火把节是哪天-遵义四中

求二阶线性常系数非齐次微分方程通解的方法

摘要： 二阶线性常系数非齐次微分方程在常微分方程的理论和应用中占有重要地位，本文提出了
三种解法。一种 是课本介绍的常数变易法，先求得对应的齐次微分方程的基本解组，然后求非齐
次方程的通解；第二种是 对某些特殊类型的非齐次方程，可以运用比较系数法方便求解；第三种
是在先求得对应的齐次微分方程一 个特解的情况下，将二阶线性常系数非齐次微分方程转化为可
降阶的微分方程，得出了一种运算量较小的 二阶线性常系数非齐次微分方程通解的一般公式，并
用实例证明该方法是可行的。
关键词：二阶常系数非齐次微分方程;通解；特解；基本解组


1.引言
微分方程和日常生活联系是比较紧密的，在一些天文学、力学、人口发展模型、交通流模型
等的 求解过程中，经常会导出微分方程。而二阶常系数线性微分方程作为一类最基础最重要的微
分方程，探讨 求出它通解的方法就显得至关重要。本文给出的三种求解二阶线性常系数非齐次微
分方程的方法中，常数 变易法和降阶法可方便地求出一般方程通解，但要求被积函数可积，当被
积函数不可积时可采用数值解法 ，本文不作详述。

2. 二阶线性常系数非齐次微分方程
设二阶线性常系数非齐次微分方程：

y

py

qyf(x)

(1)

其中
p,q
为实常数,
f(x)
为其定义域内连续函数。则方程(1)对应的齐次线性方程为：
y

p

qy0

(2)

本文给出了三种求解二阶线性常系数非齐次微分方程的方法：
2.1常数变易法
由线性微分方程的相关知识可知，如果已知(1)对应的齐次线性微分方程 (2)的基本解组，那么
非齐次线性微分方程的任一解可由求积得到。因此，求非齐次线性微分方程(1 )的通解，关键是求
出齐次线性微分方程的基本解组。下面介绍的常数变易法对于高阶线性常系数非齐次 微分方程也
适用。
考虑
n
阶线性常系数非齐次微分方程 ：

y
(n)
p
1
y
(n1)


p
n1
y
p
n
yf(x)
(3)
2.1.1求基本解组
对于常系数线性微分方程(3)，有一种求基本解组的方法——欧拉待 定指数函数法（又称为特
征根法）。

n
阶齐次微分方程：

y
(n)
p
1
y
(n1)


p
n1
y

p
n
y0

(4)

的特征方程为：

r
n
p
1
r
n1
p
n1
r p
n
0

(5)

该方程的根即为特征根，下面根据特征根的不同情况分别简述
① 特征根是单根的情形： 设
r
1
,r
2
,

,r
n
是 特征方程(5)的
n
个互不相同的根，则(4)有基本解组
e
1
,e
2
,

,e
n
解可以表示为：
rxrx
rx

2,14,15

：
，
即(4)的通
y(x)c
1
e
r
1
x
c
2
e
r
2
x
c
n
e
r
n
x
，
其中
c
1
,c
2
,

,c
n
任意常数。

（注：如果特征方程有一对共轭复根
r
i

，
则该复根对应两个实值解
e

x< br>cos

x,e

x
sin

x
）
② 特征根有重根的情形：
设特征根
r
是特征方程(5)的k重特征根，则 对应该特征根，
n
阶齐次微分方程(4)有解
e
rx
,xe
rx
,x
2
e
rx
,

,x
k1
e
rx
,
所有解的线性组合即为齐次方程(4)的通解。
（
注： 对应
k
重特征根
r

i

，
方程(4 )有实值解
e
rx
cos

x,xe
rx
cos

x,x
2
e
rx
cos

x,

,x
k1
e
rx
cos

x

e
rx
sin

x,xe
rx
sin

x,x
2
e
rx
sin

x,

,xk1
e
rx
sin

x
）
2.1.2用常数变易法求原非齐次方程通解
设由上述1.1.1的方法解得的基本解组为< br>y
1
(x),y
2
(x),

,y
n
(x)
，则(4)的通解为
y(x)c
1
y
1
(x) c
2
y
2
(x)c
n
y
n
(x)< br>，将常数
c
i
当作关于
x
的函数
c
i
(x)
，把
y(x)c
1
(x)y
1
(x)c
2
(x)y
2
(x)c
n
(x)y
n
(x )
代入原非齐次方程(3)，按照教材所介绍方法
再构造
n1
个约束条件， 这样可得到含
n
个未知数
c
i

(x)
的
n
个方程，它们组成一个线性代数方
程组:

