内，使每边上三个数的和最大。求
最大的和是多少？
【思维导航】要使 每边上三个数之和最大，容易想到把8、7、6、5
填在四角，因为四个角上的数在求和时各用了两次， 其他数各用了一次。
由此我们可以列出求和的算式为：
[（8＋7＋6＋5）×2＋4＋3＋2＋1]÷4=62÷4
和不是整数，说明四条边上的 总和要减少2才行，这只要将填在角上的5换成3即可。
所以，最大的和为：（62－2）÷4=15
.【练习4】
1.把3——10填入下图（左下）○中，使每边上三个数的和最大，求最大的和是多少？



2.把1——8填入中上图○中，使每边上三个数的和最小。最小的和是多少？
3.将数字1——8填入右上图中，使横行□中的数之和等于竖行□中的数之和，这个
和可以是 多少？
【例题5】 在下图（左下）各圆空余部分填上3、5、7、8，使每个圆的4个数的和
都是21。


【思维导航】这题的关键是找出中间部分填什么，因为所给的3个数都是双数 ，恰好
每个圆内有两个双数，它们的和也是双数，再填入两个数后，使每个圆的4个数的和是21.21
是单数，也就是每个圆内填入的两个数的和为单数，而3、5、7、8中3、5、7都是单数，
要使和为单数，8要填入中间部分，如右上图。
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【练习5】
1.在图（左下图）中各圆的空余部分分别填上1、2、4、6，使每个圆中4个 数的和
是15。



2.在图（中上图）中各圆空余部分分别填上4、5、7、9，使每个圆中4个数的和是
27。
3.在图（右上图）中各圆空余部分分别填上6、8、10、11.使每个圆中4个数的和是
3 3。
第11讲 ▍ 数字趣谈
知识要点
在日常生活中，0、1、2、3、、 4、5、6、7、8、9是我们最常见、最熟悉的数，由
这些数字构成的自然数列中也有很多有趣的计数 问题，动动脑筋，你就会找到答案。本
周的习题，大都是关于自然数列方面的计数问题，解题的方法一般 是采用尝试探索法和
分类统计法，相信你们能很好地掌握它。
精讲精练
【例题1】在10和40之间有多少个数是3的倍数？
【思维导航】由尝试法可求出答案：
3×4=123×5=153×6=183×7=213×8=24
3×9=273×10=303×11=333×12=363×13=39
【练习1】
1.在20和50之间有多少个数是6的倍数？

2.在15和70之间有多少个数是8的倍数？

3.两个整数之积为144，差为10，求这两个数。

【例题2】在10和1000之间有多少个数是3的倍数？

【思维导航】求10和 1000之间有多少个数是3的倍数，用一一列举的方法显得很麻
烦。可以这样思考：
10÷3=3……1说明10以内有3个数是3的倍数；
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1000÷3=333……1说明1000以内有333个数是3的倍数。

333－3=330说明10——1000之间有330个数是3的倍数。
【练习2】
1.在1到1000之间有多少个数是4的倍数？

2.在10到1000之间有多少个数是7的倍数？

3.在100到1000之间有多少个数是3的倍数？
【例题3】从1——9九个数中选取， 将11写成两个不同的自然数之和，有多少种不
同的写法？

【思维导航】将1——9的九个自然数从小到大排成一列：
1.2.3.4，5，6，7，8，9
先看最小的1和最大的9相加之和为10不符合要求， 但用第二小的2和最大的9相
加，和为11符合要求，得11=2＋9。依次做下去，可得11=3＋8 ，11=4＋7，11=5＋6。
共有4种不同的写法。
【练习3】
1.从1——9九个数中选取，将13写成两个不同的自然数之和，有多少种不同的写法？

2.将15分拆成不大于9的两个整数之和，有多少种不同的分拆方法，请列出来。

3.将12分拆成3个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的分拆方法？

【例 题4】2000年2月的一天，有三批同学去植树，每批的人数不相等，没有一个人
单独去的，三批人数 的乘积正好等于这一天的日期。想一想，这三批学生各有几人？


【思维导航】2 000年2月有29天，三批同学人数的乘积不能大于29，我们可以先用
最小的几个数试乘（1除外） ：2×3×4=24，24＜29；2×3×5=30，30＞29，不合题意。
所以，这三批学生的人 数是2.3.4人。
【练习4】
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1.2001年5 月的一天，有三批学生去参加助残活动，每批人数不相等，三批人数的
乘积正好等于这一天的日期。想一 想，这三批学生最多各有多少人？


2.学校进行运动会比赛，三（2）班参加其 中三项体育比赛的人数各不相同，而且这
三项参赛人数之积在35到45之间。那么三（2）班最少各有 多少人参加这三项比赛？


3.小明家有四种水果，每种水果的千克数不相等，这 四种水果的千克数的乘积在200
到250之间，那么这些水果最少共有多少千克？

【例题5】一本连环画共100页，排页码时一个铅字只能排一位数字。请你算一下，
排这本书的页码 共要用多少个铅字？


【思维导航】这道题可以分类计算：
从第1页到第9页，共9页，每页用1个铅字，共用1×9=9个；
从第10页到第99页，共90页，每页用2个铅字，共用2×90=180个；
第100页，只有1页共用3个铅字。
所以这本书的页码共用9＋180＋3=192个铅字。
【练习5】
1.一本书共 200页，排版时一个铅字只能排一位数字，那么排这本书的页码共用了多
少个铅字？




2.《宇宙历险记》这本书共214页，编排这本书时共用多少个数码？






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3.编排《儿童漫画》的页码时共用了51个数码，这本书共多少页？










第12讲 ▍ 植树问题
知识要点

爸爸给晶晶出了一道题：“小朋友 们在路的一边植树，先植一棵树，以后每隔3米植
一棵，已经植了9棵，问第一棵和第九棵树相距多少米 ？”晶晶一看，随口答题：“27
米。”同学们，晶晶答对了吗？
这一类应用题我们通常称为 “植树问题”。解答这类问题的关键是要弄清总距离、间
隔长和棵数三者之间的关系。解答植树问题先要 考虑植树的方式，一般在不封闭的线路
上植树，棵数＝总距离÷间隔长＋1；在封闭的线路上植树，棵数 ＝总距离÷间隔长。
另外，生活中还有一些问题，可以用植树问题的方法来解答。比如锯木头、爬楼梯
问题等等，这时解题的关键是要将题目中的条件和问题与植树问题中的“总距离”、“间
隔长” 、“棵数”对应起来。
精讲精练
【例题1】小朋友们在路的一边植树，先植一棵树，以后每隔3米植一棵，已经植了9
棵，问第一棵和第九棵树相距多少米？

【思维导航】要得出正确的结果，我们可以画出如下的示意图：


01棵
3米
2棵
6米
3棵
9米
4棵
12米15米 18米
21米24米
5棵6棵7棵
8棵9棵
根据“已经植了9棵”，从图中可 以看出，第一棵树和第九棵树之间的间隔是9-1=8（个），
每个间隔是3米，所以第一棵和第九棵相 距3×8=24（米），具体列式如下：
3×（9-1） =3×8=24（米）
答：第一棵和第九棵树相距24米。
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【练习1】
（1）在路的一侧插彩旗，每隔5米插一面，从起点到终点共插了20面，这条道路有
多长？

（2）在学校的走廊两边，每隔4米放一盆菊花，从起点到终点一共放了20盆，这条
走廊长多少米？


【例题2】在一条长42米的大路两侧栽树，从起点到终点一 共栽了14棵，已知相邻
两棵树之间的距离都相等，问相邻两棵树之间的距离是多少米？
< br>【思维导航】根据“在路的两侧共栽了14棵树”这个条件，我们可以先求出每一侧栽
了14÷2 =7（棵）树，那么从第1棵树到第7棵树之间的间隔是7-1=6（个）。42米长的大
路平均分成6 段，每段是42÷6=7（米）。列式如下：
42÷（14÷2-1）=42÷（7-1）=42÷6 =7（米）
答：相邻两棵树之间的距离是7米。
【练习2】在公园一条长30米的路的两侧放椅子，从起 点到终点共放了12把椅子，
相邻两把椅子的距离相等，相邻两把椅子之间相距多少米？


【例题3】把一根钢管锯成小段，一共花了28分钟，已知每锯开一段需要4分钟，这
根钢管被锯成了多少段？

【思维导航】我们先求出钢管被锯开了28÷4=7（处），因 而被锯开的段数有7+1=8（段）。
列式如下：
28÷4+1 =7+1 =8（段） 答：这根钢管被锯成了8段。
【练习3】 一根圆木锯成2米长的小段，一共花了12分钟。已知每锯下一段要3分
钟，这根圆木长多少米？

【例题4】甲、乙两人比赛爬楼梯，甲跑到4楼时，乙恰好跑到3楼，照这样计算，
甲跑到16楼时，乙跑到了多少楼？


【思维导航】解答爬楼梯问题时，不能以楼层进行计算，而要用楼梯段数进行计算，
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因为第一层楼是不用爬的，“楼层数-1”才是要走的“楼梯段数”，根据题意 “甲跑到4楼
时，乙恰好跑到3楼”，实际上是说“甲跑3段楼梯与乙跑2段楼梯所用的时间相同。”照
这样计算，甲跑到16楼，也就是跑了15段楼梯，应是甲跑3段楼梯所用的时间的5倍，
在同 一时间里，乙跑的楼梯段数也是他跑2段楼梯的5倍，也就是这时乙跑了10段楼梯，
即他跑到了第10 +1=11（楼）。列式如下：
（3-1）×[（16-1）÷（4-1）]+1 =2×5+1 =11（楼）
答：甲跑到16楼时，乙跑到了11楼。
【练习4】小明和小 红两人爬楼梯比赛，小明跑到第4层时，小红跑到第5层，照这
样计算，当小明跑到第16层时，小红跑 到了第几层？



【例题5】一个圆形跑道长300米，沿跑道周围每隔 6米插一面红旗，每两面红旗中
间插一面黄旗，跑道周围各插了多少面红旗和黄旗？


【思维导航】在圆周上插旗，插的面数正好等于分成的段数，所以插了红旗300÷6=50
（面），由于每两面红旗中间插一面黄旗，所以黄旗的面数就等于红旗的面数，也是50面。
300÷6=50（面） 答：跑道周围插了50面红旗和50面黄旗。
【练习5】
（1）有一个正方形水池，周长是200米。如果沿着水池周围每隔10米装一盏红灯，
再在相 邻的两盏红灯中间等距离地装4盏黄灯。问水池周围一共装了几盏红灯？几盏黄
灯？





（2）一条公路长480米，在两旁植树，两端都植。每隔 12米植一棵樟树，两棵樟树
中间又等距离地栽了3棵柳树。问樟树和柳树各栽了多少棵？
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第13讲 ▍ 解决问题（一）
知识要点
解决问题是小学数学中非常重要的一部分内容，它需要我们小朋友用学到的数学知识来解决生产、生活中的一些实际问题。学好应用题的关键在于认真分析题意，掌握
数量关系，找到问题的突破口。
在分析应用题的数量关系时，我们可以从条件出发，逐步推出 所求的问题；也可
以从问题出发，找到必须的两个条件。在实际解答时，我们可以根据题目中的数量关系 ，
灵活运用这两种方法。有时，借助线段图来分析应用题的数量关系，解答就更容易了。

【例题1】学校里有排球24只，足球的只数比排球
的2倍少5只，学校有排球、足球共多少只？

【思维导航】根据题意画出线段图
从上图可以看出，把24只排球看作1倍数，足球的只数比这样的2倍还少5只，用
24×2－ 5=43（只）可以求出足球的只数，再用43＋24=67只可以求出两种球的总只数。
【练习1】1.小红每分钟跳绳25下，小军每分钟跳的下数比小红的3倍少16下，小
军每分钟比小红多跳几下？


2.王奶奶家养鸡12只，养鹅的只数比鸡 的只数的4倍还多7只。王奶奶家共养鸡、
鹅多少只？


3.少先队员种 柳树30棵，种的杨树的棵数比柳树棵数的3倍多14棵。少先队员种的
杨树、柳树共多少棵？

【例题2】人民广场花圃中有180盆郁金香，比月季花盆数的3倍少15盆。月季花
有多少盆？

【思维导航】从上图可以看出，把月季花的盆数看作1
倍数，郁金香的盆数是这样的3倍少15盆。如果郁金香再增
加15盆，就正好是月季花盆数的3倍。 因此用（180＋15）
÷3=65（盆）就可求出月季花的盆数。
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【练习2】
1.小明的父亲每月工资1000元，比小明母亲每月工 资的2倍少200元。小明母亲每
月工资多少元？

2.饲养场养母鸭400只，比公鸭只数的7倍还多36只。饲养场养公鸭多少只？


3.水果店卖出9筐水果，平均每筐重45千克。卖出水果的千克数比剩下的3倍还多
27千克，还剩多少千克水果？


【例题3】小林家养了一些鸡，黄鸡比黑鸡多 13只，白鸡比黄鸡多12只，白鸡的只
数正好是黑鸡的2倍。白鸡、黄鸡、黑鸡各多少只？

【思维导航】根据“黄鸡比黑鸡多13只，白鸡比
黄鸡多12只”，从线段图上我们可以看出白 鸡比黑鸡多
13＋12=25只，这相当于黑鸡的2－1=1倍，这样也就求
出黑鸡的只数为2 5÷1=25只，黄鸡的只数是25＋13=38只，白鸡的只数是25×2=50只。
【练习3】
1.商店里有红、白、蓝三种围巾，其中红围巾比白围巾多12条，蓝围巾比红围巾多
20条， 蓝围巾的条数正好是白围巾的5倍。红围巾、白围巾、蓝围巾各多少条？

