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二阶常系数线性微分方程的解法

数学科学学院 信息与计算科学
指导老师

摘要
：
在线性微分方程中，若未知函数与未知函 数各阶导数的系数都是常数，则称它为常
系数线性微分方程，他在工程技术中经常用到。下面主要讨论二 阶常系数线性微分方程的解
法，所用方法可以推广到一般高阶常系数线性微分方程，但在这里我们不做过 多的描述。

关键词
：
二阶，常系数，奇次，非奇次，特征方程，特征根，通解。

1.二阶常系数线性微分方程
1.1二阶常系数次齐线性微分方程
1.2二阶常系数非齐次线性微分方程
正文：
1.1常系数齐次线性微分方程
为了说明问题简单起见，先来考虑二阶常系数线性方程
'''
yayby0
， （1）
x

为待定参数。其中a,b为常数.我们推测，方程有形如
e
的指数解 ，于是以
ye


x
代入方程（1）进行试探，得出
(< br>
2
a

b)e

x
0
。因
e


x
0
，故
ye


x
是方程
（1）的解的充要条件是，

为二次方程

2
a

b0
，
（2）
的根。有鉴于此，称（2）为方程(1)的特征方程，而称（2）的根为特征根。设

1
,

2
是方程（2）的两个根，下面分三种情况进行讨论讨论
1.1.1 【 改为编号（1），因为这不是标题二是分情况讨论】

1
,

2
是互异实根，
则
e

1
x
与e

2
x
是方程（1）的两个线性无关的解，于是（1）的通解为（顶到左端）
yc
1
e

1
x
c
2< br>e

2
x
.

1.1. 2 【改为（2）】 
1


2


是二重实根，则y
1
e

x
是方程（1）的一个解。
今用降阶法求出另一特解。作特解
uv
'
(ye


x
)
，推出
u
'
(a2

)u0
。因

是重根，故必
a2

0,从而u
'
0.取u1,
既得方程（1） 的特解
y
2
xe

x
。于是

（1 ）的通解为
y(c
1
c
2
x)e

x
.

1.1.3 【改为（3）】 设

1


 i

与

2


i

是一对共 轭复根，（该行要写满）



i

带入(代入)方程 得

2


2
a

b3
 
0.

（退后两个汉字距离）利用以上等式容易验明
y
1
e

x
cos

x与y
2
e
x
sin

x
都是
方程（1）的解。且因
y
1
与y
2
不成比例，故方程（1）的通解为
ye

x
(c
1
cos

xc
2
sin

x)
.(公式要居中)

我们由以上讨论结果可以得到下面的图表
特征方程

2
a

b0
的根
d
2
ydy
微分方程
2
aby0
的通解
dxdx
有不相等的实根

1


2

有相等的实根
有共轭复根

1


i

与

2


i



d
2
ydy
例1 解方程
2
23y0.
< br>dxdx
yc
1
e

1
x
c
2
e

2
x

y(c
1
c
2
x)e

x
.

ye

x
(c
1
cos

xc
2
sin

x)

（

+1）=0
，它 的两个根是解：特征方程为

2
2

30,即（
< br>-3）

1
3，

2
1，所以方程的通解为< br>yc
1
e
3x
c
2
e
1x
.

注：这是方程有两个不相等的实根，解法如上面所叙述。
d
2
ydydy
例2 解方程
2
44y0,|
x0
2,y|
x0
0.

dxdxdx
2
解：特征方程为

2
4

40
（去掉）
即 （

-2）0
，
它有两个相等的实根：

1
< br>
2
2
，所以方程的通解为
yc
1
e
2 x
c
2
xe
2x
.

以条件
y|
x0
0
代入得
c
1
0,既有yc
2
xe
2x
，再以条件
于是所求的特解为

y2x
2
（。改为.）
e
x
。
dy
|
x0
2,
代入得
c
2
2
，
dx

注：这是方程有两个相等的实根，解法如上面所叙述。
d
2
ydy
例3 解方程
2
413y0.

dxdx
解：特征方程为

2
4

130< br>。(公式后用.)它的根为

23i
，所以方程的通
2xye(c
1
cos3xc
2
sin3x).
解为
注：这是方程有共轭复根，解法如上面所叙述。
(缩进两个汉字的距离)前面我们说过以 上（如上所述）求解常系数线性微分方程
的方法可以推广到一般高阶常系数线性微分方程。
例4 求方程
y
'''
y
''
2y0的通解及满足初 值条件y（0）=2，y
'
(0)0
，
y
''
(0)1
的特解。
解：首先求特征根。因

3


2< br>2(

3
1)(

2
1)
(

1)(

2


1)(

1)(

1)

(

1)(

2
2

2)

2
(

1 )

(

1)1



故特征根为

1
1,

2,3
1i,
于是原方程的通 解为
yc
1
e
x
e
x
(c
2
cosxc
3
sinx)
.