(x)y
2
(x)c
2

(x)

y
n
(x)c
n

(x)0

y
1
(x)c
1
< br>y

(x)c

(x)y

(x)c
< br>(x)

y

(x)c

(x)0
1 122nn







y
( n2)
(x)c

(x)y
(n2)
(x)c
(x)

y
(n2)
(x)c

(x)0122nn

1
(n1)(n1)(n1)

(x)y
2

(x)

y
n

(x)f(x )

(x)c
2
(x)c
n

y
1
(x)c
1
该方程组系数行列式即为朗斯基行列式
W[y
1
(x) ,y
2
(x),

,y
n
(x)]
，它不等于零， 因而方程组的
解可唯一确定，那么原非齐次方程(3)的通解也随之确定

2,5,7 ,15

。

2.2比较系数法
对常系数非齐次线性微分方程：

y< br>(n)
p
1
y
(n1)


p
n1
y

p
n
yf(x)
(6)
当
f(x)
具有某些特殊形状时可用比较系数法求解，其特点是不需要通过积 分而用代数方法即可求
得非齐次线性微分方程的特解，比较简单方便。然后由上面介绍的特征根法求出对 应齐次方程的
通解，由非齐次线性微分方程通解结构定理即可求出非齐次方程(6)的通解，即(6)的 通解等于(6)
的一特解与对应齐次方程的通解之和，因此关键是求出该方程某一特解。下面分为两种类 型简述
求特解的方法

2,9,10,14

：
①设f(x)(b
0
x
m
b
1
x
m1


b
m1
xb
m
)e
rx
，< br>其中
r
及
b
i
(i1,2,,m)
为实常数，那 么
方程(6)有形如：

~
yx
k
(a
0
x
m
a
1
x
m1


a
m1
xa
m
)e
rx

(7)
的特解，其中k为特征根
r
的重数（单根相当于k=1；当
r
不是特征根时，取k=0），
a
0
,a
1
,
< br>,a
m
是待定常数，可以通过比较系数法来确定。
②设
f(x)< br>
A(x)cos

xB(x)sin

x
e

x
，
其中

,

为常数，而A(x),B(x)
是带实系数的x
的多项式，其中一个次数为m，另一个次数不超过m， 那么方程(6)有形如：


~
yx< br>k

P(x)cos

xQ(x)sin

x
e

x

(8) < br>的特解，这里k为特征根

i

的重数
，
而
P(x),Q(x)
为待定的带实系数的次数不高于m的x
的多项式，可以通过比较系数法来 确定。
2.3降阶法
vv(x)
,
使得
yuv

设方程(1)的通解为
y(x)u(x)v(x)uv
，
即寻找两个函数
uu(x)
，
为方程(1)的通解。

则
y
< br>u

vuv

,y

u

v2u

v

uv

，
将
y,y

,y

代入(1)化简得：


uv

(2u

pu)v

(u

pu

qu)vf(x)

(9)
在(9)中不妨令：

u

pu

qu
=0 (10)

显然(10)为二阶常系数齐次线性微分方程，此时可取
ue
(11)

rx
即可，其中
r
为方程(10)的特征方程的一个特征根。
将(10)和(11)代入(9)化简得：

v

(2rp)v

f(x)e
rx

(12)

方程(12)为可降价的微分方程，利用可降价的微分方程的求解方法可求 得通解

8,11,12,13

。

下面简述线性 微分方程的降阶法的两个定理

1,9

：
定理1：设
g (x)
是二阶常系数非齐次线性微分方程(1)对应的齐次微分方程(2)的一个特解，即
g< br>
(x)pg

(x)qg(x)0
，
那么(1)的 解可表示为：


y(x)g(x){



pdx
1

pdx
dxc]dxc}

(13)
e[f(x)g(x)e
12

g
2
(x)
定理 2：设
y
(n)
p
1
y
(n1)


p
n1
y

p
n
y0

(14)
是n阶线性常系数齐次微分方程，其中
p
1
,p
2
,

,p
n
为已知常数。那么方程(14)存在一个
特解
ye
rx
，
其中
r
是方程(14)的特征方程的一个根< br>。
再来看上述方程(12)
，
其对应的齐次方程为：

v

(2rp)v

0

(15)
显然方程(15)的特征方程有一个特征根
r0
,由定理2知方 程(15)有特解
g(x)1
，
再由定理1中
(13) 式知方程(12)的通解为
：

(2rp)dx
v(x)
< br>e

[

f(x)e
(rp)x
dxc
1
]dxc
2
，
其中
c
1
,
c
2
为任意常数。
由此得方程(1)的通解为
：
(2rp)dx
y(x)u(x)v(x)e
rx
{

e

[

f(x)e
(rp)x
dxc
1
]dxc
2}

综上所述，可以把求解二阶线性常系数非齐次微分方程(1)的通解结论归纳如下
1,9,13

：
结论：对于二阶线性常系数非齐次微分方程(1) ，假设(1)对应的齐次方程(2)的特征方程有特征根
r
,
则方程(1)的通解为：

(2rp)dx
rx

y( x)
e{e

[f(x)e
(rp)x
dxc
1]dxc
2
}
(16)


