微分方程论文常数变易法论文：求二阶非齐次线性微分方程通解的一种方法
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微分方程论文常数变易法论文：求二阶非齐次线性微分方程
通解的一种方法
摘 要：
二阶线性微分方程在实际问题中有着广泛的应
用。利用常数变易法对二阶非齐次线性微分方程yn+p（
x）
y′+q（x）y=
f（x）进行讨论后，可给出求其通解表达式的具体方法。
关键词：微分方程；通解；常数变易法
一、引言
对于二阶常系数非齐次线性微分方程y″+py′+qy=f
（x）（其中
p、q是常数）当f（x）为以下两种形式：
①f（x）=pm（x）eλx，其中λ是常数，pm（x）是x
的一个m次多项式；
②f（x）=eλx［pl（x）cosωx+pn（x）sinωx］，其
中λ、ω是常数，pl（
x）、pn（x）分别是x的l次，n次
多项式，它们中有一个可为零。
此时求其通解的方法
已有公式可循，具体公式这里从
略。现在的问题是假若p、q不是常数，而是x的函数p（x）、
q（x），即为方程
y″+p（x）y′+q（x）y=f（x） （1）
时，又如何求其通解呢？这正是本文所要讨论的问题。
二、二阶非齐次线性微分方程的求解方法
在求一阶非齐次线性微分方程y′+p（x）y=q（x）的通
解时，我们使用了常数变易法。
这种方法是把齐次线性微分
方程y′+p（x）y=0的通解φ（x）中的任意常数c换成未
知
函数u（x），即利用变换y=
u（x）φ（x）来解非齐次线性微分方程。这一方法也
适用
于解二阶非齐次线性微分方程。下面我们就来讨论方程
（1）的具体求解方法。
设φ（x）是方程（1）对应的齐次方程
y″+p（x）y′+q（x）y=0
（2）
是一个不恒为零的解，则令y=u（x）φ（x），
有y′=u′（x）φ（x）+u（x）φ′（x），
y″=u″（x）φ（x）+2u′（x）φ′（x）+u（x）φ″
（x）
代入方程（1），得
u″（x）φ（x）+2u′（x）φ′（x）+u（x）φ″（x）<
br>+p（x）［u′（x）φ（x）+u（x）·
φ′（x）］+q（x）u（x）φ（x）=f（x）,
即φ（x）u″（x）+［2φ′（
x）+p（x）φ（x）］u′
（x）+［φ″（x）+p（x）φ′（x）+q（x）φ（x）］u（
x）
=f（x）,
而φ″（x）+p（x）φ′（x）+q（x）φ（x）＝0，
因此上式变为φ（x）u″（x）+［2φ′（x）+p（x）
φ（x）］u′（x）=f（x）。
令z=u′（x），代入上式，得
φ（x）z′+［2φ′（x）+p（x）φ（x）］z=f（x）
（3）