二次微分方程的通解
房地产估价师考试科目-全球艺术学院排名
第六节 二阶常系数齐次线性微分方程
教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐
次线性微分方程的解法
教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法
教学过程
：
一、
二阶常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程 方程
y py qy °
称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p、q均为常数
那么y
C
i
y
i
C
2
y
2
就是它的
如果y
i
、
y
是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解
通解
我们看看
方程
y py qy °
得
(r
2
pr q)e
rx
0
由此可见
只要r满足代数方程r
2
pr q °函数y e
rx
就是微分方程的解
特征方程
可用公式
方程r
2
pr q °叫做微分方程y
py qy 0的特征方程
能否适当选取r使y 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将y
e
rx
代入
特征方程的两个根 r
i
、r
2
p
Jp
2
4q
r
1,2
求出
特征方程的根与通解的关系
(1)特征方程有两个不相等的实根
的解
这是因为
r
i
、r
2
时 函数
y
i
e
rix
、
y e
r2X
是方程的两个线性无关
V e
「
i
X
函数
y
i
e
、
V
2
e
riXr2X
是方程的解又丛务
e
(ri
r2
)
x
不是常数
V
2
e
2
因此方程的通解为
y C
i
e
i
r
i
X
C
2
e
2
yx
(2)特征方程有两个相等的实根 r
i
r
2
时 函数
y
e
riX
、
y
2
xe
riX
是二阶常系数齐次线性微分
方程的两个线性无关的解
这是因为
y
i
e
rix
是方程的解又
(xe
rix
) p(xe”
X
) q(xe
X
)
(2r
i
xr
i
2
)e
rix
p(i
xr-
i
)e
rix
qxe
rix
e
rix
(2r
i
p)
xe
rix
(r
i
2
pr
i
q) 0
r x
所以
ye
y
2
rix
xe
rix
也是方程的解 且里 欝
x
不是常数
i
因此方程的通解为
y Ge
rix
C
2
xe
rix
(3)特征方程有一对共轭复根 r
i,
2
i时函数y e
(
'
)
x
、y
e
(
i)x
是微分方程的两个线性无
关的复数形式的解 函数y
e
x
cos x、y e
x
sin
x是微分方程的两个线性无关的实数形式的解
函数y
i
e
( i
)x
和
y
e
( i )x
都是方程的解 而由欧拉公式 得
y
i
e
( i )x
e
x
(cos x
isin x)
y
(
i
)
x x
2
e
e (cos x isin x)
i
y
i
y
2
2e
x
cos x
e
x
cos x
才(％
y
2
)
i
y
i
y
2
2ie
x
sin x
e
x
sin x
可(％
y
2
)
故e
x
cos
x、y
2
e
x
sin x也是方程解
可以验证y
i
e
x
cos x、
y
e
x
sin
x是方程的线性无关解
因此方程的通解为
y e
x
(C
i
cos x C
2
sin x )
求二阶常系数齐次线性微分方程 y py qy 0的通解的步骤为
第一步
写出微分方程的特征方程
r
2
pr q 0
第二步求出特征方程的两个根 r
i
、r
2
第三步
根据特征方程的两个根的不同情况 写出微分方程的通解
例i求微分方程y 2y 3y 0的通解
解所给微分方程的特征方程为
r
2
2r 3 0 即(r i)(r
3) 0
其根r
i
i r
2
3是两个不相等的实根
因此所求通解为
y C
i
e
x
C
2
e
3x
例2求方程y 2y y 0满足初始条件y|<
0
4、y |
x 0
2的特解
欢迎下载
2
解所给方程的特征方程为
r
2
2r 1 0
即(r 1)
2
0
其根r
i
r
2
1是两个相等的实根 因此所给微分方程的通解为
y (C
i
C
2
x)e
x
将条件y|
x 0
4代入通解 得C
i
4从而
y (4 C
2
x)e
将上式对x求导得
(C
2
4
C
2
x)e
再把条件y|
xo
2代入上式 得C
2
2于是所求特解为
x (4 2x)e
例3求微分方程y 2y 5y 0的通解
解所给方程的特征方程为
r
2
2r 5 0
特征方程的根为r
i
1 2i r
2
1 2i是一对共轭复根
因此所求通解为
y e
x
(C
1
C0s2x
C
2
sin2x)
n阶常系数齐次线性微分方程 方程
y
(n)
p
1
y
(n 1}
p
2
y
(n 2)
p
n 1
y p
n
y 0
称为n阶常系数齐次线性微分方程 其中p
1
p
2
p
n
1
p
n
都是常数
二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式 可推广到
线性微分方程上去
引入微分算子 D及微分算子的n次多项式
L(D)=D
n
p
1
D
n 1
p
2
D
n 2
p
n 1
D p
n
则n阶常系数齐次线性微分方程可记作