2.有甲、乙、丙 三筐苹果，甲筐比乙筐多12只苹果，丙筐比甲筐多15只苹果，丙筐
苹果个数是乙筐的4倍。甲、乙、 丙筐各有多少只苹果？


3.男女学生参加小组交流会，如果少去1名女生，男女 生人数相等；如果少去一名男
生，女生人数是男生的2倍。参加交流会的男女生各多少人？


【例题4】用一批纸装订同样大小的练习本，如果每本16页，可装订400本。如果
每本20页，可以少装订多少本？

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【 思维导航】根据“如果每本16页，可装订400本”，可得这批纸的总页数16×
400=6400页 ；再用总页数6400÷20=320本求出如果每本20页可装订的本数，400－320=80
本则 表示少装订的本数。
【练习4】
1.水果市场要将一些水果装箱，如果每箱10千克，可装 30箱。如果每箱15千克，
可少装多少箱？


2.服装厂有一些布料加 工窗帘，如果把窗帘做成3米长，可做140幅。如果每幅窗帘
做成2米长，则可多做多少幅？


3.同一批纸装订同样大小的练习本，如果每本16页，可装订400本。如果每 本多装
订9页，则少装订多少本？


【例题5】李师傅原计划6小时加工 零件480个，实际2小时加工192个。照这样的
效率，可以提前几小时完成？

【思维导航】根据“实际2小时加工192个”，可以求出李师傅的实际工作效率为
192÷2=96（ 个小时），再用要加工的零件总数除以实际工作效率，即480÷96=5小时，
求出实际完成的时间。 6－5=1小时，则表示提前完成的时间。
【练习5】
1.王奶奶计划10小时做纸盒40 0个，实际3小时已加工150个。照这样的效率，可
以提前几小时完成？

2.暑假中，小宁30天共要写大字600个，实际12天已写大字360个。照这样的速度，
小宁 可以提前几天写完同样多的字？


3.自行车制造厂四月份（30天）共生产自行 车3600辆，五月份改进技术后9天已生
产自行车1350辆。照这样的效率，可以提前几天完成四月 份的任务？
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第14讲 ▍ 解决问题（二）.

知识要点
一般应用题的条件和问题变换的形式多，数量关系也比较复杂，但只要善于分析，
善于思考，善于抓住关键，不管什么问题都能迎刃而解。
解答一般应用题的关键是要掌握数量 关系，了解应用题中条件和条件、条件和问
题之间的联系，找出解题方法，灵活解题。
精讲精练
【例题1】一列火车早上5时从甲地开往乙地，按原计划每小时行驶120千米，下 午
3时到达乙地，但实际到达时间是下午5时整，晚点2小时。问火车实际每小时行驶多少
米？


【思维导航】由“这列火车早上5时出发，计划下午3时到达”可知，这列火车原 计
划行驶12＋3－5=10小时，用原计划每小时行驶120千米×计划行驶的10小时，便可得到甲地到乙地的距离为120×10=1200千米；火车晚点2小时，说明火车实际行驶了10＋
2=12小时，用1200÷12=100千米就可得到火车实际每小时行的千米数。
【练习1】1.一辆汽车早上8点从甲地开往乙地，按原计划每小时行驶60千米，下午
4时到达乙地。但实际晚点2小时到达，这辆汽车实际每小时行驶多少千米？

< br>2.一列火车早上6时从甲城开往乙城，计划每小时行驶100千米，下午6时到达乙城。
但实际 到达时间是下午4时，提前2小时。问火车实际每小时行驶多少千米？


3.王叔 叔驾驶一辆摩托车，上午11时从城东开到城西，计划每小时行驶60千米，下
午2时到达城西，实际到 达时间是下午3时，晚到1小时。问实际每小时比计划少行多少
千米？
【例题2】小宁、小红 、小佳去买铅笔，小宁买了7枝，小红买了5枝，小佳没有买。
回家后，三个人平均分铅笔，小佳拿出8 角钱，小佳应给宁多少钱？给小红多少钱？


【思维导航】小宁和小红一共买了7 ＋5=12枝铅笔，三个人平均分，每人应得12÷3=4
枝，所以小佳拿出的8角钱就相当于4枝铅笔 的价钱，那么每枝铅笔的价钱应是8÷4=2
角。小佳应给小宁2×（7－4）=6角钱，应给小红2× （5－4）=2角钱。
【练习2】1.三个好朋友去买饮料，小亮买了5瓶，小华买了4瓶，阳阳没有 买。到
家后，三个人平均喝完饮料，阳阳拿出6元钱，他应给小亮多少钱？给小华多少钱？
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2.甲、乙、丙3人一起买了6个面包分着吃，甲、乙 各拿出3个面包的钱，丙没有带
钱。那么吃完后，丙应拿出4元8角钱，他应分别给甲、乙多少钱？


3.张、王、李三家合用一个炉灶，他们烧的柴同样多，张家出了4担柴，李家出 了5
担柴，王家因无柴付18元。张、李家各得多少钱？



【 例题3】用一个杯子向空瓶里倒牛奶，如果倒进去2杯牛奶，连瓶共重450克；如
果倒进去5杯牛奶， 连瓶共重750克。一杯牛奶和一个空瓶各重多少克？


【思维导航】根据题目的条件，我们可以写出两个关系式：
2杯牛奶重量＋1个空瓶重量=450克（1） 5杯牛奶重量＋1个空瓶重量=750克（2） 比较（1）、（2）两个式子，可发现用（2）－（1）可消去空瓶重量，并可得到5－
2=3瓶牛 奶重量是750－450=300克，那么1瓶牛奶重量是300÷3=100克，然后可求出空
瓶重量 是450－100×2=250克。
【练习3】
1.有12筐苹果，它们重量相等，我们把 它们装入一个大箱子里，如果装进2筐苹果，
连箱共重量220千克；如果装进5筐苹果，连箱共重52 0千克。1筐苹果和大箱子各重多
少千克？


2.有一个木桶向一个水缸 中倒水，如果倒进4桶水，连缸共重240千克；如果倒进7
桶水，连缸共重390千克。一桶水和一个 水缸各重多少千克？


3.有一瓶水，向几个相同的杯子里注水，如果注满3杯水 ，连瓶重550克；如果注满
6杯水，连瓶共重250克。一杯水多重？


【例题4】一共有红、黄、绿三种颜色的珠子120粒。如果把红色珠子分放在9个盒
子里，把黄色珠 子分放在6个盒子里，把绿色珠子分放在5个盒子里，那么每个盒子里的
珠子粒数相等。三种颜色的珠子 各多少粒？


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【思维导航】把120粒珠子分放到盒子里以后，每个盒子里的珠子粒数相等， 那么就
可以120÷（6＋9＋5）=6粒，求出每个盒子里珠子的粒数，然后再求三种颜色的珠子各< br>几粒。红色珠子：6×9=54粒；黄色珠子：6×6=36粒；绿色珠子：6×5=30粒。
【练习4】1.一共有苹果、梨、橘子共105个，如果把苹果分放到4个盘中，把梨分
放到5个盘中， 把橘子分放到6个盘中，那么每个盘子的水果个数相等。三种水果各多少
个？

< br>2.一共有白兔、灰兔、黑兔共250只，如果把白兔分放到5个笼中，把灰兔分放到
11个笼中 ，把黑兔分放到9个笼中，这样每个笼中的兔子的只数相等。三种兔子各多少只？


3.共有科技书、文艺书和故事书共360本，若把科技书分放到2个书架上，把文艺书
分放到3个书 架上，把故事书分放到4个书架上，则每个书架上的本数相等。三种书各有
多少本？


【例题5】在6个筐里放着同样多的鸡蛋，如果从每个筐里拿出50个鸡蛋，则6个
筐里剩下的鸡蛋个数的总和等于原来两个筐里鸡蛋个数的总和。原来每个筐里有鸡蛋多少
个？

【思维导航】根据“6个筐里剩下的鸡蛋个数的总和等于原来5个筐里鸡蛋个数的总
和”，说明 6个筐里取出的鸡蛋个数的总和等于原来（6－2）=4个筐里鸡蛋的总和，用取
出的50×6=300 个鸡蛋除以4就可求出原来每个筐里的鸡蛋个数：300÷4=75个。
【练习5】1.在6个纸箱中 放着同样多的苹果。如果从每个纸箱里拿出50个苹果，
则6个箱里剩下的苹果个数的总和等于原来2个 箱子的苹果个数的总和。原来每个箱里有
多少个苹果？


2.某商店有5 箱皮球，如果从每箱里取出15个，那么5个箱里剩下皮球的个数正好
等于原来2箱皮球的个数。原来每 箱装了多少个皮球？


3.有3个水桶，如果从每桶中倒出4千克水，那么3桶里 剩下的水的重量正好等于原
来1桶的重量。原来每桶装多少千克水？
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第15讲 ▍ 重叠问题

知识要点
三（1）班准备给参加班级绘画比赛的16位同学和参加朗读比赛的12位同学每人
发一份纪念品，当中队长玲玲将28份纪念品发下去时，却多出5份，这是怎么回事？
对了，因 为有5位同学既参加了绘画比赛，又参加了朗读比赛，所以奖品就多出了5份。
数学中，我们将这样的问题称为重叠问题。
解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理——包 含与排除原理，即当两个计数部
分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。 < br>解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借
助图形进行思考 ，找出哪些是重复的，重复了几次？明确求的是哪一部分，从而找出解
答方法。
精讲精练
【例题1】六一儿童节，学校门口挂了一行彩旗。小张从前数起，红旗是第8面；从
后数起，红旗是第10面。这行彩旗共多少面？

【思维导航】根据题意，画出下图：
从图上可以看出，从前数起红旗是第8面，从后数起是第 10面，这样红旗就数了两次，
重复了一次，所以这行彩旗共有8＋10－1=17面。
【练习1】
1.小朋友排队做操，小明从前数起排在第4个，从后数起排在第7个。这队小朋 友共
有多少人？


2.学校组织看文艺演出，冬冬的座位从左数起是第1 2个，从右数起是第21个。这一
行座位有多少个？


3.同学们排队去 参观展览，无论从前数还是从后起起，李华都排在第8个。这一排共
有多少个同学？


【例题2】同学们排队做操，每行人数同样多。小明的位置从左数起是第4个，从右
数起是第3个，从前数起是第5个，从后数起是第6个。做操的同学共有多少个？
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【思维导航】根据题意，画出下图：






由图可看出：小明的位置从左数第4个，右数第3个，说明 横行有4＋3－1=6个人；
从前数第5个，从后数第6个，说明竖行有5＋6－1=10人，所以做操 的同学共有：6×10=60
人。
【练习2】
1.同学们排队跳舞，每行、每列人 数同样多。小红的位置无论从前数从后数，从左数
还是从右数起都是第4个。跳舞的共有多少人？


2.为庆祝“六一”，同学们排成每行人数相同的鲜花队，小华的位置从左数第2 个，
从右数第4个；从前数第3个，从后数第5个。鲜花队共多少人？


3.三（4）班排成每行人数相同的队伍入场参加校运动会，梅梅的位置从前数是第6
个，从后数是第5 个；从左数、从右数都是第3个。三（4）班共有学生多少人？



【例 题3】把两块一样长的木板像下图这样钉在一起成了一块木板。如果这块钉在一
起的木板长120厘米， 中间重叠部分是16厘米，这两块木板各长多少厘米？


【思维导航】把等长的两 块木板的一端钉起来，钉在一起的长度就是重叠部分，重叠
的部分是16厘米，所以这两块木板的总长度 是120＋16=136
厘米，每块木板的长度是136÷2=68厘米。
【练习3】
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1.把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的 纸条。这段更长的纸条长30厘米，
中间重叠部分是6厘米，原来两段纸条各长多少厘米？



2.把两块一样长的木板钉在一起，钉成一块长35厘米的木板。中间重合部分长 11厘
米，这两块木板各长多少厘米？



3.两根木棍放在一 起（如图），从头到尾共长66厘米，其中一
根木棍长48厘米，中间重叠部分长12厘米。另一根木棍 长多少厘米？


【例题4】一次数学测试，全班36人中，做对第一道聪明题的有 21人，做对第二道
聪明题的有18人，每人至少做对一道。问两道聪明题都做对的有几人？

【思维导航】根据题意，画出下图：
图中间重叠部分表示两道题都做对的人数，把做第一道题 和做对第
二道题的人数加起来得21＋18=39人，这39人比全班总人数36多出了
39－ 36=3人，这多出的3人既在做对第一题的人数中算过，也在做对第
二道题的人数中算过，即表示两道 题都做对的人数。
【练习4】
1.三（1）班有学生55人，每人至少参加赛跑和跳绳比赛 中的一种。已知参加赛跑的
有36人，参加跳绳的有38人。两项比赛都参加的有几人？



2.两块木板各长75厘米，像下图这样钉成一块长130厘米的木板，中间重合 部分是
多少厘米？



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3.三（5）班有42名同学，会下象棋的有21名同学，会下围棋的有17名 ，两种棋都
不会的有10名。两种棋都会下的有多少名？



【 例题5】三（1）班订《数学报》的有32人，订《阅读报》的有30人，两份报纸都
订的有10人，全 班每人至少订一种报纸。三（1）班有学生多少人？

【思维导航】根据题意，画出下图：



从上图可以看出，中间重叠部分表示两份报纸都订的10人，这10人 既被包括在订《数
学报》的32人内，又被包括在订《阅读报》的30人内，重复算了一次，所以要算出 全班
人数，必须从32＋30=62人中去掉被重复算过的10人。所以全班人数应是62－10=52 人。
【练习5】
1.三（4）班做完语文作业的有37人，做完数学作业的有42人，两种 作业都完成的
有31人，每人至少完成一种作业。三（4）班共有学生多少人？



2.两块木板各长90厘米，像下图这样钉成一块木板，中间重合部分是15厘米，这块钉在一起的木板总长多少厘米？




3.三年级有107 个小朋友去春游，带矿泉水的有78人，带水果的有77人，每人至少
带一种。三年级既带矿泉水又带水 果的小朋友有多少人？
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第16讲 ▍ 简单枚举.

