书画展方案-信息的智能化加工

.
常微分方程基础练习题答案
求下列方程的通解
1.
dy
dy
xdx
，
yCe
，C为任意常数
xy
分离变量
y
dx
21x
2
x2
2
dyx
dx
，
y1xdy0
分离变量
2
y
1x
，C任意常数


ylny0
分离变量
dy1
dx
，
yCe
x

ylnyx
ydyxdx
22

22
，
(1y)(1x)C
< br>1y1x
4.(xy
2
x)dx(x
2
yy)dy 0
分离变量
5.
dydudy
1u
(2xy5)
2
令
u2xy5
则
2
，
2
du
dx，
arctanxC
1

dxdxdx
u2
22
y
dy
ydydu
dyxy
1u
2
1
x

6.
dudx

ux
，代入得，原方程变为， 令
u
，
dx
1
y
dxxy
1u
2
x
xdxdx
x
1

2arctanuulnxC

，
u
yyy
2arctanlnxC
回代得通解
xxx
2
dudx
dyy
y

y

22< br>


yxy0
方程变形为
1

0
，令
u
，代入得
2
x
dxxx
x

1u
yyy

arctanulnxC
u
回代得通解
arctanlnxC< br>
，
xxx
dudx
dyydyyyy
Cx1
Cx 1

8.xyln
，方程变形为
ln
，令
u
，，
ue
，
yxe

dxxdxxxx
u(lnu 1)x
dy


2xdx2xdx
x
2

9.2xy4x
，一阶线性公式法
ye(

4xedxC)Ce 2

dx
11
dx

dx
dyy
2< br>
10.2x
,一阶线性公式法
ye
x
(
< br>2x
2
e
x
dxC)x
3
Cx
dxx
14
3
2x4x
2
y
2
y(xC )

11.(x1)y

2xy4x
，方程变形为
y


2
一阶线性公式法
2
x1x1
1x3< br>22
'.

.
12.(y
2
6x)
dy1
dx31
2y0
，方程变形为
xy
一阶线性公式 法
yy
2
Cy
3

dyy2
dx2
1 dy1
1
dz
2
dy
3xx
zy,y
伯努利方程，令代入方程
2
ydxy
dxdx
13.y

3xyxy
2
，方程变形为
得
3
x
2
11
dz
2


3xzx
一阶线性公式法再将
z
回代得
Ce

y3
dx
14.
dy11
1dy111
(12x)< br>伯努利方程，令
y(12x)y
4
，方程变形为
43
ydx3y3
dx33
zy
3
,
dzdydz
3y
4
z2x1
，一阶线性公式法再将
z
回代得代入方程得dxdxdx
1
x
Ce2x1

3
y
1 5.y

5y

6y0
，特征方程为
r
2
5r60
，特征根为
r
1
2,r
2
 3
，通解
yC
1
e
2x
C
2
e< br>3x

3
2
r

16.16y24y9 y0
，特征方程为
16r24r90
，特征根为
1,2
，通 解
4
y(C
1
C
2
x)e

3
x
4
17.y

y

0
，特 征方程为
r
2
r0
，特征根为
r
1
0,r< br>2
1
，通解
yC
1
C
2
e
x


18.y

4y

5y0
，特征方程为
r
2
4r50
，特征根为
r
1
2i,r
2
2i
，通解
ye
2x
(C
1
cosxC
2
sinx)

33
xx
2
d(xy)0
，
xyC
19.(x
2
y)dxxdy0
，全微分方程
xdx(ydx xdy)0
，
d
通解
33
x
4
y
2dd(xy)d0
，
20.(xy)dx(xy)dy0
，全微分 方程
xdx(ydxxdy)ydy0
，
42
33
x
4
y
2
xyC
通解
42
'.

.

21.(x
2
y
2
)dx (2xyy)dy0
全微分方程
x
2
dx(y
2
d x2xydy)ydy0
，
x
3
y
2
x
3
y
2
22
dd(xy)d0
，通解
xyC
3232

22.(xcosycosx)y

ysin xsiny0
，全微分方程
(xcosydysinydx)(cosxdyys inxdx)0
，
d(xsiny)d(ycosx)0
，通解
xsinyycosxC

23.(3x
2
y)dx(2x
2
yx)dyC
，
3x
2
dx2x
2
ydyydxxdy0
，积分因子


为
3dx2ydy 
1
2
，方程变
x
ydxxdyyy
22
0d 3xdyd03xyC
，，通解
2
xxx
1xdxydy< br>dx0
，
22
，方程变为
22
xyxy
y dy(xy)dx
，积分因子


22
11
d[ln( x
2
y
2
)]dx0
通解
ln(x
2
y
2
)xC

22
1
25.(xyy)dx xdy0
，
(xy)dxydxxdy0
，积分因子


2
，方程变为
xy
2
2222
dx
ydxx dyxx
0dxdarctan0xarctanC
，，通解
22
xyyy
1
26.y

e
3x
sinx
，可降阶
y
(n)
f(x)
型，逐次积分得通解
ye
3 x
sinxC
1
xC
2

9
2
27 .y

1y

2
，可降阶令
p(x)y

，原方程化为
p

1p
可分离变量型，得
y

ptan(xC
1
)
，
积分得通解
ylncos (xC
1
)C
2

28.y

y

x
，可降阶
y

f(x,y

)
型，令
p(x)y

，原方程化为
p

px
，一阶线性非齐次
x
公式法得
y

pC
1
e x1
，积分得通解
yC
1
e
x
1
2
xxC
2

2
'.

