独立主格结构-中考总结

非齐次常系数线性微分方程的特殊解法


摘 要：本文首先给出了升阶法的定义，以及利用升阶法求常微分方程的特解，
然后给出几个定理及其证明， 运用这些定理可以求解非齐常系数线性微分方程，
此为一般的方法.最后将所有常见的几种类型的微分方 程归纳为一类，使得解方
程的过程得到了有效的简化.
关键词：非齐次；常系数；线性；解法

1.引 言
线性微分方程在常微分方程学中占有一定的地位，其中，研究非齐常
系数线性微分方程的解法对进一步研究其他更复杂的常微分方程具有指导
意义.微分方程差不多 是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对
数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在 建立微积分的同时，对简单的微
分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布•贝努利、欧拉、法国数学 家克雷
洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。求通解在
历史上曾 作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问
题所需要的特解。也可以由通解的 表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参
数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进 行关于解的其他研究
近几年，国内外学者对非齐常系数线性微分方程的解法也有许多研究：
2005年11月，唐烁在安徽教育学院学报第二十三卷第六期发表的《常
系数线性非齐次微分方程组的 初等解法》中利用初等方法，直接得到两个
未知函数的一阶常系数线性非齐次微分方程组的通解方式.
2007年4月，赵辉在安徽电子信息职业技术学院学报第六期发表的《二
阶常系数线性非齐次 微分方程的一种特殊解法》中对二阶常系数非齐微分
方程运用了一种特殊的解法，使得求解此方程变的方 便快捷.
2008年6月，陈新明、胡新姣在大学数学第二十四卷第三期发表的《常
系数线性 非齐次微分方程的简单解法》中得到的求n阶常系数线性非齐次
微分方程一般解更方便的方法，以及几种 特殊情形的表达式.
对于非齐次方程，我们的解法是通解加特解得方法，所谓通解，就是先解出
非齐次方程组所对应其次方程组的基础解系，然后再随便找一个特解满足非齐次
方程组即可，然后把它 们相加组合起来，就是非其次方程的解本文将给出非齐次
常系数线性微分方程的一些解法，有助于以后更 简便的求解这类方程。

2.主要结果
2.1非齐次常系数线性微分方程的一般解法
2.1.1升阶法
为了求解非齐常系数线性微分方程，首先要求方程的特解，这里给出求特解
的一种方法- 升阶法。
[1]

定义：当
f(x)
为多项式时，设
f( x)a
0
x
n
a
1
x
n1
a
n1
xa
n

此时，方程
y'py'qyf(x)
（1）两边同时对
x
求
n
次，得
y
'''
py
''
qy
'
a
0
nx
n1
a< br>1
(n1)x
n2
a
n1

y
(n1)
py
(n)
qy
(n1)
a
0
n!xa
1
(n1)!
y
(n2)
py
(n 1)
qy
(n)
a
0
n!

显然方程（1 ）的解存在，且满足上述各方程。最后一个方程的一个明显解（不
妨设
q0,q0
时情况类似）是：
y
n

a
0
n!

q
此时
y
(n2)
y
(n1)
0
。由y
(n1)
与
y
(n)
通过倒数第二各方程可得
y< br>(n1)
，依次
往上推，一直推到（1），即可得到方程（1）的一个特解
y (x)
。上面这种方法称
为升阶法。
2.1.2 解的结构定理
定理1( 解的叠加原理)：设
y
1
(x),y
2
(x)
分别是方程< br>y
''
py
'
qyf
1
(x)
和**
y
''
py
'
qyf
2
(x)的特解，则有
y
1
(x)y
2
*(x)
是方程
*
y
''
py
'
qyf
1
(x)f2
(x)
的特解。
[2]

证明：将
y
1(x)y
2
(x)
代人方程
y
''
py
'
qyf
1
(x)f
2
(x)
的左端，
*
(y
1
(x)y
2
(x))
''
p(y
1
(x)y
2
(x))
'
q(y
1
(x) y
2
(x))
(y
1
(x)py
1
(x)q y
1
(x))(y
2
(x)py
2
(x)qy
2
(x))
得证。
f
1
(x)f
2
(x)
定理2 设是方程的特解，则< br>******
******

y
1
(x),y
2
(x)
分别是方程
y
''
py
'
qyp(x )cos

x
和
y
''
py
'
qy p(x)sin

x
的
特解。(其中
y
1
(x), y
2
(x),p(x)
是实系数多项式)
[2]