知识要点
枚举是一种常见的分析问题、解决问题的方法。一般地，要根 据问题要求，一一
列举问题解答。运用枚举法解应用题时，必须注意无重复、无遗漏，因此必须有次序、
有规律地进行枚举。
运用枚举法解题的关键是要正确分类，要注意以下两点：一是分类要全， 不能造
成遗漏；二是枚举要清，要将每一个符合条件的对象都列举出来。
精讲精练
【例题1】从小华家到学校有3条路可走，从学校到
文峰公园有4条路可走。从小华家到文峰公园，有几种不
同的走法？


【思维导航】为了帮助理解题意，我们可以画出如上
示意图。
我们把小华的不同走法一一列举如下：
根据列举可知，从小明家经学校到文峰公园，走①路有4种不同走法，走②路有4种不同走法，走③路也有
4种不同走法，共有4×3=12种不同走 法。
【练习1】1.从甲地到乙地，有3条公路直达，从乙地到丙地有2条铁路直达。从甲
地到丙地有多少种不同走法？

2.新华书店有3种不同的英语书，4种不同的数学 读物销售。小明想买一种英语书和
一种数学读物，共有多少种不同买法？


3.明明有2件不同的上衣，3条不同的裤子，4双不同的鞋子。最多可搭配成多少种
不同的装束？

【例题2】用红、绿、黄三种信号灯组成一种信号，可以组成多少种不同的信号？
【思维导航】要使信号不同，要求每一种信号颜色的顺序不同，我们可以把这些信号
进行列举。可以看出 ，红色信号灯排在第一个位置时，有两
种不同的信号，绿色信号灯排在第一个位置时，也有两种不
同的信号，黄色信号灯排在第一个位置时，也有两种不同的
信号，因而共有3个2种不同排列方法，即 2×3=6种。
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【练习2】1.用红、黄、蓝三种颜色涂圆圈，每个圆圈涂一种颜色，一共有多 少种不
同的涂法？○○○


2.用数字1、2、3.可以组成多少个不同的三位数？分别是哪几个数？


3.用2、3、5、7四个数字，可以组成多少个不同的四位数？


【例 题3】一个长方形的周长是22米，如果它的长和宽
都是整米数，那么这个长方形的面积有多少种可能？

【思维导航】由于长方形的周长是22米，可知它的长
与宽之和为11米。下面列举 出符合这个条件的各种长方形：
【练习3】1.一个长方形的周长是30厘米，如果它的长和宽都是整 厘米数，那么这
个长方形的面积有多少种可能值？


2.把15个玻璃球分成数量不同的4堆，共有多少种不同的分法？


3 .3个自然数的乘积是18，问由这样的3个数所组成的数组有多少个？如（1.2.9）
就是其中的一 个，而且数组中数字相同但顺序不同的算作同一数组，如（1.2.9）和（2.9，
1）是同一数组。


【例题4】有4位小朋友，寒假中互相通一次电话，他们一共打了多少次电话？



【思维导航】把4个小朋友分别编号：A、B、C、D，A与其他小朋 友打电话，应该打
3次，同样B小朋友也应打3次电话，同样C、D应该各打3次电话。4个小朋友，共 打了
3×4=12次。但题目要求两个小朋友之间只要通一次电话，那么A打电话给B时，A、B两人已经通过话了，所以B没有必要再打电话给A，照这样计算，12次电话中，有一半是重
复计算的 ，所以实际打电话的次数是3×4÷2=6次。
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【练习4】1.6个小队进行排球比赛，每两队比赛一场，共要进行多少次比赛？


2.有8位小朋友，要互通一次电话，他们一共打了多少次电话？


3.小芳出席由19人参加的联欢会，散会后，每两人都要握一次手，他们一共握了多
少次手？


【例题5】一条铁路，共有10个车站，如果每个起点站到终点站只用一种车票（ 中
间至少相隔5个车站），那么这样的车票共有多少种？


我们可以利用列举的方法：
如果起点站是1.那么终点站只能是7、8、9或10；如果起站 站是2.那么终点站只能
是8、9或10；如果起点站是3.那么终点站只能是9或10；如果起点站是 4，终点站只能
是10；如果起点站是5、6时，就找不到与它至少相隔5站的终点站了；如果起点站是 7，
终点站只能是1；如果起点站是8，那么终点站是2或1；如果起点站是9，那么终点站是
3、2或1；如果起点站是10，那么终点站是4、3、2或1。所以，起点到终点至少相隔5
个车站的 车票有：4＋3＋2＋1＋0＋0＋1＋2＋3＋4=20种。
【练习5】
1.上海、北京 、天津三个城市分别设有一个飞机场，它们之间通航一共需要多少种不
同的机票？


2.一条公路上，共有8个站点。如果每个起点到终点只用一种车票（中间至少相隔3
个车站） ，那么共有多少种不同的车票？


3.在长江的某一航线上共有6个码头，如果每 个起点终点只许用一种船票（中间至少
要相隔2个码头），那么这样的船票共有多少种？



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第17讲 ▍ 周期问题

知识要点
在日常生 活中，有一些按照一定的规律不断重复的现象，如：人的十二生肖，一
年有春夏秋冬四个季节，一个星期 七天等等。像这样日常生活中常碰到的有一定周期的
问题，我们称为简单周期问题。这类问题一般要利用余数的知识来解答。
在研究这些简单周期 问题时，我们首先要仔细审题，判断其不断重复出现的规律，
也就是找出循环的固定数，然后利用除法算 式求出余数，最后根据余数得出正确的结果。
精讲精练
【例题1】小丁把同样大小的红、白、黑珠子按先2个红的、后1个白的、再3个黑
的的规律排列（如下图），请你算一算，第32个珠子是什么颜色？


从 上图可以看出，珠子是按“两红一白三黑”的规律重复排列，即6个珠子为一周期。
32÷6=5（组） ……2（个），32个珠子中含有5个周期多2个，所以第32个珠子就是重
复5个周期后的第2个珠子 ，应为红色。
【练习1】
1.如图，算出第20个图形是什么？
○△△□□□○△△□□□○△△……


2.“启航奥数题启航奥数题……”依次重复排列，第2001个字是什么？


3.把38面小三角旗按下图排列，其中有多少面白旗？



【例题2】2001年10月1日是星期一，问：10月25日是星期几？

【思维 导航】我们知道，每星期有7天，也就是说以7天为一个周期不断地重复。从
10月1日到10月25日 经过25－1=24天，24÷7=3（星期）……3（天），说明24天中包
括3个星期还多3天。所 以从10月1日开始过3个星期，最后一天还是星期一，从这最
后一天起再过3天就应是星期四。
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【练习2】
1.2001年5月3日是星期四，5月20日是星期几？


2.2001年8月1日是星期三，8月28日是星期几？


3.2001年6月1日是星期五，9月1日是星期几？



【例题3】100个3相乘，积的个位数字是几？
【思维导航】这道题我们只考虑积的个位数 字的排列规律。1个3.积的个位是3；2
个3相乘积的个位数字是9；3个3相乘积的个位数字是7； 4个3相乘积的个位数字是1；
5个3相乘积的个位数字是3……可以发现，积的个位数字分别以3、9 、7、1不断重复出
现，即每4个3积的个位数字为一周期。100÷4=25（个），因此100个3 相乘积的个位
数字是第25个周期中的最后一个，即是1。
【练习3】
1.23个3相乘，积的个位数字是几？

2.100个2相乘，积的个位数字是几？

3.50个7相乘，积的个位数字是几？

【例题4】有一列数按“4327943 279186……”排列，那么前54个数字
之和是多少？
【思维导航】上面一列数中，从第 1个数字开始重复出现的部分是“43279186”，周
期数是8。要求出这列数字的和，就要先求出 这列数里共有多少组“43279186”。
54÷8=6（组）……6（个）
因此，前6 组数字和是（4＋3＋2＋7＋9＋1＋8＋6）×6=240，余下6个数字之和是
4＋3＋2＋7＋ 9＋1=26。所以，这列数中前54个数字之和是240＋26=266。
【练习4】
1.一列数按“294736294736294……”排列，那么前40个数字之和是多少？

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2.有一列数按“9453672945367294……”排列，那么前50个数字之和是多少？




3.有一列数“72365……”，请问从左起第2个数字 到第25个数字之间
（含第2个与第25个数字）所有数字的和是多少？




【例题5】小红买了一本童话书，每两页文字之间有3页插图，也就是说3页插图 前
后各有1页文字。如果这本书有128页，而第1页是文字，这本童话书共有插图多少页？


【思维导航】已知这本童话书3页插图前后各有1页文字，也就是说这本书是按“1
页文字3页插图“的规律重复排列的，把“1页文字3页插图”看作一周期，128页中含
有128÷（ 1＋3）=32个周期，所以这本童话书共有插图3×32=96页。
【练习5】
1.校门 口摆了一排花，每两盆菊花之间摆3盆月季，共摆了112盆花。如果第一盆花
是菊花，那么共摆了多少 盆月季花？



2.同学们做早操，36个同学排成一列，每两个女生中 间是两个男生，第一个是女生，
这列队伍中男生有多少人？



3.一个圆形花辅周围长30米，沿周围每隔3米插一面红旗，每两面红旗中间插两面
黄旗。花辅周围共 插了多少面黄旗？



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第18讲 ▍ 算式之谜
知识要点
一个完整的算式，缺少几个数字，那就成了一道算式谜。
解算式谜，就是要将算式中缺少的数字补齐，使它成为一道完整的算式。
解算式谜的思考方法 是推理加上尝试，首先要仔细观察算式特征，由推理能确定的
数先填上；不能确定的，要分几种情况，逐 一尝试。分析时要认真分析已知数字与所缺
数字的关系，抓准解题的突破口。
精讲精练
【例题1】在下面算式的□内，填上适当的数字，使算式成立。




【思维导航】已知被乘数个位是8，积的个位是2.可推出乘数可能是4或9，但 积的
百位上是7，因而乘数只能是4，被乘数百位是1.那么十位上只能是9。
【练习1】在□里填上适当的数，使算式成立。




【例题2】□里填哪些数字，可使这道除法算式成为一道完整的算式？




0
6
5
6
解题思路：
5
0
30
30
0
6
1
5
0
6
30
300
6
1
9
6
3
3
5
0
00
0
【思维导航】已知除数和商的某些位上的数，求被除数，可以从商的末位上的数与除< br>数相乘的积想起，
5630
，可知被除数个位为0，再想商十位上的数与6的乘积为 一位数，
这个数只能是1.这样确定商的十位为1.最后被除数十位上的数为
369
。
【练习2】在□里填上适当的数，使算式成立。

1）（

4




8
（2）
5
7
0
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0
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【例题3】在下面竖式的□里，各填入一个合适的数字，使算式成立。

1

7





答案：
7
1
78
7
1
1
2
4< br>4
4
0
1
79
7
2
2
3
1
1
1
0
1
79
7
2
2
4
8
8
8
0
0
【思维导航】要求□里填哪些数，我们可以先想被除数的 十位上的数是多少。容易知
道，被除数的十位数字比7大，只可能是8或9。如果十位数字是8，那么商 的个位只能
是2；如果十位数字是9，那么商的个位是3或4。所以，这道题有三种填法（见上页）。
【练习3】 □里可以填哪些数字？








【例题4】在下面竖式的□里，各填入一个合适的数字，使算式成立。








【思维导航】通过观察， 我们发现，由于余数是7，则除数必须比7大，且被除数个
位上应填7；由于商是4时是除尽的，所以被 除数十位上应为2.同时
3412 , 84=32
，因
而除数可能是3或8， 可是除数必须比7大，因而除数只能是8，因而被除数百位上是3.
而商的百位上为0，商的千位是8或 3.所以一共有两种填法（见上）。

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（1）
8
1
8
（ 2）
4
2
0
0
4
4
2
7

3040
8
2432
7
24
32
32
7< br>8040
8
6432
7
64
32
32
7

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【练习4】在下面竖式的□里，各填入一个合适的数字，使算式成立。

（

1）






2
5
0
4
（2）
9
6
2
5
【例题5】在下面□中填入适 当的数，使算式成立。







【思维导航】通过观察，我们发现，商的个位8与除数的乘积是48，由此可求出除数
为6。再根据商的 千位与6的乘积是二十几，于是可求出商的千位是4，因而被除数的万
位是2.千位是4，然后可求出商 的百位是0，十位是2.被除数的百位是1.十位是6，个位
是8。（填法见上）
【练习5】在下面□中填入适当的数，使算式成立。

8
2
1
2
48
0
答案：
402
6
241
6
24
1
6
1< br>2
4
4
8
8
8
8
0
（

1）



9
1
2
1
63
0
（2）
15
2
5
35
4
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第19讲 ▍ 文字之谜
知识要点
一般说来，算式都 是由一些数字和运算符号组成的，可有些算式却由汉字或英文
字母组成，我们称它为文字算式。
文字算式是一种数字谜，解答时要注意在同一道题中，相同的文字或英文字母应
表示相同的数字，不同 的文字或英文字母应表示不同的数字。
通过本周的学习，我们可以发现解文字算式谜与添运算符号、填 竖式的步骤与方法基本
是一样的，都要仔细观察算式的特征，认真分析，正确选择解题的突破口，最后通 过尝
试找寻正确答案。
精讲精练
【例题1】下式中，每个字各代表一个不同的数字，其中“心”代表9，请问其他汉
字分别代表哪个数字？




【思维 导航】乘数个位与被乘数个位相乘，“心”ד心”=9×9=81.所以“少”=1.
乘积就是111 111111。根据积，用乘数“心”去逐一乘被乘数，9ד中”的积个位数应该
是3.所以“中”= 7，往前一位进7；9ד乐”的积的个位数应是4，“乐”=6，往前一位
进6；9ד俱”的积个位 数应是5，“俱”=5，往前一位进5；9ד球”积个位数字应是
6，“球”=4，往前一位进4；9 ד足”的积个位数是7，所以“足”=3.往前一位进3；9
ד年”的积的个位数是8，“年”=2 .往前一位进2；9×1＋2=11.即：
12345679×9=111111111

【练习1】
1．下面（左下）每个字代表不同的数字，这些汉字分别代表几？







2．如果A、B满足下面算式，它们各代表几？（上中）



3．上右图各个汉字分别代表几？




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【例题2】下面不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字。它们各表
示几？



【思维导航】由积的个位是2.乘数是3.可推出 被乘数个位上“学”是4，4×3=12.
在积的个位上写2.向十位进1；因为积的十位上“学”为4 ，所以“数”×3应为3.推出
“数”为1；因为“数”为1.百位上“庚”×3末位应为1.因而“庚 ”为7，千位上5×3
＋2=17，在千位上写7，向万位进1.因而“罗”为5，万位上8×3＋1= 25，在千位上写5，
向前一位进2.因而“华”为8。

【练习2】
下面各个竖式中的汉字分别代表几？ .


