英语日记大全-法制教育讲稿

二阶常系数齐次线性微分方程

一、
二阶常系数齐次线性微分方程

二阶常系数齐次线性微分方程 方程
ypyqy0
称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p、q均为常数
如果y
1
、y
2
是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么y C
1
y
1
C
2
y
2
就是它的
通解
我们看看 能否适当选取r 使ye
rx
满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将ye
rx
代入
方程
ypyqy0
得
(r
2
prq)e
rx
0
由此可见 只要r满足代数方程r
2
prq0 函数ye
rx
就是微分方程的解
特征方程 方程r
2
prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程 特征方程的两个根r
1
、r
2
可用公式
pp
2
4q

r

1,2

2
求出
特征方程的根与通解的关系
(1)特征方程有两个不相等的实根r
1
、r
2
时 函数
y
1
e
r
1
x
、
y
2
e
r
2
x
是方程的两个线性无关
的解
这是因为
函数
y
1
e
r
1
x、
y
2
e
r
2
x
y
1
e< br>r
1
x
(r
1
r
2
)x
e< br>是方程的解 又不是常数
y
2
e
r
2
x
因此方程的通解为

yC
1
e
r
1
x
C
2
er
2
x

(2)特征方程有两个相等的实根r
1
r
2
时 函数
y
1
e
r
1
x
、
y
2
xe
r< br>1
x
是二阶常系数齐次线性微分
方程的两个线性无关的解
这是因为
y
1
e
r
1
x
是方程的解 又
r
1
xr
1
x
2
r
1
x

(xe
r
1
x
)

p(xe
r
1
x
)

q(xe
r
1
x
)(2r 1xr
1
xr
1
)ep(
1
)eqxe

r
1
x
2

e
r
1
x
(2r
1
p)xe(r
1
pr
1
q)0

y
2
xe
r
1
x
x
不是常数 所以
y
2
xe
也是方程的解 且
y
1
e
r
1
x
r
1
x
因此方程的通解为

yC
1
e
r
1x
C
2
xe
r
1
x

(3)特征方程有一对共轭复根r
1, 2


i

时 函数ye
(

i

)x
、ye
(

i

)x
是微分方程的两个线性无
关的复数形式的解 函数y e

x
cos

x、ye

x
sin< br>
x是微分方程的两个线性无关的实数形式的解
函数y
1
e
(

i

)x
和y
2
e
(

i

)x
都是方程的解 而由欧拉公式 得
y
1
e
(

i

)x
e

x
(cos

xisin

x)
y
2
e
(

i

)x
e

x
(cos

xisin

x)
1
y
1
y
2
2e

x
cos

x
e

x
cos

x(y
1
y< br>2
)

2
1
y
1
y
2
2ie

x
sin

x
e

x
sin

x(y
1
y
2
)

2i
故e

x
cos

x、y
2
e

x
sin

x也是方程解
可以验证 y1
e

x
cos

x、y
2
e< br>
x
sin

x是方程的线性无关解
因此方程的通解为
ye

x
(C
1
c os

xC
2
sin

x )
求二阶常系数齐次线性微分方程ypyqy0的通解的步骤为
第一步 写出微分方程的特征方程
r
2
prq0
第二步 求出特征方程的两个根r
1
、r
2

第三步 根据特征方程的两个根的不同情况 写出微分方程的通解
例1 求微分方程y2y3y0的通解
解 所给微分方程的特征方程为
r
2
2r30 即(r1)(r3)0
其根r
1
1 r
2
3是两个不相等的实根 因此所求通解为
yC
1
e
x
C
2
e
3x

例2 求方程y2yy0满足初始条件y|
x0
4、y|
x0
2的特解
解 所给方程的特征方程为
r
2
2r10 即(r1)
2
0
其根r
1
r
2
1是两个相等的实根 因此所给微分方程的通解为
y(C
1
C
2
x)e
x


将条件y|
x0
4代入通解 得C
1
4 从而
y(4C
2
x)e
x

将上式对x求导 得
y(C
2
4C
2
x)e
x

再把条件y|
x0
2代入上式 得C
2
2 于是所求特解为
x(42x)e
x

例 3 求微分方程y2y5y 0的通解
解 所给方程的特征方程为
r
2
2r50
特征方程的根为r
1
12i r
2
12i 是一对共轭复根
因此所求通解为
ye
x
(C
1
cos2xC
2
sin2x)
n 阶常系数齐次线性微分方程 方程
y
(n)
p
1
y
(n1)
p
2
y
(n2)
     p
n1
yp
n
y0
称为n 阶常系数齐次线性微分方程 其中 p
1
 p
2
     p
n1
 p
n
都是常数
二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式 可推广到n 阶常系数齐次
线性微分方程上去
引入微分算子D 及微分算子的n次多项式
L(D)=D
n
p
1
D
n1
p
2
D
n2
     p
n1
Dp
n

则n阶常系数齐次线性微分方程可记作
(D
n
p
1
D
n1
p
2
D
n2
     p
n1
Dp
n
)y0或L(D)y0
注 D叫做微分算子D
0
yy Dyy D
2
yy D
3
yy   D
n
yy
(n)

