工作报告ppt-消防手抄报大全

非齐次线性微分方程通解的证明


问题重述
如果
a
1
(t),a
2
(t),...,a
n
(t ),f(t)
是区间
atb
上的连续函数，
x
1
(t) ,x
2
(t),...,x
n
(t),
是
区间
a tb
上齐次线性微分方程

x
(n)
a
1
(t)x
(n-1）
+...+a
n
(t)x=0
（5.21）
的基本解组，那么，非齐次线性微分方程

x
(n)
a
1
(t)x
(n-1）
+...+a
n
(t)x=f(t)
(5.28)
的满足初值条件

的解由下面公式给出
n

(
t
0
)0，< br>
(
t
0
)

=0，...,

(
t
0
)
(n1)
=0,
t
0
[a,b ]
t


这里

(t)=

x
k
(t)

{
k1
t
0
W
k
[x
1
(s),x
2
(s),...,x
n< br>(s)]
}f(s)ds
W[x
1
(s),x
2
(s ),...,x
n
(s)]
（5.29）
x
1
(s),x
2
(s),...,x
n
(s)W
k
[x
1
(s),x
2
(s),...,x
n
(s)]
是的朗斯基行列式，
W
k
[x
1
(s),x
2
(s),...,xn
(s)]
是在
W[x
1
(s),x
2
(s) ,...,x
n
(s)]
T
(0,0,...,0,1)
中的第k行 代以
后得到的行列式，而且（5.28）的任一解u(t)都具有形式

这里
c
1
,c
2
,...,c
n
u(t) c
1
x
1
(t)c
2
x
2
(t). ..c
n
x
n
(t)

(t)
，（5.30）
是适当选取的常数。
公式（5.29）称为（5.28）的常数变易公式。
我们指出，这时方程（5.28）的通解可以表示为



xc
1
x
1
(t)c
2
x
2
(t)...c
n
x
n
(t)

(t)< br>
证明

考虑n阶线性微分方程的初值问题

(n)n1


xa
1
(t)x...a
n1< br>(t)x

a
n
(t)xf(t),

x(t< br>o
)

1
,x

(t
o
)
2
,...,x
n1
(t
o
)

n
,


（5.6）
其中a
1
(t),a
2
(t),...,a
n
(t),f( t)
是区间
atb
上的已知连续函数，
t
0
[a,b ]
，

1
,

2
,...,

n
是已知常数，我们指出，它可以化为下列线性微分方程组的初值问题：
10
0


001



MM

x



M


00

0




a
n
(t)a
n1
(t )a
n2
(t)



x(t
0
)

,
L
0

0


0

L
0


MM

x

M

,

L
1

0

L
a
1
(t)


f(t)



其中
（5.7）


x
1

x
1


1


x

x




x

2< br>
,x



2

,



2


M

M

M



xx

n

n


n


事实上，令

这时
x
1
x,x
2
x

,x
3
x

,...,x
n
x
(n1)
,


x

x
2
,x
2
x

x
3
,...,x
n

1
x
(n1)
x
n
,x
1

x
( n)
a
n
(t)x
1
a
n1
(t)x2
...a
1
(t)x
n
f(t)x
n

而且
x
1
(t
0
)x(t
0
)

1
,x
2
(t
0
)x

(t
0
)

2
,...,
x
n
(t
0
)x
(n1)
(t
0
)

n

t
现在假设

（t）
是在包含
0
的区间
atb
上（5.6）的任一解，由此，我们得知
n

（t）,


（t）,...,

（t）
在
atb
上存在、连续、满足方程（5.6）且

(t
0
)< br>
1
,


(t
0
)

2
,...,

(n1)
(t
0
)

n
,



1
(t)



(t)


(t)

2

,

M



(t)

n

令

其中

1
(t)

(t),

2
(t)

< br>(t),...,

n
(t)

(n1)
(t) (atb),
那么，显然有

(t
0
)

，
此外，我们还得到


1

(t)




(t)




(t)
< br>


(t)




(t)

2





M


M


(n)



(t)

n



(t)




2
(t)



(t)

3




M



n
(t)


a(t)

(n1)
(t). ..a(t)

(t)f(t)

n



1


2
(t)



(t)

3




M


(t)

n


a(t)

(t) ...a(t)

(t)f(t)

11n

n

L
L

10

0

001



MMM

00

0

a(t)a
n1
(t)a
n2
(t )


n

0


0




M

,
< br>0


f(t)


在此处键入公式。

0



1
(t)

0




(t)

MM


2



M

L
1



(t)

n

L
a
1
(t)



这就表示这个特定的向量

（t）
是（5.7）的解 ，反之，假设向量u（t）是在包含
t
0
的区间
atb
上（5. 7）的解，令

u
1
(t)


u(t)


u（t）

2

,



< br>
u(t)

n

并定义函数

(t) u
1
(t)
，由（5.7）的第一个方程，我们得到

(t)u< br>2
(t)


(t)u
1
，

由第二个方程得到

1
(t)u
n
(t),

(n1)
(t)u
n

(t)u
3
(t),.. .,


(t)u
2
有第n-1个方程得到
由第n个方 程得到

(t)