×



【例题3】在下面的竖式中，a、b、c、d各代表什么数字?




【思维导航】仔细审题发现千位a×9的结果是一位数，于是就可以确 定a只能是1。
接着思考个位d×9=1是不可能的，所以应该是d×9等于几十一，于是确定d=9。 或者想
千位上1×9=9，所以d一定是9。最后确定剩下的c为8。只有8×9=72.72＋8=8 0，积中
才会有0。
【练习3】
1．下面（左下）竖式中的字母各代表几？





2．上面（右上）竖式中的字母各代表几？ A＋B＋C=（ ）


【例题4】下面算式里，相同的汉字代表同一个数字，不同的汉字代表不同的数字。
如果以下3个等式成立：
小小×朋朋=友小小友
那么，小=（ ） 朋=（ ） 友=（ ）
爱爱×科科=爱学学爱
爱=（ ） 科=（ ） 学=（ ）
朋朋×朋朋=小小学学

【思维导航 】通过观察，我们发现第三个等式最特殊，它是相同的两位数相乘得到千
位和百位、十位和个位分别相同 的积，逐步试验，11×11.22×22得不到四位数，然后从
33×33试，我们发现88×88= 7744，这样可以得出：朋=8，小=7，学=4。将朋=8、小=7代
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入第一个算式中得出77×88=6776，确定友=6。这样，0——9中， 只剩下9，5，3.2.1.0
这几个数字，其中0、1不考虑，试后发现55×99=5445，所以 爱=5，科=9。
【练习4】



×



【例题5】下面算式中四个字分别代表四个数，你能求出来吗？


新=（ ） 年=（ ） 快=（ ） 乐=（ ）

【 思维导航】从千位上看，千位上得数是2.假设新=2.那么百位上，“新＋年”不可
能等于0，因而“ 新”不可能是2.只能是“新=1”。从百位上看，新＋年＋进来的数=10，
我们可判断“年”=7或 8。而“新＋年=8”，即使个位进来2.十位上也不可能向百位进
2.因而“年”=8，十位上“新＋ 年”=1＋8=9，而个位上已向十位进了1.因而“快”=0，
最后从“新＋年＋快＋乐”=11中可 推出“乐”=1。即：
新=（ 1 ） 年=（ 8 ） 快=（ 0 ） 乐=（ 1 ）

【练习5】
1．下面（左下）算式中相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表 不同的数字，
请问这些汉字各代表几？








2．上面（上中）各字母分别代表几？




3．上面（上右）竖式中每个字母代表不同的数字，想想下面的算式怎样写？
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第20讲 ▍ 巧求周长（一）

知识要点

一个图形的周长是指围成它的所有线段的长度和。我们已经学会了求长方形 、正
方形这些标准图形的周长，那么怎样运用长方形、正方形的周长计算公式，巧妙地求一
些复 杂图形的周长呢？
对于一些不规则的比较复杂的几何图形，要求它们的周长，我们可以运用平移的方法，把它转化为标准的长方形或正方形，然后再利用周长公式进行计算。
将一个大长方形或正方 形分割成若干个长方形和正方形，那么图形周长就会增加
几个长或宽；反之，将若干个小长方形或正方形 合成一个大长方形或正方形，图形周长
就会减少几个长或宽。

【例题1】下图是一个楼梯的侧面图，求此图形的周长。
2米
3米

【思维导航】如果把每层台阶的宽度向上移到和最上层台阶同样高的地方，把每层台
阶的高度向右移到 和最下层的台阶长度一致的地方（如下图），这样楼梯侧面图就转化为
一个长方形，然后我们利用长方形 周长计算公式求出此图形的周长。
2米
3米
（2＋3）×2=10米。
【练习1】
1.下图是一个楼梯的侧面，如果在阶梯上铺地毯，要计算地毯的长度，可以怎样测量？
< br>2.如下图所示，小明和小玲同时从学校到少儿书店，小明沿A路线行走，小玲沿B
路线行走。如 果两人速度一样，谁先到少儿书店？为什么？
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学校
B
A

3.下图是一个“凹”字形的花园，求花园的周长。（单位：米）
12
12
30

【例题2】下图是由6个边长2厘米的正方形拼成的，这个图形的周长是多少厘米？
60

【思维导航】这题我们可以用平移的方法将它转化为一个长方形，如下图：

这个长方形的长含有4个小正方形的边长，长为2×4=8厘米；宽含有2个小正方形
的边长，宽为2×2=4厘米。这个长方形的周长为：（2×4＋2×2）×2=24厘米。
【练习2】
1.下图是由5个边长为3厘为的正方形组成的图形，求此图形的周长。

2.下图是由6个边长为2厘米的正方形组成的，求此图形的周长。

3.用24个边长是1厘米的正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是多少厘米？




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【例题3】两个大 小相同的正方形拼成一个长方形后，周长比原来两个正方形周长的
和减少了6厘米。原来一个正方形的周 长是多少厘米？
【思维导航】根据题意，画出下图。

当两个正方形拼成一个长方 形时，组成两个正方形的8条边就减少了2条，而已知两
条边的和是6厘米，那么一条边长就是6÷2= 3厘米。所以，原来正方形的周长是：3×4=12
厘米。
【练习3】1.把两个大小相同的 正方形拼成一个长方形后，周长比原来两个正方形的
周长和减少10厘米。原来一个正方形的周长是多少 ？



2.把一个正方形剪成两个大小相同的长方形后，两个长方形的周 长和比原来正方形的
周长增加28分米。原来正方形的周长是多少？



3.把边长是48厘米的正方形剪成三个同样大小的长方形，算一算，每个长方形的周
长是多少 厘米？



【例题4】一个正方形，边长是5厘为，将9个这样的正方形 如下图一样拼成一个大
正方形，问：拼成的大正方形的周长是多少？

【思维导航】 从图上可以看出，9个小正方形拼成的大正方形共有3排，每排由3个
小正方形组成。已知小正方形的边 长是5厘米，所以大正方形的边长就是5×3=15厘米，
大正方形的周长就是15×4=60厘米。
【练习4】
1.把16个边长为3厘米的小正方形拼成一个大正方形，这个大正方形的周长是多少
厘米？


2.把6个边长为4厘米的小正方形如下图拼成一个长方形，这个长方形的周长为多少
厘米？




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3.把6个长为3厘米、宽为2厘米的小长方形如下图拼成一个大长方形，这个 大长方
形的周长是多少？


【例题5】将一张边长为36厘米的正方形纸 ，剪成4个完全一样的小正方形纸片，
这4个小正方形周长的和比原来的正方形周长增加了多少厘米？


【思维导航】将边长36厘米的正方形，沿竖直方向剪一刀，周长的和就比原来大 正
方形周长增加2个边长；再沿水平方向剪一刀，又增加2个边长，一共增加2×2个边长。
所 以这4个小正方形周长的和比原来的正方形周长增加了36×4=144厘米。
【练习5】
1.将一张边长为12厘米的正方形纸，剪成4个完全一样的小正方形，那么这4个小
正方形周长之和比 原来的大正方形的周长增加了多少厘米？





2. 把一个边长为20厘米的正方形，如下图剪成6个完全一样的小长方形，这6个小
长方形周长的和与原来 的正方形相比，增加了多少厘米？


3.将一个长为8分米，宽为6分米的长方形 如下图剪成6个完全一样的小长方形，这
6个小长方形周长之和比原来的正方形周长增加了多少分米？


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第21讲 ▍ 巧求周长（二）

在解答比较复杂的关于长方形、正方形周长计算的问题时，生搬硬套公式往往 行
不通，这时灵活地运用所学知识在解题中显得相当的重要。
解答稍复杂的有关长方形、正方 形周长的问题，首先要仔细观察，认真思考，想
想已知条件和要求问题之间有什么联系，应该先求什么， 再求什么，然后灵活运用长方
形、正方形周长公式进行计算。
【例题1】把长130厘米的铁丝围成一个长方形，接头处重合2厘米，要使长比宽多
18厘米，长和宽各是多少厘米？



【思维导航】把长130 厘米的铁丝围成一个长方形，去掉接头处重合的2厘米，可知
围成的长方形的周长为130－2=128 厘米。因为长方形的周长=（长＋宽）×2.所以长与宽
的和为128÷2=64厘米。又因为题目中还 告诉长与宽的差为18厘米，因此这道题可以转
化为和差应用题来解。
13-2=128厘米
128÷2=64厘米
长：（64＋18）÷2=41厘米
宽：（64－18）÷2=23厘米

【练习1】
1.如图：已知这个长方形的周长为38厘米，阴影部分为正方形，求长方形的长和宽。
< br>2.小华家给长方形的院子装上了篱笆墙，由于门宽2米，所以篱笆墙共长16米，而
这个长方形 的宽是长的一半。长和宽各是多少米？


3.一个周长为20厘米的正方形，从中 间剪开成为两个大小相等的长方形。这两个长
方形周长共多少厘米？


【 例题2】一根铁丝长80厘米，围成一个边长为8厘米的正方形，余下的铁丝围成
一个长为14厘米的长 方形。这个长方形的宽是多少厘米？


【思维导航】要求长方形的宽是多少，必须 先求出这个长方形的周长是多少，也就是
这根铁丝余下的长度。
（1）正方形的周长：8×4=32厘米
（2）长方形的周长：80－32=48厘米
（3）长方形的宽：48÷2－14=10厘米
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5厘米

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【练习2】1.一根铁丝长100厘米，围成一个边长为10厘米的正方形，余 下的铁丝
围成一个宽为10厘米的长方形。这个长方形的长是多少厘米？


2.一根绳子长78厘米，围成一个长12厘米，宽9厘米的长方形，余下的围成一个正
方形。这个正 方形的边长是多少厘米？


3.一根铁丝围成一个边长为7厘米的正方形，余下的 正好围成一个长为12厘米、宽
为10厘米的长方形。这根铁丝长多少厘米？

< br>【例题3】一个长方形的周长是正方形的2倍，正方形的边长与长方形的宽都是4厘
米。长方形的 长是多少厘米？



【思维导航】根据长方形的周长是正方形的2倍，我 们就应先求出正方形的周长，然
后根据它们之间的关系，求出长方形的周长，再求出长方形的长。
（1）正方形的周长：4×4=16厘米
（2）长方形的周长：16×2=32厘米
（3）长方形的长：32÷2－4=12厘米。

【练习3】1.一个长方形的周长 是正方形的4倍，正方形边长与长方形的宽为6厘米。
长方形长多少厘米？



2.一个长方形的周长是正方形的2倍，正方形的边长与长方形的宽为10厘米。长方
形的长是多少厘米？



3.一张长方形纸，长28厘米，宽15厘米 ，剪下一个最大的正方形后，余下的长方形
纸周长是多少？



【例题4】三个同样大小的长方形正好拼成一个正方形，正方形的周长是48厘米，
求每个长方形的周长 。


【思维导航】要求每个长方形的周长必须先求出每个长方形的长和宽，长方形 的长正
好是正方形的边长，宽是把正方形的边长平均分成3份，其中的1份，根据正方形的周长
是48厘米，可求出它的边长为48÷4=12厘米，那么长方形的周长是（12＋4）×2=32厘
米 。
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【练习4】
1.四个同样大小的长方形正好 拼成一个正方形，正方形的周长为64厘米，长方形周
长是多少？

2.六个同样大 小的长方形正好拼成一个如下图的正方形，正方形周长为48厘米，每
个长方形周长是多少？

3.明明用学具盒里的三个同样大小的长方形拼成了一个大长方形，已知大长方形的周
长是60 厘米，长是宽的4倍，求小长方形的周长。



【例题5】一张长方形的 纸，长是28厘米，宽是15厘米，先剪下一个最大的正方形，
再从余下的纸片中，再剪下一个最大的正 方形。最后余下的长方形周长是多少？
【思维导航】根据题中的要求，我们可以画出一张示意图。
28厘米
第二次剪下
第一次剪下
15厘米

观察图形，我们 发现：第一次剪下的以宽为标准的边长为15厘米的正方形，这时长
边还剩下28－15=13厘米；第 二次剪下的以长边剩下的13厘米为边长的正方形，这时最
后剩下的长方形宽是15－13=2厘米，长 为13厘米，即周长是：（13＋2）×2=30厘米。
【练习5】
1.一张长为25厘米 ，宽为10厘米的长方形，先剪下一个最大的正方形，余下的长方
形的周长是多少？



