我们这一年-党支部书记工作总结

实用标准文案
第六节 二阶常系数齐次线
性微分方程
教学目 的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方
程的解法，了解二阶常系数非齐次线性
微分方程的解 法

教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法
教学过程
：
一、
二阶常系数齐次线性微分方程

二阶常系数齐次线性微分方程 方程

y

py

qy
0
称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中
p
、
q
均为常数
如果
y
1
、
y
2
是二阶常系数齐次线性微 分方程的两个线性无
关解 那么
y

C
1
y
1< br>
C
2
y
2
就是它的通解
我们看看 能否适当选取
r
 使
y

e
rx

满足二阶常系数齐
次线性微分方程 为此将
y

e
rx
代入方程
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实用标准文案

y

py

qy
0
得
(
r

2

pr

q
)
e
rx

0
由此可见 只要
r
满足代数方程
r
2

pr

q
0 函数
y

e
rx
就是微
分方程的解
特征方程 方程
r
2

pr

q
0叫做微分方 程
y

py

qy
0的
特征方程 特征方程的两个根
r
1
、
r
2
可用公式

求出
特征方程的根与通解的关系
(1)特征方程有两个不相等的实根
r
1
、
r
2
时 函数
y
1
e
rx
、
1
pp
2
4q
r
1,2

2

y
2
e
r
2
x
是方程的两个线性无关的解
这是因为
函数
y
1
e
、
y
2
e
是方程的解 又
r
1
xr
2
x
y
1
e
r
1
x
(r
1
r
2
)x
e
不是常数 
y
2
e
r
2
x
因此方程的通解为

yC
1
e
r
1
x
C
2
er
2
x

11
y
2
xe
rx
(2)特征方程有两个相等的实根
r
1

r
2
时 函数< br>y
1
e
rx
、
是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无 关的解
这是因为

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y
1
e
r
1
x
是方程的解 又
r< br>1
xr
1
x
2
r
1
x
(xe
r
1
x
)

p(xe
r
1
x
)

q(xe
r
1
x
)(2r
1
 xr
1
)ep(1xr
1
)eqxe

实用标准文案

e
r
1
x
(2
r
1
p
)
xe
r
1
x
(
r
1
2
pr
1
q
)
0

r
1
x
所以
y
2
xe
也是方程的解 且
因此方程的通解为

yC
1
e
r
1
x
C
2
xe
r
1
x

y
2
xe
r
1
x
x
不是常数
y
1
e
r
1
x
(3)特征方程有一对共轭复根
r
1, 2



i
时 函数
y

e
(


i

)
x
、
y

e
(


i

)
x
是微分方程的两个线性 无关的复数形式的解 函数
y

e

x
cos
 x
、
y

e

x
sin
x
是微 分方程的两个线性无关的实数形
式的解
函数
y
1
< br>e
(


i

)
x
和
y< br>2

e
(


i

)
x< br>都是方程的解 而由欧拉公式
得
y
1

e< br>(


i

)
x

e
< br>x
(cos
x

i
sin
x
)

y
2

e
(


i
)
x

e

x
(cos
x

i
sin
x
)
y
1

y
2
2
e

x
cos
x

e

x
cos

x
1
(
y
1< br>y
2
)

2
y
1

y
2
2
ie

x
sin
x

e

x
sin

x
1
(
y
1< br>y
2
)

2i
故
e

xcos
x
、
y
2

e

x
sin
x
也是方程解
可以验证
y
1

e

x
cos
x
、
y
2

e< br>
x
sin
x
是方程的线性无关解
因此方程的通解为

y

e

x
(
C
1
cos
x

C
2
sin
x
)
求二阶常系数齐次线性微分方程
y

p y

qy
0的通解的
步骤为
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实用标准文案
第一步 写出微分方程的特征方程

r
2

pr

q
0
第二步 求出特征方程的两个根
r
1
、
r
2

第三步 根据特征方程的两个根的不同情况 写出微分方程的
通解
例1 求微分方程
y
2
y
3
y
0的通解
解 所给微分方程的特征方程为

r
2
2
r
30 即(
r
1)(
r
3)0
其根
r
1
1
r
2
3是两个不相等的实根 因此所求通解为

y

C
1
e

x

C
2
e
3
x

例2 求方程
y
2
y

y
0满足初始条件
y
|
x

0< br>4、
y
|

x

0
2
的特解
解 所给方程的特征方程为

r
2
2
r
10 即(
r
1)
2
0
其根
r
1

r
2
1是两个相等的实根 因此所给微分方程的通解为

y
(
C
1

C
2
x
)
e

x

将条件
y
|
x

0
4代入通解 得
C
1
4 从而

y
(4
C
2
x
)
e

x

将上式对
x
求导 得

y
(
C
2
4
C
2
x
)
e

x< br>
再把条件
y
|
x

0
2代入上式 得
C
2
2 于是所求特解为
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x
(42
x
)
e