证明： 把
Y
代人方程
y
''
py
'
qyp(x)e
i

x

有：
(y
1
y
2i)
''
p(y
1
y
2
i)
'
 q(y
1
y
2
i)p(x)[cos

xisin< br>
x]
(ypy
1
qy
1
)(y
2< br>py
2
qy
2
)ip(x)[cos

xi sin

x]
''''
''
''''

所以
y
''
py
1
qy
1
p(x)cos
< br>x
；
y
2
py
2
qy
2
p( x)sin

x

(方程的两端实部、虚部相同) 得证。
n
阶常系数非齐次线性微分方程的定义
对
n
阶常系数非齐次线性微分方程
y
(n)
p
1
y
(n1)


p
n1
y
'< br>p
n
yf(x)
， （1）
其中
p< br>1
,p
2
,

,p
n
为常数．记
A(r)r
n
p
1
r
n1
p
2
r
n2
p
n1
rp
n
， （2） < br>d
k
称为方程(1)的特征函数，记
D

k
(k
0,1,

,n)
，方程(1)可写成
dx
k
A(D)yf(x)

又记
m
次多项式
p
m
( x)a
m
x
m
a
m1
x
m1
< br>
a
1
xa
0
（3）
[3]

引理1

A(D)(e

xp
m
(x))e

x
A(D

)p
m
(x)
， （4）
其中
A(D

)(D

)
n
p
1
(D

)
n1
p
2
(D

)
n2
p
n1
(D

)p
n
[4]

证明： 先证明
D
k
(e

x
p
m
(x))e
x
(D

)p
m
(x)
，
k1,2,,n)
（5）
用数学归纳法．由求导法则得
D(e

x
p
m
(x))e

x
(D

)p
m
(x)
．假设(5)式对
k1
的情形成立，则
D
k
(e

x
p
m
(x))e

x
(D

)(D

)
k1
pm
(x)e

x
(D

)
k
p< br>m
(x)
，
即(5)式成立．由
A(D)
的定义得(4)式．

记
Df(x)

f(x)dx,
0
1
x
D
1
Q(x)

x
0



Q(x)dx< br>
dx
00
m
xx
(k1,2,,n)

引理2 若
p
m
(x)
由(3)式给出，且

0
，则 < br>D[ep
m
(x)e
1

x

x

k0
(1)
k

k1
D
k
P< br>m
(x)
（6）
[4]

证明： 引 理1中取
A(D)D
，得
D(e

x
p
m
(x))e

x
(D

)p
m
(x)
。在上式中将
P
m
(x)
换为
m
次多项式
1P
m
(x)
，得

D
11
D[e

x
P
m
(x)]e

x
(

D)[P
m
(x)
，

D

D
由此有
D
1
[e

x
P
m
(x)]e

x
1
P
m
(x)


D
因为
[(

D)

k0
m
(1)
k

k1
D]1 
k
(1)
m1
D
m1

m1
， 以及
D
m1
P
m
(x)0
，
所以有
[(

D)

k0
1
m
(1)
k

k1

x
D
k
]P
m
(x)
，由此得
m
1(1)
k
k

x
D[e P
m
(x)]eP
m
(x)e

k1
DP< br>m
(x)
，

D
k0


x
（6）式成立。
A
(k)
(

)
(k

0,1,

,n)
。对
n
阶常系数非齐线性微分方程 定理3 记
A
k

k!
A(D)yf(x)e

x
P
m
(x) e

x
(a
m
x
m
a
m1
x
m1


a
1
xa
0
)
，其中

为常数，可
以是复常数。若

为
A(r)0的
l
重根，则方程（7）的特解为
y
'
e

x
D
1
Q
m
(x)
， （8）
其中
Q
m
(x)b
m
x
m
b
m1
x
m1


b
1
xb
0
由
Q
m
确定
[5]

(n1)
 A
n1
Q
m
(nl1)


A
l 1
Q
m
A
l
Q
m
P
m
(x )
（9）
'

