公仪休拒收礼物-少先队诗歌

习题12-4
1. 求下列微分方程的通解:

(1)
dy
ye
x
;

dx
解
ye


dx
(

e
x
e

dx
dxC)e
x
(

e
x< br>e
x
dxC)e
x
(xC)
.

(2)
xy
¢+
y
=
x
2
+3< br>x
+2;

解 原方程变为
y


1
yx3
2
.

xx



1
dx
ye
x
[
2
)e

x
dx
dxC]

(x3

x
1


1
[

(x3
2
)xdxC]
1
[

(x
2
3x2)dxC]

xxx


1
(
1
x
3

3
x
2
2xC)
1
x
2

3
x2
C
.

x3232x
(3)
y
¢+
y
cos
x
=
e
-sin
x
;

解
ye


cos dx
(

e
sinx
e

cosxdx
dxC)


e
sinx
(
< br>e
sinx
e
sinx
dxC)e
sinx
(xC)
.

(4)
y
¢+
y
tan
x
=sin 2
x
;

解
ye


ta nxdx
(

sin2xe

tanxdx
dxC)< br>

e
lncosx
(

sin 2xe
lncosx
dxC)


cosx(

2sinxcosx
1
dxC)

cosx
=cos
x
(-2cos
x
+
C
)=
C
cos
x
-2cos
2
x
.

(5)(
x
2
-1)
y
¢+2
xy
-cos
x
=0;

第 1 页

x
y
cosx
.

解 原方程 变形为
y


2
22
x1
2x
x1< br>
x
dx

2
2
ye
x 1
(
cosx
e

x
2
1
dx
dxC)


x
2
1
x
(x
2< br>1)dxC]
1
(sinxC)
.



2
1
[

cos
22
x1x1x 1
(6)
d

d

3

2
;

解

e


3d

(

2e

3d

d

C)


e
3

(

2e
3

d

C)


e
3

(
2
e
3

C)
2
Ce
3

33
.

(7)
dy
dx
2xy4x
;

解
ye


2xdx
(

4xe

2 xdx
dxC)


e
x
2
(

4xe
x
2
dxC)


e
x
2
(2e
x
2
C)2Ce
x
2
.

(8)
y
ln
ydx
+(
x
-ln
y
)
dy
=0;

解 原方程变形为
dx

1
dyylny
x
1
y
.

1

xe


1
ylny
dy
(

1
e

ylny
dy
y
dyC)


1
lny
(

1
y
lnydyC)


1
(
1
ln
2
yC)
1
22
lny
C
lnylny
.

(9)
(x2)
dy
dx
y2(x2)
3
;

第 2 页

解 原方程变形为
1
dy
1
y2(x2)
2
.

dxx2
1
dxdx

ye

x2
[

2(x2)
2
e

x2
dxC]


(x2)[

2(x2)2

1
dxC]

x2
=(x
-2)[(
x
-2)
2
+
C
]=(
x
-2)
3
+
C
(
x
-2).

dy
2y0
.

dx
解 原方程变形为
dx

3
x
1
y
.

dyy2
(10)
(y
2
6x)

< br>dy

y
dy
1

xe[

(y)e
y
dyC]

2
33

y
3
(
1

y
1
3
dyC)

2
y

y
3
(
1
C)
1
y
2
C y
3
.

2y2
2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解:

(1)
dy
ytanxsecx
,
y
|
x
=0
=0;

dx
解
ye

tanxdx
(

secxe


tanxdx
dxC)



1(

secxcosxdxC)
1
(xC)
.

cosxcosx
由
y
|
x
=0
=0, 得
C
=0, 故所求特解为
y
=
x
sec
x
.

(2)
解
dyy
sinx
,
y
|
x
=
p
=1;


dx xx


1
dx
ye
x
(
sinxe

x
dx
dxC)


x
x
1


1
(

sinx
xdxC)
1
(cosxC)
.

xx
第 3 页

由
y
|
x
=
p
=1, 得
C
=
p
-1, 故所求特解为
y
1
(

1cosx)
.

x
(3)
dy
ycotx5e
cosx
,
y|
x

4
;

dx
2
解
ye


cotxdx
(

5e
c osx
e

cotxdx
dxC)



1
(

5e
cosx
sinxdxC)< br>1
(5e
cosx
C)
.

sinxsinx
由
y|
x

4
, 得
C
=1, 故所求特解为
y
1
(5e
cosx
1)
.

2
sinx
(4)
dy
3y8
,
y
|
x
=0
=2;

dx
解 < br>ye


3dx
(

8e

3 dx
dxC)


e
3x
(8

e
3x
dxC)e
3x
(
8
e
3x
C)
8
Ce
3x
.

33
由
y
|
x
=0
=2, 得
C
2
, 故所求特解为
y
2
(4e
3x
)
.