求导后得
y
'
c
1
e
x
e
x

(c
3< br>c
2
)cosx(c
2
c
3
)sinx

；(有逗号不用分号，)
y
''
c
1
e
x
e
x
(2c
3
cosx2c
2
sinx)
；（用.号不用分号）
于是由条件得
y(0)=2,y
'
(0) 0,y
''
(0)1
得
c
1
1,c
2
1,c
3
0
.
于是所求特解为

ye
x
e
x
cosx
.

1.2 二阶常系数非齐次线性微分方程一级标题2（见后面修改意见）


如同上面 一样，我们仍然首先（改为下面我们）考虑二阶常系数非齐次线性
方程，a,b为常系数（去掉）
‘’‘
yaybyf(x)
, （3）
其中
a,b
为常数。因对应的齐次方程（1）的通解问题已彻底解决，故目前 的关
键问题是求出方程（3）的一个特解。为此，仍可以使用某种特定函数法，下面
就几种特殊 类型予以说明。


x
1.2.1（1）
f(x)P< br>m
(x)e,P
m
(x)是m次多项式
。

我们以

y
*
Q(x)e

x
，
（4）
（具有编号的公式必须单独占一行）为待定解进行试探。以（将）（4）带入（代入）方程（3）经整理后得

Q
''
(x) (a2

)Q
'
(x)(

2
a

b)Q(x)P

m
(x)
.
（5）
分三种情况考虑。
.1

1.2.1
（a） 若a(< br>
)不是特征方程

2
a

b0的根，即
2
a

b0,
要
使（5）式成立，可令
Q(x)为一个m次多项式Q
m
(x)b
0
x
m
b< br>1
x
m1
...b
m1
xb
m
带
入（5）式，确定未知函数
b
i
(i0,1,2,...,m)
，并得到所求特解
y
*
Q
m
(x)e

x.


1.2.1.2
(b) 若

是特征方程
2
a

b0
的单根，即
（5）式成为

2
a

b0,但a2

0
，

Q
''
(x)(a2

)Q
'
(x )P
（6）
m
(x)
，
要使上式成 立，
Q
'
(x)必须是m次多项式，Q(x)是m+1次多项式，且Q(x)
的数项值
是多少不影响上式成立，故取常数项为零，令
Q(x)xQ
m
(m ),
带入（6）
确定
Q
m
(x)的系数b
i
(i 0,1,2,...)
，并得到特解
y
*
xQ
m
(x )e

x
.

1.2.1.3
(c) 若
是特征方程

2
a

b0
的重根，
（5 ）式成为

2
a

b0,但(且)a2

0
，

Q
''
(x)P
m
(x)
,

2
此时
Q(x)应为m2此多项式，可令Q(x)xQ即Q(x
的常数项及一次幂系
)
m
(x),
数都取为0.容易确定
Q
m
(x)
的系数，并得到特解
y
*
x
2
Q
m
(x)e< br>
x
.


x
从上面分析综合可以得出如下结论：< br>f(x)P
m
e
时，方程（3）有形如如下的特
解
y
*
x
k
Q
m
(x)e

x
.
（7）

其中
Q
m
(x)为m次多项式，k按a（

）不是方程特征方程的根、
是 特征方程的单根
或者是特征方程的重根依次取为0，1或2.
例5 求方程
y
''
y4xe
x
的通解

解：
从

2
10得特征根，

1
1，

2
1，因此方程y
''
y0
x)
x
的通
c
1
e
x
c
2
e
x
f(属于情形4 xeI(

m
是单重特征根，取，依式（7）
=1,=
k
1
1
)
写出方程的待定特解
*x
y(bxbx)e
01
.
将上式带入原方程，化解(简化后)得到
0
b
1
)4