x

例 3 求微分方程
y
2
y
5
y
 0的通解
解 所给方程的特征方程为

r
2
2
r
50
特征方程的根为
r
1
12
i

r
2
12
i
 是一对共轭复根
因此所求通解为

y

e
x
(
C
1
cos2
x

C
2
sin2
x
)
n
阶常系数齐次线性微分方程 方程

y
(
n
)

p
1
y
(
n

1)

p
2
y
(
n

2)
    
p
n

1
y

p
n
y
0
称为
n
阶常系数齐次线性微分方程 其中
p
1

p
2
    
p
n

1

p
n
都是常数

二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解
形式 可推广到
n
阶常系数齐次线性微分方程上去

引入微分算子D 及微分算子的
n
次多项式

L
(D)=D
n


p
1
D
n

1

p
2
D
n

2
    
p
n

1
D
p
n

则
n
阶常系数齐次线性微分方程可记作
(D
n


p
1
D
n

1

p
2
D
n

2
    
p
n

1
D
p
n
)
y
0或
L
(D)
y
0
注 D叫做微分算子D
0
y

y
 D
y

y
 D
2
y

y
 D
3
y

y
  
D
n
y

y
(
n
)

分析 令
y

e
rx
 则
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L
(D)
y

L
(D)
e
rx
(
r
n


p
1
r
n

1

p
2
r
n

2
    
p
n

1
r

p
n
)
e
rx

L
(
r
)
e
rx

因此如果
r
是多项式
L
(
r
)的根 则
y

e
rx
是微分方程
L
(D)
y
0< br>的解
n
阶常系数齐次线性微分方程的特征方程

L
(
r
)
r
n


p
1
r
n

1

p
2
r
n

2
    
p
n

1
r

p
n
0
称为微分方程
L
(D)
y
0的特征方程
特征方程的根与通解中项的对应
单实根
r
对应于一项
Ce
rx


一对单复根
r
1

2



i
对应于两项
e

x
(
C
1< br>cos
x

C
2
sin
x
)
k
重实根
r
对应于
k
项
e
r x
(
C
1

C
2
x
    
C
k

x
k

1
)
一
对
k
重复根
r
1

2



i
对应于2
k
项

e

x
[(
C
1
C
2
x
    
C
k

x
k

1
)cos
x
(
D
1

D
2
x
    
D
k

x
k

1
)sin
x
]
例4 求方程
y
(4)
2
y
5
y
0 的通解
解 这里的特征方程为

r
4
2
r
3
5
r
2
0 即
r
2
(
r
2
2
r
5)0 < br>它的根是
r
1

r
2
0和
r
3< br>
4
12
i

因此所给微分方程的通解为

y

C
1

C
2
x

e
x
(
C
3
cos2
x

C
4
sin2
x
)
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实用标准文案
例5 求方程
y
(4)



4
y
0的通解 其中

0
解 这里的特征方程为

r
4


4
0
它的根为
r1,2


2
(1
i
)

r
3,4


2
(1i)

因此所给微分方程的通解为


ye
2
x
(C
1
cos

2
xC
2
sin
2
x
)
e


2
x
( C
3
cos

2
xC
4
sin

2
x)

二、二阶常系数非齐次线性微分
方程简介
二阶常系数非齐次线性微分方程 方程
y

py

qy

f
(
x
)
称为二阶常系数非齐次线性微分方程 其中
p
、
q
是常数
二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程
的通解
y

Y
(
x
)与非齐次方程本身的一个特解
y

y< br>*(
x
)之和
y

Y
(
x
)
y
*(
x
)
当
f
(
x
)为两种特殊形式时 方程的特解的求法
一、
f
(
x
)
P
m
(
x
)< br>e

x

型
当
f
(
x< br>)
P
m
(
x
)
e

x
时  可以猜想 方程的特解也应具有这种
形式 因此 设特解形式为
y
*Q
(
x
)
e

x
 将其代入方程 得等式
Q
(
x
)(2


p)
Q
(
x
)(

2

p

q
)
Q
(
x
)
P
m
(x
)
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实用标准文案
(1)如 果

