红旗飘飘串词-毕业生自我介绍

微分方程的例题分析及解法


本单元的基本内容是常微分方程的概 念，一阶常微分方程的解
法，二阶常微分方程的解法，微分方程的应用。
一、常微分方程的概念
本单元介绍了微分方程、常微分方程、微分方程的阶、解、通解、特解、初始条件等基本概念，要正确理解这些概念；要学会判别微分
方程的类型，理解线性微分方程 解的结构定理。
二、一阶常微分方程的解法
本单元介绍了三种类型的一阶微分方程的求解方法：变量可分离
型，齐次型，线性方程。
对于一阶微分方程，首先要看是否可以经过恒等变形将它的变量
分离；
对于一阶线性 微分方程，先用分离变量法求解其相应的齐次方
程，再用常数变易法求解非齐次方程；当然也可直接代下 列通解公式：
p

x

dx


p< br>
x

dx
dxC


ye

q(x)e




齐次型微分方程
y
y

f()

x
令
u
，则 方程化为关于未知数
u
与自变量
x
的变量可分离的微分方
程。
三、二阶微分方程的解法

1
y
x

1．特殊类型的二阶常微分方程
本章介绍了三种特殊类型的二阶方程的求解方法：
（1）
y

f(x)
，直接积分；
（2）
y

f(x,y

)
，令
y

p，
（3）
y

f(y,y

)
，令y

p
，则
y


dp
p

dy
这三种方法都是为了“降价”，即降成一阶方程。
2．二阶线性常系数微分方程
二阶线性常系数微分方程求解的关键是：
（1）特征方程
对于相应的齐次方程，利用特征方程

2
p

q0

求通解：
（2）对于非齐次方程，根据下列形式自由项的特点
f(x)e

x
P
m
(x)

p
n
(x)sin

x

和
f(x)e
ax

P
l
(x)cos

x
~
设置特解
y

的形式，然后使用待定系数法。
四、微分方程的应用
求解应用问题时，首先需要列微分方程，这可根据有关科学知识，
分析所研究的变量应该遵循的规律，找出各量之间的等量关系，列出
微分方程，然后根据微分方程的类 型的用相应的方法求解，还应注意，
有的应用问题还含有初始条件。
一、疑难解析

2

（一）一阶微分方程
1．关于可分离变量的微分方程
可分离变量的微分方程是一阶微分方程中的一种最简单的方程，
形如

f
1
(x)g
1
(y)dxf
2
(x)g
2
(y)dy0
（1）
的微分方程称为变量 可分离的微分方程，或称可分离变量的微分
方程，若
f
2
(x)g
1
(y)0
，则方程（1）可化为变量已分离的方程
g
2
(y)f(x)
dy
1
dx

g
1
(y)f
2
(x)
两端积分，即得（1）的通解：

G(y)F(x)C

（2）
（2）式是方程（1）的通解（含有一个任意常数），但不是全部
解，用分离 变量法可求出其通解为
ysin(xc)
，但显然
y1
也是该
方程的解，却未包含在通解中，从这个例子也可以理解通解并不是微
分方程的全部解，本课程不要求求 全部解。
有些看上去不能分离变量的微分方程，通过变量代换可以化为可
分离变量的方程来求 解。如齐次型微分方程。

y

f(
可用代换
yux
化为
dudx


f(u)ux
y
)
或
dy
f(
y
)
（3）
x
dxx
两端同时积分即可求解。

3

（2）关于一阶线性微分方程。
一阶线性微分方程是指形如

y

p(x)yq(x)
（4） 的方程，其中
p(x)
、
q(x)
是已知函数，其特点是
y，
y

都以一次
幂的形式出现在方程中，求它的通解时，即可以用公式
p(x)dxp(x)dx
(

q(x)e

dxC)
（5）
ye

来求， 也可以用常数变易法来求，即通过分离变量法先求出齐次
线性方程
y

p(x)y0

p(x)dx
的通解
y Ce

，再令
C
来未知函数
C(x)
，将
p( x)dx
代入方程（4），求出
C(x)
，最后得到所求通解
yC(x)e

p(x)dx
。
yC(x)e

有的方程把
x
看作未知函数，
y
看作自变量时成为一阶线性微分
方程，如方程
ylnxdx(xlny)dy0

可变形为关于
xx(y)
的一阶线性非齐次方程
dxx1


dyylnyy
如同一些方程用适当的变量代换可化 成可分离变量方程求解一
样，有些方程用变量代换可以化成一阶线性非齐次方程，如伯努利方
程 。
y

p(x)yq(x)y
n
，
(n0,1)< br>
用代换
zy
1n
则化为
z

(1 n)p(x)z(1n)q(x)