(n)
(t)u
n
a< br>n
(t)u
1
(t)a
n1
(t)u
2
(t)...a
2
(t)u
n1
(t)a
1
(t) u
n
(t)f(t)

由此即得
（n-1）（ n-2）
a
1
(t)

(t)a
2
(t)< br>
(t)...a
n
(t)

(t)f(t)


同时，我们也得到


（n-1）（n-2）

(n)
(t)a
1
(t)

(t)a
2
(t)

(t)...a
n
(t)

(t)f(t)

(t
o
)u
1(t
0
)

1
,...,

(n1)(t
o
)u
n
(t
0
)

n
这就是说，

(t)
是（5.6）的一个解
总之，由上面的 讨论，我们已经证明了初值问题（5.6）与（5.7）在下面的意义
是等价的：给定其中一个初值问题 的解，我们可以构造另一个初值问题的解。
值得指出的是，每一个n阶线性微分方程可化为n个一阶线 性微分方程构成的方
程组，反之却不成立。

本段讨论非齐次线性微分方程组

x

A(t)xf(t)
（5.14）
的解的结构问题 ，这里
A(t)
是区间
atb
上已知nxn连续矩阵，
f(t)
是区间
atb
上的已知的n维连续列向量，向量
f(t)
通常称 为强迫项，因为如果（5.14）
描述一个力学系统，
f(t)
就代表外力。
我们容易验证（5.14）的两个简单性质
性质1 如果

( t)
是（5.14）的解，

(t)
是（5.14）对应的其次线性微分方程 组
（5.15）的解，则

(t)

(t)
是（5.14 ）的解
%%
性质2 如果

(t)
和

( t)
是（5.14）的两个解，则

(t)

(t)
是（ 5.15）的解
下面的定理7给出（5.14）的解的结构
定理7 设
(t)
是（5.15）的基解矩阵，

(t)
是（5.14）的某一解， 则（5.14）
的任一解

(t)
都可表为


(t)(t)c

(t)
（5.23）

这里c是确定的常数列向量
证明 由性质2我们知道

(t)

(t)
是（5.15）的解，再由5.2.1的定理1*，得
到


(t)

(t)(t)c

这里c是确定的常数列向量，由此即得


(t)(t)c

(t)

定理证毕
定理7告诉我们，为了寻求（5.14）的任一解，只要知道（5.14）的一个解和
它对应的齐次线性 微分方程组（5.15）的基解矩阵，现在，我们要进一步指出，
在已经知道（5.15）的基解矩阵< br>(t)
的情况下，有一个寻求（5.14）的解

(t)
的
简单方法，这个方法就是常数变易法。
从上一节我们知道，如果c是常数列向量，则
< br>(t)(t)c
是（5.15）的解，它
不可能是（5.14）的解，因此，我们将 c变易为t的向量函数，而试图寻求（5.14）
的形如


(t)(t)c
（5.24）
的解，这里
c(t)
是待定的向量函数。
假设（5.14）存在形如（5.24）的解，这时，将（5.24）代入（5.14）得到


(t)c(t)(t)c(t)A(t)(t)c(t)f(t)

< br>因为
(t)
是（5.15）的基解矩阵，所以
(t)A(t)(t)< br>，由此上式中含有
A(t)(t)c(t)
的项消去了，因而
c(t)
必须满足关系式


(t)c(t)f(t)
（5.25）
11
(t)
( t)(t)
左乘
atb
因为在区间上是非奇异的，所以存在，用（5.25）< br>两边，然后积分之，得到
t
c(t)


1
( s)f(s)ds,
t
0
,
t
[a,b]
t
0< br>
其中
c(
t
0
)
=0，这样，（5.24）变为


(t)(t)

t

1
(s)f(s)d s
t
0
,
t
[a,b]
t
0
（5.2 6）
因此，如果（5.14）有一个形如（5.24）的解

(t)
，则< br>
(t)
由公式（5.26）决定。

反之，用公式（5 .26）决定的向量函数

(t)
必定是（5.14）的解，事实上，微
分（ 5.26）得到


(t)

(t)

t< br>
1
(s)f(s)ds(t)
1
(t)f(t)
t
0
t
A(t)(t)


1
(s)f(s )dsf(t),
t
0

再利用公式（5.26），即得




(t)A(t)(t)f(t)

显然，还有

(
t
0
)
=0，这样一来，我们就得到了下面的定理8
定理8 如果
(t)
是（5.15）的基解矩阵，则向量函数


(t)(t)

t

1
(s)f(s)d s
t
0

是（5.14）的解，且满足初值条件

(
t
0
)0
由定理7和定理8容易看出，（5.14）的满足初值条件
面公式给出

这里


(
t
0
)

的解
(t)
由下

(t)(t)
1
(
t
0
)

(t)

t

1
( s)f(s)ds
t
0
是（5.15）的满足初值条件
(5.27)
的解，公式（5.26）

h
(t)(t)
1
(
t
0
)


h
(t)

或公式（5.2 7）称为非齐次线性微分方程组（5.14）的常数变易公式。