不是特征方程
r
2

pr

q
0 的根 则

2

p

q
0
要使上式成立
Q
(
x
)应设为
m
次多项式
Q
m
(
x
)
b
0
x< br>m

b
1
x
m

1
    
b
m

1
x

b
m


通过比较等式两边同次项系数 可确定
b
0

b
1
    
b
m
 并得所
求特解
y
*
Q
m
(
x
)
e< br>
x

(2)如果

是特征方程
r
2

pr

q
0 的单根 则

2

p

q
0
但2


p
0 要使等式
Q
(
x
)(2


p
)
Q
(x
)(

2

p

q
)
Q
(
x
)
P
m
(
x
)
成立
Q
(
x
)应设为
m
1 次多项式
Q
(
x
)
xQ
m
(
x
)
Q
m
(
x
)
b
0
x
m


b
1
x
m

1
    
b
m

1
x

b
m


通过比较等式两边同次项系数 可确定
b
0

b
1
    
b
m
 并得
所求特解

y
*
xQ
m
(
x
)
e

x

(3)如果

是特征方程
r
2

pr

q
0的二重根 则

2

p

q
0 2


p
0 要使等式
Q
(< br>x
)(2


p
)
Q
(
x)(

2

p

q
)
Q
(
x
)
P
m
(
x
)
成立
Q
(
x
)应设为
m
2次多项式
Q
(
x
)
x
2
Q
m
(
x
)
Q
m
(
x
)
b
0< br>x
m

b
1
x
m

1
    
b
m

1
x

b
m


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通过比较等式两边同次项系数 可确定
b
0

b
1
    
b
m

 并得所
求特解

y
*
x
2
Q< br>m
(
x
)
e

x

综上所述 我们有如下结论 如果
f
(
x
)
P
m(
x
)
e

x
 则二阶
常系数非齐次线性微 分方程
y

py

qy

f
(
x
)有形如
y
*
x
k

Q
m
(
x
)
e

x

的特解 其中
Q
m
(
x
)是与
P
m(
x
)同次的多项式 而
k
按

不是
特征 方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次
取为0、1或2
例1 求微分方程
y
2
y
3
y
3
x
1的一个特解
解 这是二阶常系数非齐次线性微分方程 且函数
f
(
x
)是
P
m
(
x
)
e

x
型(其中
P
m
(
x
)3
x
1

0)
与所给方程对应的齐次方程为
y
2
y
3
y
0
它的特征方程为
r
2
2
r
30
由于这里

0不是特征方程的根 所以应设特解为
y
*
b
0
x

b
1

把它代入所给方程 得
3
b
0
x
 2
b
0
3
b
1
3
x
1
比较两端
x
同次幂的系数 得
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
3b
0
3

2b3b1
 3
b
0
3 2
b
0
3
b
1
1
1

0
由此求得
b
0
1
b
1

1
 于是求得所给方程的一个特解为
3

y*x
1

3
例2 求微分方程
y5
y
6
y

xe
2
x
的通 解
解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程 且
f
(
x
)是
P
m
(
x
)
e

x
型(其中
P
m
(
x
)
x


2)
与所给方程对应的齐次方程为
y
5
y
6
y
0
它的特征方程为
r
2
5
r

60
特征方程有两个实根
r
1
2
r
2
3 于是所给方程对应的齐次方
程的通解为
Y

C
1
e
2
x

C
2
e
3
x


由于

2是特征方程的单根 所以应设方程的特解为
y
*
x
(
b
0
x
< br>b
1
)
e
2
x

把它代入所给方程 得
2
b
0
x
2
b
0

b
1

x

比较两端
x
同次幂的系数 得


2b
0
1

2bb0
 2
b
0
1 2
b
0

b
1
0

01
由此求得
b
0

1

b
1
1 于是求得所给方程的一个特解为
2
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实用标准文案