.
29.y
y

3
y

，可降阶
y

f(y,y

)
型，令
p(y)y

,y
p
即
p[
dpdp
pp
3
p
，原方程化为
dydy
dpdp
(1p
2
)]0
，
p0
是方程的一个解，由
(1p
2
)0
得
dydy
arctanpyC
1
即
y

ptan (yC
1
)
，通解为
yarcsine
xC
2
C
1

30.y

2y

y4xe< br>x
，二阶常系数非齐次
f(x)e

x
P
m
(x)
型，

1
是特征方程

2
2

10
的
*2x
x
Y(CCx)e
yx(ax b)e
，，代入
12
重根，对应齐次方程的通解为设特解为
22
3x *
xx
a,b0yxe
，原方
(6ax2b)e4xe
方 程得，得，故原方程的特解为
33
2
3x
程通解为
y(C
1
C
2
x)exe

3
x

x
22
31.y

a
2
ye
x
，二阶常系数 非齐次
f(x)eP
m
(x)
型，
特征方程
ra0< br>，特征值为
r
1,2
ai
，
对应齐次方程的通解为
YC
1
cosaxC
2
sinax
，

1
不是特征根，设原方程特解
x
e
1
*
x2xx
*x
y
A
AeaAee
yAe
，得则
2
，原 方程通
为
2
，代入方程得
1a
1a
e
x
解为
yC
1
cosaxC
2
sinax
1a2

32.y

yxcosx
，对应齐次方程的通解为
YC
1
cosxC
2
sinx
，设
y

yx
的一个特解为
y
1
AxB
代入此方程得< br>A1,B0
，故
y
1
x
；设
y
< br>ycosx
的一个特
解为
y
2
ExcosxDxsi nx
代入此方程得
E0,D
11
yxsinx
；原，故
2
22
1
方程通解为
YC
1
cosxC
2< br>sinxxxsinx

2
33.y

6y

9ye
x
cosx
，
特征方程
r
2
6r90
，特征值为
r
1,2
3
，
对应齐次方程的 通解为
*x
YC
1
e
3x
C
2
xe
3x
，

1i
不是特征根，原方程特解设为
ye(a cosxbsinx)

a
代入方程得
'.
34
34
,b
，则
y
*
e
x
(cosxsinx)
2525
2525
，原方程通解为

.
YC
1
e
3x
C
2
xe
3x
e
x
(
34
cosxsinx)

2525
34.
已知y
1
e
3x
xe
2x
,y
2
e
x
xe
2x
,y
3
xe
2x
是某二 阶常系数非齐次线性方程的三个解，则该
方程的通解
y
（ ）
x3x2x
答案：
yC
1
eC
2
exe
，
y
1
y
3
e
3x
,y
2
y
3
e
x
是对应齐次方程两个线性无关的解
35.< br>函数
yC
1
e
x
C
2
e
2x
xe
x
满足的一个微分方程是（ ）
(A)y

y

2y3xe
x

(B)y

y

2y3e
x

(C)y

y

2y3xe
x

(D)y

y

2y3e
x

2

1,

2

(

1)(

2)0
12
解析：特征根为即


20
，故对应齐次方程
，则特征方程为
*x
yxe


1,
为单根，故原方程右端非齐次项应具有
yy2y0
为；
为原方程 的一个特解，
f(x)Ce
x
的形式。
3
6
36.微分方程
(yx)dx2xdy0
满足
y
x1

的特解为 （ ）
5
1
yxx
2
答案：
5
，提示：一阶线性微分方程

满足下列微分方程初始条件的特解
37.
x y
dxdy0,y
x0
0
y(1y)dyx(1x)dx，通解为，分离变量
1y1x
y
2
y
3
x
2
x
2
y
2
y
3
x
2
x
2
C
y
x0
0
得
C0
，所求特 解为

，由
23232323

38.y

xy
ydx1
2
,y
x1
2
uuduul nxC
，将u回代得通解为，令则原方程化为得
yx
xx2
y
2< br>2x
2
(lnxC)
由
y
x1
2
得
C2
，所求特解为
y
2
2x
2
(lnx2)

39.y

3y

2y5,y
x0< br>1,y

x0
2
，特征方程
r
2
3 r20
特征根为
r
1
1,r
2
2
，对应齐 次
5
*
y
YC
1
eC
2
e
，方程的通解为
2
为非齐次的一个特解，故原方程的通解为
x2x
'.

.
5

CC1

1
57< br>2
x2x
2
yC
1
eC
2
e
；由初始条件得

C5,C
2
解得
1
，故所求
22


C
1
2C
2
2
7
2x
5
x
y5ee
特解为
22

40.y

y4xe
x
,y
x0
0,y

x0
1
，特征方程
r
2
10
特征根为
r
1
1,r
2
1
，对应齐次方程的




'.
通解为
YC
1
e
x
C
2
e
x
，

1
是特征方程的单根，故原方 程的特解设为
y
*
xe
x
(AxB)
x
代入原 方程得
e(4Ax2A2Bx)4xe
x
比较系数得
A1,B1
*
，从而
yxe
x
(x1)
，因此原方程的通解为yC
x
C
xx


C
1
C< br>2
0
1
e
2
exe(x1)
，由初始条件得< br>
C
C1,C
2
1
1
C
2
11
解得
1
，
故所求特解为
ye
x
ex
xe
x
(x1)