4

（二）关于常数变易法
所谓常数变易法就是将相应的线性齐次微分方程通解中 的常数
C
变为待定函数
C(x)
，然后代入线性非齐次微分方程中，求出C(x)
，
从而得到线性非齐次微分方程通解的方法。
常数变易法的关键是如何 确定
C(x)
，由于
y

p(x)y0
的通解为
p(x)dxp(x)dx
（1），将常数
C
用
C(x)
代换 ，设
yC（x)e

为方程
yCe

将其代入方程中， 就得到关于待定函数
C(x)
的
y

p(x)yq(x)
的通解，
导数
C

(x)
应满足的方程，即
p(x)dx

C

(x)e

q(x)

（*）
（*）式是求
C(x)
过程中重要的一步，应记住这个表达式，事实
p(x)dx
上，它的左端是将通解
yC(x)e

中的
C(x)
换成
C

(x)
，右端是原方
程中右端顶（非齐 次项）将（*）式变形，再求积分就得到
C(x)
。
p(x)dx
C(x )

q(x)e

dxD

例 求
y


y
x
21nx
的通解。
x
1
x
2lnx
。相应的齐次
x
解 这是一阶 线性方程，
p(x)
，
q(x)
方程
y


y
0
的通解为
yCx
。
x
设非齐次方程的通解为
yC(x)x
，代入原方程，得
C

(x)x
2lnx

x
C(x)


2lnx1
2lnxd()


x
2
x
2222
lnx

2
dxlnxC

xxxx
22
所求通解为面
y(lnx C)x2xlnx2Cx

xx

5

（三）可降阶的特殊
本章所研究的二阶微分方程主要有两类：一是可降价的二阶微分
方程，它的形式及相应的解法见表8-1：
表8-1可降阶的二阶微分方程及求解方法
方程形式
y

f(x)

y

f(x,y

)

求解方法
积 分得
y



f(x)dxC
，再积分，得通解。 < br>设
y

p
，则
y

p
，方程化为
p


dy
f(x,p)

y

f(y,y

)

设
y

p,
则
y

p
dp
，方程化为
p
dp
f(y,p)
dy

（四）二阶线性常系数微分方程
y

py

qyf(x)
(其中
p,q
为常数)
当
f(x)0
时称为齐次的，此时通解依 特征方程

2
p

q0
的特
征根

1
,

2
而定（见教材表8-6-1），当
f(x)0< br>时，称为非齐次的。它
的通解可写成
yyy


其中
y
是该方程对应的齐次方程
y

py

qy0

的通解，而
y

是该方程的一个特解。
一般说来，求特解
y

并不是件容易的事情，但当右端项
f(x)
为某
些特殊形式函数 时，特解
y

具有相应的特殊形式，如表8-2所示。这
时可用特定系数法来 求出
y

。

6

表8-2
非齐次项
f(x)
的形式
特征方程的根 特解
y

的形式
0不是特征根（即
q0
时）

y

(x),

(x)
是与
f(x)
同次的
0是特征方程的单根（即
多项式
f(x)
是
n
次多项
q0
时
y

x

(x)
式
0是特征重根，（即

yx
2

(x)

pq0
时）
a
不是特征根
f(x)e
ax
P
m
(x)

y

Q
m
(x)e

x

Q
m
(x)
是与
P
m
(x)
同次的多项式 即
f(x)
是指数
a
是单特征根
y

xQ
m
(x)e
x
函数
a
是重特征根
y

x
2
Q
m
(x)e

x
与多项式乘积
y

A
l
(x)cos

xB
l
(x)sin

x

i

不是特征根
f(x)P
n
(x)cos

x

lmax

m,n




Q
m
(x)sin

x
yx

A(x)cos

xB(x)sin

x


i

是特征根
A
l
(x)、B
l
(x)
都是
l
次多项式
ai

不是特征根
ye

A(x)cos

xB(x)sin

x


f(x)e[p(x)cos

x

ai

是特征根
Q(x)sin

x]
< br>yxe

A(x)cos

xB(x)sin

x



ll
ax
ax
n
ll
ax
m
ll
从表8-2可以看出，特解
y

的设法与非齐 次项
f(x)
的形式基本是
相同的，只不过依
a
不是特征根、是单根 、是重根时，依次再分别乘
以一个
x
k
因子（
k0,1,2
）。
解题时首先应设定特解
y

的形式，注意其中的未知多项式

(x)
或
Q
m
(x)
或
A
l
( x)
，
B
l
(x)
的次数的确定方法；设定未知多项式的系数后，< br>将
y

代入原方程，用待定系数法确定未知系数。
（五）关于特征根法
特征根法不仅可用于二阶线性常系数齐次微分方程通解，也可用
于求高阶线性常系数齐次微分方程通解，即
（1）若