2.一张长方形纸，长为32厘米，宽为15厘米，先剪下一个最大的正方形，再 从余下
的纸片中，又剪下一个最大的正方形，最后余下的长方形周长是多少？



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第22讲 ▍ 对应法解题
知识要点
小朋友在解答应 用题时，经常会碰到这样一类题，给定的数量和所对应的数量关
系是在变化的。为了使变化的数量看得更 清楚，可以把已知条件按照它们之间的对应关
系排列出来，进行观察和分析，从而找到答案。这种解题的 思维方法叫对应法。
在用对应法解题时，通常先把题目中的数量关系转化为等式，并把这些等式按顺< br>序编号，然后认真观察，比较对应关系的变化，以便寻找解题的突破口。

【例题1】 奶奶去买水果，如果她买4千克梨和5千克荔枝，需花58元；如果她买6
千克梨和5千克荔枝，那么需 花62元。问1千克梨和1千克荔枝各多少元？
【思维导航】我们可以把两次买的情况摘录下来进行比较：
4千克梨＋5千克荔枝=58元 （1）
6千克梨＋5千克荔枝=62元 （2）
比较（1）和（2）式，发现两式中 荔枝的千克数相等，（2）式比（1）式多了6－4=2
千克梨，也就是多了62－58=4元，说明1 千克梨的价钱为4÷2=2元，那么1千克荔枝的
价钱就是（58－2×4）÷5=10元。
【练习1】1.3筐苹果和5筐橘子共重270千克，3筐苹果和7筐橘子共重342千克。
一筐苹果和一筐橘子各重多少千克？


2.张老师为图书室买书，如果他 买6本童话书和7本故事书需要144元；如果买9
本童话书和7本故事书，需要174元。现在张老师 买7本童话书和6本故事书，共需多少
元？

3.粮店运来一批粮食，4袋大米和5 袋面粉共重600千克，2袋大米和3袋面粉共重
340千克。一袋大米和一袋面粉各重多少千克？


【例题2】学校买足球和排球，买3个足球和4个排球共需要190元，如果买6 个足
球和2个排球需要230元。一个足球和一个排球各多少元？


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【思维导航】我们可以把两次买的情况摘录下来进行比较：
3个足球＋4个排球=190元 （1）
6个足球＋2个排球=230元 （2）
我们把（1）、（2）两式进行比较 ，发现两组条件相加还是相减，都不可能求出足球和
排球的单价，因为这里没有一个相同的条件可减去。 再观察我们可以发现：如果把（1）
式同时扩大2倍，得到6个足球和8个排球共380元，然后再与（ 2）式进行比较，发现
足球个数相同，而排球多了6个，也就多了380－230=150元，也就是6 个排球是150元，
一个排球为150÷6=25元，那么一个足球是（190－25×4）÷3=30 元。
【练习2】
1.5筐番茄和2筐黄瓜共重330千克，3筐番茄和4筐黄瓜共重310 千克。一筐番茄
和一筐黄瓜各重多少千克？


2.4本练习本和5枝圆株 笔共14元，2本练习本和4枝圆珠笔共10元。一本练习本
和一枝圆珠笔各多少元？


3.2件上衣和3条裤子共480元，4件上衣和2条裤子共640地。一件上衣和一条裤< br>子各多少元？


【例题3】商店里有一些气球，其中红气球和蓝气球共21 只，蓝气球和黄气球共28
只，黄气球和红气球共29只。红气球、蓝气球和黄气球各有多少只？



【思维导航】根据题意，我们可以列出下列关系式：
红气球的个数＋蓝气球的个数=21 （1）
蓝气球的个数＋黄气球的个数=28 （2）
黄气球的个数＋红气球的个数=29 （3）
我们可将（1）＋（2）＋（3 ），即21＋28＋29=78只，这里包含有2倍红气球的个数、
2倍蓝气球的个数和2倍黄气球的个 数，由此，可得出三种气球的总只数：78÷2=39只。
然后再根据红气球和蓝气球共21只，可求出 黄气球的只数：39－21=18只；同理可求出红
气球的个数是39×28=11只，蓝气球的个数是 39－29=19只。
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【练习3】1.小明和小红共12岁，小红和小丽共17岁，小丽和小明共13 岁。三人
各多少岁？



2.新华书店有批书，故事书和连环画 共70本，连环画和科技书共82本，科技书和故
事书共76本。三种书各多少本？



3.公园开菊花展，白菊花和黄菊花共152盆，黄菊花和红菊花共128盆，红 菊花和白
菊花共168盆。三种菊花各几盆？



【例题4】三 年级三个班种了一片小树林，其中72棵不是一班种的，75棵不是二班
种的，73棵不是三班种的。三 个班各种了多少棵？


【思维导航】“72棵不是一班种的”，说明二班和三班共 种树72棵；“75棵不是二班
种的”，说明一班和三班共种75棵，“73棵不是三班种的”，说明一 班和二班共种73棵。
这样，我们就可以求出三个班共种多少棵树：（72＋75＋73）÷2=110 棵。用110－72=38
棵就是一班种的棵数，110－75=35棵就是二班种的棵数，110－7 3=37棵就是三班种的棵
数。
【练习4】1.百货商店运来三种鞋子，其中37双不是皮鞋 ，54双不是运动鞋，51双
不是布鞋。三种鞋各运来多少双？


2.一个班同学在做作业，班主任问后得知：全班同学都只做完了语文、数学英语作业
其中的一种。 有23人没有做完数学作业，有19人没有做完语文作业，有16人没有做完
英语作业。做完三种作业的 各多少人？


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3.学校买四种颜 色的气球，其中有93个不是红气球，有95个不是黄气球，有98个
不是蓝气球，紫气球有10个。学 校共买了多少个气球？



【例题5】已知13个李子的重量等于2个苹 果和1个桃子的重量，而4个李子和1
个苹果的重量等于1个桃子的重量。问多少个李子的重量等于1个 桃子的重量？



【思维导航】根据题意列出等式：
13李=2苹＋1桃 （1）
4李＋1苹=1桃 （2）
把（2）式代入（1）式得：13李=2苹＋4李＋1苹
即9李=3苹，即3李=1苹 （3）
把（3）式代入（2）式得：4李＋3李=1桃
即：7李=1桃
【练习5】
1.3个菠萝的重量等于1个梨和1个西瓜的重量，而1个菠萝和3个梨的重量等 于1
个西瓜的重量。问多少个梨的重量等于1个西瓜的重量？



2.2个苹果的重量等于3个橘子和3个荔枝的重量，1个苹果和2个荔枝的重量等于3
个橘子的重量 。问3个橘子的重量等于多少个荔枝的重量？



3.三个好朋友去文具 店买东西，一人买了4枝圆珠笔，一个买了2枝钢笔，还有一个
买了1枝钢笔1枝圆珠笔和4枝铅笔，三 个人用掉的钱相等。那么1枝钢笔的价钱相当于
几枝铅笔的价钱？



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第23讲 ▍ 盈亏问题
知识要点把一定数量的物品，平均分给一 定数量的人，每人少分，则物品有余（盈）；
每人多分，则物品不足（亏）。已知所盈和所亏的数量，求 物品数量和人数的应用题叫
盈亏问题。
盈亏问题的基本解法是：
份数=（盈＋亏）÷两次分配数的差，物品数可由其中一种分法的份和盈亏数求出。
解答盈亏 问题的关键是要求出总差额和两次分配的数量差，然后利用基本公式求
出分配者人数，进而求出物品的数 量。

【例题1】小明的妈妈买回一篮梨，分给全家。如果每人分5个，就多出10个；如
果每人分6个，就少2个。小明全家有多少人？这篮梨有多少个？


【思维导航】根据题目中的条件，我们可知：
第一种分法：每人分5个，多10个；
第二种分法：每人分6个，少2个。
这说明全家人数为：10＋2=12人，也就是说：
不足的个数＋多余的个数=全家的人数
这篮梨的个数是：5×12＋10=70个；
【练习1】1.幼儿园阿姨把一袋糖分给小朋友们，如果每人分10粒糖，则多了8粒
糖；如果每人分 11粒糖，则少了16粒糖。一共有多少个小朋友？这袋糖有多少粒？



2.有一根绳子绕树4圈，余2米；如果绕树5圈，则差6米。树周长是多少米？绳子
长多少米？


3.一些同学去划船，如果每条船坐5人，则多出3个位置；如果每条船坐4人， 则有
3个人没有位置。一共有多少条船？一共有多少个同学？



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【例题2】幼儿园买来一些玩具，如果每班分8个玩具 ，则多出2个玩具；如果每班
分10个玩具，则少12个玩具。幼儿园有几个班？这批玩具有多少个？



【思维导航】根据题目中的条件，我们可知：
第一种分法：每班分8个，多2个；
第二种分法：每班分10个，少12个。
从上 面的条件中，我们可看出：第二种分法比第一种分法每班多分10－8=2个，所以，
所需的玩具总个数 从多2个变成了少12个，也就是说在多2个的基础上再加12个，才能
保证每班分10个；第二种分法 所需的玩具个数比第一种多12＋2=14个，那是因为每班多
分了2个。根据这一对应关系，即可求出 班级的个数为：14÷2=7个，玩具的总个数为8
×7＋2=58个。
【练习2】
1.小明带了一些钱去买苹果，如果买3千克，则多出2元；如果买6千克，则少了4
元。苹果每千克 多少元？小明带了多少钱？


2.一个小组去山坡植树，如果每人栽4棵，还剩1 2棵；如果每人栽8棵，则缺4棵。
这个小组有几人？一共有多少棵树苗？

3.一组学生去搬书，如果每人搬2本，还剩下12本；如果每人搬3本，还剩下6本。
这组学生有 几人？这批书有几本？


【例题3】老师买来一些练习本分给优秀少先队员，如果 每人分5本，则多了14本；
如果每人分7本，则多了2本。优秀少先队员有几人？买来多少本练习本？


【思维导航】根据题目中的条件，我们可知：
第一种分法：每人5本，多了14本；
第二种分法：每人7本，多了2本。
从上面可知第二种分法比第一种分法每人多分了7－5=2本，这样就从原来的多14
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本变为多2本，两种分配方法的结果相差了14－2=12本，每人多分了2本 ，多少人会多
分了12本呢？根据这一对应关系，可求出优秀少先队员的人数为12÷2=6人，练习本 的
本数为：5×6＋14=44本。
【练习3】
1.把一袋糖分给小朋友们，如果 每人分4粒，则多了12粒；如果每人分6粒，则多
了2粒。有小朋友几人？有多少粒糖？


2.妈妈买来一些苹果分给全家人，如果每人分6个，则多了12个；如果每人分7个，则多了6个。全家有几人？妈妈共买回多少个苹果？


3.某学校有一些学生 住校，每间宿舍住8人，则空出床位24张；如果每间宿舍住10
人，则空出床位2张。学校共有几间宿 舍？住宿学生有几人？


【例题4】学校派一些学生去搬一批树苗，如果每人搬6 棵，则差4棵；如果每人搬
8棵，则差18棵。学生有几人？这批树苗有多少棵？


【思维导航】根据题意，我们可知搬树苗的两种方案：
第一种方案：每人搬6棵，差4棵；
第二种方案：每人搬8棵，差18棵。
比较两种方案，每人多搬了8－6=2棵树苗，所需的 树苗就从差4棵变为差18棵，结
果相差了18－4=14棵，每人多搬了2棵，多少人会多搬了14棵 呢？根据这一对应关系，
可以求出学生人数为：14÷2=7人，树苗的棵数为：6×7－4=38棵。
【练习4】1.自然课上，老师发给学生一些树叶。如果每人分5片叶子，则差3片叶
子；如果 每人分7片叶子，则差25片树叶。学生有几人？一共有树叶多少片？


2.数学 兴趣小组的同学做数学题，如果每人做6道，则少4道；如果每人做8道，则
少16道。有几个学生？多 少道数学题？


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3.学校排练节目 ，如果每行排8人，则有一行少2人；如果每行排9人，则有一行少
7人。一共要排几行？一共有多少人 ？




【例题5】三（1）班学生去公园划船，如果每条船坐 4人，则少一条船；如果每条
船坐6人，则多出4条船。公园里有多少条船？三（1）班有多少学生？




【思维导航】为了帮助理解，我们可以将题目中的条件进行转化。
将条件“如果每条船坐4人 ，则少一条船”转化为：“如果每条船坐4人，则多出4
人”；再将条件“如果每条船坐6人，则多出4 条船”转化为：“如果每条船坐6人，则差
6×4=24人”。
这样两种分配方法就相差了2 4＋4=28人，这是因为每条船多坐了6－4=2人。根据这
一关系，可求出船的条数：28÷2=1 4条，学生人数：4×（14＋1）=60人。
【练习5】1.学校给新生分配宿舍，如果每间住8人 ，则少2间房；如果每间住10
人，则多出2间房。共有几间房？新生有多少人？



2.同学们去划船，如果每条船坐5人，则少2条船；如果每船坐7人，则多出2条船。共有几条船？有多少个同学？




3.小明从家到学校， 如果每分钟走40米，则要迟到2分钟；如果每分钟走50米，则
早到4分钟。小明家到学校有多远？



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第24讲 简单推理（一）
知识要点
数学课上，老师布置了一道题：
□＋△=28 □=△＋△＋△
□=（ ） △=（ ）
要得出正确的结论，就要进行分析、推理。学会了推理，能使你变得更聪明， 头
脑更灵活。数学上有许多重大的发现和疑难问题的解决都离不开推理。
解答这类推理题时， 要求小朋友仔细观察，认真分析等式中几个图形之间的关系，
寻找解题的突破口，然后再利用等量代换、 消去等方法来进行解答。