其中
c
1
,
c
2
为任意常数。
< br>说明：设齐次方程(2)的特征方程的特征根为
r
1
,r
2
，
①若
r
1
r
2
，
这时取
r
1< br>,r
2
之一作为
r
的值代入(16)中即可。
②若
r
1
r
2
r
，
因为
r
1
,r
2
是(2)的特征方程的根
，
所以
r
1
r
2
2rp
，
即
2rp0
，
代入(16)中化简 可得此时通解为：

rxrx

y(x)e{[f(x)edxc
1
]dxc
2
}
(17)


③若
r
1,2



i
，
这时取
r
1
,r
2
之一作为< br>r
的值代入(16)后在求得的解中取实部即为(1)的通解，
(2rp)dx即
y(x)
Re[
e
rx
{e

[f(x) e
(rp)x
dxc
1
]dxc
2
}
]。 (18)


2.4例题
下面以三道例题将上述三种方法作一比较： < br>d
2
xdx
3x3t1
的通解

2,14
。
例1：求二阶常系数微分方程
2
2
dt
dt< br>解：Ⅰ.原方程对应的齐次方程为
x

2x

3x0
，
其特征方程有特征根
r
1
3,r
2
1，
则其
基本解组为
e
3t
,e
t

应用常数变易法，令
x(t)c
1
(t)e
3t
c
2< br>(t)e
t


(t),c
2

(t)
的两个方程： 将它代入方程，可 得到决定
c
1

e
3t
c
1

( t)e
t
c
2

(t)0


3t t

(t)ec
2

(t)3t1

3e c
1
11

(t)(3t1)e
t

(3t 1)e
3t
,c
2
44
11
3tt
分别积分 得：
c
1
(t)(3t2)ec
1
，
c
2
(t)(3t2)ec
2

124

(t)解得：
c
1
于是原方程通解为
x(t)c
1
(t)e
3t
c
2
(t)e
t


c
1
e
3t
c
2
e
t
t 

其中
c
1
,c
2
为任意常数。
Ⅱ.由特征根法知原方程对应的齐次方程通解为
xc
1
e
3t
c
2
e
t

1
3
r0
，
其 中
c
1
,c
2
为任意常数，下面再求非齐次微分方程的一个特解，这 里
f(t)3t1
，
且
r0
xabt
的特解，代 入原方程得： 不是特征根，由方法二中类型①知方程有形如
~
2b3a3bt3t1

比较系数得：


2b3a1


3b 3
解得
b1,a
11
xt
，
因此，原方程通解为 ：
，
从而
~
33
1
x(t)
c
1e
3t
c
2
e
t
t

3

Ⅲ.不妨取特征根
r3
,(这里
p2,q3
,
f(t)3t1
)代入(16)中可得原非齐次微分方
程的通解为：
x (t)e
3t
{

e
4t
[

(3t 1)e
t
dtc
1
]dtc
2
}


c
2
e
3t
c
3
e
t
t 

其中
c
2
,c
3

1
3< br>c
1
为任意常数。

4
1
x
e
的通解

3,6

。
x
例2：求微分方程
y

2y

y
解：Ⅰ.原方程对应的齐次方程为
y

2y

y0
，其特征方程有特征根
r
1
r
2
1
，即有重根，所以基本解组为
e
x
,xe
x

应用常数变易法，令< br>y(x)c
1
(x)e
x
c
2
(x)xe
x


(x),c
2

(x)
的两个方程： 将 它代入原方程，得到决定
c
1

c
1

(x)e< br>x
c
2

(x)xe
x
0

1
x



xxx

c(x)ec(x)(ex e)e
12

x


(x)1,c
2

(x)
解得：
c
1
1

x
分别积分 得：
c
1
(x)xc
1
,c
2
(x)ln xc
2

于是原方程的解为：
y(x)c
1
(x)e< br>x
c
2
(x)xe
x


(xc
1
)e
x
(lnxc
2
)xe< br>x


(c
1
c
3
xxlnx)e
x

其 中
c
1
,c
3
c
2
1
为任意常数。
1
x
e
，不符合比较系数法中的两种类型，因此不能采用比较系数法求解。
x
1
x
Ⅲ.原方程对应的齐次方程的特征根为重根
r1
（ 这里
f(x)e
），由说明②，直接代入(17)
x
Ⅱ.本题中，
f(x)
中得：
1
y(x)e
x
{

[
e
x
e
x
dxc
1
]dxc
2
}

x
x
xc
1
)dxc
2
]

e[(ln


e
x
[(xl nxx)c
1
xc
2
]


