小学三年级奥数基础教程之《能被3整除的数的特征》
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能被3整除的数的特征
上一讲我们讲了能被2，5整除的数的特征，根据这些特征
，很容易
就能判别出一个数是否能被2或5整除。同学们自然会问，有没有类似的
简便方法，直
接判断一个数能否被3整除？
我们先具体观察一些能被3整除的整数：
18，345，4737，25674
18能被3整除，1+8=9也能被3整除；
345能被3整除，3+4+5=9也能被3整除；
4737能被3整除，4+7+3+7=21也能被3整除；
25674能被3整除，2+5+6+7+4=24也能被3整除。
怎么这么巧？我们再试一个：
7896852能被3整除，7+8+9+6+8+5+2=45
也能被3整除。好了，不用再试了，同
学们可能已经在想：“是不是所有
能被3整除的数的各位数字的和都能被3整除？”结论是肯定的。它的
一
般性证明这里无法介绍，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。
由99和9都
能被3整除，推知(7×99+4×9)能被3整除。再由741
能被3整除，推知(7+4+1)能被
3整除；反之，由(7+4+1)能被3整除，推
知741能被3整除。
因此，判断一个整数能否被3整除的简便方法是：
如果整数的各位数字之和能被3整除，那么此整
数能被3整除。如果
整数的各位数字之和不能被3整除，那么此整数不能被3整除。
例1判断下列各数是否能被3整除：
2574，38974，587931。
解：因为2+5+7+4=18，18能被3整除，所以2574能被3整除；
因为3+8+9+7+4=31，31不能被3整除，所以38974不能被3整除；
因为5+8+7+9+3+1=33，33能被3整除，所以587931能被3整除。
为了今后
使用方便，我们介绍一个表示多位数的方法。当一个多位数
中有一个或几个数字用字母来表示时，为防止
理解错误，就在这个多位数
的上面划一线段来表示这个多位数。例如，表示这个三位数的百、十、
个位依次是3，a，5；又如，
依次是a，b，c，d。
例2六位数
表示这个四位数的千、百、十、个位
能被3整除，数字a=？
解
：2+5+7+a+3+8=25+a，要使25+a能被3整除，数字a只能是2，5或8。
即符合题
意的a是2，5或8。
例3由1，3，5，7这四个数字写成的没有重复数字的三位数中，有几个
能被3整除？
解：在1，3，5，7这四个数中，任取三个，共有4组：
1，3，5；1，3，7；1
，5，7；3，5，7。其中，1+3+5和3+5+7能被
3整除，所以，由1，3，5或3，5，7
写成的没有重复数字的三位数能被
3整除。由1，3，5可写成135，153，315，351，51
3，531六个三位数；
同理，由3，5，7也能写成6个三位数。
所以，符合题意的三位数有6×2=12(个)。
例4被2，3，5除余1且不等于1的最小整数是几？
解：除1以外，被2除余1的所有整数是
3，5，7，9，11，…，27，29，31，33，…
被3除余1的所有整数是
4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，…
被5除余1的所有整数是
6，11，16，21，26，31，36，…
上面三列数中，第一个同时出现的数
是31，所以31是同时满足被2，
3，5除均余1且不等于1的最小数。
例4中使用的方法是解这类题型的基本方法，但不够简捷。一个较简捷的
方法是：
因为5大于2和3，所以先从被5除余1的数
1，6，11，16，21，26，31，36，…
中找出第一个(1除外)同时满足被2和3除都余1的数31，就为所求。
到五年级学了更多的知识后，还可直接由2×3×5+1=31得到所求数。
例5同时能被2，3，5整除的最小三位数是几？
解：能被5整除的三位数是
100，105，110，115，120，125，…其中，第一个能同时被2，3整
除的数是120
(它是偶数，且1+2+0=3)，故120为所求。
?练习19
1.直接判断25874和978651能否被3整除。
3.由2，3，4，5这四个数字写成的没有重复数字的三位数中，有几
个能被3整除？
4.(1)被2，3除余1且不等于1的最小整数是几？
(2)被3，5除余2且不等于2的最小整数是几？
5.同时能被2，3，5整除的最小自然数是几？
6.同时能被2，3，5整除的最大三位数是几？
7.一根铁丝长125厘米，要把它剪成长2厘
米、3厘米、5厘米的三
种不同规格的小段。最多能剪成多少段？
答案与提示?练习19
1.不能；能。
2.a=0，3，6，9。
3.12个。
4.(1)7；(2)17。
5.30。
6.990。
7.60段。
提示：要使剪成尽量多的小段，2厘米长的应尽量多。因为三种规格
都要有
，125为奇数，剪去若干个2厘米长的小段后，剩下的长度仍是奇
数，所以3厘米、5厘米长的至少要
3段，125=114＋3＋3＋5=2×57＋3
×2＋5×1，所以2厘米的剪57
段，3厘米的剪2段，5厘米的剪1段，
此时剪成的小段最多，为
57＋2＋1=60(段)。