小学数学三年级奥数教案《奥数解析：用倒推法解应用题》
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三年级奥数解析：用倒推法解应用题
综述：有些应用题解法的思考，是从应用题所叙述事情的最后结果出发，利
用已知条件一步一步倒着分
析推理。追根究底，逐步靠拢所求，直到解决问题。
这种思考问题的方法，通常我们把它叫做倒推法。
故事为铺垫例题：张二痞平时好吃懒做，还一心想发财，一天，他依在一棵
大槐树上正幻想着如
何发财，突然来了一位白发苍的老人，看透了他的心事，笑
了笑对他说：“小伙子，我知道你在想什么，
想发财，我可以帮助。”张二痞高
兴得跳起来：“真的！你帮我发了才，一定感谢你。”老人说：“我知
道你身上
有钱，但不多，这样吧，把你身上的钱往身后树洞里一放，我吹一口气，你的钱
就会增
加一倍，然后你给我32元作为报酬。”小伙子照样办了，钱果然增长了
一倍，他恳求老人再来一次，钱
一放，吹口气，又增加一倍，付给老人32元………
经过四次之后，张二痞从树洞里取出32元，付给了
老人，他变得两手空空的了。
十分沮丧。老人把钱还给张二痞说：“小伙子，要发财，还得靠自己勤劳。
”说
完老人不见。这是怎么一回事？张二痞原来有多少钱？我们用“○”表示小伙子
原来的钱数
，按照上面说的，就会得到下面的图示：
×2－32
×2－32
（2）
×2－32
（4）
（1）
（3）
从上
图就会发现，如果顺着算是很是很难算出原来的钱数，如果我们从最后的结
果，倒推回去，就很容易算出
原来的钱数，如果给老人32元，最后一次从树洞
里取出的钱就是32元，第4次放进去的钱就是32÷
2＝16元了，照这样倒推回
去，就得到下面的图示：
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×2－32
32
28
×2－32
24
×2－32
×2－32
（1）
（2）
（3）
（4）
这样倒着推算的结果是张二痞原来只有30元。
有些问题
，从已知条件出发，向所求的问题顺着推算得到答案是很困难的，如果
从应用题所叙述的叙述的最后结果
出发，倒着向前一步一步分析推算，直到解决
问题，解起来就容易得多，这种利用已知条件，按照题目叙
述的过程向相反的方
向倒着推理思考、解答问题的方法，通常叫做“倒推法”。
例1 小聪问
小明：“你今年几岁？”小明回答说：“用我的年龄数减去8，乘以
7，加上6，除以5，正好等于4。
请你算一算，我今年几岁？”
分析与解 分析时可以从最后的结果“4”逐步倒着推。这个数没除以5
时应该是多少？没加上6时应该是多少？没乘以7时是多少？没减去8
时是多少？这样依次逆推
，就可以推出小明的年龄数。
（1）“除以5，正好等于4”。如果不除以5时，此数是：
4×5=20
（2）“加上6”此数是20，如果没加上6时，该数是：
20-6=14
（3）“乘以7”此数是14，如果不乘以7时，这个数是：
14÷7＝2
（4）“我的年龄数减去8”，此数是2，如果不减去8时，我的年龄
数是：
2＋8=10
综合列式计算：
（4×5-6）÷7+8
=（20-6）÷7+8
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＝14÷7＋8
=10（岁）
验算：为了保证解题正确，可按原题的叙述顺序进行
列式计算，看最
后结果是否“正好等于4”。若等于4，则解题正确。
［（10-8）×7＋6］÷5
=（2×7+6）÷5
＝20÷5
=4
答：小明今年10岁。
例2 一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用
去余下的一半
少10米，第三次用去15米，最后还剩7米。这捆电线原来有多少米？
分析与解 为了帮助同学们分析数关系，可依照题意画出图1。
从线段图上可以看出：
（1）7+15-10=12（米），就是第一次用去后余下的一半。
（2）12×2=24（米），就是余下的电线长度。
（3）24＋3=27（米），就是全长的一半。
（4）27×2=54（米），就是原来电线的长度。
综合列式计算：
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［（7＋15-10）×2＋3］×2
=（12×2+3）×2
