爱丁堡住宿-舞钢一高

一笔画


知识要点


一笔画问题是 一种有名的数学游戏．所谓一笔画，就是从图形上的某点出发，笔不离开纸，而且
每条线都只画一次不准 重复．
我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点．相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点．

1、判断图形能否一笔画的规律：
⑴ 能一笔画出的图形必须是连通的图形．
⑵ 凡是只由偶点组成的连通图形，一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点为起点．最后仍回到
这点．
⑶ 凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出．画时必须以一个奇点为起点．另一个奇点为
终点．
⑷ 奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画．

2、我们把不能一笔画成的图， 归纳为多笔画．多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半．事实上，
对于任意的连通图来说，奇点个数 必为偶数，如果有
2n
个奇点(
n
为自然数），那么这个图一定可
以 用
n
笔画成．公式是：奇点数
2
=笔画数，即
2n2n
．

一笔画
【例1】 判断下列各图能否一笔画出，并说明理由。



【例2】 判断下列各图能否一笔画出，并说明理由。
(1)(2)
(3)
(4)
(5)
(6)



多笔画

【例3】 下面各图至少需要几笔才能画成？
（1）
（2）
（3）









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【例4】 判断图中的三个图形各需要几笔才能画出？请把能一笔画的图形的画法用字母和箭头表示
出来。






【例5】 观察下面的图形，判断其需要几笔才能画出？





多笔画改一笔画
【例6】 下图中的两个图形均不能一笔画出，你能将原图形中的某一线段取消使之能够一笔画成吗？


【例7】 下图能一笔画成吗？如果不能，请你添上或减去一根线段使它能一笔画出来。




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【例8】 判断下列图形能否 一笔画．若能，请给出一种画法，若不能，请说明需要几笔才能画出，并请加
一条线或去一条线，将其改 成可一笔画的图形．
A
B
H
I
D
图a
G
GH
J
L
F
E
D
图
b
E
F
C
D
图
c
G
H
A
B
F
A
B
I
K
C
E
C



【例9】 将下图改为一笔画．






生活中的一笔画
【例10】 （第十二届“华罗 庚金杯”少年数学邀请赛初赛试题（小学组））同学们野营时建了
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个营地，
连接营地 之间的道路如图所示，贝贝要给每个营地插上一面旗帜，要求相邻的旗帜色彩不同，
则贝贝至少需要＿＿ ＿种颜色的旗子。如果贝贝从某营地出发，不走重复的路就______（填“能”
或“不能”）完成这 项任务。




【例11】 下图是一个公园的道路平面图，要使游客走遍每条路且不重复，问出、入口应设在哪里？
A
I
H
B
D
E
C
F


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【例12】 下图中每个小正方形的边长都是
100
米。小明沿线段从
A
点到
B
点，不许走重复路，他最多能走
多少米？


【例13】 小明假日去看画展，展览分四个展区，展览馆内 外一共有六扇门，平面图如下，请问小明能否
不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由。如果能， 应从哪开始走？



【例14】 下图是某博物馆的平面图， 共有五个主题展馆，相邻两馆之间有门相通，并且设有入口．博物
馆的入口以及展馆门口挂了颜色各异的 彩旗，请问你能否从入口进入一次不重复地穿过所有的
门采集到所有颜色的彩旗吗？如果可以，请指明穿 行路线，如果不能，应关闭哪个门就可以办
到？


【例15】 在一条 河的中间有两个小岛，周围有六座桥与两岸相通．问能否找到一条路线，从一岸出发，
不重复走遍所有的 桥，然后到达对岸？


【例16】 如下图所示，两条河流的交汇 处有两个岛，有七座桥连接这两个岛及河岸．问：一个散步者能
否一次不重复地走遍这七座桥？




【例17】
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世纪的哥尼斯堡城是一 座美丽的城市，在这座城市中有一条布勒格尔河横贯城区，这条河有