y*x(
1
x1)e
2x

2
从而所给方程的通解为

提示
yC
1
e
2x
C
2
e
3x

1
( x
2
2x)e
2x

2
y
*
x< br>(
b
0
x

b
1
)
e
2< br>x
(
b
0
x
2

b
1
x
)
e
2
x

[(
b
0
x2

b
1
x
)
e
2
x
] [(2
b
0
x

b
1
)(
b
0
x
2

b
1
x
)2]
e
2x

[(
b
0
x
2

b
1
x
)
e
2
x
][2
b
0
2(2
b
0
x

b
1
)2(
b0
x
2

b
1
x
)2
2
]
e
2
x


y
*5
y
*6
y
*[(
b
0
x
2

b
1
x
)
e
2
x
]5[(
b
0x
2

b
1
x
)
e
2
x]6[(
b
0
x
2

b
1
x)
e
2
x
]
[2
b
0
2(2< br>b
0
x

b
1
)2(
b
0x
2

b
1
x
)2
2
]
e
2
x
5[(2
b
0
x

b
1< br>)(
b
0
x
2

b
1
x
)2]
e
2
x
6(
b
0
x
2

b
1
x
)
e
2
x

[2b
0
4(2
b
0
x

b
1
)5(2
b
0
x

b
1
)]
e
2
x
[2
b
0
x
2
b
0

b
1
]
e
2
x


方程y

py

qy

e

x[
P
l
(
x
)cos
x

Pn
(
x
)sin
x
]的特解形式
应用欧拉公式可得
e

x
[
P
l
(x
)cos
x

P
n
(
x
)sin
x
]



e

x
[P(x)
ee
i

x
P(x)
e
i

x
e
i

x
]

ln
22i
(

i

)x
1
(

i

)x


1
[P[P
l
(x)iP
n
(x)]e
l
(x)iP
n
(x)]e
22
i

x
P(x)e
(

i

)xP(x)e
(

i

)x

其中P(x)
1
(
P
l
P
n
i
)
2
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P(x)
1
(PPi)
 而
2
ln
m
max{
l

n
}

实用标准文案
设方程
y

py

qy

P
(
x
)
e
(
< br>
i

)
x
的特解为
y
1
*x
k
Q
m
(
x
)
e
(

i

)
x

则
y
1
* x
k
Q
m
(x)e
(

i

)
必是方程
y

py

qyP(x)e
(

i

)
的特解
其中
k
按


i
不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0
或1
于是方程
y

py

qy

e
< br>x
[
P
l
(
x
)cos
x
P
n
(
x
)sin
x
]的特
解为

y*x
k
Q
m
(x)e
(

i

)x
x
k
Q
m
(x)e
(

i

)x


x
k
e

x< br>[Q
m
(x)(cos

x

isin
< br>x)

Q
m
(x)(cos

x

isin

x)



x
k

e

x
[
R
(1)m
(
x
)cos
x

R
(2)
m< br>(
x
)sin
x
]
综上所述 我们有如下结论
如果
f
(
x
)
e

x

[P
l
(
x
)cos
x

P
n
(
x
)sin
x
] 则二阶常系数
非齐次线性微分方程
y

py

qy

f(
x
)
的特解可设为
y
*
x
k

e

x
[
R
(1)
m
(
x
)cos
x

R
(2)
m
(
x
)sin
x
]
其中
R(1)
m
(
x
)、
R
(2)
m
(x
)是
m
次多项式
m
max{
l

n
} 而
k
按

i

(或


i
)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0
或1
例3 求微分方程
y

y

x
cos 2
x
的一个特解
解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程
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实用标准文案
且
f
(
x
)属于
e

x
[
P
l
(
x
)c os
x

P
n
(
x
)sin
x
]型(其中

0

2
P
l
(
x
)
x

P
n
(
x
)0）
与所给方程对应的齐次方程为
y

y
0
它的特征方程为
r
2
10
由于这里


i
2
i
不是特征方程的根 所以应设特解为
y
*(
ax

b
)c os2
x
(
cx

d
)sin2
x

把它代入所给方程 得
(3
ax
3
b4
c
)cos2
x
(3
cx
3
d
4
a
)sin2
x

x
cos2
x

比较两端同类项的系数 得
于是求得一个特解为

提示
a
1

b
0
c
0
d
4

39
y
*
1
x
cos2
x

4
sin2x

39
y
*(
ax

b
)cos2
x
(
cx

d
)sin2
x

y
*
a
cos2
x
2(
ax

b
)sin2
x

c
sin2
x
2(
cx

d
)cos2
x

(2
cx

a
2
d
)cos2
x
(2
ax
2
b

c
) sin2
x

y
*2
c
cos2
x
2(2
cx

a
2
d
)sin2
x
2
a
sin2
x
2(2
ax
2
b

c
)
cos2
x

(4
ax
4
b
4
c
)cos2
x
(4
cx
4
a
4
d
)sin2
x

y
*
y
*(3
ax
3
b
 4
c
)cos2
x
(3
cx
4
a
 3
d
)sin2
x


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实用标准文案

3a1

3b4c0< br>由

3c0
 得
a
1

b
0
c
0
d
4

39


4a3d0






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