=27×2
=54（米）
验算：第一次用去的：54÷2＋3=30（米）
第二次用去的：（54-30）÷2-10=2（米）
剩下的：54-30-2-15=7（米）
答：这捆电线原来有54米。
例3
、一条毛毛虫从幼虫长到成虫，每天长一倍，24天能长到20厘米，
当长到5厘米时需要用多少天？
解题关键：毛毛虫每天长一倍的意思是：第二天的身长是第一天的2倍，
第三天的身长是第二天
的2倍，第四天的身长是第三天的2倍，……，从
24天能长到20厘米开始，往前倒推，当长到20÷
2＝10厘米时，就是第
23天，以此倒推。
解法一：用倒推法解
20÷2÷2＝5（厘米）24－1－1＝22天。
解法二：用列表倒推法解：
出生天数
24
23
22
答长到5厘米时要用22天。
例4：小马虎在做一道加法题目时，把个位上的5看成了9，把十位上的
8看成了3，结果得到的“和”是123。问：正确的结果应是多少？
幼虫身长（厘米）
20
10
5
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分析：利用还原法。因为把个位上的5看成9，所以多加了4；又因
为把十位上的8看成3
，所以少加了50。在用还原法做题时，多加了的4
应减去，多减了的50应加上。
解：123-4＋50＝169。
答：正确的结果应是169。
例5：甲、乙
、丙三组共有图书90本，乙组向甲组借3本后，又送给丙
组5本，结果三个组拥有相等数目的图书。问
：甲、乙、丙三个组原来各
有多少本图书？
分析与解：尽管甲、乙、丙三个组之间将图书借来
借去，但图书的总数
90本没有变，由最后三个组拥有相同数目的图书知道，每个组都有图书
9
0÷3＝30（本）。根据题目条件，原来各组的图书为
甲组有30＋3＝33（本），
乙组有30—3＋5＝32（本），
丙组有30—5＝25（本）。
例6
：袋里有若干个球，小明每次拿出其中的一半再放回一个球，这样共
操作了5次，袋中还有3个球。问：
袋中原有多少个球？
分析与解：利用逆推法从第5次操作后向前逆推。第5次操作后有3个，
第4次操作后有（3—1）×2＝4（个），第3次……为了简洁清楚，可以
列表逆推如下：
初始状态
第1次操作
第2次操作
第3次操作
第4次操作
第5次操作
球数个
(18-1) ×2=34123
(10-1) ×2=18
(6-1) ×2=10
(4-1) ×2=6
(3-1) ×2=4
3
所以原来袋中有34个球。
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例7：货场原有煤若干吨。第一次运
出原有煤的一半，第二次运进450吨，
第三次又运出现有煤的一半又50吨，结果剩余煤的2倍是12
00吨。货场
原有煤多少吨？
分析与解
这道题由于原有煤的总吨数是未知的，所以要想顺解是很不容
易的，我们先看图2，然后再分析。
结合上面的线段图，用倒推法进行分析，题中的数量关系就可跃然纸
上，使同学们一目了然。
根据“剩余煤的2倍是1200吨”，就可以求出剩余煤的吨数；根据
“第三次运出现有煤的一半又50
吨”和剩余煤的吨数，就可以求出现有
煤的一半是多少吨，进而可求出现有煤的吨数；用现有煤的吨数减
去第二
次运进的450吨，就可以求出原有煤的一半是多少，最后再求出原有煤多
少吨。
（1）剩余煤的吨数是：
1200÷2＝600
（2）现有煤的一半是：
600＋50=650（吨）
（3）现有煤的吨数是：
650×2=1300
（4）原有煤的一半是：
1300-450=850（吨）
（5）原有煤的吨数是：
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850×2=1700
综合列式计算：
［（1200÷2＋50）×2-450］×2
=［（600＋50）×2-450］×2
=（650×2-450）×2
=（1300-450）×2
＝850×2
=1700（吨）
验算：第一次运出的煤：1700÷2=850（吨）
第二次运进后现有的煤：
1700-850＋450=1300（吨）
第三次运出的煤：1300÷2＋50=700（吨）
剩余的煤：1300-700=600（吨）
剩余煤的2倍是：600×2=1200（吨）
验算结果符合题意，说明解题正确。
答：货场原来有煤1700吨。
