十一法定假日几天-一夜的工作教案

第一章 绪 论
例1-1 求下列微分方程
（1）通过点
(2,1)
；
dy
3x
2
的通解，并分别求满足下列条件的特解。
dx
（2）与直线
yx
相切；
（3）与直线
y3x1
正交。
解 直接积分得方程的通解为
yx
3
C
。
（1）将
x2 ,y1代入通解中
得
C7
，则通过点
(2,1)
解为
yx
3
7
。
2
（2）与直线
yx
相切的解 满足在切点处斜率相同，有
3x1
，即得
x
1
3
，切
点坐标为
(
1
3
,
1
3
)
和(
1
3
2
,
1
3
)
。同（1）的 解法，与直线
yx
相切的解为
yx
3

2
33
和
yx
3
33
。
2
11
，即得x
，正交
33
11551
33
点坐标为
(,0)< br>和
(,2)
。同（1）的解法所求方程的解为
yx
和
y x
。
332727
（3）与直线
y3x1
正交的解在正 交点处斜率满足
3x
评注：求方程满足某条件的特解，关键要找到所求积分曲线经过的某一特 定点的坐标，
代入通解中确定出任意常数即可得特解。
例1-2 求与曲线族
yCe
正交的曲线族。
xx
解 因为曲线族
yCe
满足的微分方程为
y

y
，所以与曲线族
yCe
正交的曲线
x
族满足的微分方程为
y


1
， 解之得
y
2
2xC
，这就是所求曲线族方程。
y
评 注：首先对已给定的曲线族求得其满足的微分方程，其次借助于正交性得到所求曲线
族满足的微分方程， 再求解此微分方程。有时直接给出一个微分方程，要求求得与此微分方
程的积分曲线族正交（或夹角为某 一固定值）的曲线族。
例1-3 求一曲线方程，使曲线上任一点平分过该点的法线在两坐标轴之间的线段。
解 设所求的曲线为
yy(x)
，过曲线上任一点
(x,y)
的法线方程为

Y
1
(Xx)y
，

y
x
y)
，由题可得
y

它与x,y
轴的交点分别为
(yy

x,0),(0,

2xyy

x

，
x


2y< br>y

y

故这条曲线满足方程

xyy

dyx


，
x
，即

y
dxy


y

解之得
y
2
x
2
C
，这就是所求曲线方程。
评注： 根据题目的具体已知条件和基本的数学公式及定理建立等式关系，注意切线与法
线的特点及其关系，从而 列出微分方程，经常会用到曲线
yf(x)
在一点
(x,y)
的斜率表达式
dy
y
、过该点的切线的横截距
x
和纵截距
y xy

及过该点的法线的横截距
yy

x

dx
y
和纵截距
x
y
等表达式。
y

例1 -4质量为
m
的物体在重力的作用下，沿铅直线下落，物体下落距离
s
（向下 为正）
随时间而改变。在不考虑空气阻力的情况下，试求出距离
s
应满足的微分方程。
解 设在时刻
t
物体下落的距离为
s(t)
，则按牛顿第二定律 < br>d
2
s
m
2
mg
（
g
为重力加速 度），
dt
d
2
s
g
，
dt
2s(t)
1
2
gtC
1
tC
2
。
2
评注： 这是根据实际意义建立相应的微分方程模型来解决问题的，关键要掌握方程中
dsdvd
2
s
v,a,
2
a
等等，再结合物理学 中的基本定各个变量的具体物理意义，例如，
dtdt
dt

律和定理来 建立方程。