(D
n
p
1
D
n 1
P
2
D
n 2
p
n 1
D p
n
)y 0 或
L(D)y 0
注 D 叫做微分算子 D
0
y y Dy y
D
2
y y D
3
y y D
n
y y
(n)
分析令y 则
L(D)y L(D) e^ (r
n
p
1
r
n 1
p
2
r
n 2
p
n 1
r p
n
)e
rx
L(r)e
rx
因此如果r是多项式L(r)的根 则y
e伏是微分方程L(D)y 0的解
n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程
L(r)
r
n
p
1
r
n 1
p
2
r
n 2
p
n 1
r p
n
0
称为微分方程L(D)y 0的特征方程
特征方程的根与通解中项的对应
单实根r对应于一项 Ce
rx
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n阶常系数齐次
3
一对单复根r
i 2
i对应于两项 e
x
(
C
i
cos x C
2
sin x)
k重实根r对应于k项e
rx
(C
i
C
2
X
C
k
x
k 1
)
一
对k重复根r
i 2
i对应于2k项
e
x
[(C
i
C
2
x C
k
x
k 1
)cos x (
D
i
D
2
x D
k
x
k 1
)sin
x]
例4求方程y
⑷
2y 5y 0的通解
解这里的特征方程为
r
4
2r
3
5r
2
0 即
r
2
(r
2
2r 5) 0
它的根是r
i
r
2
0和r
3 4
1 2i
因此所给微分方程的通解为
y C
x
1
C
2
x e (C
3
cos2x
C
4
sin2x)
例5求方程y
⑷
4
y
0的通解 其中 0
解这里的特征方程为
r
4 4
0
它的根为
H
,
2
旷
(1 i)
r
3
,
4
因此所给微分方程的通解为
一
x
一
x
ye
2
(C
1
cos
一
x C
2
sin
一
x) e
2
(C
3
cos
一
x
C
4
sin—x)
二、二阶常系数非齐次线性微分方程简介
二阶常系数非齐次线性微分方程 方程
y py qy f(x)
称为二阶常系数非齐次线性微分方程 其中p、q是常数
二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程
的通解y
Y(x)与非齐次方程本身的一个特解 y y*(x)之和
y Y(x) y*(x)
当f(x)为两种特殊形式时 方程的特解的求法
一、f(x)
P
m
(x)e
x
型
当f(x)
P
m
(x)e
x
时可以猜想
方程的特解也应具有这种形式
y* Q(x)e
x
将其代入方程 得等式
Q (x) (2 p)Q (x)
(
2
p
q)Q(x)
P
m
(x)
(1)如果 不是特征方程
项
r
2
pr
q 0的根则
2
p q
0要使上式成立
式
Q
m
(x)
b
°
x
m
b
1
X
m 1
b
m 1
X b
m
通过比较等式两边同次项系数
欢迎下载
可确定b
0
b
1
b
m
并得所求特解
因此设特解形式为
Q(x)应设为m次多
4
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5
y* Q
m
(x)e
x
(2)如果是特征方程r
2
pr q
o的单根 贝U
2
p q o但2 p o要使等式
Q (x) (2 P)Q (x) (
2
q)Q(x) P
m
(x)
成立Q(x)应设为m
1次多项式
Q(x) xQ
m
(x)
Q
m
(x)
b
o
x
m
b
1
x
m 1
b
m 1
X b
m
通过比较等式两边同次项系数
可确定b
o
b
i
b
m
并得所求特解
y* xQ
m
(x)e
x
(3)如果是特征方程r
2
pr q o的二重根 贝U
2
p q o 2 p o 要使等式
Q (x) (2 p)Q (x)(
2
p q)Q(x) P
m
(x)
成立Q(x)应设为m
2次多项式
Q(x) x
2
Q
m
(x)
Q
m
(x) b
o
x
m
b
1
x
m 1
b
m i
x b
m
通过比较等式两边同次项系数
可确定b
o
b
i
b
m
并得所求特解
y*
x
2
Q
m
(x)e
x
综上所述
我们有如下结论
如果f(x) P
m
(x)e
x
则二阶常系数非齐次线性微分方程 y py qy f(x)
有形如
y* x
k
Q
m
(x)e
x
的特解
其中Q
m
(x)是与P
m
(x)同次的多项式 而k按 不是特征方程的根、
是特征方程的单根或
是特征方程的的重根依次取为 0、1或2
例1求微分方程y 2y
3y 3x 1的一个特解
解这是二阶常系数非齐次线性微分方程 且函数 f(x)是
P
m
(x)e
x
型(其中 P
m
(x) 3x 1
。
)
与所给方程对应的齐次方程为
y 2y 3y 0
它的特征方程为
r
2
2
2r 3 0
由于这里
o不是特征方程的根 所以应设特解为
y* b
o
x b
1
把它代入所给方程 得
3b
o
x 2b
o
3b
1
3x 1
比较两端x同次幕的系数得
3b
o
3
2b
o
3b
1
1
3bo 3 2bo 3b1 1
欢迎下载
6
由此求得
b01
d
1
于是求得所给方程的一个特解为
y*
例2求微分方程y 5y 6y
xe
2x
的通解
解所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程