4b
1
x2(b
.
x
由此得
b
11,b
0
1,于y
*
(x
2
x)e
x
，故所求方程通解为
yc
1
e
x
c
2e
x
(x
2
x)e
x
.
1.2.2(2)
f(x)e

x

P(x)co s

xQ(x)sin

x

,Q(x)为多项式
，最高次数为m。
以

y
*< br>x
k
e

x

A(x)co
，
（8）

sxBx()

sxi

n
为带定解 ，其中
A(x)与B(x)
均是m次待定多项式，当

i

是特征方程

2
a

b0
的根时取
k1
，否则取
k0
。
A(x)与B(x)
的系数如同情形I一样
确定。
d
2
y
例6 求方程
2
ye
x
sin2x的通解
。

dx< br>解：特征方程为
r
2
10,其根为r
1
1,r
2
1.
于是对应的齐次方程的通解为
Yc
1
e
x< br>c
2
e
x
.

由于1+2i不是特征根，所以令特解为
YAe
x
sin2xBe
x
cos2x.

~
于是可以带入原方推出
dy
(A2B)e
x
sin2x(2A B)e
x
cos2x
,
从而推出
dx
~
（-4A -4B）
e
x
sin2x(4A4B)e
x
cos2xex
sin2x
.

因此有

4A4B1，



4A4B0.
~
111
解得
A,B.
于是原方程的一个特解是
y(e< br>x
sin2xe
x
cos2x).
所以
888
原方 程特解(通解)为
1
Y(y)c
1
e
x
c
2
e
x
(e
x
sin2xe
x
cos 2x).

8
d
2
y
例7 求方程
2
9y2cos3xx
的通解。
dx
d
2< br>y
解：
2
9y0
的特征方程为

2
9 0
，它的根为

1
3i,

2
3i
,
于是对应的
dx
齐次方程的通解为
Yc
1
cos3xc
2
sin3x

为求原方程的特解，利用定理可以知道，我们只需要分别求出方程
d
2
y
9y2cosx
，
3
（9） （7.1）
2
dx
d
2
y
9yx
，
（10） （7.2）
dx
2
的特解，然后相加即可。
考虑方程（7.1）（9），
3i
是特征方程的根，所以令它的特解为
(Acos3x

yx
~
2
~
Bsin

x3).
此时
dy
（6B-9Ax）cos3x+(-6A-9Bx)sin3x,

d x
2
dy
（6B-9Ax）cos3x+(-6A-9Bx)sin3x,

2
dx
~
2

代入（7.1）（9）整理得

6Bcos3x-6Asin3x=2cos3x.

~
11
所以得
B,A0.
于是方程（7.1）（9）的一个特解为
y
1
xs in3x
，直接观察
33
~
x
可以知道
y
2

是方程（7.2）（10）的一个解。因此得到原方程的一个特解为
9
~~~
1x

yy
1
y
2
xsin3x.

39

最后得到原方程的通解为
1x

yYyc
1
cos3xc
2
sin3xxsin3x.

39
我们知道，对于一般线性微分方程，并无普遍有效的解法。对于常系数线性微分方程，特别是二阶常系数微分方程，则已有很完善的解法。这类解法的特点
是：预定方程的解具 有某一特定的表达式，需要确定的只是该表达式中的若干待
定系数。而为确定这些参数，我们需要熟练的 掌握常系数微分方程的不同类型及
其相适应的特殊解法。
~
参考文献：
无正昌 蔡燧林 《微积分学》下册 高等教育出版社 2008年2月
华中科技大学数学系 《微积分学》上册 高等教育出版社 2008年6月








修改意见：

（1）论文题目必须是小二号黑体，你现在用的是宋体；作者单位信息不全，应该写为
“数学科 学学院信息与计算科学专业2007级X班 任聪 2”，而且这部分内容
应该是宋体四号（注意 不加粗）；指导老师信息也是错的，应该为指导教师且为楷体4号；
参考文献格式不对，即参考文献之后 没有“：”号，参考文献内容宋体5号；参考文献用
[1],[2],….等排号；参考文献中人名，题 目，出版社等之间要用规定的标点符号（请参考范
文进行修改）。
（2）论文层次结构不够合理，只要取两个一级标题，即
1. 二阶常系数齐次线性微分方程的解法
2. 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法
而且一级标题为黑体小四号左端顶起。
（3）论文整篇采用1.5倍行距。
(4) 其余修改内容见文章当中给出的修改。