分析 令ye
rx
 则
L(D)yL(D)e
rx
(r
n
p
1
r
n1
p
2
r
n2
     p
n1
rp
n
)e
rx
L(r)e
rx

因此如果r是多项式L(r)的根 则ye
rx
是微分方程L(D)y0的解
n 阶常系数齐次线性微分方程的特征方程
L(r)r
n
p
1
r
n1
p
2
r
n2
     p
n1
rp
n
0
称为微分方程L(D)y0的特征方程
特征方程的根与通解中项的对应
单实根r 对应于一项 Ce
rx

一对单复根r
1

2


i

对应于两项 e

x
(C
1
cos

xC2
sin

x)
k重实根r对应于k项 e
rx
(C
1
C
2
x    C
k
x
k1
)

一
对k 重复根r
1

2


i

对应于2k项
e

x
[(C
1
C
2
x    C
k
x
k1
)cos

x( D
1
D
2
x    D
k
x
k1
)sin

x]

例4 求方程y
(4)
2y5y0 的通解
解 这里的特征方程为
r
4
2r
3
5r
2
0 即r
2
(r
2
2r5)0
它的根是r
1
r
2
0和r
3

4
12i
因此所给微分方程的通解为
yC< br>1
C
2
xe
x
(C
3
cos2xC< br>4
sin2x)
例5 求方程y
(4)



4
y0的通解 其中

0
解 这里的特征方程为
r
4


4
0
它的根为
r
1, 2


2

(1i)

r
3,4


2
(1i)

因此所给微分方程的通解为

ye
2
x
(C
1
cos

2
xC
2
sin
2
x)e


2
x
(C
3
cos

2
xC
4
sin

2
x)

二、二阶常系数非齐次线性微分方程简介
二阶常系数非齐次线性微分方程 方程
ypyqyf(x)
称为二阶常系数非齐次线性微分方程 其中p、q是常数
二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程
的通解yY(x)与非齐次方程本身的一个特解yy*(x)之和
yY(x) y*(x)
当f(x)为两种特殊形式时 方程的特解的求法
一、 f(x)P
m
(x)e

x
型
当f(x)P
m
(x)e

x
时 可以猜想 方程的特解也应具有这种形式 因此 设特解形式为
y*Q(x)e

x
 将其代入方程 得等式
Q(x)(2

p)Q(x)(

2
p
< br>q)Q(x)P
m
(x)
(1)如果

不是特征方程r
2
prq0 的根 则

2
p

q0 要使上式成立 Q(x)应设为m 次多
项式
Q
m
(x)b
0
xm
b
1
x
m1
    b
m1
xb
m

通过比较等式两边同次项系数 可确定b
0
 b
1
     b
m
 并得所求特解
y*Q
m
(x)e

x

(2)如果

是特征方程 r
2
prq0 的单根 则

2
p

q0 但2

p0 要使等式
Q(x)(2

p)Q(x)(

2
p

q)Q(x)P
m
(x)
成立 Q(x)应设为m1 次多项式

Q(x)xQ
m
(x)
Q
m
(x)b
0
x
m
b
1
x
m1
    b
m1
xb
m

通过比较等式两边同次项系数 可确定b
0
 b
1
     b
m
 并得所求特解
y*xQ
m
(x)e

x

(3)如果

是特征方程 r
2
prq0的二重根 则

2
p

q0 2

p0 要使等式
Q(x)(2

p)Q(x)(

2
p

q)Q(x)P
m
(x)
成立 Q(x)应设为m2次多项式
Q(x)x
2
Q
m
(x)
Q
m< br>(x)b
0
x
m
b
1
x
m1
    b
m1
xb
m

通过比较等式两边同次项系数 可确定b
0
 b
1
     b
m
 并得所求特解
y*x
2
Q
m
(x)e

x

综上所述 我们有如下结论 如果f(x)P
m
(x)e

x
 则二阶常系数非齐次线性微分方程
ypyqy f(x)有形如
y*x
k
Q
m
(x)e

x

的特解 其中Q
m
(x)是与P
m
(x)同次的多项式 而k 按

不是特征方程的根、是特征方程的单根或
是特征方程的的重根依次取为0、1或2 
例1 求微分方程y2y3y3x1的一个特解
解 这是二阶常系数非齐次线性微分方程 且函数f(x)是P
m
(x)e