证明： 设方程（
7
）的一个解为
y
''
e

x
Q(x)
。由引理 1，
因为
A(D

)
为

的
n
次多项式，所以当
kn
A(D)[e

x
Q(x)]e

x
A(D

)Q(x)
。
时，
A
(k )
(

)0
。将
A(D

)
在

处利用
Taylor
公式展开，得
A
''
(

)
2
A
(n)
(

)
n
A(D 

)Q(x)[A(

)A(

)DDD]Q (x)
。
2!n!
'
因为

为
A(r)0的
l
重根，所以
A
(k)
(

)0(k0 ,1,

,l1)
，注意
A
(n)
(

)n!
，方程（7）化为
Q
(n)
A
n1
Q
(n1)


A
l1
Q
(l1)
A< br>l
Q
(l)
P
m
(x)
。 （10）
而
P
m
(x)
为
m
次多项式，以及A
k
(k

l,l

1,

,n)< br>为常数，所以当
Q(x)
为多项式
时，
Q
(l)
(x )
也是
m
次多项式。记
Q
(l)
(x)Q
m(x)
，由（10）式知（9）式成立。
因为
Q
(l)
(x) Q
m
(x)
，所以
Q(x)D
1
Q
m
(x)
。方程（7）的特解为
y
*
e

x
D< br>1
Q
m
(x)
。
当

为
A(r )0
的
n
与
n1
重根时，不需经（9）式确定待定系数而直接得 到
方程（7）的通解。
定理4
1)
若

为
A (r)0
的
n
重根，则方程（7）的通解为
； （11）

2)
若

为
A(r)0
的n1
重根，则方程（7）的通解为
(1)
k
ye[
< br>D
(nk1)
p
m
(x)]e

x
(C
1
x
n2
C
2
x
n3


C
n1
)C
n
e
[(n1)
p
1
]x
k1
k0
(n

p
1
)

x
m
（12）
[6]

证明：1)
若

为
A(r)0
的
n
重根，由定理1 ，方程（7）的特解为
y
*
e

x
D
n
Q
m
(x)
，此时（9）式为
Q
m
P
m
(x)
，所以
y
*
e

x
D
nP
m
(x)
。对
P
m
(x)

积 分
n
次再乘以
e

x
得（11）式。
2)
若

为
A(r)0
的
n1
重根，为了得到通解，用证 明定理1的方法证明（12）
式。设方程（7）的通解为
ye

x
Q(x)
，与定理1一样证明，知
Q(x)
由（10）式
确定。又因为
ln1
，此时（10）式为
Q
(n)
A
n1
Q< br>(n1)
P
m
(x)
，其中
A
n1
 0
，
解得
Q
(n1)
e
A
n1
x
[D
1
(e
A
n1
x
P
m
( x))C
n
]
。由定理2得
'
Q
(n1)
( 1)
k
(k)'


k1
P
m
(x) C
n
e
A
n1
x
，
k0
An1
m

x
注意
A
n1
n
< br>P
1
，两边积分
n1
次得再乘以
e
得（12）式 。
当
m1
时，不需经（9）式确定待定系数而直接得到（7）的特解。
推论1 对
n
阶微分方程
A(D)ye

x
(a
1
xa
0
)
，若

为
A(r)0
的
l
重根，则特
A
(l1)
(

)a< br>1
l
1
[6]

x
a
l
l1解为
y
(l)
。 （13）
e[x(a
0
)x]
(l)
l1
A(

)(l1)A(

)
*
证明： 当
m1
时，由定理1得
y
*< br>e

x
D
1
Q
1
(x)
，这里
Q
1
(x)b
1
(x)b
0
由
(k)
'
（9）式确定；当
k1
时，
Q
1
(x)0< br>，所以（9）式为
A
l1
Q
1
A
l
Q< br>l
a
1
xa
0
。
由此解出
Q
1
(x)
后积分
l
次，再乘以
e

x
得到（ 13）式。
当
m0,n2
，自由项还含
cos

x< br>或
sin

x
，且

i

为A(r)0
的根时，也
不需经（9）式确定系数而直接得到方程（7）的通解。
定理5 记
A(r)r
2
prq,i
为虚数单位。对二阶微分方程
A (D)ye

x
(a
m
x
m
a
m1
x
m1


a
1
xa
0
) cos

x
或
e

x
(a
m
x
m
a
m1
x
m1


a
1
xa
0
)sin

x)
，
若
i

为
A(r)0
的根，则通解为
ye(C
1< br>cos

xC
2
sin

x)Rey

或
ye(C
1
cos

xC
2
sin

x)Imy)
，这里

x

''

x

''
ye

*(

i

)x
i
j1
j1
DP
m
(x)
。 （14）

j1
j0
(2

)
m