33
dy
23x
2
(5)

3
y1
,
y
|
x
=1
=0.

dx
x
解
x
dx

23
3
ye
x
(2

23x
2
dx
1e

x
3< br>dxC)

1111
3
x
2
< br>xe(
1
e

x
2
dxC)x
3e
x
2
(
1
e

x
2
C)
.


x
3
2
1
1
由
y
|
x
=1
=0, 得
C
1
, 故 所求特解为
y
1
x
3
(1e
x
2
)< br>.

2
2e
3. 求一曲线的方程, 这曲线通过原点, 并且它在点(
x
,
y
)处的切线
斜率等于2
x
+
y
.

解 由题意知
y
¢=2
x
+
y
, 并且
y
|
x
=0
=0.

由通解公式得

第 4 页

ye

dx
(

2xe


dx
dx C)e
x
(2

xe
x
dxC)

=
e
x
(-2
xe
-
x
-2
e
-
x
+
C
)=
Ce
x
- 2
x
-2.

由
y
|
x
=0
=0, 得
C
=2, 故所求曲线的方程为
y
=2(
e
x
-
x
-1).

4. 设有一质量为
m
的质点作直线运动, 从速度等于零的时刻起, 有
一个与运动方向一至、大小与时间成正比(比例系数为
k
1
)的力作用于它,
此外还受一与速度成正比(比例系数为
k
2
)的阻力作用. 求质点运动的速
度与时间的函数关系.

解 由牛顿定律
F
=
ma
, 得
m
dv
k
1
tk
2
v
, 即
dv

dt
k
2
k
v
1
t
.

dtmm
由通解公式得


ve

e



k
2
dt
m
(
22
dt
2
t
k
1< br>t
k
1

mm
(
m
dtC)
< br>tedtC)ete

m

m
kkk
k2
m
t
22
t
k
1
m
t
k< br>1
m
(te
2
e
m
C)
.

k
2
k
2
kk
由题意, 当
t
=0时
v
=0, 于是得
C

k
2
k
2
k
t
k
1
t
k
1
m
2
t
k
1
m
m
(te
m
em

2
)

2
k
2
k
2k
2
k
k
1
m
. 因此

2
k
2

ve

2
tk
1
k
1
m
即
vt
2
(1e
m
)
.

k
2
k
2
5. 设有一个由电阻
R
=10 W、电感
L
=2h(亨)和电源电压
E
=20sin5
t

V
(伏)串联组成的电路. 开关
K
合上后, 电路中有电源通过. 求电流
i
与
第 5 页

时间
t
的函数关系.

解 由回路电压定律知


20sin5t2
di
dt
10i0
, 即
di
dt
5i10sin5t
.

由通解公式得


ie


5dt
(

10sin5te

5dt
dtC)sin5tco s5tCe
5t
.

因为当
t
=0时
i
=0, 所以
C
=1. 因此


isin5tcos5te
5t
e
5 t
2sin(5t

4
)
(A).

6. 设曲

L
yf(x)dx[2xf(x)x
2
]dy在右半平面(
x
>0)内与路径无关,
中
f
(
x
)可导, 且
f
(1)=1, 求
f
(
x
).

解 因为当
x
>0时, 所给积分与路径无关, 所以



y
[yf(x)]

x
[2xf(x)x
2]
,

即
f
(
x
)=2
f
(
x
)+2
xf
¢(
x
)-2
x
,

或
f

(x)
1
2x
f(x)1
.

因此


1
f(x)e
2x
dx
(


1
1e
2x
dx
dxC)
1
x
(

xdxC)
2
3
x
C
x
.

由
f
(1)=1可得
C
1
3
, 故
f(x)
2
3
x
1
3x
.

7. 求下列伯努利方程的通解:

(1)
dy
dx
yy
2
(cosxsinx)
;

解 原方程可变形为

第 6 页

其

d(y
1
)
dy
11

2
cosxsinx
, 即
y
1
sinxcosx
.

dx
y
dxy

y
1
e

dx
[

(sinxcosx)e


dx
dxC]


e
x
[

(cosxsinx)e
x
dxC]Ce
x
sinx,

原方程的通解为
1
Ce
x
sinx
.

y
(2)
dy
3xyxy
2
;

dx
解 原方程可变形为

dy
d(y
1
)
11

2
3xx
, 即
3xy
1
x
.

y
dx
y
dx

y
1< br>e


3xdx
[

(x)e
3xdx
dxC]


3
x
2

e
2
(

3
x
2
xe
2dxC)


3
x
2
C)Ce
2
3
x
2

3
x
2
1
2

e(e
2
3

1
,

3
 x
2
11
原方程的通解为
Ce
2

.

y3
3
(3)
dy
1
y
1
(12x)y
4
;

dx33
解 原方程可变形为

dy
111
d(y
3
)
3
1

4

3
(12x)
, 即
y2x1
.