【例题1】下图中，□和△各代表几？
□＋△=28 □=△＋△＋△
□=（ ） △=（ ）
【思维导航 】根据□＋△=28，我们可以得出□=28－△；由□=△＋△＋△得到28=
△＋△＋△＋△，4个 △等于28，一个△等于28÷4=7；由□=△＋△＋△可求出□=7＋7
＋7=21。

【练习1】1.☆＋○=18 ☆=○＋○
☆=（ ） ○=（ ）
2. △＋○=25 △=○＋○＋○＋○
△=（ ） ○=（ ）
3. ○＋□=36 ○=□＋□＋□＋□＋□
○=（ ） □=（ ）
【例题2】下图中□和△各代表几？
□×△=36 □÷△=4
□=（ ） △=（ ）

【思维导航】根据□ ÷△=4可知△为一份，□是这样的4份，即□=4△；又根据□
×△=36，可以得到4△×△=36 ，即△×△=9，进一步得到△=3.□=4△=4×3=12。

【练习2】1.○和□各表示几？
○×□=16 □÷○=4
○=（ ） □=（ ）
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2.想想，填填。
○×△=20 ○=△＋△＋△＋△＋△
○=（ ） △=（ ）
3. □和○各代表几？
□=○＋○＋○＋○ ○×□=16
□=（ ） ○=（ ）
【例题3】下图中，□和△各代表几？
□＋□＋△=16 □＋△＋△=14
□=（ ） △=（ ）
【思维导航】16里面有2个□，1个△；14里面有1个□，2个△，16减去14等于
2.即□－△=2.那么如果把△换成了□，则16需要加上2.即□＋□＋□=16＋2.那么□=
（ 16＋2）÷3=6，△=16－6×2=4。

【练习3】1.□＋□＋○＋○=38
□＋□＋○=22
□=（ ） ○=（ ）
2. □＋□＋□＋△＋△=52
□＋□＋△＋△＋△=48
□=（ ） △=（ ）
3. ○＋△＋□＋□=10
△＋□＋△＋□=12
△＋○＋□＋○=12
○=（ ） □=（ ） △=（ ）
【例题4】下图中，□和○各代表几？
□＋□＋○＋○＋○=34
○＋○＋○＋○＋□＋□＋□=48
□=（ ） ○=（ ）
【思维导航】34里面有2个□、3个○，48里面有3个□、4个○，用48减去34
得到□＋○=1 4，34中有2个（□＋○）及1个○。所以，○=34－14×2=6，□=（34－6
×3）÷2= 8。

【练习4】1.☆＋☆＋△＋△＋△=24
△＋△＋△＋△＋☆＋☆＋☆=36
☆=（ ） △=（ ）
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2. ○＋○＋○＋△＋△=54
△＋△＋△＋○＋○＋○＋○=76
○=（ ） △=（ ）
3. □＋□＋□＋△＋△＋△＋△=96
△＋△＋△＋△＋△＋□＋□＋□＋□=123
□=（ ） △=（ ）
【例题5】下图中□、☆和△各代表几？
☆＋☆=□＋□＋□
□＋□＋□=△＋△＋△＋△
☆＋□＋△＋△=80
☆=（ ） □=（ ） △=（ ）
【思维导航】因为2个☆等于3个□，3个□又等于4个△， 所以2个☆等于4个△，
那么1个☆等于2个△。在☆＋□＋△＋△=80中，2个△可以用1个☆替代 ，就变为☆
＋□＋☆=80，而2个☆又可以用3个□替代，也就是□＋□＋□＋□=80，所以□=2 0，
☆=20×3÷2=30，△=20×3÷4=15。
【练习5】
1. △＋△=○＋○＋○
○＋○＋○=□＋□＋□
○＋□＋△＋△=100
○=（ ） □=（ ） △=（ ）
2. ○＋○=□＋□＋□
□＋□＋□=△＋△
△＋□＋○=40
△=（ ） □=（ ） ○=（ ）
3. □＋□=○＋○＋○
○＋○＋○=☆＋☆＋☆＋☆＋☆＋☆＋☆＋☆
□＋○＋☆＋☆＋☆＋☆=320
○=（ ） □=（ ） ☆=（ ）






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第25讲 ▍ 和倍问题
知识要点
已知两个数的和与两个数间的倍数关系，求这两个数分别是多少，像这样的应用题，通常叫做和倍问题。要想顺利地解答和倍应用题，最好的方法就是根据题意，画出
线段图，使数 量关系一目了然，从而正确列式解答。
解答和倍应用题，关键是要找出两数的和以及与其对应的倍数和 ，从而先求出1
倍数，再求出几倍数。数量关系可以这样表示：
两数和÷（倍数＋1）=小数（1倍数）
小数×倍数=大数（几倍数）
两数和－小数=大数

【例题1】学校将360本图书分给二、三两个年级，已知三 年级所分得的本数是二年
级的2倍，问二、三两个年级各分得多少本图书？

【思维导航】将二年级所得图书的本数看作1倍数，则三年级所得本数是这样的2
倍。如图所示：




由图可知，二、三年级所得图书本数的和360本相当于二 年级的（1＋2）倍，则二年
级所得图书本数的360÷（1＋2）=120本，三年级为120×2= 240本。
【练习1】1.小红和小明共有压岁钱800元，小红的钱数是小明的3倍。小红和小明
各有压岁钱多少元？

2.学校将360本图书分给二、三年级，已知三年级所得本 数比二年级的2倍还多60
本。二、三年级各得图书多少本？


3.甲桶 有油25千克，乙桶有油17千克，乙桶倒入多少千克油给甲桶后，甲桶油是乙
桶的5倍？

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二年级1倍数
？本
共360本
三年级
？本

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【例题2】小宁有圆珠笔芯30枝，小青有圆珠笔芯15枝，问小青给小宁多少 枝后，
小宁的圆珠笔芯枝数是小青的8倍？


【思维导航】我们把变化后 小青的圆珠笔芯枝数看作1倍数，那么小宁与小青圆珠笔
芯的枝数和相当于变化后小青枝数的9倍，所以 变化后小青的枝数为（30＋15）÷（1＋8）
=5枝，再用15－5=10枝，则表示小青给小宁的 枝数。


【练习2】1.红红有邮票80张，佳佳有邮票60张，要使红红的邮票 张数是佳佳的4
倍，那么佳佳必须给红红多少张邮票？


2.甲水池有水 69吨，乙水池有水36吨，如果甲水池中的水以每分钟2吨的速度流入
乙水池，那么多少分钟后，乙水 池的水是甲水池的2倍？


3.甲书架有图书18本，乙书架有图书8本，班图书 管理员又买来图书16本，怎样分
配才能使甲书架图书的本数是乙书架的2倍？


【例题3】被除数与除数的和为320，商是7，被除数和除数各是多少？

【思维导航】由商是7可知，被除数是除数的7倍，把除数看作1份数，被除数就有
这样的7份，一 共7＋1=8份。
除数：320÷8=40
被除数：40×7=280
【练习3】1.被除数和除数和为120，商是7，被除数和除数各是多少？

2.被除数、除数、商的和为79，商是4，被除数、除数各是多少？

3.两个整 数相除商是21.余数为1.已知被除数、除数、商、余数的和一共是441。被
除数、除数各是多少？
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【例题4】两数相除商为17余6，被除数、除数、商 和余数的和是479。被除数和除
数分别为多少？

【思维导航】被除数、除数、商 和余数的和是479，减去商17和余数6，得到被除数
与除数的和为479－17－6=456；又因 为被除数比除数的17倍多6，所以456－6=450就相
当于除数的（17＋1）倍，因此除数为4 50÷（17＋1）=25，被除数为25×17＋6=431。

【练习4】1.两个整数 相除商14余2.被除数、除数、商和余数的和是243.被除数比
除数大多少？

2.在一个减法算式里，被减数、减数与差的和等于240，而减数是差的5倍。差是多
少？

3.学校买来83本书，其中科技书是故事书的2倍，故事书比文艺书多5本，这三种
书各多少本？

【例题5】两个数之和是792.其中一个数的最后一位数数字是0，如果 把0去掉，就
与另一个数相同。这两个数分别是多少？

【思维导航】把一个数的最 后一位数字0去掉，就与另一个数相同，说明这两个数中
大数是小数的10倍。又已知两个数之和是79 2.那我们就可以求出这两个数分别是多少了。
小数：792÷（10＋1）=72
大数：72×10=720
【练习5】1.两个数之和是253.其中一个数的最后一位数字 是0，如果把0去掉，就
与另一个数相同。这两个数分别是多少？


2. 师徒两人加工一批零件共693个，师傅加工零件个数的末位数字是0，如果去掉这
个0，加工的个数就 与徒弟一样多。师徒二人分别加工零件多少个？


3.甲、乙两数的和是209，甲数缩小10倍就和乙数同样大，甲、乙两数分别是多少？


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第26讲 ▍ 差倍问题（一）
知识要点
前面我们已经初 步掌握了“和倍问题”的特征和解题方法。如果知道了两个数的
差与两个数间的倍数关系，要求两个数各 是多少，这一类题，我们则把它称为“差倍问
题”。小朋友，你们有没有想到用解答和倍问题的类似方法 解答差倍问题呢？
解答差倍问题与解答和倍问题相类似，要先找出差所对应的倍数，先求1倍数，再求出几倍数。此外，还要充分利用线段图帮助分析数量关系。
用关系式可以这样表示：
两数差÷（倍数－1）=较小的数（1倍数）
较小的数×倍数=较大的数（几倍数）

【例题1】小明到市场去买水果，他买的苹果个数是梨的3倍，苹果比梨多18个。
小明买苹果和梨各多少个？
【思维导航】将梨的个数看作1倍数，则苹果的个数是这样的3倍。如下图：




苹果
？个
1倍
梨
？个
多18个
从线段图上可以看出，苹果的个数比梨多了3－1=2倍，梨的2倍是18个，所以梨有
18÷2=9 个，苹果有：9×3=27个。
【练习1】1.学校合唱组，女同学人数是男同学的4倍，女同学比男同学多42人。
合唱组有男、女同学各多少人？


2.一件皮衣价钱是一件羽绒服价钱的 5倍，又已知一件皮衣比一件羽绒服贵960元。
皮衣与羽绒服各多少元？

3.甲筐苹果是乙筐苹果的3倍，如果从甲筐取出60千克放入乙筐，那么两筐苹果重
量就相等。两 筐原来各有苹果多少千克？



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【例题2】被除数比除数大252.商是7，被除数、除数各是多少？


【思维导航】根据“商是7”可知，被除数是除数的7倍，把除数看作1倍数，被除
数就是这样的7份， 比除数多6份。
所以除数是：252÷（7－1）=42
被除数是：42＋252=294

【练习2】1.被除数比除数大168，商是22.被除数、除数各是多少？



2.除数比被除数小212.商是5，被除数、除数各是多少？



3.被除数比商大144，除数是7，被除数、商各是多少？



【例题3】水果店有两筐橘子，第一筐橘子的重量是第二筐的5倍，如果从第一筐 中
取出300个放入第二筐，那么第一筐橘子还比第二筐多60个。原来两筐橘子各有多少个？



【思维导航】根据“如果从第一筐中取出300个放入第二筐，那么第 一筐橘子还比第
二筐多60个”，说明原来第一筐比第二筐橘子多300×2＋60=660个。把第二 筐的橘子重
量看作1倍数，第一筐橘子是这样的5倍，比第二筐多4倍，第二筐橘子的4倍正好是660
个，所以第二筐原有橘子：660÷4=165个，第一筐橘子原来有：165×5=825个。 【练习3】1.同学们捐助残，六年级捐款钱数是三年级的3倍。如果从六年级捐款钱
数中取出16 0元放入三年级，那么六年级捐款的钱数还比三年级多40元。两个年级分别
捐款多少元？


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2.人民公园的杜鹃花盆数是长春园的4倍，如果从人民公园搬出188盆杜鹃 花放入长
春园，则人民公园的杜鹃花盆数就比长春园的少25盆。原来两个公园各有杜鹃花多少盆？




3.两堆煤重量相等，现从甲堆中运走24吨到乙堆，而乙 堆煤中又运入8吨，这时乙
堆煤的重量正好是甲堆煤重量的3倍。问两堆煤原来各有多少吨？



【例题4】甲、乙两个数，如果甲数加上280就等于乙数，如果乙数加上320 就等于
甲数的3倍。两个数各是多少？
【思维导航】根据题意，画出线段图：



“甲数加上280就等于乙数”，说明乙数比甲数大280；如果乙数再加上32 0，甲、乙
就相差320+280=600，把甲数看作1倍数，从图上可以看出，600就相当于甲数 的3－1=2
倍。所以，甲数为600÷2=300，乙数为300＋280=580。
【练 习4】1.甲、乙两人的存款相等，甲取出60元，乙存入20元后，乙的存款是甲
的3倍。甲、乙两人 原有存款各多少元？


2.小明和小华的连环画本数相等，若小明借给小华6本， 小华的本数是小明的4倍。
原来两人各有连环画多少本？



3 .两筐千克数相同的苹果，甲筐卖出7千克，乙筐卖出19千克后，甲筐余下的苹果
是乙筐的3倍。两筐 苹果原来各有多少千克？



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甲
？
乙
？
320
280

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【例题5】两个书架所存书的本数相等 ，如果从第一个书架里取出200本书，而第二
个书架再放入40本书，那么第二个书架的本数是第一个 书架的3倍。问两个书架原来各
存书多少本？
【思维导航】根据题意，画出线段图。
1倍数
第一个书架
？本
第二个书架
？本
40本
取出200 本