例8
有一筐苹果，甲取出一半又1个；乙取出余下的一半又1个；丙取
出再余下的一半又1个，这时筐里只剩
下1个苹果。这筐苹果共值6元6
角，问每个苹果平均值多少钱？
分析与解 请看线段图3。
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从上面的线段图可以
看出：最后剩下的1个再加上丙取出的1个就是
再余下的一半，即2个是再余下的一半，因此，再余下的
就是（2×2=）4
个；
4个再加上乙取出的1个就是余下的一半，所以，甲取出后余下的就
是（5×2=）10个；
10个再加上甲取出的1个就是全筐的一半，所以，全筐苹果的总数
是（11×2=）22个。
22个苹果共值6元6角，于是可求出每个苹果平均值多少钱。
（1）先求有多少个苹果：
｛［（1＋1）×2＋1］×2＋1｝×2
=｛［2×2＋1］×2+1｝×2
=（5×2+1）×2
=11×2=22（个）
（2）再求每个苹果平均值多少钱:
6元6角=66角或6.6元
66÷22=3（角）或6.6÷22=0.3（元）
验算：甲取出的：22÷2+1=12（个）
乙取出的：（22-12）÷2+1=6（个）
丙取出的：（22-12-6）÷2＋1=3（个）
最后剩下的：22-（12＋6＋3）=1（个）
整筐苹果共值：3×22=66（角），即6元6角。
验算结果符合题意，证明解题正确。
答：每个苹果平均值3角钱。
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倒推法也是一种常用的思考方法，在解答这类应用题时，要根据题目的特
点，从问题的最后结果着手倒推去解决问题。有些题目如果用倒推法去解，
那么就可以化难为易，化繁为
简。请你做下面的练习，以便更好地掌握这
种方法。
解题在于实践：
1．一个数加上2，减去3，乘以4，除以5，结果等于12。问这个数
是多少？
2．一个数加上8，乘以8，减去8，除以8，结果还是8。问这个数
是多少？
3．修路
队修一条公路，第一天修了全长的一半少40米；第二天修了
余下的一半多10米，还剩60米。这条公
路全长多少米？
4．妈妈从副食店买回几个鸡蛋。第一天吃了全部的一半又半个，第
二天
吃了余下的一半又半个，第三天又吃了余下的一半又半个，恰好吃完。
妈妈从副食店买回多少个鸡蛋？
5．某仓库运出四批原料，第一批运出的占全部库存的一半，第二批
运出的占余下的一半，
以后每一批都运出前一批剩下的一半。第四批运出
后，剩下的原料全部分给甲、乙、丙三个工厂。甲厂分
得24吨，乙厂分
得的是甲厂的一半，丙厂分得4吨。问最初仓库里有原料多少吨？
6．
有砖26块，兄弟二人争着去挑。弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥
赶到了。哥哥看弟弟挑得太多，就抢过
一半。弟弟不肯，又从哥哥那儿抢
走一半。哥哥不服，弟弟只好给哥哥5块，这时哥哥比弟弟多挑2块。
问
最初弟弟准备挑多少块？
答案：
1．这个数是16。
12×5÷4+3-2=15+3-2=16
2．这个数是1。
（8×8+8）÷8-8=（64+8）÷8-8=9-8=1
3．这条公路全长200米。
[（60+10）×2-40]×2=（140-40）×2=200（米）
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4．7个。
有的
同学一看每次都吃“一半又半个”，认为这不符合实际，于是就
不去进行仔细认真地分析，被“半个”这
一假象所迷惑。其实，只要采用
倒推法，就很容易知道第三天吃了0.5×2=1（个），于是问题就可
以迎
刃而解了。
[（0.5×2+0.5）×2+0.5]×2
=（1.5×2+0.5）×2
=3.5×2=7（个）
5．最初仓库里有原料640吨。
先求第四批运出后剩下多少吨原料：
24+24÷2+4=24+12+4=40（吨）
再用倒推法求最初仓库里有原料多少吨：
40×2×2×2×2=640（吨）
6．最初弟弟准备挑16块。
先利用“和差”问题的解法求弟弟最后挑多少块：
（26-2）÷2=24÷2=12（块）
再利用倒推法求最初弟弟准备挑多少块：
｛26-[26-（12+5）]×2｝×2
=｛26-[26-17]×2｝×2
=（26-9×2）×2
=8×2=16（块）