(c
2
c
4
xxlnx)e
x

其 中
c
2
,c
4
c
1
1
为任意常数。
例3：求微分方程
y

yx
的通解

4
。
解：Ⅰ.原方程对应的齐次方程为
y

y0
，其特征方程有特征根
r
1,2
i
，所以有基本解组
cosx ,sinx
。
应用常数变易法，令
y(x)c
1
(x)cosx c
2
(x)sinx


(x),c
2

(x)
的两个方程： 将它代入原方程， 得到决定
c
1

(x)cosxc
2

(x)s inx0

c
1



c(x)sinx c(x)cosxx
2

1

(x)xsinx,c
2

(x)xcosx
解得：
c
1
分别积分得：
c
1
(x)xcosxsinxc
1
,c
2
(x) xsinxcosxc
2

于是原方程的解为：
y(x)c
1
(x)cosxc
2
(x)sinx


(xcosxsinxc
1
)cosx(xsinxcosxc
2
)sinx


xc
1
cosxc
2
sinx

Ⅱ. 原方程不符合比较系数法中的两种类型，因此本题不能采用比较系数法求解。
Ⅲ. 原方程对应的齐次 方程的特征根为虚根，由说明③，不妨取
ri
（这里
p0,f(x)x
），
代入(16)中得：
ye
ix
[

e
2 ix
(

xe
ix
dxc
1
)dxc
2
]


e(xe
ixix

c
1< br>2ix
iec
2
)

2

xc
1
i(coxsisinx)c
2
(coxsisinx)
2
c
1
c
sinxc
2
cosx)(< br>1
cosxc
2
sinx)i

22

x(
由说明③中(18)知通解为：

y(x)Re(y)Re[x(

x
c< br>1
c
sinxc
2
cosx)(
1
cosxc
2
sinx)i]

22
c
1
sinxc
2
cosx

2

xc
3
sinxc
2
cosx

其中
c
2
,c
3

c
1
为任意常数。
2
3．关于三种方法的总结
由以上三个例题的三种解法的对比可以看出，方法一中求 解变易系数比较麻烦,但对于高阶常
系数线性微分方程具有一般性；方法二求解比较简单，但有一定的局 限性，只适用于某些特殊的
类型，对非齐次项要求比较高；对于二阶线性常系数非齐次微分方程来说，方 法三比较适用，求
解过程比较简单，对非齐次项的要求比较低，更具有一般性。


参考文献
[1]林望,洪季平，线性微分方程的降阶法[A]高等数学研究，2011，14（1）
[2]王高雄,周之铭、朱思铭、王寿松，常微分方程[M]，第三版，高等教育出版社，2006 < br>[3]王焕，求二阶和三阶常系数非齐次线性微分方程特解的一个公式[J].高等数学研究，2006, 9（3）
[4]常庚哲,蒋继发，用分部积分法求解常系数高阶非齐次线性微分方程[J],大学数学 ，2003,19（1）
[5]同济大学应用数学系，高等数学（下）[M]第五版，高等教育出版社，2002
[6]Cupta R particular solutions of linear difference equations with constant coefficients[J].SIAM
Review,1998
[7]华东师范大学数学系，数学分析（上、下）[M]第三版，高等教育出版社，2001
[8]周仲旺，几类特殊的常微分方程[A]，潍坊学院学报，2003，3（6）
[9]佘智君，二阶常系数非齐次线性微分方程通解的简易求解法[A]，贵州大学理学院报，2006
[10]赵树，微积分[M]，中国人民大学出版社，1999
[11]张云艳，常系数非齐次线性微分方程的几个解法[J]，黄山学院学报，2004,6（3）
[12]杨淑娥，二阶微分方程的非常规解法[J]，徐州工程学院学报，2005,20（3） [13]刑春峰,袁安锋,王朝旺，求二阶线性常系数非齐次微分方程通解的一种新方法[A]，北京联合大
学学报（自然科学版），2009,23（3）
[14]丁同仁,李承治，常微分方程[M]，高等教育出版社，1985
[15]Ordinary Differential Equations,Wolfgang Walter,Springer-Verlag,Reprinted in China by Beijing
World Publishing Corporation,2003


The Formula of General Solution for Second Order Linear Differential
Equation with Constant Coefficients

Abstract:The second order linear differential eauation with constant coefficients has a important
position in theory and practice of ordinary differential equation，there give three methods of solving

second order linear differential eauation with constant coefficients in this first one is variation
of constant which is introduced by can seeking the general solution after kowning the
fundamental system of solutions of linear second method is comparing coefficient method
w
hich is used for some especial the last method is on the basis of knowing a special of the
second order linear differential eauation with constant coefficients,it can be transferred to the reduced
differential equation and a general formula which has a small amount of calculation is es
are given to verify the method.
Keywords:second order linear differential equation with constant coefficients;general solution;particular
solution;

fundamental system of solutions