从线段图上可以看出，第一个书架取出200 本，第二个书架放进40本书后，两个书
架就相差200+40=240本，把变化后的第一个书架看作 1倍数，两个书架相差的240本就
相当于变化后第一个书架的（3－1）倍。所以，变化后第一个书架 有书：
（200＋40）÷（3－1）=120本
两个书架原来各有：120＋200=320本。
【练习5】
1.两个仓库所存粮 食重量相等，如果从第一个仓库里取出2000千克，而第二个仓库
再存入400千克，那么第二个仓库 的粮食重量就是第一个仓库的7倍。两个仓库原来各存
粮食多少千克？




2.小红和小明的铅笔枝数相等，如果奶奶再给小红16枝铅笔，给小明2枝铅笔，那
么小红的铅笔枝数就是小明的3倍。原来小红和小明各有铅笔多少枝？




3.商店有数量相等的英语本和算术本，英语本卖出160本，算术本卖出420本后，余< br>下的英语本数是算术本的3倍。两种本子原来各有多少本？




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第27讲 ▍ 差倍问题（二）
知识要点
有些差倍问题 比较复杂，不能直接利用公式进行解答，这时需要我们小朋友仔细
审题，尤其注意一些隐含条件，同时借 助线段图帮助理解题意，从而找到解题方法。
较复杂的差倍应用题，数量关系比较隐蔽。先依题意画出 线段图，数量关系就会
比较清晰地展现出来，然后借助线段图找出两个数的差以及所对应的倍数，再利用 公式
进行解答。

【例题1】有两袋玉米，大袋比小袋多56千克，如果将小袋的玉米吃掉4千克，这
时大袋的玉米重量是小袋的4倍。两袋玉米原来各重量多少千克？
【思维导航】根据题意，画出线段图。





大袋玉米
？千克
小袋玉米
？千克
56千克
4千克
从图上可 以看出，小袋玉为吃掉4千克后，大袋里的玉米就比小袋现有玉米重4+56=60
千克；又根据“这时 大袋的玉米重量是小袋的4倍”，可知把小袋现有的玉米重量看作1
倍数，大袋比小袋多的60千克正好 相当于现有小袋的4－1=3倍，所以小袋现有玉米60
÷3=20千克，原有重量20+4=24千克 ，大袋原有20×4=80千克。
【练习1】
1.有两箱玩具，第一盒比第二盒多60只。 如果从第二盒中取出3只，这时第一盒的
只数是第二盒的8倍。求两箱玩具原来各有多少只？


2.一个书架上放着一些书，第二层比第一层多12本。如果从第一层中拿走6本，这
时第二层的本数是第一层的4倍。求第一、第二层原来各有多少本书？


3.甲 、乙两桶油各有油若干千克，甲桶的油比乙桶少20千克，如果从甲桶倒出5千
克放入5千克，这时乙桶 内油的重量是甲桶的4倍。甲、乙两桶原来各有油多少千克？


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【例题2】有甲、乙两桶色拉油，如果向甲桶中倒入8 千克，则两桶色拉油就一样重；
如果向乙桶中倒入12千克，乙桶的色拉油就是甲桶的5倍。甲、乙两桶 原来各有色拉油
多少千克？


【思维导航】根据题意，画出线段图。

1倍数
甲桶
？千克
乙桶
？千克
倒入12千克倒入8千克




从线段图上可以看出：如果向甲桶倒入8千 克，两桶油重量相等，说明乙桶油比甲桶
油多8千克；如果向乙桶倒入12千克，乙桶油就比甲桶油多8 +12=20千克，与20千克相
对应的倍数差是5－1=4倍。所以，甲桶原有：（8+12）÷（5 －1）=5千克，乙桶原有5+8=13
千克。
【练习2】
1.有甲、乙两桶水， 如果向甲桶中倒入10千克水，两桶水就一样多；如果向乙桶中
倒入4千克水，乙桶的水就是甲桶的3倍 。原来甲、乙两桶各有多少千克水？



2.三（1）班同学参加英语比 赛，如果男生少去1人，男、女参赛人数相等；如果女
生少去1人，男生参赛人数是女生的2倍。三（1 ）班参加英语比赛的男、女生各几人？



3.小敏和小文每人都有一些 玻璃球，如果小敏给小文3粒，两人的玻璃球数就一样多；
如果小文给小敏1粒，小敏的玻璃球数就是小 文的5倍。小敏、小文原有玻璃球各几粒？



【例题3】甲的钱数是乙 的3倍，甲买一套180元的《百科大全》，乙买一套30元的
故事书后，两人余下的钱一样多。甲原来 有多少钱？
【思维导航】根据题意，画出线段图。
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乙


甲

30元180元
？元
把乙原有的钱看作1份，甲原有的钱不是3份；甲买书用去180元，乙买书 用去30
元，甲比乙多用去180－30=150元。从图上可以看出，这多出的150元正好相当于乙 原有
钱数的3－1=2倍，所以乙原有钱：150÷2=75元，甲原有钱75×3=225元。
【练习3】
1.甲的钱数是乙的4倍，甲买了一只30元的书包，乙买了一枝6元的钢笔后， 两人
余下的钱一样多。甲原来有多少钱？


2.丹丹的钱数是小敏的5倍 ，丹丹买了一套115元的衣服，小敏买了一双15元的鞋
子后，两人余下的钱一样多。丹丹原来有多少 钱？


3.云云的钱是小月的4倍，云云买了一套水彩笔用了19元钱，小月买了 一块1元钱
的橡皮后，两人剩下的钱一样多。云云原来有多少钱？


< br>【例题4】学校里白粉笔的盒数是彩色粉笔的4倍，如果白粉笔和彩色粉笔各购进12
盒，那么白 粉笔的盒数是彩色粉笔的3倍。原来白粉笔和彩色粉笔各有多少盒？



【思维导航】根据题意，如果彩色粉笔购进12盒，而白粉笔购进12×4=48盒，那么
现在白粉笔的 盒数仍是彩色粉笔的4倍，可见48－12=36盒就是彩色粉笔现有盒数的4－
3=1倍，所以彩色粉 笔现有36÷1=36盒，原来有36－12=24盒，白粉笔原有24×4=96盒。
【练习4】1 .有甲、乙两筐苹果，甲筐苹果的千克数是乙筐的3倍，如果两筐苹果各
增加8千克，那么甲筐苹果的千 克数就是乙筐的2倍。甲、乙两筐原来各有多少千克苹果？



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2.小明和聪聪各有一些彩色笔，小明彩色笔的枝数是 聪聪的5倍。如果每人再买4
枝彩色笔，那么小明的枝数就是聪聪的4倍。小明和聪聪原来各有彩色笔多 少枝？


3.有甲、乙两桶油，甲桶油的重量是乙桶油的5倍。如果每桶分别倒入 8千克的油，
那么甲桶油的重量是乙桶油的3倍。甲、乙两桶原来各有多少千克油？


【例题5】天天小学买来了一批篮球和足球，篮球的个数比足球的4倍多5个，篮球
比足球多26个。篮球和足球各多少个？
【思维导航】根据题意，画出线段图。




?个
足球
多26个
?个

篮球
多5个
从图上可以看出，如果把足球的个数看作1倍数，那么篮球减少5个就是足球个数的
4 倍，所以足球有（26－5）÷（4－1）=7个，篮球有7×4＋5=33个。
【练习5】1.商店 里有一些红皮球和白皮球，红皮球的个数比白皮球的3倍多2个，
红皮球比白皮球多24个。红、白皮球 各有多少个？



2.有两袋面粉，甲袋面粉比乙袋面粉的5倍多12千 克，乙袋比甲袋少132千克。甲、
乙两袋面粉各多少千克？



3.图书室里有一些故事书和连环画，故事书的本数比连环画的4倍少8本，故事书比
连环画多28本 。图书室里有故事书和连环画各多少本？




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第28讲 和差问题
知识要点
已知大小两个数的和及它 们的差，求这两个数各是多少，这类问题我们称为和差
问题。掌握了和差问题的特征和规律，我们解答起 来就很方便了。
解答和差问题通常用假设法，同时结合线段图进行分析。可以假设小数增加到与
大数同样多，先求大数，再求小数；也可以假设大数减少到与小数同样多，先求小数，
再求大数。
用数量关系表示：
（和＋差）÷2=大数
（和－差）÷2=小数

【例题1】期中考试王平和李杨语文成绩的总和是188分，李杨比王平少4分。两人
各考了多少分？
【思维导航】根据题意画出线段图。





李杨
?分
王平
?分
188分
我们可以 用假设法来分析。假设李杨的分数和王平一样多，则总分就增加4分，变为
188+4=192分，这就 表示王平的2倍，所以王平考了：192÷2=96分，李杨考了96－4=92
分。
【练习1】1.两筐水果共重124千克，第一筐比第二筐多8千克。两筐水果各重多少
千克？



2.小宁与小慧的身高总和是264厘米，又已知小宁比小慧矮8厘米。两人分别高多少
厘米？




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3.三（1）班和 三（2）班共有学生124人，如果从三（2）班调2人到三（1）班，两
班学生同样多。三（1）班、 三（2）班原来各有学生多少人？




【例题2】某机床厂第 一、二两个车间共有车床96部，如果第一车间拨给第二车间8
部，那么两个车间车床数相等。两个车间 各有车床多少部？
【思维导航】用线段图表示题意。


第一车间



已知第一、二两个车间共有车床96部，又根据“如 果第一车间拨给第二车间8部，
两个车间车床数相等”，从线段图上我们可以看出第一车间原来比第二车 间多8×2=16部
车床。所以，第一车间原有：（96+8×2）÷2=56部，第二车间原有56－ 8×2=40部。
【练习2】
1.红星小学一年级新108人，分成甲、乙两个班。如果从 甲班转3个学生到乙班去，
两班学生就一样多。甲、乙两班各有学生多少人？




2.甲、乙两筐共有水果80千克，若从甲箱取出6千克放到乙箱中，这时两箱水 果同
样多。两箱原来各有水果多少千克？



3.有三只船共运 木板9800块，第一只船比其余两船共运的少1400块，第二只船比第
三只船少运200块。三只船 各运木板多少块？



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第二车间
?部
8部
?部
96部
8部

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【例题3】哥弟俩共有邮票70张，如果哥哥给弟弟4张邮票，这时哥哥还比弟 弟多2
张。哥哥和弟弟原来各有邮票多少张？


【思维导航】我们可以这 样想，哥弟俩共有邮票70张，根据“如果哥哥给弟弟4张，
还比弟弟多2张”，说明原来哥哥比弟弟多 4×2＋2=10张邮票。所以，弟弟有邮票：（70
－10）÷2=30张，哥哥有邮票30+10= 40张。
【练习3】1.一只两层书架共放书72本，若从上层中拿出9本给下层，上层比下层
多4本。上、下层各放书多少本？




2.姐姐和妹妹共有 糖果39块，如果姐姐给妹妹7块，就比妹妹少3块。那么姐姐和
妹妹原来各有糖果多少块？



3.两笼兔子共16只，若甲笼再放入4只，乙笼取出2只，这时两笼兔子只数就 同样
多。甲、乙两笼原来各有兔子多少只？



【例题4】把一 条100米长的绳子剪成三段，要求第二段比第一段多16米，第三段
比第一段少18米。三段绳子各长 多少米？
【思维导航】用线段图来表示题意。



可以这样想 ：把第一段绳子的长度当作标
二、第三段绳子都和第一段同样长，那么总长就变为100－16＋18= 102米。
第一段绳子长：102÷3=34米
第二段绳子长：34+16=50米
第三段绳子长：34－18=16米
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第三段
？米
18米
第一段
？米
16米
第二段
？米
100米
准，假设第

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【练习4】
1.某工厂第一、二、三车间共有工人280人 ，第一车间比第二车间多10人，第二车
间比第三车间多15人。三个车间各有工人多少人？


2.某工厂将857元奖金分给有创造发明的三名优秀工人，第一名比第二名多得250元，第二名比第三名多得125元。三名优秀工人各得多少元？


3.小明期 终考试的语文、数学和英语的平均分是95分，数学比语文多6分，英语比
语文多9分。小明期终考试三 门功课各多少分？


【例题5】四个人年龄之和是88岁，最小的3岁，他与最大 的年龄之和比另外两个
人年龄之和大8岁。最大的年龄是多少岁？

【思维导航】我 们可以这样思考，将最大、最小两个人年龄的和与另外两人年龄和分
别看作大数与小数，根据四个人的年 龄和是88岁，年龄差是8岁，即可求出大数与小数。
大数：（88+8）÷2=48岁
最大的年龄：48－3=45岁
【练习5】1.小军一家四口年龄之和是129岁，小军7岁 ，妈妈30岁，小军与爷爷
年龄这和比他父母年龄之和大5岁。爷爷和爸爸的年龄各是多少岁？


2.某校四个年龄共有438名学生，其中一年级119人，四年级101人，一 、二年级的
总人数比三、四年级的总人数多52人。二、三年级各有多少人？



3.某校四个年级共有138名学生参加数学竞赛，其中一、二年级共70名，一、三年级共65名，二、三年级共59名。四年级有多少名？


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第29讲 年龄问题
知识要点
年龄问题可以说是前面所 讲的和差问题及差倍问题的综合，要正确解答这类题，
首先要弄清：两个不同年龄的人，年龄之差始终不 变，但两个人年龄的倍数关系却在不
断地变化。
年龄问题的主要特征是：大小年龄差是一个不 变的量。我们可以抓住差不变这个
特点，利用和差、差倍等知识来分析解答这类应用题。
【例题1】三年前爸爸年龄是女儿的4倍，爸爸今年43岁，女儿今年多少岁？