dx
y
dx3
y
3

y< br>3
e

dx
[

(2x1)e
< br>
dx
dxC]


e
x
[

(2x1)e
x
dxC]2x1Ce
x
,

第 7 页

原方程的通解为
13
Ce
x
2x1
.

y
(4)
dy
yxy
5
;

dx
解 原方程可变形为

dy
1
d(y
4
)
1

5

4
x
, 即
4y
4
4x
.

dx
y
dx
y

y
4
e


4dx
[

(4x)e

4dx
dxC]


e
4
(4

xe
4x
dxC)


x
1
Ce
4x
,

4
原方程的通解为
1
4
x
1
C e
4x
.

y
4
(5)
xdy
-[
y
+
xy
3
(1+ln
x
)]
dx
=0.

解 原方程可变形为

dy
11
d(y
2
)
2
2
1

3

2
(1lnx)
, 即
y2(1lnx)
.

dxx
y
dxx
y

y
2


2
dx
e
x
[2

x
d x
dxC]

(1lnx)e

2


1
2
[2

(1lnx)x
2
dx C]

x
2
xlnx
4
x
,



C

9
x
2
3< br>2
xlnx
4
x
.

原方程的通解为
1
2

C

9
yx
2
3
8. 验证形如
yf
(
xy
)
dx
+
xg
(
xy
)
dy
=0的微分方程, 可经变量代换
v
=
xy
化为可分离变量的方程, 并求其通解.

第 8 页

解 原方程可变形为


dyyf(xy)
dx

xg(xy)
.

在代换
v
=
xy
下原方程化为

x
dv

dx
v
vf(v)
x
2

x
2
g(v)
,

即
g(v)
v[g(v)f(v) ]
du
1
x
dx
,

积分得

g(v)
v[g(v)f(v)]
dulnxC
,

对上式求出积分后, 将
v
=
xy
代回, 即得通解.

9. 用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程,
后求出通解:

(1)
dy
dx
(xy)
2
;

解 令
u
=
x
+
y
, 则原方程化为


du
dx
1u
2
, 即
dx
du
1u
2
.

两边积分得


x
=arctan
u
+
C
.

将
u
=
x
+
y
代入上式得原方程的通解


x
=arctan(
x
+
y
)+
C
, 即
y
=-
x
+tan(
x
-
C
).

(2)
dy
dx

1
xy
1
;

解 令
u
=
x
-
y
, 则原方程化为

第 9 页

然

1
du

1
1
, 即
dx
=-
udu
.

dxu
两边积分得


x
1
u
2
C
1
.

2< br>将
u
=
x
+
y
代入上式得原方程的通解


x
1
(xy)
2
C
1
, 即(
x
-
y
)
2
=-2
x
+
C
(
C
=2
C
1
).

2
(3)
xy
¢+
y
=
y
(ln
x
+ln
y
);

解 令
u
=
xy
, 则原方程化为


x(
1du

u
2
)
u

u
lnu
, 即
1
dx
1
du
.

xdx
x
xxxulnu
两边积分得

ln
x
+ln
C
=lnln
u
, 即
u
=
e
Cx
.

将
u
=
xy
代入上式得原方程的通解


xy
=
e
Cx
, 即
y
1
e
Cx
.

x
(4)
y
¢=
y
2
+2(sin
x
-1)
y
+sin
2
x
-2sin
x
-cos
x
+1;

解 原方程变形为


y
¢=(
y
+sin
x
-1)
2
-cos
x
.

令
u
=
y
+sin
x
-1, 则原方程化为


du
cosxu
2
cosx
, 即
1
2
dudx
.

dx
u
两边积分得

第 10 页


1
xC
.

u
将
u
=
y
+sin
x
-1代入上式得原方程的通解



1
xC
, 即
y1sinx
1
.

ysinx1
xC
(5)
y
(
x y
+1)
dx
+
x
(1+
xy
+
x
2
y
2
)
dy
=0 .

解 原方程变形为


dyy(xy1)

.

dx
x(1xyx
2
y
2
)
令u
=
xy
, 则原方程化为

3
u(u1)
1duu
1duu

2

, 即.

xdx
x
2
(1uu
2
)
xdx
x< br>2
x(1uu
2
)
分离变量得


1
dx(
1
3

1
2

1)du
.

x
uu
u
两边积分得


lnxC
1

1
2

1
lnu.

2u
u
将
u
=
xy
代入上式得 原方程的通解


lnxC
1

1

1
lnxy
,

22
2xy
xy
即 2
x
2
y
2
ln
y
-2
xy
- 1=
Cx
2
y
2
(
C
=2
C
1< br>).

希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：


1、有志者自有千计万计，无志者只感千难万难。

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2、实现自己既定的目标，必须能耐得住寂寞单干。


3、世界会向那些有目标和远见的人让路。



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