且
f(x)是 P
m
(x)e
X
型(其中 P
m
(x) X
2)
与所给方程对应的齐次方程为
y 5y 6y 0
它的特征方程为
r
2
5r 6 0
特征方程有两个实根 「2「
2
3于是所给方程对应的齐次方程的通解为
Y C
i
e
2x
C
2
e
3x
由于 2是特征方程的单根 所以应设方程的特解为
y* x(b
o
x b
i
)e
2x
把它代入所给方程 得
2b
o
x 2b
o
b
i
x
比较两端x同次幕的系数得
2b
o
1
2b
o
1 2b
o
b
i
0
2b
o
b
i
0
由此求得
b
o
1
b
1
2
1于是求得所给方程的一个特解为
y* x( ^x 1)e
2x
从而所给方程的通解为
y
C
1
e
2x
C
2
e
3x
扣
2
2x)e
2x
提示
y*
x(b
o
x b
1
)e
2x
(b
o
x
2
b
1
X
)
e
2x
[(b
o
x
2
b
1
x)e
2x
] [(2b
o
x
b
1
) (b
o
x
2
b
1
x)
2]e
2x
[(b
o
x
2
b
1
x)e
2x
] [2b
o
2(2b
o
x b
1
) 2
(b
o
x
2
b
1
x)
2
2
]e
2x
y* 5y* 6y*
[(b
o
x
2
b
1
x)e
2x
]
5[(b
o
x
2
b
1
X
)
e
2x
]
6[(b
o
x
2
b
1
X
)
e
2x
]
[2b
o
2(2b
o
x b
1
) 2
(b
o
x
2
b
1
x)
2
2
]e
2x
5[(2 b
o
x
b
1
) (b
o
x
2
b
1
x)
2]e
2x
6(b
o
x
2
b
1
x)e
2x
[2 b
o
4(2
b
o
x b
1
) 5(2b
o
x
b
1
)]e
2x
[ 2b
o
x 2b
o
b
1
]e
2x
方程 y py qy e
X
[P
i
(x)cos x P
n
(x)sin
x]的特解形式
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7
应用欧拉公式可得
e
x
[P
i
(
x)cos x P
n
(x)sin
x]
e
x
[R(x
)
e
x
e
i x
P
n
(X$$
x
e
i
x
2i
-]
1
【
P(x) iP
n
(x)]e
( i )x
2
【
P
(
X
)
iP
n
(x)]e
( i )x
P(x)e
( i )x
P(x)e
(
i )x
其中
P(x)
1
(F
|
P
n
i) P(x) *P P
n
i)
而 m max{
l n} 设方程 y py qy P(x)e
( i )x
的特解为
y
i
* x
k
Q
m
(x)e
( i )x
则
％
* x
k
Q
m
(x)e
(
i
)
必是方程
y py qy P(x)e
(
i
)
的特解
其中k按 i不是特征方程的根或是特征方程的根依次取
0或1
于是方程 y py qy e
x
[P
l
(x)cos
x P
n
(x)sin x]的特解为
y*
x
k
Q
m
(x)e
(
i )x
x
k
Q
m
(x)e
(
i )x
x
k
e
x
[Q
m
(x)(cos x isin
x) Q
m
(x)(cos x isin x)
x
k
e
x
[R
(1)
m
(x)cos x
R
⑵
m
(x)sin x]
综上所述我们有如下结论
如果f(x) e
x
[P
l
(x)cos x
P
n
(x)sin x]则二阶常系数非齐次线性微分方程
y py qy
f(x)
的特解可设为
y* x
k
e
x
[R
⑴
m
(x)cos x
R
⑵
m
(x)sin x]
其中
R
⑴
m
(x)、R
⑵
m
(x)是m次多项式 m max{l n}而k按 i (或 i
)不是特征方程的根或是
特征方程的单根依次取 0或1
例3求微分方程y y
xcos2x的一个特解
解所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程
且 f(x)属于
e
x
[P
l
(x)cos x P
n
(x)sin
x]型(其中 0 2 P
l
(x) x P
n
(x) 0)
与所给方程对应的齐次方程为
y y 0
它的特征方程为
r
2
1 0
由于这里 i 2i不是特征方程的根 所以应设特解为
y* (ax b)cos2x (cx d )sin2x
把它代入所给方程 得
(3ax 3b 4c)cos2x (3cx 3d 4a)sin2x xcos2x
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8
比较两端同类项的系数
得
a
1
b 0 c 0 d -
3 9
于是求得一个特解为
y*
】
xcos2x
-
3
sin2x
9
提示
y* (ax b)cos2x (cx
d)sin2x
y* acos2x 2(ax b)sin2x csin2x 2(cx
d)cos2x
(2cx a 2d)cos2x ( 2ax 2b c)sin2x
y* 2ccos2x 2(2cx a 2d)sin2x 2asin2x 2( 2ax 2b
c)cos2x
(4ax 4b 4c)cos2x ( 4cx 4a 4d)sin2x
y* y* ( 3ax 3b 4c)cos2x ( 3cx 4a 3d)sin2x
3a 1
3b 4c 0
3c 0
4a 3d 0
欢迎下载
9