【思维导航】由题意可知爸爸今年43岁，则三年前爸爸的年龄是43－3=40岁，40岁
正 好是女儿年龄的4倍，女儿三年前的年龄是40÷4=10岁，今年女儿的年龄是10＋3=13
岁。
【练习1】1.四年前小林年龄是小丽的2倍，小林今年12岁，小丽今年多少岁？


2.五年前爷爷年龄是孙子的7倍，孙子今年14岁，爷爷今年多少岁？


3.儿子今年10岁，爸爸今年34岁。几年前，爸爸的年龄是儿子的4倍？


【例题2】明明4岁时，妈妈年龄是明明的8倍。今年明明12岁，妈妈今年多少岁？


【思维导航】妈妈的年龄是明明的8倍，那么妈妈与明明的年龄相差4×8－4= 28岁。
妈妈与明明的年龄差是不变的，今年明明12岁，那么妈妈的年龄是12＋28=40岁。
【练习2】1.玲玲7岁时，爸爸年龄是玲玲的5倍。今年爸爸40岁，玲玲今年多少
岁？

2.爷爷63岁时，他的年龄是小青的9倍。今年小青12岁，爷爷今年多少岁？


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3.两年前妈妈年龄是儿子的5倍，儿子今年9岁，妈妈今年多少岁？


【例题3】女儿今年3岁，妈妈今年33岁。几年后，妈妈的年龄是女儿的7倍？



【思维导航】女儿今年3岁，妈妈今年33岁，她们的年龄差是33－3=30岁。她们年< br>龄差不变，几年后，妈妈的年龄是女儿的3倍，把女儿的年龄看作1份，妈妈的年龄就有
7份，相 差7－1=6份，6份是30岁，所以几年后女儿的年龄是30÷6=5岁。也就是说，5
－3=2年后 ，妈妈的年龄是女儿的7倍。

【练习3】1.小明今年7岁，爷爷今年62岁。几年前，爷爷的年龄是小明的12倍？



2.儿子今年2岁，爸爸今年的年龄是儿子的16倍。几年后，爸爸的年龄是儿子的7
倍？



3.妈妈今年26岁，是小玲年龄的13倍。几年后，妈妈的年龄是小玲的7倍？



【例题4】4年前，妈妈的年龄是女儿的3倍，4年后，母女年龄和是56岁。妈妈今
年多少岁？



【思维导航】4年后，母子的年龄和是56岁，可求出 今年母子年龄和是56－4×2=48
岁。4年前母子年龄和是48－4×2=40岁。又根据4年前， 妈妈年龄是女儿的3倍，把女
儿年龄看作1份，妈妈的年龄就有这样的3份，共有3＋1=4份。所以4 年前女儿的年龄
是40÷4=10岁，妈妈今年的年龄是10×3＋4=34岁。
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【练习4】1.3年前，哥哥的年龄是弟弟的2倍。3年后，哥弟俩的年龄和是 30岁。
哥哥今年多少岁？


2.5年前，小明的年龄是小红的3倍。5 年后，小明和小红年龄和是44岁。今年小明
多少岁？


3.7年前，姐姐的年龄是妹妹的4倍。7年后，姐妹俩的年龄和是48岁。姐姐今年多
少岁？



【例题5】明明今年12岁，强强今年7岁，当两人的年龄和是45岁时，两人各多少
岁？



【思维导航】明明和强强的年龄差为12－7=5岁，这是一个不变量 。当两人的年龄和
是45岁时，明明比强强还是大5岁，如果从两人的年龄和45岁里减去两人的年龄差 5岁，
得到的就是两个强强的年龄。所以，强强的年龄是（45－5）÷2=20岁，明明的年龄是20
＋5=25岁。

【练习5】1.小红今年4岁，小平今年10岁，当两人的年龄和是30岁时，两人各多
少岁？


2.聪聪今年2岁，妈妈今年28岁。当母子俩的年龄和是42岁时，两人各多少岁？



3.兰兰今年12岁，婷婷今年14岁，当两人的年龄和是40岁时，两人各多少岁？


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第30讲 ▍ 还原法解题
知识要点
“一个数加上3.乘3.再减去3.最后除以3.结果还是3.这个数是几？”像这 样已知
一个数的变化过程和最后的结果，求原来的数，我们通常把它叫做“还原问题”。解答
还 原问题，一般采用倒推法，简单说，就是倒过来想。
解答还原问题，我们可以根据题意，从结果出发， 按它变化的相反方向一步步倒
着推想，直到问题解决。同时，可利用线段图表格帮助理解题意。

【例题1】一个减24加上15，再乘8得432.求这个数。

【思维导航】我们可以从最后的结果432出发倒着推想。最后是乘8得432.如果不
乘8，那应 该是432÷8=54；如果不加上15，应该是54－15=39；如果不减去24，那应该
是39＋ 24=63。
因此，这个数是63。

【练习1】1.一个数加上3.乘3.再减去3.最后除以3.结果还是3。这个数是几？


2.一个数的4倍加上6减去10，再乘2得88，求这个数。


3.一个数缩小2倍，再缩小2倍得80，求这个数。


【例题2】一段 布，第一次剪去一半，第二次又剪去余下的一半，还剩8米。这段布
原来长多少米？
【思维导航】根据题意，画出线段图。
全长的一半



余下的一半
8米
？米
从上面的线段图可以看出：剩下的8米和余下的一半同样多，那么 原长的一半是：8
×2=16米，原来长：16×2=32米。
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【练习2】1.某水果店卖西瓜，第一次卖掉总数的一半，第二次卖掉剩下的一 半，这
时还剩10只西瓜。原有西瓜多少只？


2.某人乘船从甲地到乙 地，行了全程的一半时开始睡觉，当他睡醒时发现船又行了睡
前剩下的一半，这时离乙地还有40千米。 甲、乙两地相距多少千米？



3.有一箱苹果，第一次取出全部的一半 多1个，第二次取出余下的一半多1个，箱里
还剩下10个。箱里原有多少个苹果？



【例题3】甲、乙、丙三人各有一些连环画，甲给乙3本，乙给丙5本后，三人的 本
数同样多。乙原来比丙多多少本？


【思维导航】因为乙给丙5本后， 两人同样多，可知乙比丙多5×2=10本，而这10
本中又有3本是甲给的，所以原来乙比丙多10－ 3=7本。

【练习3】1.小松、小明、小航各有玻璃球若干个，如果小松给小明10个， 小明给
小航6个后，三人的个数同样多。



2.甲、乙、丙三 个组各有一些图书，如果甲组借给乙组13本后，乙组又送给丙组6
本，这时三个组的图书本数同样多。 原来乙组和丙组哪组的图书多，多几本？


3.甲、乙、丙三个小朋友各有年历卡 若干张，如果甲给乙13张，乙给丙23张，丙给
甲3张，那么他们每人各有30张。原来3人各有年历 卡多少张？


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【例题4】李奶奶 卖鸡蛋，她上午卖出总数的一半多10个，下午又卖出剩下的一半
多10个，最后还剩65个鸡蛋没有卖 出。李奶奶原来有多少个鸡蛋？
【思维导航】根据题意，画出线段图。




剩下65个
总数的一半
余下的一半
多10个
多 10个
从图上可以看出，最后剩下的65个鸡蛋加上10个正好是余下的一半，余下的一半为
6 5+10=75个，所以上午卖出后余下75×2=150个；150个加上10个就是总数的一半，所
以总数的一半是150+10=160个，总数为：160×2=320个。
【练习4】
1 .竹篮内有若干个李子，取它的一半又1枚给第一人，再取余下的一半又2枚给第二
人，还剩6枚。竹篮 内原有李子多少枚？



2.王叔叔拿工资若干元，从工资中拿出一半多 10元存入银行，又拿出余下的一半多
5元买米、米，剩下80元买菜。王叔叔拿工资多少元？



3.妈妈买来一些橘子，小明第一天吃了一半多2个，第二天吃了剩下 的一半少2个，
还剩下5个。妈妈买了多少个橘子？



【例题5】小红、小青、小宁都喜爱画片，如果小红给小青11张画片，小青给小宁
20张画片，小 宁给小红5张画片，那么他们三人的画片张数同样多。已知他们共有画片
150张，他们三人原来各有画 片多少张？




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【思维导航】三人画片进行交换，其总张数是不会改变的。交换以后三人张数相 等，
那每人应有：150÷3=50张。再对照题中条件，把各人的画片还原，便可得到他们三人原来画片的张数。
小红：50＋11=61张；
小青：50－11＋20=59张；
小宁：50－20＋5=35张。
【练习5】
1.三筐苹果共放90千克，如果从 甲筐取出15千克放入乙筐，从乙筐取出20千克放
入丙筐，从丙筐取出17千克放入甲筐，这时三筐苹 果就同样重。甲、乙、丙筐原来各有
苹果多少千克？



2.三年级三个班共有学生156人，若从一班调5人到二班，从二班调8人到三班，从
三班调4人 到一班，这时每个班的人数正好相同。三个班原来各有学生多少人？




3.小林、小方、军军、小敏四个好朋友都爱看书，如果小林给小方10本书，小方给
军军12 本书，军军给小敏20本，小敏再给小林14本，四个人书的本数同样多。已知他
们共有112本书，他 们4人原来各有多少本书？










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第31讲 ▍ 乘法速算
知识要点
我们已经学会了整数乘法的计算方法，但计算多位数乘法要一位一位地乘 ，运算起
来比较麻烦。其实，多位数与一些特殊的数相乘，也可以用简便的方法来计算。
计算 乘法时，如果一个因数是25，另一个因数考虑可拆成4×几，这样可“先拆数
再扩整”。两位数、三位 数及更高位数乘以11.可采用“两头一拉，中间相加”的办法，
但要注意相邻两位相加作积的中间数时 ，哪一位上满十要向前一位进一。比如两位数乘
以11.我们有“两位数与11相乘，首尾不变中间变， 左右相加放中间，满十进一头就变。”

【例题1】试着计算下列各题，你发现了什么规律？
（1）26×11 （2）57×11 （3）253×11 （4）467×11

【思维导航】通过计算、观察可以发现，一个数与11相乘， 所得的结果就是将这个数
的首位和末位拉开分别作为积的最高位和最低位，再依次将这个数相邻两位由个 位加起，
和写在十位、百位……，哪一位上满十就向前一位进一。
（1）26×11=286 （2）57×11=627 （3）253×11=2783 （4）247×11=2717
【练习1】很快算出下面各题的结果。
（1）12×11 （2）34×11 （3）25×11 （4）11×44
（5）48×11 （6）65×11 （7）11×75 （8）87×11
（9）124×11 （10）305×11 （11）439×11 （12）872×11
【例题2】下面的乘法计算有规律吗？
（1）25×24 （2）21×25 （3）25×427 （4）1998×25

【思维导航】因为25×4=100，因此，一个数与25相乘，我们就看这个数里有几个4，
有几个 4就有几个100，余1就加25，余2就加50，余3就加75。
（1）25×24=100×6=600 （2）21×25=100×5+25=525
（3）25×427=100×106+75=10600+75=10675
（4）1998×25=100×499+50=49900+50=49950
【练习2】速算。
（1）12×25 （2）34×25 （3）25×121 （4）25×46
（5）148×25 （6）643×25 （7）25×7252 （8）5678×25
【例题3】很快算出下面各题的结果。
（1）24×15 （2）248×15 （3）5678×15
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【思维导航】因为15=10+5，那么24×15就可以写成24×（10+ 5），也就是用24加上
它的一半再乘以10，24+12=36，再用36×10=360。
一个因数乘以15，也就是用这个数加上它的一半再乘以10。具体过程如下：
（1） 24×15 （2）248×15 （3）5678×15
=（24+12）×10 =（248+124）×10 =（5678+2839）×10
=36×10 =360 =372×10 =3720 =8517×10 =85170
【练习3】很快算出下面各题的结果。
（1）34×15 （2）436×15 （3）8472×15


【例题4】很快算出下面各题的结果。
（1）45×9 （2）32×99 （3）78×999
【思维导航】（1）我们可以先用45×10=450，这样就多加了一个45， 因此我们还要
从450中减去1个45，即450-45=405。
（2）我们可以先用32 ×100=3200，这样就多加了一个32.因此我们还要从3200中减
去1个32.即3200- 32=3168。
（3）我们可以先用78×1000=78000，这样就多加了一个78，因此我 们还要从78000
中减去1个78，即78000-78=77922。
从上面几题可以看 出，一个数与9相乘，就用这个数乘以10，再减去这个数；一个数
与99相乘，就用这个数乘以100 ，再减去这个数；一个数与999相乘，就用这个数乘以
1000，再减去这个数。
（1）45×9 （2）32×99 （3）78×999
=45×10-45 =32×100-32 =78×1000-78
=450-45 =405 =3200-32 =3168 =78000-78 =77922
【练习4】计算。
（1）32×9 （2）461×9 （3）1234×9


（4）45×99 （5）85×99 （6）728×99


（7）24×999 （8）3×999 （9）56×999


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【例题5】下面的乘法计算有规律吗？
（1）15×15 （2）25×25 （3）35×35


（4）45×45 （5）65×65 （6）95×95


【思维导航】通 过计算我们发现，个位是5的两个相同的两位数相乘，积的末尾两位
都是25，25前面的数是这个两位 数首位数与首位数加1的积，例如：
15=225

(1) 15 ×
1×(1+1)

45=2025

(4) 45 ×
(2) 25 × 25=625
2×(2+1)
(3) 35 × 35=1225
3×(3+1)
(5) 65 × 65=4225
6×(6+1)
(6) 95 × 95=9025
9×(9+1)

4×(4+1)
我们还可以发现，这种方法还适用于个位是5的两个相同的多位数相乘的计算。
【练习5】速算。
（1）55×55 （2）75×75 （3）85×85






（4）105×105 （5）125×125 （6）995×995
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