是单实根，则通解中含加C
1
e

x


7

（2）若

是
m
重实根，则通解中含加项（
C
1
 C
2
xC
m
x
m1
)e

x
（3）若

ai

是共轭复根，则有通解中含加项
e
ax
(c
1
cos

xC
2
sin

x)

根据上述这些加项，就可写出方程的通解形式。
例如求方 程
y
(4)
2y

2y

2y

6y0
的通解。
其求特征方程是

4
2
3
2

2
2

10

分解因式为
(

1)
2
(

2
1)0_

特征根为

1


2
1,

3,4
 i

因为

1
是二重根，所以通解中含加项
(C
1
C
2
x)e
x
；因为

3,4
i
是
一对共轭复根，所以通解中含加项
C
3
cosx_C
4
sinx,
从而得到原方程的
通解为
yC
1
e
x
C
2
xe
x
C
3
cosxC
4< br>sinx

二、例题分析
例1 为下列各题选择正确答案：
（1）下列微分方程中，是二阶线性微分方程的为（ ）
A．
(y

)
2
y

yx
B．
(y

)
2
2ycosx

C．
y

y

2y
D．
xy

5y

3xyln
2
x

2
（2）下列微分方程中，（ ）所给的函数是通解。
A．
y

,yx
； B．
y
,x
2
y
2
C
2
；
C．
y

,y
x
y
C
x
； D．
y

,x
2
y
2
1
；
y
x
x
y
x
y

8

（3）下列微分方程中为可分离变量方程的是（ ）
dxdx
xtt
； B．
xe
xt
sint
；
dtdt
dxdx
C．
xtt
2
； D．
x
2
t
2
；
dtdt
A．
（4 ）微分方程
y

2y

ye
x
cosx
的特解形式应设为
y


（ ）
A．
Ce
x
cosx
； B．
e
x
(CcosxC
2
sinx)
；
1< br>C．
xe
x
(C
1
cosxC
2
sin x)
； D．
x
2
e
x
(C
1
c osxC
2
sinx)
；
（5）微分方程
y

y0
的通解为（ ）
A．
yC
1
e
x
C
2
e
x
B．
y(C
1
C
2
x)e
x
；
C．
yC
1
cosxC
2
sinx
； D．
y(C
1
C
2
x)e
x
；
解 （1）微分方程的“阶”是指方程中未知函数的导数的最高阶
数，“线性”是指未知函数及其导数均以线 性（一次）形式出现在方
程中，由于，A、C中分别含有
(y

)
2
和
y

y

项，都呈非线性形式，B中
(y< br>
)
2
是一阶导数，方程为一阶方程，故只有选择D正确，事实上，D中方程可化成二阶线性方程的标准形式为
y

y

3xyl nx
。
（2）微分方程的通解是指所含独立任意常数的个数与微分方程
．．．．．． ．．．．．．．．．．
的阶相等的解。经验证，所给四个答案中，A、B、C是方程的解，但
． ．．．．．
A、D中不含任意常数，说明它们是特解，不是通解，故选项B正确。
（3）将方程进行变量分离，可知
A
为
dx
t(x1)
是可分离变量方程。
dt
5
x
1
x
B、C、D均不能分离变量，故正确选择是A。
（4） 二阶常系数线性非齐次微分方程的特解形式与右端项的形
式密切相关，此方程中右端项
f(x) e
x
cosx
，因此特解
y

应设为

9

y

x
k
e
x
( C
1
cosxC
2
sinx),
其中
k
由
ai

不是特征方程的根，是单根或
是重根而分别设为0，1，2此题中
a1,

1,a

i
不是特征根，因此
特解应设为
y

e
x
(C
1
cosxC
2sinx),
故正确的选项为B。
（5）二阶常系数线性齐次方程的通解与特征方程的根 的形式密
切相关。
y

y0
的特征根为

 i
，是共轭复根，通解为三角函数形
式
yC
1
cosxC2
sinx
，故选项C正确。
例2 在下列各题的空白处填写正确答案：
（1）通过点（1，1）处，且斜率处处为
x
的典线方程
是 。
（2）二阶微分方程
y

e
x
的通解是 。
（3）微分方程
y

y

0
满足初始条 件
y(0)1,y

(0)1
的特解
为 。
（4）齐次方程
y

1
的通解是 。
解 （1）斜率处处为
x
的曲线方程应满足
y

x

y
x
积分得
y

x
2
C
，代入条件
y(1)1
，得
C，故所求曲线方程是
y
1
2
1
x
。
22
1
2
1
2
（2）对
y

e
x
两次积分，得
y

e
x
C
1
,ye
x
C
1
xC
2
，此为所求通
解。
（ 3）微分方程
y

y

0
的特征方程为
< br>2


0
，特征根为

1
1,

2
0
yC
1
e
x
C
2

，通解为

10