x
型(其中P
m
(x)3x1

0)
与所给方程对应的齐次方程为
y2y3y0
它的特征方程为
r
2
2r30
由于这里

0不是特征方程的根 所以应设特解为
y*b
0
xb
1

把它代入所给方程 得
3b
0
x2b
0
3b
1
3x1
比较两端x同次幂的系数 得



3b
0
3
 3b
0
3 2b
0
3b
1
1
2b3b1

01
由此求得b
0
1
b
1

 于是求得所给方程的一个特解为

y*x

例2 求微分方程y5y6yxe
2x
的通解
1
3
1
3

解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程 且f(x)是P
m
(x)e

x
型(其中P
m
(x)x

2)
与所给方程对应的齐次方程为
y5y6y0
它的特征方程为
r
2
5r

60
特征方程有两个实根r
1
2 r
2
3 于是所给方程对应的齐次方程的通解为
YC
1
e
2x
C
2
e
3x

由于

2是特征方程的单根 所以应设方程的特解为
y*x(b
0
xb
1
)e
2x

把它代入所给方程 得
2b
0
x2b
0
b
1
x
比较两端x同次幂的系数 得



2b
0
1
 2b
0
1 2b
0
b
1
0
2bb0

01由此求得
b
0

1
 b1 于是求得所给方程的一个特解为
1
2

y*x(x1)e
2x

从而所给方程的通解为

yC
1
e
2x
C
2
e
3x
 (x
2
2x)e
2x

提示
y*x(b
0
xb
1
)e
2x
(b
0
x
2b
1
x)e
2x

[(b
0
x
2
b
1
x)e
2x
][(2b
0
xb1
)(b
0
x
2
b
1
x)2]e
2x

[(b
0
x
2
b
1
x)e
2x
][2b
0
2(2b
0
xb
1)2(b
0
x
2
b
1
x)2
2
]e
2x


y*5y*6y*[(b
0
x
2
b
1
x)e
2x
]5[(b
0x
2
b
1
x)e
2x
]6[(b
0x
2
b
1
x)e
2x
]
[2b
0
2(2b
0
xb
1
)2(b
0
x
2
b
1
x)2
2
]e
2x
5[(2b0
xb
1
)(b
0
x
2
b
1< br>x)2]e
2x
6(b
0
x
2
b
1< br>x)e
2x

[2b
0
4(2b
0
x b
1
)5(2b
0
xb
1
)]e
2x
[2b
0
x2b
0
b
1
]e
2x


方程ypyqye

x
[P
l
(x)cos

xP
n
(x)sin

x]的特解形式
应用欧拉公式可得
e

x
[P
l
(x)cos

xP
n
(x)sin

x]

1
2
1
2
e

x
[P(x)
e
l
i

x
e
i

x
P(x)
e
i

x
e
i

x
]

n
22i

[Pe
(

 i

)x
[Pe
(

i

)x

l
(x)iP
n
(x)]
l
(x)iP
n
(x)]

P(x)e
(

i
)x
P(x)e
(

i

)x

其中
P(x)(P
l
P
n
i)

P(x)(P
l
P
n
i)
 而mmax{l n}
设方程ypyqyP(x)e
(

i
)x
的特解为y
1
*x
k
Q
m
( x)e
(

i

)x

则
y
1
*x
k
Q
m
(x)e
(

i
)
必是方程
y

py

qyP(x )e
(

i

)
的特解
其中k按

i

不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1
于 是方程ypyqye

x
[P
l
(x)cos

xP
n
(x)sin

x]的特解为

y*x
k
Q
m
(x)e
(

i

)x
x
k
Q
m
(x)e
(

i

)x


x
k
e< br>
x
[Q
m
(x)(cos

xisin

x)Q
m
(x)(cos

xisin

x )

x
k
e

x
[R< br>(1)
m
(x)cos

xR
(2)
m
( x)sin

x]
综上所述 我们有如下结论
如果f(x)e

x
[P
l
(x)cos

x P
n
(x)sin

x] 则二阶常系数非齐次线性微分方程
ypyqyf(x)
的特解可设为
y*x
k < br>e

x
[R
(1)
m
(x)cos

xR
(2)
m
(x)sin

x]
其中R
(1)
m
(x)、R
(2)
m
(x)是m次多项式 mmax{l n} 而k 按

i

(或

 i

)不是特征方程的根或是
特征方程的单根依次取0或1
例3 求微分方程yyxcos2x的一个特解
解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程
且f(x)属于e

x
[P
l
(x)cos

xP
n
(x)sin

x]型(其中

0

2 P
l
(x)x P
n
(x)0）
与所给方程对应的齐次方程为
yy0
它的特征方程为
r
2
10
由于这里

i

2i 不是特征方程的根 所以应设特解为
y*(axb)cos2x(cxd )sin2x
把它代入所给方程 得
(3ax3b4c)cos2x(3cx3d4a)sin2xxcos2x
比较两端同类项的系数 得
a
 b0 c0
d
1
2
1
2
1
2
1
2
1
3
4

9

于是求得一个特解为
y*xcos2xsin2x

提示
y*(axb)cos2x(cxd)sin2x
y*acos2x2(axb)sin2xcsin2x2(cxd)cos2x
(2cxa2d)cos2x(2ax2bc)sin2x
y* 2ccos2x2(2cxa2d)sin2x2asin2x2(2ax2bc)cos2 x
(4ax4b4c)cos2x(4cx4a4d)sin2x
y* y*(3ax3b4c)cos2x(3cx4a3d)sin2x

1
3
4
9

3a1

3 b4c0
14
由

 得
a
 b0 c0
d

3c0
39


4a3d0