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两条支流在城市中心汇合，汇合处有一座小岛
A
和一座半岛
D
，人们在这里建了一座公园，公
园中有七座桥把河两岸和两个岛连接起来(如下图所 示)．如果游人要一次走过这七座桥，而且对
每座桥只许走一次，问如何走才能成功？这个有趣的问题引 起了著名数学家欧拉的注意，他证
明了七桥问题中提到的走法根本不存在．下面，我们考 虑如下两个问题：
⑴若再架一座桥，游人能否走遍所有这八座桥？若能，这座桥应架在何处？若不能， 请说明理
由．
⑵架设几座桥可以使游人走遍所有的桥回到出发地？



【例18】 下图是某博物馆的平面图，相邻两个展厅之间有一扇门相通，每一个展厅都有一 门通往馆外．问
参观者能否不重复地一次穿过每一扇门？若能，请找出一条可行路径，若不能，请说明理 由．如
果允许关闭某一扇门，问参观者能否不重复地穿过每一扇开着的门？


【例19】 （
2008
年中国台湾小学数学竞赛选拔赛复赛）有一个城市的街道图是 由一些矩形所构成，如下
图。一位警察要从
A
点出发巡逻，行经每一条路至少一次后回 到
A
点。请问他至少要行走多少
米？





【例20】 一个邮递员投递信件要走的街道如下页左上图所示，图中的数字表示各条街道的 千米数，他从
邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局。怎样走才能使所走的行程最短？全程多少千米？

【例21】 农技站有一块边长为
30
米的正方形试验田，如下图所示，用 纵横田埂划分成九个作物实验区。

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农技员从
A
处进入后能不能不走重复的路，把实验田埂全部走一遍？若不可能，请找出一条走
重复路线最 少的捷径。全程要走多少米？


【例22】 有一个邮局，负责
21个村庄的投递工作，图中的点表示村庄，线段表示道路．邮递员从邮局出
发，怎样才能不重复地经过 每一个村庄，最后回到邮局？





一课一练
【练习1】 请试着将下列图形一笔画出。
（1） （2） （3）
（4）







【练习2】 判断下列各图能否一笔画出，并说明理由。




【练习3】 观察下面的图形，判断其需要几笔才能画出？


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【练习4】 如图是一个超市的平面图，超市共有六个门，小明想一次走遍所有通道而又不走重复路线，
请你帮他设计一种进出方法．


【练习5】 某对外开发的花 房有六间展览室，每相邻的两室间有一扇门相通，平面图如下图所示。
A
处
为入口，若 要使参观者能够从入口进去一次不重复的经过所有的门，出口应该设在哪里？


【练习6】 （
2007
年秋明心奥数挑战赛）下图是某街区的示意图，各线段代表马路。街区为正方形，
边长
400
米，各小区都是
100
米
200
米的 长方形。在
S
处的某人想找到
G
处的那个人，但
是，由于他缺乏运动 ，所以，想尽量走最长的路，顺便锻炼锻炼，并且不想走重复的路。
那么，他最多可以走多少米？



【练习7】 如下图所示，有
A,B,C,D
四个小 岛，各岛之间有七座桥，游人想要一次不重复的走遍这七
座桥，能做到吗？有几种走法？要怎么走？


【练习8】 下图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅还有

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一个入口和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的门，并且从入口进，从出口出？
入口
出口

补充题库
【补充1】 地上有一个六面体形状的木块（ 如下图），小蚂和小蚁都打算在上面做巢，它们分别选择了
六面体的顶点
B
和
E
处，为了独占木块，它们决定进行一场比赛，赢的就可以拥有这个木块。比
赛内容是看谁能爬 过所有的棱线，最终到达终点
D
。已知它们的爬速相同，那么哪只蚂蚁能获胜？

【补充2】 已知长方体木块的长是
80
厘米，宽
40
厘米，高80
厘米(如下图)，并且要求蜘蛛在爬行过程
中只能前进，不能后退，同一条棱不能爬两 次．请问这只蜘蛛最多要爬行多少厘米？





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